早稲田大学 2008年度 過去問・解答

(1) y を z の式で表せ。
(2) xy の最大値を求め, そのときの z, y の値も求めよ。

M2 空間内に, 同一平面上にない相異なる4点 0, A, B, C がある。OA, OB, OC は互いに直
交し, 10A|=1, 10B|=2, 10C|= 3 である。OA=Z, OB=b, OC=c と表すとき, KO
各問に答えよ。( 3 )は答のみ解答欄に記入せよ。

(1) 線分BCを #:(1一) (O<t<1) に内分する点を K とし, OK=』 と表す。このとき,

内積 <・# を求めよ。また, ま の大きき| を を用いて表せ。
(2) 三角形 OAK で, O から AK にひいた垂線の足を H とする。このとき, AH:HKを|gl,

[hl を用いてできるだけ簡単に表せ。
(3) OH を, ta, 0, ¢ を用いて,

op (a + (+ Ee
C7)

の形に表せ。空欄にあてはまる式を求めよ。

(4) OH が3点 A, B, C のつくる平面に垂直であるとき, 7 の値を求めよ。
ーー

間3 次の空欄にあてはまる式または数値を解答欄に記入せよ。ただし,
7(7 = 2{(a — 1) sin? @ + a sin 8 cos@ + (a + 1)cos?6}
とし, a dE, 0°S 05180 とする。
(1 ) 7の7 をsin29, cos29 についてまとめると
£@ =[_7 ]swmzg+[ィosze+|ッ]
となる。
(2 ) 7(17 の最大値と最小値の差が5のとき, a=[ = | であり, fo) の最大値は| オ |である。
間4 数列 a, a, a, は, 初項 2, BEd の等差数列であり, gaー12 かつ 5>0, 5ミミ0
をみたす。ただし, $,王gム十る十...十@。 である。 このとき, 次の各間に答えよ。(1), (2 )は答
のみ解答欄に記入せよ。
(1 ) 公差 』 がとる値の範囲を求めよ。
(2) a, (n>3) がとる値の範囲を。ヵ を用いて表せ。
(3) g。>0, a,50 となる ヵ の値を求めよ。
( 4 ) S, が最大となるときの ヵ の値をすべて求めよ。また, そのときの S, を g の式で表せ。
(FF # A)

(1) ヵ を自然数とする. 219! は 2" で割り切れるが, 241 では割り切れない
とすると, n=[_7 | である.
(2) 媒介変数 9 を用いて
v3 2cos 6 7 Ku cg
r= cos0——-, リッーー Sin9 1 (93す)
によって表される曲線と, oH, ヶ直で囲まれる図形の面積は| イ |
である.
(3) 座標平面上で Ao (0, 1), O(0, 0), Po (V3, 0) として三角形 AuOPo を
BAB. これに。 AAqOPo の各辺の長さを 倍した AAuPoP」 EF
の図のようにおく. 同様に ヵ = 1 についても, AA。P。_」P。 の各辺の
長さを 倍して, 直角を P。に合わせて AAniP Pri をおいてい
ぐ。 Palen Jo) SLC, a= jim tn, b= lim mp とすると, (a,b) =
Py
Ao
Ag at
Ai
O Po
(A) 座標平面上の6 個の点 (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3) を
2つずつ3つの組に分けて, それぞれの組における 2 点の距離の和を
考える. このような和の最大値は である.
= 4) =

次の問いに答えよ.
(1) 任意の実数>に対して, 不等式
cosa — 1+ = 20
が成り立つことを示せ.
(2) が を自然数とする. 任意の実数>に対して, 不等式
i os _(=1)*
(-1) "(es ー シー 20
が成り立つことを示せ. ただし, 0!=0' 1とする.
6を正の実数とする. 座標平面において, AP (a, a2) を通り, 放物線サーァ?
上のある点における法線となるような直線の本数を n と表す.
(1) 本数みを求めよ.
(2) ヵ=2となるようにoを定め, 点P を通る 2本の法線のうち, 傾きが大
きい直線を7 と表す. 直線 7 と放物線 ヵーァ? で囲まれた図形を y HO
まわりに1 回転してできる立体の体積 を求めよ.

