早稲田大学 2009年度 過去問・解答

(1) 第3項 a, を求めよ。
(2) By = Ayr — a とおくとき, dy を ぁ の式で表せ。
(3) 一般項 g。を ヵ の式で表せ。
問2 座標空間内の点O(010, 0, 0), ACO, 0, 1), B(0, 2, V2), Pla, y, z) について,
es ZOAP = [2 であり, ZBOP=9 CHS. CNL A, KROKMCSAL. MAMBO
み記入せよ。
(1) z を y の式で表せ。
(2) y を> の式で表せ。
(3) z の最大値を求めよ。
問3 0から 9までの数字が1つずつ記入された 10 枚のカードがある。この中から 3 枚のカードを同時
に取り出し, それらの数を a, b,c (a>db>c) EL,
s= [° (2*—2b2 + 30) dz
EFS. COLE, 次の各問に答えよ。
(1) S a, b, c で表せ。
( 2 ) S=0 であるためには, a は3 の倍数でなければならないことを示せ。
(3) S=0 となる確率を求めよ。
ーー ゥーー

間4 EDR a, / について,
wae キー
EBC, COLE, 次の各問に答えよ。
a) = の最小値を求め。 ZOLEO a と P の関係式も求めよ。
(2) 等式
の十記三の十刻............@
が成り立つとき, y を > の式で表せ。
(3 ) 等式10が成り立つとき, 2 のとり得る値の範囲を求めよ。
WF & 押
ーー

(1) 点 (g,む0) と N を通る直線と ぐ との交点のうち, N と異なる点の座標を
a, b で表せ。 -
(2) 9を表面とする球は, 平面 エ によって2つの図形に分けられる。このとき,
小さい方の図形の体積を求めよ。
ゃ は1より大きい整数とし。 0<々<こ、0<くりく とする。
cos"x + cos"y ¥ cos” 2% + cos” 2y eyes
(cosz-+ cosy)” ~ (cos 2x + cos 2y)" の大小を判定せよ。
[4] 正の整数ヵ に対して, 集合 11, 2,... , n} の部分集合 M で条件
méeM ならば MgM
をみたすものを考える。このような集合 M に対して M の要素の個数を (7)
とするとき, g(M) の取りうる最大値を /(ヵ) と表す。
次の間に答えよ。
(1) ヵが4の倍数のとき, fn) 25443) が成り立つことを示せ。
(2) が4の倍数のとき, fn) 3+ 73 も成り立つことを示せ。
(33 73 2"や) を求めよ。
(以下余 A)
—5=

ーー 6 一一

(1) 実数> を,.0ミァ<27r とする. 方程式
8costa + 8sintx =5

のすべての解の和は [7] でぁる.

(2) 放物線 ッ=ァ2? 上に2 点 P, Q がある. PQ = 1であるとき, MF PQ と放物線とで
囲まれる部分の面積最大値は | イ | でぁる.

(3) zを0でない実数とする. 。をoz<o十1 をみたす整数とし, >ニー o+りらとする.
ab = 127(a+b) が成り立つときゥ=|ウ| であぁる.

(4) 座標空間において, 点 A(1, 0, 2), BOO, 1, 1) とする. 点P が軸上を動くとき,
AP + PB の最小値は [=] でぁる.

c は実数とする. zy平面上に 2 つの直線
y = gz十2q2
ay=r+a?+a
がある. このとき, 次の問に答えよ.
(1) 2つの直線の共有点を求めよ.
(2) 2つの直線の共有点の集合を 4 とし,
B={(e,y)| -1$¢80, 0SyS1}
とする. 4n が空集合でないような, a の値の範囲を求めよ.
PSR f(x) は, 次の条件 (1), (i) をみたしている.
(i) 0ミSz<1 のとき, 了7 =
(ii) 任意の実数 z に対して, f(et1) =ニナ(2)十322二3z
COLA, 次の問に答えよ.
(a) iG) を求めよ.

