東北大学 2011年度 過去問・解答

東北大学 2011年度（平成23年度）前期日程 数学の全問解説です。東北大学は文系（文・教育・法・経済・医保健看護）と理系（理・医・歯・薬・工・農）で問題冊子が分かれており、この年度は1題が両方の冊子に共通でした。重複を1回だけ数えると全9題18小問です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（2万点の走査で不等式の成立範囲を二分探索・確率を分数のまま全経路展開・3000通りの で領域の上下端を実測・sympyの厳密積分・行列の反復計算） を行い、別の道筋でも解き直して全問突き合わせました。18小問すべてが一致しています（1か所、一般に出回っている解答例に誤りと思われる箇所があり、【2】の解説で指摘しています）。

この年度の傾向（3行）

• 「文字を置きかえて2次関数に落とす」問題が並びます。【1】は 、【5】は の2次不等式、【7】は の1次方程式。置きかえたあとの「文字の動く範囲」を毎回きちんと押さえられるかが得点差になります。
• 【5】の (1) と (2) は「すべての 」と「いずれかの 」の違いです。前者は最大値・後者は最小値の条件になり、答えの領域が大きく変わります。日本語の条件を数式の条件に翻訳する訓練になる良問です。
• 理系は分野の幅が広く、6題から選ぶ形です。確率・軌跡・ベクトル・複素数・行列と1題ずつ並ぶので、得意分野を2〜3題確実に取る戦略が有効な構成でした。

文系（文・教育・法・経済・医学部保健学科看護学専攻）

【1】指数を含む不等式（文系〔1〕）

(1)　解をもつ の範囲

【型】指数の不等式は と置きかえて の問題に。置きかえたら必ず の動く範囲を書きます。

【なぜこうするか】 と が両方あるので、 ひとつで書けます。 は に翻訳され、「 の範囲に解があるか」という2次関数の問題になります。指数のままでは手が出ませんが、置きかえた瞬間に見慣れた形になります。

なので両辺に を掛けて

左辺を とおくと、これは下に凸で軸は 。軸が範囲 の左外にあるので、 はこの範囲で増加します。したがって となる が存在する条件は

(2)　常に成り立つ の範囲

【型】今度は「常に成り立つ」＝「最小値が 以上」。軸の位置で場合分けします。

【なぜこうするか】(1) は「解が存在する」＝どこか1点で成り立てばよいので端の値だけ見ればよかったのに対し、(2) は「常に成り立つ」＝最小値が条件をみたす必要があります。同じ置きかえでも、見るべきものが「端の値」から「最小値」に変わります。この違いが問題の対比になっています。

同じく とおくと

の軸は 。

(i) （）のとき　範囲内で増加なので端の値。

(ii) （）のとき　軸が範囲内なので頂点の値。

(i) から 、(ii) から 。合わせて

検証： を二分探索しながら、 を から まで2万点に区切って不等式の成立を直接判定しました。(1) の上限は （）、(2) の範囲は で、 と に一致します。

【2】三角形の面積比（文系〔2〕）

(1)　等式 の証明

【型】3点が同一直線上にあることは「係数の和が 」で表せます。

【なぜこうするか】 を で書いてから、、 と の側に書き換えるのがポイント。 が直線 上にあるので、書き換えた式の係数の和が になります。示すべき等式がちょうどその形です。

は直線 上にあるので、係数の和が 。

（証明終）

(2)　 の最大値

【型】共通の角をはさむ2つの三角形の面積比は2辺の積の比。

したがって 。(1) から なので

【なぜこうするか】ここで を1つの文字とみると、上に凸の2次関数になります。 は に対応し、頂点 はこの範囲内。置きかえてから範囲を確認する手順を踏めば、頂点で最大と即断できます。

のとき最大値

検証： と座標を置いて、 について から直線を引いて を求めました。 はいずれも 、 は順に で、 が最大であることを数値でも確認しています。

【3】玉を取り出す確率（文系〔3〕／理系〔3〕）

この大問は文系・理系の両方の冊子に出ています（理系版は小問が1つ多く、本ページは理系版の3小問で掲載しています）。

(1)　 が2個の赤玉を手に入れる確率

【型】「誰が引くか」と「何色が出るか」を掛け算で分ける。

2回とも が引き（各回 ）、2回とも赤（ のあと ）。

(2)　 が少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率

【型】「少なくとも1個」は和事象。 を使います。

【なぜこうするか】余事象（1個も手に入れない）で計算しようとすると、「 が引かない」「引いたが白」の場合を全部数える必要があり、玉の減り方も絡んで場合分けが増えます。一方、「1回目に が赤を取る」、「2回目に が赤を取る」と置けば、それぞれは単純な確率で、重なりも1通りだけです。

