藤原進之介です。このページでは上智大学1995年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とする。
における の最小値を、定数 の値で場合分けして求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2次関数の最小値を「軸の位置で場合分け」する型。平方完成して軸を見つけ、それが区間のどこにあるかだけを問う——場合分けの根拠はこれ1つです。
1. なぜその一手を選ぶのか
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 4 は、前3項がそのまま (x − a)2 なので f(x) = (x − a)2 + 4 。軸は x = a、頂点の y は 4 と一目で分かります。
下に凸の放物線の最小値は、軸が区間の中にあれば頂点、外にあれば近いほうの端で取ります。だから場合分けは「軸 a が 1 より左か、1 以上 3 以下か、3 より右か」の3通りだけ。グラフを3枚描けば終わりで、計算はほとんど要りません。
2. 解答
- 平方完成：f(x) = (x − a)2 + 4 。軸は x = a 。
- (i) a < 1 のとき（軸が区間の左外）：区間内では単調増加なので、最小は左端 x = 1 。f(1) = (1 − a)2 + 4 。
- (ii) 1 ≦ a ≦ 3 のとき（軸が区間内）：頂点が区間に入るので最小は頂点の値 4 。
- (iii) a > 3 のとき（軸が区間の右外）：区間内では単調減少なので、最小は右端 x = 3 。f(3) = (3 − a)2 + 4 。
答え： a < 1 のとき (1 − a)2 + 4 ／ 1 ≦ a ≦ 3 のとき 4 ／ a > 3 のとき (3 − a)2 + 4
3. 検算
境界で繋がるか見る：a = 1 を (i) の式に入れると (1 − 1)2 + 4 = 4 で、(ii) の値と一致します。a = 3 でも同様。場合分けの答えは境界で必ず一致するので、ここがズレたら立式ミスです。この確認を省くと、不等号の向きを1つ間違えたまま提出することになります。
この型の一般化：「軸が動く・区間が固定」なら軸の位置で3分割、「軸が固定・区間が動く」なら区間の位置で3分割。最大値を聞かれたら分け方が変わる——下に凸の最大は区間の両端のうち軸から遠いほうなので、境界は区間の中点と軸の大小になり、2分割です。最小と最大で場合分けの境界が違うことを混同しないでください。第6章 関数で整理しています。
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上智大学 1995年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 整数
- 確率・場合の数
- 空間図形
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
この年度の出題範囲と傾向
1995年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、整数、確率・場合の数、空間図形に関する語句や設問を確認できました。上智大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、整数は24年度、関数・グラフは24年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分、空間図形、図形・三角関数、方程式・不等式
(1995 年度)
1 数 学 問 題
(この問題冊子は 5 ページ, 3問である。)
「受験についての注意」「マークによる数値解答欄についての注意」が、次の2. 3
ページにある。試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。
受験についての注意 王還環間間陣間間間間間
1 1、監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。
2. 筆記具は, HBの黒鉛筆に限る。
万年入・ポールベン・シェャーブベペンシルなどを使用してはいけない。 時計に
組込まれたアラーメ機能, 計算機能, 辞典機能などを使用してはいけない。
3. 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し氏名を記入すること。
4, 次に解答用紙の右便のミシン目にそって, きれいにた折り曲げてから, 受験番
号と氏名とが書かれた切片を切り離し, 机上に置くこと。
5. 次に, この問題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめること。
6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマー
ク棚をHEBの黒鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
7. マークをするとき, 棒からはみみ出したり, 枠のなかに白い部分を残したり,
文字や番号, 枠などに〇やXをつけたりしてはならない。
8. 訂正する場合は, 消しマムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。
9. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはいけない。 採点が不可能になる。
10, 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。
11. 試験時間中に退場すみことはできない。
12, 問題冊子, 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。
QO この問題周子の余白を計算用紙として使用してよい。
MM マークによる数値解答棚についての注意
解答欄の各桁の該当する教値の揃にマータクせよ。その際, はじめの桁の数が0
のときゃも, 必ずマークすること。
符号欄がもる うけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマークタせよ。
( 0 または正数の場合は, 符号摘にマータクしない。)
分数は, 巡約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。
根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の平方でもちりきれないものとす
る。
解容が所定欄で表すことができない場合,あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各桁の杉とも*にマークせよ。(符号杉がもうけられている場合, 一 に
はマークタしない。)
CREAR 73
-1/0123456789* |0123456789%
0/|/@#0000000000/00000008000
CMSA 一26]
0123456789* |0123456789%
00W00000000|19000000W0000 |
[解答表示例]
ae こあては 合 とする。
a
FT
0 を, にあてはめる場合 == とする。
L_| 回
ry | a ae = ーー
ーーを H y| 」 cocunaae ft y [3] et
ee
[1] SACKOKNCSLSHSOEMS, S。, S。 がある。
Sdy叶みーーォーー:4
S,:2x+y+2z=10
S3i ax + by + ez = 16
{1) Sy, S。 の交線の方程式は
Paes y+([7] 2+[7]
Cc
である。 Saがこの直線を含み, 点(2, 2, 一2)を通るならばgー
[+]. o=[4], c=[+] cas.