(2) ICs) を求めよ.
(3) f(x) + f(-a) を求めよ.
(以下 余 A

(1) ヶニテア(z) のグラフをかけ。
(2) ヶ=g(z) がターニア(z) に接するとき, b を g を用いて表せ。
(3) すべての実数 z に対して f(x) S g(x) が成り立つための a, 2 の条件を求め
to Ek, この条件をみたす領域を gp 平面上に図示せよ。

(4) (2)において, ヵ>0 のとき, y=fK(x), y=G(2) のグラフと直線ァ=ニ0 で

囲まれた部分の面積 3 を a を用いて表せ。
ク

1 から 10 までの整数が 1 つずつ書かれた 10 枚のカードから同時に 3 枚取り出す。
取り出さきれた3 枚のカードに書かれた整数を小さい順に a, 5, c ETA. KROME
そよ。
(1) a, b, c がすべて偶数である礁率を求めよ。
(2) aXbXc が9の倍数となる確率を求めよ。
(3) ヵ十c生9 となる確率を求めよ。
(4) c-a=khk (ぁ三2, 3,..., 9) となる確率を を を用いて表せ。
(5) can (ヵ 2, 3,..., 9 ) となる確率を ヵ を用いて表せ。

ニン ー=

OStS1, —P S057 とする。 BEPMLOA (cosd sind) i 3H% 1

の直線と y 軸の交点をBとする。また原点0とAを結ぶ線分0Aを7:1一, に内分す
る点をP とする。 次の問に答えよ。
(1) AB, Pの座標をそれぞれ『 と 9 を用いて表せ。
(2) 線分BPの長さを 2? とする。?2” を t, sin20, cos29 を用いて表せ。
(3) ある7 (0ミ?ミ1) HLT, 9が一生ミミ の範囲で変化する。この

とき, 2 の最大値を : を用いて表せ。
(4 ) (3)の 2? OR Ke L(t) とおく。 0ミミ7ミ1 における L(t) の最大値を求

wk,

(以下余 A)

この真は下害きに使用してよい
ーー 6 一

この真は下書きに使用してよい

(1), 3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19)....・
ニーミ4 ーー

【開2 】 = 5+3: とするとき, 2ぷー204+68ゼーママ+10x-83 の値は| ウ |
CHS. ただし, 』 は虚数単位とする.
ーッーー

【問3 】+を整数とするとき, 4.5“の整数部分が6 桁の数となるようなxの中
で最大のものは| エ |である. KEL, log 2 = 0.3010 , log,。3 = 0.4771 と
する。

ニー ーー

【問 4 】三角形OAB は OA =OB =6の二等辺三角形であり, LAOB = 30° と

する. 辺 AB の三等分点のうち, 点Aに近い方の点をP, 点B に近い方の点

をQ とし, ZPOQ = e とする. COLE, 線分PO の長きは | オト ヵ |

CH), 線分OP の長きの2乗は| キ |+| ク |V3である. Er, tana の値は
ーーウー

[35] (1+ェx+や)? を展開したときの の係数は| サ | である.
= ーー

【問 6 】 一辺の長きが。 の正四面体 P。 から, 各辺の中点を結んでできる立体
(正八面体である) を取り除いて立体 ア, を作る. この 」 は4個の正四面体
で構成される立体となる. 次に, この立体 P」 を構成する 4 個の正四面体のそ
れぞれについて Py から ア」 を作ったのと同様の操作を施して, 立体 。 を作
る. この立体 。 は 16 個の正四面体から構成される立体となる. 以下同様に
Pa, Pr を作る. このとき, 立体 。 の表面積は 、| シ Ja であり, 体積は
— @ となる. ただし, | セ | はできる限り小さい自然数で答えること.

[Fi 7 】空間内に 3 点 A(1.0,0), BO, 2,0), C(0,0,3) がある. 原点Oから三角形
ABCへおろした垂線の足をH とするとき, Home (GF 17)
ERS. REL, | ソ |は正の数とする.

ーー 0デー

(1), 3,5), (7,9, 11), (13, 15, 17, 19),...・

【問2】 =5+37 とするとき, 2x5 -20x4+ 68-7 + 10x- 83 の値は| ウ |
である. ただし, 7 は虚数単位とする.

【問 3 】 x を整数とするとき, 45*の整数部分が6 桁の数となるようなxの中
で最大のものは| エ | である. ただし, logi。2 = 0.3010, logi。3 = 0.4771 と
$B.

