上智大学 1996年度 過去問・解答

(1996 年度)
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1 数 + fi a
(この問題冊子は 6 ページ, 4 問である。)
「受験についての注意」「マークによる数値解答欄についての注意」 が, 次の2, 3
ベページにある。 試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。

受験についての注意 王還間間間間間間較較

1, 監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。

2, 筆記具は, LEの黒鉛筆に限る。

万年筑・ボポールペン・シャーブベペンシルなどを使用してはいけない。 時計に
MAEHKT 9 — AGRE, 計算機能辞典機能などを使用してはいけない。

3. 試験開始の合図があったら, ただちに解客用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し, 氏名を記入すること。

4, 次に解答用紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番
号と氏名とが書かれた切片を切り了し, 机上に置くこと。

5. 次に, この問題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめること。

6. 解答は解答用紙の各間の選択肢の中か正解と思うものを選んで, そのマー
ク欄をHBの盾鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
い。

7. マークをするとき, 枠からはみ出したり, 枠のなかに白い部分を残したり,
文字や番号, 枠などに〇やXをつけたりしてはならたない。

8. 訂正する場合は, 消しゴムでていねいに消すこと。 消し(ずはきれいに取り
除くこと。

9. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはいけない。 採点が不可能になる。

10. 写真昭合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。
Ll, 試験時間中に退場することはできない。
12, 問題冊子, 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。

© この問題冊子の余白を計算用紙として使用してよい。

Mm マークによる数値解答棚についての注意
解答欄の各桁の該当する数値の拉にマークタせよ。その際, はじめの折の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のムーにマークせよ。
(0 または正数の場合は、 FSWT 7 Liev)
分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。
根号の内は、正の整数であって, 2 以上の整数の平方でもわりきれないものとす
る。
解答が所定欄で表すことができない場合,あるいは二つ以上の答が得られる場
CHOI, 各桁の柚ともにマークせよ。(符号欄がもうけられている場合, 一に
はマークしない。)
[解答記入例 7)
| - ln i2 3』45e?789*|Oo ji2 3 45678 9*
| 0O |人@OOOO0O0O0O000|O000000@O00
〔解答記入例 一26]
(Sieg 10 の Hf 1 ® tf
O23 255° 6 7 8 Sse 0 まま 2 See & 6 7 8.2958
OO人WO0000000|1OO0000@0000
[解答表示例]
| i
ーすを im coon とする
り ’ トー ャ ao °
Deacanene bese.
0を ne あてはめる場合 回 とする
ーーうーを で /| |にあぁてはめる場合 =. [3 ets.
2 ;
ey 回

| 1 | 2 (9 (の (から1つ選んで, 以下の命題を完成させよ。
人1) xyを正の数とする。x キャ>2 であることはァ>1 かつッァッッ 1 である
ための 上
(2) AABC の 3 辺の長さを あ cとする。 (2-H + H-— C2) =0T
あることは AABC が直角二等辺三角形であるための | イ | 。
選択肢 .
(a) 必要条件ではあるが, 十分条件ではない -
- (8) 十分条件ではあるが, 必要条件ではない
(7) 必要十分条件である
(a) 必要条件でも十分条性でもない
ee eee = .
a) Bi y= 22+ py p= [9] cma [=] ee,
lz |
x= [4] ce 1 をとる。
回
(2) 関数
アーイェメー3 ®

DWAR 7 > 2 了 nee
させるともとの関数のグラフにビー致する。

es
#> 0とし, X= 」 | ERS.
a 本
XORFIRMMCLSA ACL, 0), BOO, 1), OC0, 0) の像をそれ
EA, B。O' とする。
1) t=2 のとき, AO A'R の面積は 一 である。
(2) ONE OB のなす角を 9とする。 cos9 = te bit
t=(*]eP]y | ChE. だだも| > | >0 とする。
3) 4 [+] ならばの遂行列 メー が存在する。このときを単位行列とし
ab
s+ ) とおく。g十= 0のとき,
c
Pi.
pote +t /| =| でぁぁ。
pry el

直線 7 の方程式を
Lo 1. Oe ia
ge Se . 5
直線 m OBBRY
ree gs _ wet
=e re 3= 4
とする。
tw) vii xt+[x|yt+[a]et+[7]=0 は直線7に平行で, 直線 m ee
も。
(2) SP (-1, 3, 8) を通り, 直線/ を含む平面の方程式は
[a]et2r+[e]e+ [>] =o
である。点Pを通り, GRILL の両方に交わる直線の方程式は
BED 2 D8 メー8
7 :
である。