(2) 5S。が点(2, 1, 一6) を通り, S, SOMAKBRTARSWa=
[7]. o=[*], e=[2] cas.
(3) Si, Sey Ss に共通の点がないための必要十分条件は
[v]e+[v]o+e=0, [alot [%]oxs
である。
ze a, の2 b, be
行列4 = ( ) , B= ( ) は次の 3 つの条件をみたす。
az Gas し月 bs
(i) A+B=E
i) $(4B+BA) =B-A+E
fi) A*E, おキー
ここで, EMT AewRt,
(1) る* = |を+ [z]a+ が成り立つ。
(2) a キ0のとき, aata= | > | <ぁs。
(3) ga。=ニ0のとき。, ぁ=|テ|. a=[* | または a=[>], a=[=|
である。
ただし < |テ |とする。
[=]
(gs は a === ole BAM es, core = SS
である。
空間に点CC1。 一3 0) を中心とし, ¥RSVTOMMSLAPC-7, 3,
10) が与えられている。
Q) PとS上の点Aを通る直線がSK接するとき,線分PAの長さは
J [ょ|<ぁs。 線分 PA を直線 PCを軸として回転してえられる円
氏の側面積は | < | x である。ただし, ァ は円周率を表す。
(2) S 上に点Q(一8, 0, 5) がある。PとQを通る直線が S と交わる点のうち
Q と異なる点をR とすれば, 線分PR の長きは [=] <2.
1 数 学 問 題
(この問題冊子は 5 ページ, 3問である。)
「受験についての注意」「マークによる数値解答欄についての注意」が、次の2. 3
ページにある。試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。
受験についての注意 王還環間間陣間間間間間
1 1、監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。
2. 筆記具は, HBの黒鉛筆に限る。
万年入・ポールベン・シェャーブベペンシルなどを使用してはいけない。 時計に
組込まれたアラーメ機能, 計算機能, 辞典機能などを使用してはいけない。
3. 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し氏名を記入すること。
4, 次に解答用紙の右便のミシン目にそって, きれいにた折り曲げてから, 受験番
号と氏名とが書かれた切片を切り離し, 机上に置くこと。
5. 次に, この問題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめること。
6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマー
ク棚をHEBの黒鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
7. マークをするとき, 棒からはみみ出したり, 枠のなかに白い部分を残したり,
文字や番号, 枠などに〇やXをつけたりしてはならない。
8. 訂正する場合は, 消しマムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。
9. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはいけない。 採点が不可能になる。
10, 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。
11. 試験時間中に退場すみことはできない。
12, 問題冊子, 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。
QO この問題周子の余白を計算用紙として使用してよい。
MM マークによる数値解答棚についての注意
解答欄の各桁の該当する教値の揃にマータクせよ。その際, はじめの桁の数が0
のときゃも, 必ずマークすること。
符号欄がもる うけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマークタせよ。
( 0 または正数の場合は, 符号摘にマータクしない。)
分数は, 巡約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。
根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の平方でもちりきれないものとす
る。
解容が所定欄で表すことができない場合,あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各桁の杉とも*にマークせよ。(符号杉がもうけられている場合, 一 に
はマークタしない。)
CREAR 73
-1/0123456789* |0123456789%
0/|/@#0000000000/00000008000
CMSA 一26]
0123456789* |0123456789%
00W00000000|19000000W0000 |
[解答表示例]
ae こあては 合 とする。
a
FT
0 を, にあてはめる場合 == とする。
L_| 回
ry | a ae = ーー
ーーを H y| 」 cocunaae ft y [3] et
ee
[1] SACKOKNCSLSHSOEMS, S。, S。 がある。
Sdy叶みーーォーー:4
S,:2x+y+2z=10
S3i ax + by + ez = 16
{1) Sy, S。 の交線の方程式は
Paes y+([7] 2+[7]
Cc
である。 Saがこの直線を含み, 点(2, 2, 一2)を通るならばgー
[+]. o=[4], c=[+] cas.