| 4 | 平面上で次のような変換 を考える
fr 原点を中心として正の向きに角 9 だけ回転し, y 軸について
対称移動をし, ヵ軸の正方向に 1 だけ平行移動する.
点 Po (ao, vo) に変換 をヵ回くり返し行って得られる点を P。 (tn, tn) と
表す. 次の問いに答えよ.
(1) fay Yn を zo, を用いて表せ.
(2) 及き訪ならば, MOB Po, Pa, Pa。...... 。Par.........・ はある直線上に
等しい間隔で並ぶことを示せ.
(13) Po( 1) EFS. すべての点 P。 (mー0.112.......") が1 つの直級上
に並ぶような の の値を求めよ。ただし, 0ミ9ミ2r とする.
以下父 a)

(1) $i x a a+ Lame をみたすとき,

a+ ofits [7] cae.
(2) 正三角形 ABC の内部にある点を P とする.

PA=1, PB=2, ZAPB=120°

のとき, pc=[4] cha.
(3) 正の約数の個数が28 個である最小の正の整数は| ゥ| でぁる.
(4) 2c を実数とする. 関数

f@)= > lee —1l =le—a) + lar 1キオドキ100z 1

k=1
は, c= [=] で最小値をとる.
ーー

| 2 | sto tt, 0<z<1 をみたす. WH (a) を次のように定める。

(i) q=a
(i) ヵニ2,3,4,... に対しては,

みみコミ1 のとき, =,

の4ーュ

Gar > 1 OLR, 2 三みュー1

このとき, 次の設問に答えよ.
(1) a@=f2-1 のとき, ay の値を求めよ.
(2) 4。 となるような a の値をすべて求めよ.

[3] 正の整数 ヵ に対して, f(n) と g(n) は0以上の整数で,

次の条件11), (i), 個をみたしている.
(i) g(99)=1, g(100)=0
(ii) £(100)=1
Gi) f(n) + f(n + g(n))=f(n +1)

COLE, 次の設問に答えよ.
(1) £(99) を求めよ.
(2) g(10l) を求めよ.
(3) (2008) を求めよ.

(以下 余 A

|
| (Pf)
2008年度
<2008 日20021119>
注 意 事項

1. この試験では, COMMETOMHK, 7-7 MRMREMATS. MEFS, ARMOR AD
るまで関かないこと,

2 MORES 12ページに記載きれでいる。 MMT ORM, AY ORT AT BO
答用抵の拓れ等に所付いた場合は。手を挙げて監稚朋に知らせること。

3. WRT CMEM ROMAN B MME HEEB YD +—TARy oA CHATESE.

4. FH OMEN OUTIL, SREP MELAS AMEMICREOARATECE,

5. 関1から問9までの|ア] [4], [9], -Eaenen, -w, 一 -, -2 1. 0,1,
2, 48。 49のいずれかが当てはまる。 KOMSS OT, マーク押用紙のア。イ。ウ,...で示きか
た飛にマークして科えること。

OL. PIB, TB, Pied, Tic, FOL BAAS,
ーーテイェイュ|

回加計 1ら1ら|ら1ら6らら| @ |ら te

tSetSt+Ststststs sts =】 ic

Lォ1ら1ら1ら1ら| ご] |ら1ら1ら1ら1ら1ら1「ら」

6マークははっきり記入すること。まな。 METSME, 清しゴムでていねいに。靖し残しがないよう
よく消すこと (砂消しゴムは使用しないこと)。

74 SR ORL 悪い OBL
マークを消す時 CRU OB <ご悪い

7. 誤終了の指示がでなら,すぐに解答を止め。 筆記殿をおくこと。 終了の指示に従わ解答を続けた場
Git, RROTACeMMETZOTRETECE.