は、1回目に誰かが赤を取る場合と白を取る場合に分けて

になる理由：結局「2回目に が引き、その玉が赤」という確率で、何回目でも「赤を引く確率」は のままです（玉に区別をつけて考えると、どの玉が何番目に出るかは同様に確からしい）。この対称性に気づくと と一瞬で出ます。

(3)　3回目に が赤玉を取り出す確率

【型】上の対称性を使えば「 が引く確率」×「3回目が赤である確率」で終わります。

検証：「誰が引くか（）」と「赤・白どちらが出るか（残数に比例）」の全経路を分数のまま3回分展開するプログラムを書きました。(1) 、(2) 、(3) がいずれも厳密に一致しています。

【4】放物線の直交2接線（文系〔4〕）

(1)　2接線の交点

【型】接線は 。垂直条件で2つ目の接点を決めるのが要点です。

の接点を とすると、傾きの積が で

2式 を連立すると なので

座標が定数：交点の 座標は によらず です。これは の準線で、「直交する2接線の交点は準線上にある」という有名な性質。結果が を含まないこと自体が答えの正しさの手がかりになります。

(2)　囲まれる部分の面積

【型】放物線と2接線で囲まれた面積は（ の係数が のとき）。

軸対称なので 。垂直条件 と合わせると 、すなわち （ とする）。接点は です。

公式を使わない場合：対称性から右半分を2倍して 。被積分関数が完全平方になるのは、放物線と接線の差が「接点で2重の零点をもつ」からです。

検証：sympy で として交点を計算すると となり、 と同じ式です。面積も と直接積分の両方で を確認しました。

理系（理・医・歯・薬・工・農）

【5】直線の族と領域（理系〔1〕）

(1)　すべての に対して

【型】「すべての で成り立つ」は の関数とみて最小値（または最大値）を調べる。ここでは について整理するのが第一歩です。

【なぜこうするか】 を の式として整理すると 。主役の文字を に切り替えると、下に凸の2次関数が で常に 以下という条件になり、両端の値だけを見ればよいことが分かります（下に凸なら区間の最大値は端で取るため）。

（ のすべてで）

は下に凸なので、区間での最大値は端点の大きいほう。したがって条件は かつ 。

かつ （境界を含む）

(2)　いずれかの に対して

【型】「いずれかの で成り立つ」は最小値が 以下。今度は軸の位置で場合分けします。

【なぜこうするか】(1) は「区間全体で 」＝最大値の話でしたが、(2) は「区間のどこか1点で 」＝最小値の話です。下に凸の関数の最小値は軸の位置で決まるので、軸 が区間の中か外かで3つに分かれます。同じ不等式でも「すべて」と「いずれか」で見る場所が正反対になるのが、この問題の主題です。

軸は 。

（区間内のときは から。）上の表がそのまま答えで、境界は放物線と2直線が滑らかにつながります。

図の意味： は放物線 の接線の族です（接点の 座標が ）。だから (2) の境界に放物線 が現れます。「直線の族の包絡線」という見方をすると、答えの形が納得できます。

検証： について、 を から まで3001点に区切って の最小値・最大値を実測しました。最小値は順に 、最大値は で、上の場合分けの式と完全に一致しています。

【6】円の中心の軌跡（理系〔2〕）

(1)　中心 の座標

【型】接する条件は「中心と接点を結ぶ線が接線に垂直」、通る条件は「中心からの距離が半径に等しい」。この2本で決まります。

接線 の傾きは なので、 と接点 を結ぶ直線の傾きは 。

また から接点までの距離と までの距離が等しいので

を代入して整理すると

(2)　軌跡と で囲まれる面積

【型】媒介変数表示のままで面積を出すときは を の積分に書き換える（）。

【なぜこうするか】 を消去すると という回転した放物線になり、そのまま積分するのは大変です。ところが媒介変数のままなら 、 とどちらも の多項式なので、積分は easy です。「消去してから」ではなく「消去せずに」が速い場面です。

となるのは 、すなわち 。この間で です。

被積分関数を展開すると 。奇数次の項は対称区間で消えるので

軌跡の正体： から直線 までの距離と、 から点 までの距離はどちらも円の半径なので等しい。つまり は「点 を焦点、直線 を準線とする放物線」を描きます。式を立てる前にこれに気づけば、軌跡が放物線であることは即座に分かります。