—¢—

【問4 】三角形 OAB は OA = OB = 6 の二等辺三角形であり, ZAOB = 30° と
する. 辺 AB の三等分点のうち, 点Aに近い方の点をP, 点 B に近い方の点
をQ とし, POQ=akFS. このとき。 親分PO の長きは JF |- fF]
であり, 線分OP の長さの2乗は| キ |+| ク |Y3 である. また, tana の値は
[413-[2]
CHS.

ーッ デー

【問5】 (4x42) を展開したときの の係数は| サ |である.
— s ーー

【問6 】 一辺の長さが の正四面体 。 から, 各辺の中点を結んでできる立体
(正八面体である) を取り除いて立体 , を作る. この P は4個の正四面体
で構成される立体となる. 次に, この立体 , を構成する4 個の正四面体のそ
れぞれについて Py から P, を作ったのと同様の操作を施して, 立体 P。 EVE
る. この立体 ち は 16 個の正四面体から構成される立体となる. 以下同様に
Pa, Pr を作る. COLA, 立体 。 の表面積は | Ja? であり, 体積
SSP ERS. ただし, | セ | はできる限り小さい自然数で答えること.
a

【問 7 】空間内に3 点 A(1.0.0),B(0.2,0), C0,0,3) がある. 原点Oから三角形
ABCへおろした在線の足をとするとき, HOMME (FIFI)
となる. KEL, [| ソ | は正の数とする.
—10 = \
a ( ニュッン

(1) 関数
f(a) = 2 42-*
はヶ=| ア | のとき, 最小値| イ ] をとる. また, 関数
g(a) = 87 +8-* — 4(47 +4-*)
は
s+ ((3]+ y[])
のとき, 最小値 | | をとる.
(2) 放物線サー gute と円 (なー10? + (y +1)? = 2 の両方に接する直線は
IEIE2IE|
である. ただし, | カ| <| | <[コ| とする.
ーー 4 一

間2.
次のようなコインをヵ 回投げるゲームを行う. ゲーム開始時の持ち点は0 点とし, 1 回投げるごとに持ち点は表が
出ると1 点増え, BOWS 1 点減る6.ゲーム開始時から終耳時までの最大の持ち点を 点とする.
(@) =2 のとき, m=1 EE
(b) =3 のとき, rx の期待値は ーーー CHA.

」
(<) n=5DER, m さく2 となる確率は ニー CHS.
(@) =7のとき, mこ4 となる確率は TE CHS.

問3.
点Pは円 22のニ4上の第1旬限を動く点であり, 点Qは円2上 =16上の第2 象限を動く点である. ただ
L, 原点Oに対して, つねに ZPOQ=90° であるとする. EK, 点Pからz 軸に垂線 PH を下ろし, 点Q から
軸に垂線 QK を下ろす. さらに9=ンPOH とする.
(a) 四角形PQKH の面積は tnd =| タ | のとき, 最大値| チ | をとる.
(b) 三角形 QKH の面積は
viz)
un LIV Led.

DER, 最大値
回(Ez
をとる-
= 6 ew

fal 4.
BI {an}, {bn} はともに公差 2 の等差数列であり, MHay & by bay < を満たす. SS (CBA {en}, {dn} を
n= lak, dn= by (m=1, 2,3, +++)
ia it
EFS, 座標平面上で点 An(dn, Cn) と点 Bu(bns dn) は, すべて放物線 Cry = pe? toe tr LEDBEFS.
REL, p,q, 7 は定数である.
1 1
ニー = である.
(a) P 回| q
(b) r=0028, a =[%], 4 =[7] でぁる.
(<) BF A.B, と放物線 ぴで囲まれた図形の面積を 5, E44. 5』 一9 のとき, r=[A], So=[E] である-
以下余 A

ーー 8 @A) —

ーー 9 (余白) —

ーー 10 (余白) —

(1) 直線 と直線 。 の方程式を求めよ。
(2) 3 点 P, Q, R の座標を求めよ。
(3) S(a) を求めよ。
(4) S(a) を最小にする a を求めよ。

