藤原進之介です。このページでは岡山大学2015年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：順列の中で「特定の位置に条件がつく」型。条件のついた場所から先に埋めるのが鉄則です。空いた場所から埋めると、後で数え直しになります。
1. なぜその一手を選ぶのか
1 から 9 までのうち奇数は 5 個（1, 3, …）、偶数は 4 個です。条件は「両端がともに奇数」なので、制約が乗っているのは両端の 2 か所だけ。ここを先に決めてしまえば、残りは何の制約もない普通の順列になります。
逆に「まず 6 個選んでから並べる」と考えると、選んだ組み合わせごとに両端に置ける奇数の個数が変わってしまい、場合分けが増えます。「条件の重い場所から」——これがこの型の判断です。
2. 解答
- 両端を決める：左端に奇数 5 通り、右端は残りの奇数から 4 通り。順序を区別するので 5 × 4 = 20 通り。
- 真ん中の 4 か所を埋める：使える数字は残り 7 個で、そこから 4 個を並べるので 7P4 = 840 通り。
- 積の法則より 20 × 840 = 16,800 通り。
答え： 16,800 通り
3. 検算
全体の並べ方は 9P6 = 60,480 通りなので、答えはこれより小さくなければおかしい。16,800 < 60,480 で条件を満たします。また両端がともに奇数になる確率はおよそ (5/9)×(4/8) ≒ 0.278 で、16,800 ÷ 60,480 ≒ 0.278 と一致します。
この型の一般化：「両端」「隣り合う」「特定の位置」といった場所に関する条件が出たら、その場所を先に固定して残りを自由順列にします。逆に「少なくとも」「含まれない」といった個数に関する条件が出たら、余事象か組み合わせで先に選んでから並べる方が速い。どちらの型かの見分け方は第13章 場合の数で整理しています。
岡山大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 岡山大学 英語の対策——マーク式ゼロ、差は英作文でつく
- 岡山大学 国語の対策——国立では珍しい小説の攻め方
岡山大学 数学 過去問｜他の年度を見る
岡山大学の数学の過去問は21年度ぶんを公開しています。そのうち5年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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岡山大学 2015年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 図形・三角関数
- 整数
- 空間図形
- ベクトル
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2015年度の問題PDFでは、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ、図形・三角関数、整数に関する語句や設問を確認できました。岡山大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は21年度、空間図形は21年度、図形・三角関数は20年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、微分・積分、図形・三角関数、数列
(2) 引いたカード 2 枚の番号が両方とも たである確率を ヵとたの式で表せ。
(3) 引いたカード 2 枚の番号が一致する確率を ヵの式で表せ。
4 引いたカード 2 枚の番号が異なっている確率を p。 LTS. RFK py, = 0.9
を満たす最小の自然散ヶの値を求めよ。
3 辺の長さが AB = 3, BC = 5, CA = 7 の三角形 ABC がある。辺 AB, BC, CA
上の点 P, Q, R を, AP = BO=CR =xとなるようにとる。ただし, 0<x<3で
ある。 このとき, 次の問いに答えよ。
(1) ZABC の値を求めよ。
(2) 三角形 BPQ の面積を の式で表せ。
(3) 三角形 PQR の面積が最小となるときの xの値を求めよ。
om i om M2 (246-15)
BA (a,) は, 関係式
ay=1, の=2。 gz 4 3 =1 (n= 1, 2, 3, ++)
を満たすとする。 bn = gmロー (HL, 2,3, EBS LS, 次の問いに答
えよ。
(1) Ona & by の間に成り立つ関係式を求めよ。
(2) BA (by) の一般項を求めよ。
(3) BA (a,) の一般項を求めよ。
2 次関数 = /(*O) のグラフは, 上に凸であり, RABLOR Q(@, 0) を通るもの
とする。ただし, 0 <。< 1 である。関数>y= のグラフを C, 関数>=7(*) のグ
ラフをのとし, Cとりの共有点のうち, 原点と異なかるものをP とする。点Pに
おけるCの接線の傾きを のの接線の傾きをヵとするとき
(2a - 1)m = 2an
が成り立つとする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) f@) をょとgの式で表せ。
(22) 0Sxsa OMe, 曲線 D とx軸で囲まれた図形の面積を 9() とする。
ゞ(2) を g の式で表せ。
(3) 2) で求めた ゞ(2) の 0 <g < 1 における最大値を求めよ。
ー2 一 M2 (246—16)
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、微分・積分、整数、関数・グラフ、空間図形
(2) 引いたカード 2 枚の番号が両方とも んである確率をヵとんの式で表せ。
GB) 引いたカード 2 枚の番号が一致する確率を ヵの式で表せ。
4) 引いたカード 2 枚の番号が連続している確率 (すなわち, 2 つの番号の差の
絶対値が 1 である確率) を ヵの式で表せ。
座概空間内に 3 点 A (1, 0, 0, B (0.1.0), C(0. 0, 1) をとり, 2つのベクトル AB
と BB+ CB の内積が 0 になるような点 P(x, ), 2) の集合を 9 とする。3 点 A, B,
C を通る平面を ゞ とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) RAS は球面であることを示し, その中心Qの座標と半径の値を求めよ。
(2) 原点Oから最も遼い距離にある S 上の点の座標を求めよ。
(3) (1) で求めた点 Q は, 平面@上にあることを示せ。
4 (1) で求めた点 Q を通って平面 w に垂直な直線を ?とする。或面 ゞ と直線?
のすべての共有点について, その座標を求めよ。
per 直 sns ぐやM3(246一18)
自然数ヵ= 1, 2, 3, ... に対して, 関数 A) = x1 -x) を考える。
(1) 曲線 = fi) 上の点 (Gn, faldn)) における接線が原点を通るとき, a, ENDO
式で表せ。ただし, a > 0 とする。
(2) 0 <xs1 O88, 曲線 y =f.) とェ軸とで囲まれた図形の面積を ヵ, と
する。また, (1) で求めた a, に対して, OS x Sa, OMT, My = fC,
xii, BLOM x = a, で囲まれた図形の面積を C, とする。』 BLOC,
をヵの式で表せ。
@) の7 で求めた By BEC Cy に対して, BRI Jim S を求めよ。
ただし」 tim (1+ 2) が自然数の底 eであることを用いてよい。
座標空間内の8 点
10.0.0, 1.0.0, 1,0), 01.0), (0.0.D, 0,00, G10, @1,)
を頂点とする立方体を考える。0 <7<3のとき, 3 (1,0,0, 040) (00,9
を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を 77 とし, FO) = (3) = 0 とす
る。 BR FO について, 次の問いに答えよ。
(1) 0 s7 < 3 のとき, 77 を7 の式で表せ。
(2) 関数 (OQ) の 0 7 < 3 における最大値を求めよ。
(3) 定積分 ri S(t) dt の値を求めよ。
= 朗 OMB (246—19)