(1996 年度)
ms B
4h 学 問 &
(この問題冊子は 6 ページ, 4 問である。)
「受験についての注意」「マークによる数慎解答欄についての注意」 が, 次の2, 3
ページにある。試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。

受験についての注意 王還還昌昌昌昌昌昌還
1. 監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。
2筆記具は, HBの黒鉛筆に限る。

万年筑・ポールベン・シャープベンシルなどを使用してはいけない。 時計に
組込まれたァアラー+ゞ機能,計算機能, 辞典的能などを使用してはいけない。
3, 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し, 氏名を記入すること。

4, 次に解答用紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番
号と氏名とが書かれた切片を切り離し, 机上に置くこと。

5. 次に, この間題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめること。

6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで, そのマー

SMEHBORBRTHY DEFOE, その他の部分には何も書いてはいけな
Ve
7. マークをするとき, 枠からはみ出したり, 枠のなかに白い部分を残したり
文字や番号, 枠などにつやXをつけたりしてはならたない。

8. 訂正する場合は, 消しゴムでていねいに消すこと。 消してずはきれいに取り
除くこと。
9, 解答用抵を折り曲げたり, 破ったりしてはいけない。 採点が不可能になる。
10. 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。
11. 試験時間中に退場することはできない。
12, 問題冊子, REAM, 計算用紙を持ち帰ってはならない。
© この周題氏子の奉白を計算用紙として使用してよい。

MM マークによる数値解答杉についての注意
解答揃の各折の該当する数値の欄にマークせよ。その際, はじめの桁の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみーにマークせよ。
(0 または正数の場合は符号握にマークしない。)
分数は, 既約分数で表し分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。
根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の整数の平方でもりきれないものとす
る。
解答が所定欄で表すことができない場合,あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各桁の揃とも*※にマークせせよ。 (符号欄がもうけられている場合, 一に
はマークしたない。)
(解答記入例 7)
Ea 10 の #7 1 © if
;o [O02 23 FS CT RTF HO LSS tS EF SE DS
)O |/@000000000 0/00000008000
[解答記入例 一26]
符号 | 10 の Hi | 1 © ti
ー 101234667 8 $@/O012345678 9 ネ
@ |OO@WOOOOOOOOIOO0000WOO000
[解答表示例]
ー を, で たにあてはめる場合 三才 とする。
L|
Co 回
0 を, ipa, fy] とする。 -

{
oe, MP ロロEE

[1] 3x7tex
P4+20.e—-D4—3e— Dx a6 =0
は, @がどんな値でも x= | 7 | を解とする。この方程式がちょうど 2 つの異
なる解をもつようななの値は全部で| 4 | 個である。
& —%
mm a=(‘ : ) (b>O とし, を単位行列とする。
| ッ + |
ee eee eee
Ba
@ @=4, b= 48 のとき, ame ) gw =

El aie

Mh 4 点 AGVS, 一3. 0), BO, 6 0, CC-373. -3, 0,

DO, 0, 15) がある。

w Ho, 0 {x ],/ ) (| x] > の を=軸上の点とすると。
AH = AB である。

(2) 3点A, C, Dを含平面の方程式は

レトュ|+ [| 2-15 =0

である。

(3) PR a: v3 x+y—22+18=0
と直線 AD, BD, CD との交点を, それぞれP, Q R とすれば, P の座標は
(lg [2 ]) waraogen [>] /[=],
三角形 PQR の面生は [=| “f である。

[4] Paton 1. 3) iy, 傾きがお?である直線と放物線 yニメ LOR
点を Ax, 91), Br v2) とする。
(1) nta=[7]e+[>], ティ = Ca es ids
(2) #3 ABORSKILTSL,
re fale eee (ler)

である。したがって, 7 は t= [=] のとき最小値をとる。

(3) この直線と放物線 yーx" が囲む部分の面積を S とすると,
(shoe) BI
である。

(1) 0を原点とすると, 直線 7 上の点Sは OS = OP +4 PQ とパラメータ
表示できる。/ と球の交点が満たす# の条件を求め 次7が球と一点でしか
交わらないことを利用して QCr, ヵ) の軌跡を* との式で表わせ。またこの
軌跡で囲まれる部分の面積を求めよ。