(2) 5S。が点(2, 1, 一6) を通り, S, SOMAKBRTARSWa=
[7]. o=[*], e=[2] cas.
(3) Si, Sey Ss に共通の点がないための必要十分条件は
[v]e+[v]o+e=0, [alot [%]oxs
である。
ze a, の2 b, be
行列4 = ( ) , B= ( ) は次の 3 つの条件をみたす。
az Gas し月 bs
(i) A+B=E
i) $(4B+BA) =B-A+E
fi) A*E, おキー
ここで, EMT AewRt,
(1) る* = |を+ [z]a+ が成り立つ。
(2) a キ0のとき, aata= | > | <ぁs。
(3) ga。=ニ0のとき。, ぁ=|テ|. a=[* | または a=[>], a=[=|
である。
ただし < |テ |とする。
[=]
(gs は a === ole BAM es, core = SS
である。
空間に点CC1。 一3 0) を中心とし, ¥RSVTOMMSLAPC-7, 3,
10) が与えられている。
Q) PとS上の点Aを通る直線がSK接するとき,線分PAの長さは
J [ょ|<ぁs。 線分 PA を直線 PCを軸として回転してえられる円
氏の側面積は | < | x である。ただし, ァ は円周率を表す。
(2) S 上に点Q(一8, 0, 5) がある。PとQを通る直線が S と交わる点のうち
Q と異なる点をR とすれば, 線分PR の長きは [=] <2.
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、整数、関数・グラフ
(1995 年度)
4 数 学 fl a
(この問題佑子は 6 ページ, 3問である。)
「受験についての注意」「マークによる数値解答棚についての注意」 が, KOZ, 3
ベージにある。 試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。
受験についての注意 王還環昌昌間間昌間間間開
1. 監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。
2. FAI, HBの黒鉛筆に限る。
万年等・ポールベン・シャープベンシルなどを使用してはいけない。 時計に
組込まれたアラーム機能, 計算機能, 辞典機能などを使用してはいけない。
3. 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し, 氏名を記入すること。
4, 父に解容用紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番
号と氏名とが書かれた切訂を切り離し, 机上に人思くこと。
5. 次に, この問題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめぬめること。
6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマー
ク棚をHEBの黒鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
い。
7. マークをするとき, 枠からはみみ出したり, 枯のなかに白い部分を残したり
文字や番号、枠などに〇やべXをつけたりしてはならない。
8. 町正する場合は, 消しアムでていれねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。
9、解容用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはいけたない。採点が不可能になる。
10, 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。
11. 試験時間中に退場すねことはできない。
12. 問題冊子 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。
この問題冊子の余白を計算用紙として使用してよい。
MN = マークによる数値解答欄についての注意
解答拉の各桁の該当する数値の揃にマークタせよ。その際, はじめの桁の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもる うけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマータせよ。
(0 または正数の場合は, FSWT 7 Leet.)
分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1とする。
根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の平方でもりきれないものとす
is
解答が所定欄で表すことができない場合、 あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各桁の柳とたもふ*にマークせよ。(符号拉がもうけられている場合。 一 に
はマークタしない。)
(MSA 7]
i
= Passa eS BS Bo 0123456789 *
0} @#0000000000 | 00000000000
[解答記入例 — 26)
| 10 の 軸 _ 1 の 。 桁
a 0123456789%
@)/ 00000000000 | 000000800000
CHAKA)
ーーを ee
| | 回
Ox, 一にあてはめる場合 —— tT,
ーー - Ed aa
v3 fe ‘J — P = i 24
の Tr | 4 にあてはめる場合 [ey¥ [3 とする。
[1] 」
2 6
11 A= 回 は逆行列をもたない。このとき
2 |]
°
A+ A?+ Ad + At + AP =6)1-— A
である。
回 っ 回
(9 B= we) Bo! = をもつ。
2 5
AEお は 2が十| ヶ| を| =| *0 ならば凶行列をもつ。ここでをは
定数。ぢ は単位行列である。
コー (E+ お)ニー (E+ BY! が成り立つ。さらに
BO(E +B) +(E +B) @E+BY+@E+ BY GELB +
(LIE
E+ BY GE+ By =て である。
双曲線 zyー1 の上に, 3HA CD, BG, b,c, 1) がある。
(1) ABが第3象限にあり, 三角形 ABC が正三角形であれば
EE o=[>]+/[E] CHL a<b<0)
であり, その面積は | * | 。/ は | cH.