5 VNESMETE, MAMIE TMT SCL.

9. MTA, MIME TIA BAS =e,

(iii) (zs) を小数で表したとき, 小数第| ア | 仁に初めて0でない
数字が現れ, その値は| イ | である. ただし, logip2=0.3010 EFS.
—

【問2 】図1 のように一辺の長きが1 の正六角形 ABCDEF において対角
線の交点をO とする. CLT, O を出発点として次のように平面を移動
する点Pを考える.
oe きいころを1 回投げて 1 の目が出ると点Pは OA の方向へ 1 進む.
。 さいころを1 回投げて 2 の目が出ると点PはOB の方向へ 1 進む.
* さいころを1回投げて 3 の目が出ると点Pは OC の方向へ 1 進む.
© きいころを1回投げて4の日が出ると点PはOD の方向へ 1 進む.
< さいころを1回投げて $ の目が出ると点PはCEの方向へ 1 進む.
*。 さいころを1回投げて 6 の目が出ると点PはOFの方向へ 1 進む.
OEM (Py EFS) ELT, 1回目の移動で点Pが進む位置を Pi
2 回目の移動で進む位置を 。, 3 回目の移動で進む位置を ア。 とする (例
えば, きいころを3回投げて1 回目に3, 2回目に1, 3 回目に2 が出た場
合, 点Pは図2のように移動する) COLA, MPP, の長きの2乗
の期待値は 1, 線分 7y の長さの2乗の期待値は| ウ | HUF PoP) OH
きの2 乗の期待値は| エ | である.
で 8
OO
Eg ia
図1 正太角形ABCDEF
a
CO
WAV A
E F
図2 点Pの移動の例
ag ニー

(Ha) ser era. 0 <<うを満たす/を用いて。 Ey = fox)

のダラ 7tica a (-.4(-5)} (rfp), (tf00), (Ca) een,

それぞれ, HA, B,C, DEF. この4点を頂点とする四角形ABCD

の面積が最大になるのは= のときで, そのときの面積は
[ヵ |

CHS. KEL, | 2 |はできる限り小さい自然数で答えること.
ape

【問4 】円に内接する四角形 ABCD において, AB=2, BC=1, CD=3
THD, cos ZBCD = -= EFS. このとき, AD =| ケ ]であり四角形

poco oma 212 eas,
—

【問5】 3次方程式で+gデ+ x+c=0 (ただし, g, 6, cは実数の定数
とする) は, g+ぁ+c=ー18 を満たし,』ーミ (は上数潤) を解にも
つ. このとき, 残りの2つの解は, *=| サ | | シ |]:である.

ーーテー

【問 6 】正の整数g, あについて次の条件を考える.

(条件1) gz3かつpヵsz8

(条件2) a+b210

(条件3) atb211

(条件4) gpz24

(条件3) gag+ぁpg10かつゆ>24

(条件6) 2+ヵz11かつののぁ24
(条件 1) ~ (条件6) のうちで条件| ス | は他のすべての条件の十分条
件であり, 条件| セ |は他のすべての条件の必要条件である. また, 条件
|ン | と条件| タ | (条件| ソ | と条件[| タ |] の順序は問わない) GE
いに同値である (以上については, 条件の番号のみをマークすること) .
さらに, (条件3) を満たして (条件4) HLS Gb) OMI | チ |
個ある.

ーー

【財7】 2G fa.) について, 初項から第ヵ項までの和ゞぐ。 が$。= (2z+1)
ELSES, 数列 (a,) の一般項は a, =| ツ |ヵ+| テ |である. 次に, 数
Fi (】 について, Dy = 1, Bnet = Wy +1 (n=1,2,3,---) である. ここ
で, 数列 cl をc。=g(ぬ+ 1) とすると, 数列 (cy) の初項から第ヵ項ま
での和 7。 は,
1 (FFE
である.
=一0デー
（続きは問題PDFで確認できます）