(2) へPCQ が動いてできる立体図形の体積を求めよ。

RG), Px), Plz) を各々 0次, 1k, 2次の多項式とし, 次の条件がた
されているとする。
(条件 1) n=0, 1, 2に対して次の式が成り立つ。
1 _ 2
ナ geo = テ全
(条件 2) om, n=0, 1. 2に対して, もしも 娘まみならば次の式が成り立つ。
J agG) な=0
a cozen@=(7]x+[4]
BY) == 8 + se +
[el [a]
である。ただし, 最高次の係数は正数とする。
(2) Cy Cy A, BERKEL, n=1, 2に対して
Pa) = Cu BE Ga + AG + BY
が成り立っているとする。4 >おとすると4ニ|ヶ|,gー [=| である。

f@ aoe, g(x) ェ そっーー
とおく。
(1) ROKK YW,
ア(x) = eG), £G) =f).
[+] swt [ey] erat
(2) 4を実数とする。 方程式
2fO) -—38g0QD =A
BIERM x を持つための必要十分条件は 4 < | x | が成り立つことである。
(3) xy平面たおいてャニアGO のケラフをCとおく。 CREMEL, (a
fla)) で表わされる C 上の点をP, P における C ORM Bx the RDS
Se Q P を通り 7に直交する直線がァ軸と交わる点をR とおく。
三角形 PQR の面積は
gl
pp
のとき最小となり, その最小値は
Ragy
である。

[4] 谷の中に何者かれていない3枚のカードが入っている。舞作為に 1枚のカー
ドを取り出し, そのカードに丸印をひとつつ書き加え, 再び袋にもどす, LV OR
作を, 袋の中のすべてのカードに1 個以上の丸印がつけられるまでくり返す。こ
のとき, ょ回目の操作で終了する確率を P, とする。
=, a 一般に

2ユー | x
回
(2) この操作がを 1 回以上続く確率を OQ。とすれば
24一| へ
回
(3) ぁ回目の操作の後, まだ丸印ひついていないカードがあることがわかった。
このとき, つぎの操作. つまりょ十1 回目の操作で終了する確率は
である。

(1) ad— bc #0 であることは, x, ッ人関する連立方程式
ax + by =2
に +dy=-1
が解をもつための |z |
2) m, みを整数とする。, がともに3の倍数であることは m+ nw? が3
DICH BIO [4] r
選択肢
Ca) 必要条件ではあるが, 十分条件ではない
Cg) 十分条件ではあるが, 必要条件ではない
Cr) 必要十分条件である
Cd) 必要楽件でも十分条件でもない
() EO 2KHRK + Cat Dt-1@— 44-3) =0 が異なる2つの
HEAR % OTe OMIE+-S SEL
である。ただし, 。は実数とする。
(2) 00, 0), AG, 9, BU, め を頂点とする三角形 OAB が直角三角形に
なるょの値は | 7 | 個ある。 communes rout eae,
EE nae

ー1 な >
a>0 とする。 rial a=( , ‘) で表される一次変換を/ とする。
W) 了が点 一1) を点Qた移し, 点Qを点 14 一4 に移すならば
4= | ぇ|. o=[*] cas.
2) 全平面の/による像が直線ッニテャであるならばg=|ッ|,
sth eos.
[4] BH Sixt + yt Ge— a) =3 LF aint y+2=0 がある。
W $と々が接していればる= | ッ | である。 ただし, | ッ| >0 とする。
2) EP Gy yy 2) Karty HF という条件を満たしながら平面々の上を
動いでいる。このときぇの最大値は| テ| / | +| であう, 最小値は
ロロ
また, a=([7] のとき, Sと。の接点Aの座標は (| >|. *|,
[7 ]> ca», pat= [A] +[e]2+[7] eas. =ー| > |
のときのSと。の接点を B とすると PA+ PB= [~] cs.

(1) 直線 2ァxエャー4= 0 のげによる像が, 直線*十4y十4=ニ0 ならぱば,
at+[+]o+[»]=0 b+ | + | が成り立っ。
Q) ARMA ASS, 4=4! Mbit, a=(7], b=[7] でぁ
る。
PAR y =3sinx +2cos'x (L OSx 52K ince. ピート
weit |v | をとる。

f@) =|2¢-9] ETS,
(1) y=fQ@) OFF 7EHR y=xt+3 CHEHKRNBODDS ySxt+3
omMcd serous | > | でぁる。
(2) 方程式 /GCC)ニ=ニー2ァx十んが相異なる 4つの実数解をるつための必要十分
条件は | さ | くんく [7] である。
このとき, 4 つの解を a, あみ c のとすると,
bed + cd 填 dab+abe= | e+ [+]
である。 ただし, as b<c<d である。
[S] |x+2|+|x-2| sc をみたす点Gr ») の全体は ある長方形の
内部および周であり, この長方形の面積は [7] である。
12 の=(G のIGGー2の:すのー8* ミ5) ETS. A, y) がのを動
くとき, トド-す| の最大値は | > | + [+] / [>| でぁ
り, 最小値は 回 である。