(2) 三角形 ABC が ZCニ90'の直角三角形であれば,
a
である。三角形 ABC の面積を S とすると,
s-4|[EJe+ 7| +e |
となる。ただし は正とする。もし S= る がぷ がちog
|*| zzs。
Q) 1次以下のすべての整式g G) EAL [Cat + br +1 gG) =0
となるならぱ, g= | < | , 6=[2 |] cas.
(2) (11で定めた 5に対し
C= flax + ox 4+ Dx dx (n=1, 2,3, se)
とおく。このとき
w+ n+
ロロPaロロ|
である。
3 ぁ=|ラ|とぁ=| 9 | にぉいて,は最大値をとる。 ここで| ぅ<
とする。
4 数 学 fl a
(この問題佑子は 6 ページ, 3問である。)
「受験についての注意」「マークによる数値解答棚についての注意」 が, KOZ, 3
ベージにある。 試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。
受験についての注意 王還環昌昌間間昌間間間開
1. 監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。
2. FAI, HBの黒鉛筆に限る。
万年等・ポールベン・シャープベンシルなどを使用してはいけない。 時計に
組込まれたアラーム機能, 計算機能, 辞典機能などを使用してはいけない。
3. 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し, 氏名を記入すること。
4, 父に解容用紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番
号と氏名とが書かれた切訂を切り離し, 机上に人思くこと。
5. 次に, この問題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめぬめること。
6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマー
ク棚をHEBの黒鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
い。
7. マークをするとき, 枠からはみみ出したり, 枯のなかに白い部分を残したり
文字や番号、枠などに〇やべXをつけたりしてはならない。
8. 町正する場合は, 消しアムでていれねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。
9、解容用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはいけたない。採点が不可能になる。
10, 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。
11. 試験時間中に退場すねことはできない。
12. 問題冊子 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。
この問題冊子の余白を計算用紙として使用してよい。
MN = マークによる数値解答欄についての注意
解答拉の各桁の該当する数値の揃にマークタせよ。その際, はじめの桁の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもる うけられている場合には, 解答が負数の場合のみ 一 にマータせよ。
(0 または正数の場合は, FSWT 7 Leet.)
分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1とする。
根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の平方でもりきれないものとす
is
解答が所定欄で表すことができない場合、 あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各桁の柳とたもふ*にマークせよ。(符号拉がもうけられている場合。 一 に
はマークタしない。)
(MSA 7]
i
= Passa eS BS Bo 0123456789 *
0} @#0000000000 | 00000000000
[解答記入例 — 26)
| 10 の 軸 _ 1 の 。 桁
a 0123456789%
@)/ 00000000000 | 000000800000
CHAKA)
ーーを ee
| | 回
Ox, 一にあてはめる場合 —— tT,
ーー - Ed aa
v3 fe ‘J — P = i 24
の Tr | 4 にあてはめる場合 [ey¥ [3 とする。
[1] 」
2 6
11 A= 回 は逆行列をもたない。このとき
2 |]
°
A+ A?+ Ad + At + AP =6)1-— A
である。
回 っ 回
(9 B= we) Bo! = をもつ。
2 5
AEお は 2が十| ヶ| を| =| *0 ならば凶行列をもつ。ここでをは
定数。ぢ は単位行列である。
コー (E+ お)ニー (E+ BY! が成り立つ。さらに
BO(E +B) +(E +B) @E+BY+@E+ BY GELB +
(LIE
E+ BY GE+ By =て である。
双曲線 zyー1 の上に, 3HA CD, BG, b,c, 1) がある。
(1) ABが第3象限にあり, 三角形 ABC が正三角形であれば
EE o=[>]+/[E] CHL a<b<0)
であり, その面積は | * | 。/ は | cH.
(2) 三角形 ABC が ZCニ90'の直角三角形であれば,
a
である。三角形 ABC の面積を S とすると,
s-4|[EJe+ 7| +e |
となる。ただし は正とする。もし S= る がぷ がちog
|*| zzs。
Q) 1次以下のすべての整式g G) EAL [Cat + br +1 gG) =0
となるならぱ, g= | < | , 6=[2 |] cas.