数学 (BAX)
(問 題)
2008年度
<2008 H20021119>
注 BRR
1. この試験では, この問題冊子のほかに, マーク解答用紙を配布する. 問題冊子は, 試験開始の指示があ
るまで開かないこと.
2. 問題は4 -12ページに記載されている. 試験中に問題民子の印刷不鮮明. ページの落丁乱丁および解
答用紙の汚れ等に気付いた場合は, 手を挙げて監督中に知らせること.
3. 解答はすべて解答用紙の所定欄にHEの黒鉛筆またはHBのシャープペンシルで記入すること.
4. マーク解答用紙については, 受験番号を確認したうえ所定欄に氏名のみ記入すること.
5. 問1から問9までの| ア|, [4], [9]. ...にはゅそれぞれ 49, -48, ... -2, -1, 0. 1
2, ..., 48, 49のいずれかが当てはまる. 次の例にならって, マーク解答用紙のア,イ, ウ, ...で示され
た欄にマークして答えること.
例.アに3。イにー5, ウに30, エにー24, オに0と答えたいとき.
Erna
BA tees ls lsl7|sligl
[7 16]1S1S1S161S1S61ら6」 |ら1ら6」ら1ら61ら6」]
きら151らら]ら16]ら1つら1きら]ら|ら|る」
felololole|scolelolots} STg] Stole]
1S]ら1]らら616TW 1 1616「ら6「ら|ら「ら「ら「 6]
6. マークははっきり記入すること. また, WEP SWS, 消しゴムでていねいに, 消し残しがないよう
よく消すこと (砂消しゴムは使用しないこと).
マークする時| 名良い 悪い <〇悪い
マークを消す時| つ良い 悪い ご悪い
7。 試験終了の指示がでたら, すぐに解答を止め。健記内をおくこと. 終了の指示に従わず解符を続けた坦
合は, 答案のすべてを無効とするので注意すること.
8. いかなる場合でも, 解答用紙は必ず提出すること.
9. 試験終了後, 問題冊子は持ち帰ること.
ーーィー一

tH] [: を数で表したとき。小第 ア ]位に初めて0でない
数字が現れ, その値は| イ |である. ただし, log2 = 0.3010 とする.
ーーォーー

【問2 】図1のように一辺の長さが1 の正太角形 ABCDEF において対角
線の交点をO とする. ここで, 0 を出発点として次のように平面を移動
する点Pを考える.
。 さいころを1回投げて 1 の目が出ると点Pは OA の方向へ 1 進む.
。 さいころを1回投げて 2 の目が出ると点Pは OB の方向へ1 進む.
。 さいころを1 回投げて 3 の目が出ると点Pは OC の方向へ 1 進む.
。 さいころを1回投げて4の目が出ると点Pは OD の方向へ 1 進む.
。 さいころを1 回投げて 5 の目が出ると点Pは OEの方向へ 1 進む
。 さいころを1 回投げて 6 の目が出ると点Pは OEの方向へ1 進む.
点Oを出発点 ( とする) として, 1回目の移動で点Pが進む位置を P,
2回目の移動で進む位置を 。, 3 回目の移動で進む位置を ア。 とする (例
えば, さいころを3 回投げて 1 回目に 3, 2 回目に1, 3回目に2 が出大場
合, 点Pは図2 のように移動する) COLE, 線分 Pi の長きの2乗
の期待値は1, 線分 PpP。 の長さの2 乗の期待値は| ウ | 線分 op』 OK
さの2 乗の期待値は| エ |] である.
C B
GOO
E F
図1 正六角形ABCDEF
LA/\/
AVA A
E F
図2 点Pの移動の例

【間31 fo) =2 EFS. O<r< 5 EMT EAC, Bey = sD)

のグラフ上に4点 (-3-(-3)) (-4 7(-の), (4 f(), (5.(5)} をとり,

それぞれ, AA, B,C, Dとする. この4点を頂点とする四角形ABCD

oman solr bas ot きで, zoe soma: Seal

である. ただし, | カ | | 2 | はできる限り小さい自然数で答えること.
apes

【問4 】円に内接する四角形 ABCD において, AB = 2, BC = 1, CD=3
であり, cos ZBCD = -= EFS. このとき, AD =[ ヶ | であり, MA
Es
ABCD の面積は —[— である.
ーーー

【問5】 3次方程式ぷ+gx"+ x+c=0 (KEL, a, b, cに実数の定数
とする) は, 4+ち+c=ー18 EMEL, 1-2 は具数単位) を解にも
つ. このとき, 残りの2つの解は, x=| サ| | シ |:である.