[下 トランプのハートとスペードの 1から 10 までのカードが1 枚ずつ総計 20 枚
ある。 1.2......... ,10 に対して, 番号 ? のハートとスペードのカードの組
を第 ? 対とよぶことにする。 20 枚のカードの中から 4 枚のカードを無作為に
取り出す。 取り出された4枚のカードの中に第 ? 対が含まれているという事象
を 4, で表すとき。, 以下の問に答えよ。

(1) BR A, が起こる確率 (4) を求めよ。
(2) 確率 ア(4 n 4。) を求めよ。
(3) 確率 P(4jU4。U4。) を求めよ。
(4) 取り出さきれた4枚のカードの中に第1 対, 第2対, 第3対, 第4対, 第5対,
第6対の中の少なくとも 1 つが含まれる確率を求めよ。

[V] 以下の問に答えよ。
(1) 半径 r の円に内接し, 1 つの対角線の長さが 7 であるような四角形の面
積の最大値を y と 1 で表せ。
(2) 半径7 の円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。
(3) 空間内の点 O を頂点とし, 四角形 ABCD を底面とする四角雛 (すい) が
OA=OB = OOC = OD = 1 を満たしているとする。そのような四角雛の
価積の最大舘を求めよ。
[V] 実数p>0に対して.
f(a) = e@D2_ es
とおく。 以下の問に答えよ。
(1) (<) が最小となる > OB s, GRY, y = f(x) のグラフを描け。
(2) tn
a(t) = / fla)e*ae
EBS. g(t) が最小となる t の値 。 を求めよ。
(3) 0 <pく1のとき。
Ba at phage
1+5 きっ ミ 1+ gt?
が成立することを用いて右側からの極限 lim, (ty — 5p) ERY Lo
po
以下余 Al
a

このページは下書きに使用してよい。

このページは下書きに使用してよい。

(1) ABCD の面積は
ァMィ
CHS.
(2) BE = oBC+ BBD, 0Sa, 0Sミ8 1Sat+fS2THANZAP が動く領域の面積 9
は
=——S
である.
(3) BH = sBC+tBD を満たす 5, tit
ee 4 7-12
回
である.
(4) 四面体 ABCD の体積は
である.
—#-—

問2.
(1) 右の図のように, 東西に等間隔に 5本, 南北に等 北 T
間隔に 5 本の道がある. 東西南北すべての区画の
長さは同じで正方形のマス目を作っている. ロボッ
トAは8地点から工地点まで最短距離の道を等速
で行くようにプログラムされ, ロボットBはT地 | | | |
点から 8 地点まで最短下離の道を等速で行くよう 西 3 se
にプログラムされている. ロボット A とロボット | | | |
B は相手の動きに影響を受けないが, ただし同じ
地点で会うとこれ以上進むことが出来ない. ロボッ
トA とロボット B の速度は同じである. 各地点で
最短距離で行くために選べる道が一つ以上ある場 S 責
合, どの道を選ぶかは同様に確からしい.
(@) ロボットAが8地点から出発して R 地点を通って中 地点まで行く最短下離の道順は
CHS. ただし, ロボットBの動きは考えない.
(i) ロボットBが地点から出発して4 区画進んだとき R 地点にいる確率は
である. REL, ロボット Aの動きは考えない.
(iii) ロボットAは58地点から. ロボット Bは地点から同時に出発して, ロボットAが
THAIS, ロボット Bが8地点に共に到達する確率は

である.
(2) 数直線上に 35 以下の自然数を座標とする点が35 個並んでいる. 同じ点を選ぶことを許して,
最初に選んだ数を m とし, 2番目に選んだ数を とする.
(i) |m—n[ S3である場合の数は
回EID
である.
(ii) m+n = 31H |m—n| ミ 3である場合の数は
[=] 3] * fa»
である.

問3. 方程式
0 ggl=ァ+
の実数解について考察する. ただし, ょは実数の定数とする.
(1) 方程式 () が異なるちょうど3個の実数解を持つようなたの値は,
ね=|ナ| または »- EVE!
である. ただし, <td.
(2) k=k, DLA, (11) の 3 個の実数解は
YS eS ee
である. ただし, >」 <ag<23 とする.
(3) ね <* < DER, (tf) の実数解の個数は | マ | 個である.
Wl 下 余 回