(2) (11で定めた 5に対し
C= flax + ox 4+ Dx dx (n=1, 2,3, se)
とおく。このとき
w+ n+
ロロPaロロ|
である。
3 ぁ=|ラ|とぁ=| 9 | にぉいて,は最大値をとる。 ここで| ぅ<
とする。
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、微分・積分、空間図形、整数
(1) ELO2K 0,0, 1) と (8 ) を通る直線が xy 平面と交わる点を
(u,v) とすると
gah gs
である。
2) 点 (10 0 D とxy平面上の点 Cw, の を通る直線が戸と交わる点を
(a, b, c)とすると,
El 回. GB 2
a Toa” ta nn” a
である。ただもし
ple] eal coll
である。
(3) (2において点 Ce の が中心 A, 一1) で半径 2 の円周上を動くときの点
Ca, 6, c) の軌跡は平面
EEEESE
上にある。
(4) (1)において, ある平面zと万との交わり上を点 (a, c) が動くとき,
点 tu, v) の軌跡がxy平面内の直線になるための必要十分条件はgが点
(トトルトトラ|) emececas.
(1)
ay
[2 sin tat =P)
ms
である。
また, 2僅角の公式と部分積分を使うと
『 tsin? ¢ dt = == 2?
であることがわかる。 さらに
2, oe us
£ sin ¢ dt =[— Post]? + だ 2teost dt =[ +] x
2 = ir
となる。
(2) 次のように媒介変数表示される曲線を C とする。
本 t—sint
y=l-cost O£+=527)
傾きが1となる曲線Cの接線のC上の接点をP(z, のとすると
ee である。また, 傾きが1であるでCの接線のC上の
接点をQとすると, 線分POおよびCで囲まきれた図形の面積は
ie である。また, この図形を 軸に関して回転して出来る回
転体の体積は | フ | 2+ [+] である。
平面上の原点に碁石を 1 つ革く。さいころを振り, 1 または 2 が出たら差
Be 方向に1 動かす。 3 または 4 が出たら碁石を方向に一1 動かす。 5 ま
たは6が出たら碁石を 方向に 1 動かす。このとき次の問に答えよ。
(1) きいころを4回振ったとき, 碁石が原点にある確率は =ーであり, 碁石
が (1, 1) にある確率は “SS CHS
(2) さいころを 10 回振ったとき。, nn 碁石
,
が (7, 3) にある確率は 3 であり, BAM (5, 1) にある確率は
FE であり, SEER 2 LES ORE I 5あの>
(u,v) とすると
gah gs
である。
2) 点 (10 0 D とxy平面上の点 Cw, の を通る直線が戸と交わる点を
(a, b, c)とすると,
El 回. GB 2
a Toa” ta nn” a
である。ただもし
ple] eal coll
である。
(3) (2において点 Ce の が中心 A, 一1) で半径 2 の円周上を動くときの点
Ca, 6, c) の軌跡は平面
EEEESE
上にある。
(4) (1)において, ある平面zと万との交わり上を点 (a, c) が動くとき,
点 tu, v) の軌跡がxy平面内の直線になるための必要十分条件はgが点
(トトルトトラ|) emececas.
(1)
ay
[2 sin tat =P)
ms
である。
また, 2僅角の公式と部分積分を使うと
『 tsin? ¢ dt = == 2?
であることがわかる。 さらに
2, oe us
£ sin ¢ dt =[— Post]? + だ 2teost dt =[ +] x
2 = ir
となる。
(2) 次のように媒介変数表示される曲線を C とする。
本 t—sint
y=l-cost O£+=527)
傾きが1となる曲線Cの接線のC上の接点をP(z, のとすると
ee である。また, 傾きが1であるでCの接線のC上の
接点をQとすると, 線分POおよびCで囲まきれた図形の面積は
ie である。また, この図形を 軸に関して回転して出来る回
転体の体積は | フ | 2+ [+] である。
平面上の原点に碁石を 1 つ革く。さいころを振り, 1 または 2 が出たら差
Be 方向に1 動かす。 3 または 4 が出たら碁石を方向に一1 動かす。 5 ま
たは6が出たら碁石を 方向に 1 動かす。このとき次の問に答えよ。
(1) きいころを4回振ったとき, 碁石が原点にある確率は =ーであり, 碁石
が (1, 1) にある確率は “SS CHS
(2) さいころを 10 回振ったとき。, nn 碁石
,
が (7, 3) にある確率は 3 であり, BAM (5, 1) にある確率は
FE であり, SEER 2 LES ORE I 5あの>