(1996 年度)
を =)
6 数 学 fH &
(この問題冊子は 7 ページ, 4問である。)
「愛験についての注意」「マークによる数値解答欄についての注意」 が, 次の2, 3
ベページにある。試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。

受験についての注意 還還還昌昌昌間間間了

1, 監督の指示があるまで, 問題冊子を開いてはならない。

2. FA, HBOMMRICRA,

FR KAMAL Ye -—ARYY NEE RIAL TVs, MER
組込まれたアラート機能, 計算機能, 辞典機能などを使用してはいけない。

3. 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し, 氏名を記入すること。

4, 座に解答用紙の右側のミシン日にそって, きれいた折り曲げてから, BRE
号と氏名とが書かれた切片を切り離し, 机上に置くこと。

5. KIC, この問題冊子が, 表紙に記したページ数どおりそろっているかどうか
確かめること。

6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中か正解と思うもゃのを選んで,. そのマー
ク揃をHEBの黒鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
い。

7. マークをするとき, EPORABLED, 枠のなかに白い部分を残したり,
文字や番号,枠などに〇やXXをつけたりしてはならかない。

8. 訂正する場合は, 消しゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。

9. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったりしてはいけない。 採点が不可能になる。

10. 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げばること。
11, 試験時間中退場することはできない。
12, 問題冊子, 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。

この問題冊子の余白を計算用紙として使用してよい。

Mm マークによる数値解答棚についての注意
解倫接の各桁の該当する数値の拉にマークせよ。その際, はじめの拓の数が0
のときも, 必ずマークすること。
符号欄がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみーにマークせよ。
(0 または正数の場合は, 符号欄記マークしない。)
分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。
根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の乏数の平方でもりきれないものとす
る。
解答が所定欄で表すことができない場合, あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各拓の揃とも*にマークせせよ。 (符号柚がもうけられている場合, 一に
枯さータもがかがい。2
[解答記入例 7)
3 10 Hf 1 の Hf |
ーー 1だ 23 ae FG PE SF Mi Leo eB oR & Of oe
O }®@0000000000/0000000 8000
〔解容記入例 —26)
符号 10の桁 j 1 © 桁
ー 10123456789 *1/0123<45 678 9 #
@ |OO@OOOOOOOO|IOOOO0OO@OO0O0O
(解答表示例〕 ー
_s。上1 ト
2 を, にあてはめる場合 とする。
i 回
0 を, 1 回 とする。

ーーたを Poem eee ate iy 1 lei
=

次の| 7 | から| + | に当てはまる数値を答えよ。ただし, a は円周率とする。
[1] @ 略1 のの中の文字 b ...。 プはすべて数を表わし, その数の 2
RAC 1 を加えた値は, 線分でつながっている隣の数の和に等しい。たとえば
24二1=ニ5 25二1=ニog十c である。cを4およびとで別々に表わせば,
e=[7]as@on, a=([4], ¢=[>] En.
図 1
(2) 図 2 の丸の中の文字 ay ...。 aig は(1)と同じようにすべて数を表わ
し, その数の2 惜に1を加えた値は, 線分でつながっている隣の数の和に等
しい。このとき a= [=]a+ [+] ex», ay = [a] a+ =
なる。よって a, =|7| CdS.
>

図3のような, 1 辺の長さがるの立方体 D
がある。辺の BC を含む直線を7 とし, 頂点 ¢ Q.;
A C
Cから頂点 B の方向への距離にある7上 Cal
の点をP, 頂点Bから頂点Cの方向へ*ヶの >
距離にある / 上の点をQ とする。この立体
を, 点A, Q, Fを通る平面と, ADP, fF an
G を通る平面で切断したときにできる立体の
うち, 頂点Eを含むものの体積を C) と F
する。*>g とし, 線分DPと線分AQの
（続きは問題PDFで確認できます）

(
（続きは問題PDFで確認できます）