埼玉大学 2019年度 過去問・解答

※ 問題文は埼玉大学が公表した2019年度（平成31年度）前期日程の入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません。

第1問　円の接線と直角三角形の面積

分野：図形と方程式（円の接線・点と直線の距離）　難易度：標準　目標時間：25分

(1)　中心が原点でない円の接線公式

【型】円 上の点 での接線は

【なぜこうするか】接線は「接点と中心を結ぶ半径に垂直な直線」。この事実を式にしたのが上の公式で、中心が原点でなくても、 を 、 を に読み替えるだけで使えます。微分も傾きの場合分けも不要です。

円 の方程式は 。その上の点 における接線は

展開して整理すると

【定石】接線は接点の座標を代入するだけで書ける（、 と「半分ずつ置き換える」と覚える）。中心がずれていれば平行移動して同じ形。

(2)　 は「点と直線の距離」そのもの

【型】垂線の長さ＝点と直線の距離／接点は円の式で縛られている

【なぜこうするか】 の座標を求める必要はまったくありません。 は点 と直線 の距離だからです。距離の公式の分母 は、 が円上にあることからちょうど になり、式が一気に軽くなります。この「分母が定数になる」仕掛けが本問の急所です。

は 上なので

点と直線の距離の公式より、 と の距離は

（分母は①より 。）これが だから

　すなわち　 または

ここで より 、また より なので 。よって

①に戻して だから

（ のとき なので根号の中は正です。）

【定石】「垂線を下ろした足までの長さ」は点と直線の距離の公式で一発。足の座標を求めるのは遠回り。

(3)　直角三角形なので三平方で残りの辺が出る

【型】直角三角形は「斜辺と1辺」から三平方で残りが出る

【なぜこうするか】 は垂線の足なので 。 は 上なので は に沿った辺です。したがって斜辺 と1辺 が分かれば、残りの は三平方で出る。 の座標は最後まで不要です。

のとき (2) より

点 。 で とすると より

よって 。これは なので、確かに と の間にある。

面積。、 だから三平方の定理より

【定石】垂線の足が絡む面積は直角三角形の三平方で処理。座標を求めるのは最後の手段。

第2問　三角形の内部および周上の格子点

分野：数え上げ・数列　難易度：標準　目標時間：20分

を固定して「その横一列に何個あるか」を数える

【型】格子点の数え上げは「一方の座標を固定して直線上で数え、 をとる」型

【なぜこうするか】領域内の格子点は、 という横線ごとに数えて足すのが基本。ここで注意すべきは、 の の部分が の偶奇で端数を生むことです（ が奇数だと の上限が半整数になる）。そこで を偶数・奇数に分けて数えます。