ーー 。 ーー

【問 6 】正の整数 のについて次の条件を考える.

(条件1) gz3かつヵ8

(条件2) a+bz10

(条件3) 4+p=11

(条件4) のぁ24

(条件5) g+p=10かつの24

(条件6) g+pz11かつ。p>24
(条件 1) ~ (条件6) のうちで条件| ス |は他のすべての条件の十分条
件であり, 条件| セ |は他のすべての条件の必要条件である. また, 条件
と条件| タ |] (条件| ソ | と条件| タ | の順序は問わない) aE
いに同値である (以上については, 条件の番号のみをマークすること) .
さらに, (条件3) を満たして (条件4) を満たさない Gd) の組は| チ |
個ある.

ーー ゥーー

【問7】 数列 (g.) について, MBS Hn HE COALS, DS, =n(2n+1)
となるとき, 数列 (g の一般項は a, =| ツ |ヵ+| テ |である. 次に, 数
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) 2 つの等差数列 (g} と {on} において, 式
Qn + 2bn = 8n—1, dnb = Sn? En = 1
が成り立っている. このとき a= ならば ヵ=| ア | であり, BH {an} と {bn} の一般項は

である.
(2) 不等式
67 —2-27-9-37 +18<0
ERIM © のうち, 最小のものは であり, 最大のものは である.
問2.
座標平面上の 2 つの放物線
タッーーの上り 11
y=—2? + 4ax — 4a? +9 (2)
を考える. ただし は定数で 0 <o<3 とする. 放物線 (1) の頂点を A とし, 放物線 (2) の頂点をB とす
る. 放物線 (1) と 軸との交点のうち 座標の大きい方を CO とし, 放物線 (2) と 軸との交点のうちっ座標の
小さい方を D EFS. 放物線 (1) と放物線 (2) および線分 AB によって囲まれた図形の面積を 9 とし, 放物線
(1) と放物線 (2) および線分 CD によって囲まれた図形の面積を 7 とする. COLA, 面積の和 S+T は
-
oh
のとき, BM
[ZIはMM
ELD.

fel 3.
座標平面上の直線 7 の方程式を y= V3c とし, 直線 / とz 軸の両方に接する半径 1 の円の中心を O とする.
このとき O の座標は
(v1.E)
である. 直線 7 と z MEPL C で囲まれる領域内で, 円 C と点 P で接する直線 m ttc 軸と点 A (220) で
交わるとする. 線分 AP の長きは
ap= 3
である. 直線 7 と直線 の交点を B とし, ZACP=a, ZBCP=8 とおく. このとき
tan(e+の=V|セ|
CHS. 線分 BP および AB の長きは
pp-35 js.LタNM
である. ただし, と は正の整数である.
— 紳一

問4.
空間内の 3 点を A(4,—-2,0), B(10.1, 3), C(9,-4,2) EFS.
(a) @= ZBAC とするとき sing= 本 である.
(b) 原点 O から3点 A, B,C の定める平面に下ろした垂線を OP とするとき, AP の座標は

(EBIE2I)

である.
(<) 三角氏 0ABC の 体積は [=] である.
間5.
ELEC, “EL の円が各線 y= Jo? と第 旬限上 P(a $) で接している.点 P における放物
株の接線が, 原点と円の中心を通る直線と平行になるとき
である. Eh, 円の中心の座標は
(PF.s)

である.

(以下余 A)

=i ——

(1) D の概形を描き, そ
（続きは問題PDFで確認できます）