三角形の頂点は 。求める格子点は

をみたす整数の組 である。 を固定すると の範囲は 。

(i) （偶数、）のとき。 は整数なので、 は から までの

個

(ii) （奇数、）のとき。 なので、 は から までの

個

したがって総数は

第1の和は初項 、末項 、項数 の等差数列の和で 。第2の和は初項 、末項 、項数 の等差数列の和で 。よって

【検算】：三角形は 。 で の4個、 で より の2個、 で の1個。計 個。公式は ✓。 なら で、公式 ✓。

【よくあるミス】 の偶奇を分けずに「 の個数は 」としてしまう誤り。切り捨てが入るので、必ず偶奇で分けること。

【定石】格子点は「片方を固定 → その直線上で数える → 」。係数の分だけ周期が生まれるので、周期に合わせて場合分けする（ここでは なので の偶奇）。

第3問　場合分けのある関数で定まる数列

分野：数列・指数対数　難易度：標準〜やや難　目標時間：25分

(1)　定義に従って順に計算する（符号の切り替わりに注意）

【型】漸化式の具体計算：毎回「どちらの式を使うか」を判定する

【なぜこうするか】 は と で式が変わります。だから1項ごとに符号を確認してから式を選ぶ必要があります。 で「 側」に切り替わるのがこの問題の仕掛けです。

ここで なので、次は下の式を使う。

【定石】場合分けのある関数の反復では各項の符号を毎回チェック。表を作って書き並べるのが最も確実。

(2)　範囲を1項ずつ「押していく」

【型】不等式の伝播（単調性を使って範囲を次々に写す）型

【なぜこうするか】 を直接求めるのは無理ですが、 の範囲 → の範囲 → の範囲 → の範囲と順に写していけば評価できます。使うのは「 も も単調増加」という事実だけ。最後に と の大小を比べるところが山場です。

の範囲。 なので 。 は単調増加で だから

の範囲。 なので 。 より だから

すなわち 。とくに なので 。

の範囲。 だから 。 は単調増加なので

左端の評価。 なので、 と の大小を比べればよい。

だから分子は正、よって

これと①を合わせて

∎

【数値で確認】、 で確かに より大きい。また の極限では 、、 となり、範囲の左端に近づきます。

【定石】漸化式の値の評価は「範囲を1項ずつ写す」。単調増加関数なら不等号の向きはそのまま、単調減少なら反転する。最後の大小比較は差をとって符号を見る。

第4問　区別のない箱への玉の分け方

分野：場合の数（分割）　難易度：やや難　目標時間：25分

(1)　「1番の玉が入る箱」を基準にして区別をなくす

【型】「箱に区別がない」は特定の玉を基準にして箱に名前をつけると解消する型

【なぜこうするか】箱に区別がないと「2で割る」処理が必要になり面倒です。そこで1番の玉が入っている箱を「箱A」、もう一方を「箱B」と呼ぶことにすれば、箱に自然な名前がつき区別ができます。あとは残り 個をA・Bのどちらに入れるかで 通り。最後に「Bが空」の1通りを除きます。

番号 の玉が入っている箱を「箱A」、もう一方を「箱B」と呼ぶことにすると、箱を区別して考えてよい。

残りの 個の玉は、それぞれA・Bのどちらに入れてもよいので 通り。ただしこのうち「すべてAに入れる（＝Bが空）」1通りは条件を満たさない。よって

【検算】：。実際 の3通り ✓。

【定石】区別のない箱は「1番の玉のいる箱」を基準に名前をつけると、割り算をせずに数えられる。

(2)　箱が 個＝「玉が2個余る」＝入り方は2パターンしかない

【型】「箱の個数が玉の個数に近い」ときは箱に入る個数の内訳を分類する型

【なぜこうするか】 個の玉を 個の箱にどれも1個以上入れると、「余り」はちょうど2個です。だから箱の中身は「3個入りが1箱、あとは1個ずつ」か「2個入りが2箱、あとは1個ずつ」の2パターンしかありません。パターンが有限個に絞れるので、あとは選び方を数えるだけです。

とする（ は後で確認）。各箱に1個以上入れるので、 個の箱に 個を入れると2個ぶんの余りが生じる。したがって内訳は次の2通りに限られる。

[1] 1つの箱に3個、残りの 箱に1個ずつ。3個入る玉の選び方だけで決まるので

通り

[2] 2つの箱に2個ずつ、残りの 箱に1個ずつ。2個組を2つ作る。まず 個から2個、次に残り 個から2個を選ぶが、2つの組の順序は区別しないので2で割って

通り

したがって

通分すると

のときは箱が1個なので入れ方は1通りだが、この式に を代入すると となり一致する。よって をみたすすべての整数で

【検算】 のとき にあたるので、(1) の式から 。公式は ✓。 なら （実際に ）。

【よくあるミス】[2] で で割るのを忘れる誤り。同じ大きさのグループが複数あるときは、その並べ替えの分だけ割る（ここでは2組なので で割る）。

【定石】区別のない箱への分配は「箱に入る個数の内訳（分割）」で分類する。同じ大きさの組が 個あれば で割る。