藤原進之介です。このページでは東京大学2011年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
2011年度の資料を開く前に、文科・理科と試験区分を確認してください。下の「問1・問2」などのリンク名はファイルの並びを表している場合があり、大問番号とは限りません。PDFの表紙・ページ内の年度と問題番号を基準に照合します。問題と解答が同じ設定かも、計算を始める前に確認してください。
復習では、条件を読み落とした箇所、方針を決められなかった箇所、計算・論証で止まった箇所を別々に記録します。基礎に戻るか、同分野の大問へ進むかは、上の数学タイルから学習段階に合わせて選べます。
問題
解答
東京大学 数学 過去問｜他の年度を見る
東京大学の数学の過去問は25年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
東京大学 2011年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 確率・場合の数
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2011年度の問題PDFでは、整数、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形に関する語句や設問を確認できました。東京大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は23年度、空間図形は23年度、関数・グラフは21年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形、数列
第 1 間
*の3次関数7(x)= ax? + bx? er十のが, 3つの条件
‘
PAL, F-1)=—1, f (ee + ex + ade = 1
コ
を全て講たしているとする。このようなげ(*) の中で定積分
a Terns
アパのGy
を最小にするものを求め、そのときの7 の値を求めよ。ただし, /^(*)はア"く)の導
関数を表す。
ーsを<ー ©M3(810—40)
第 2 問
実数*の小数部分を。 0 ミッて1かつォーッが着数となる実数y のこととし, これ
SHG (x) で表す。実数に対して, 無限数列 fg』}の各項ox(ヵ=1, 2, 3....)を次
のように順次定める。
(i) a1 =(a)
= (bh
w nee ani =)
Gn =I0DER, ayer =0
(1) a=J2 DEX, BA la.) を求めよ。
(9 作意の自然数ヶに対して g。ニ。となるような上 以上の実数をすべて求め
ま。
oe っ やM3(810一42)
第 3 問
か 9を2 つの正の整数とする。 整数 g. b, cで条件
—qSbS0SaSp, bSceSa
を満たすものを考え, このようなzo, b, cを[g, bi c]の形に並べたものを(ヵ, 9)
パターンと呼ぶ。各(ヵ, 7)パターン[Z, 5 : c]に対して
の([g。ぁ:e])デカー9一(g寺の
とおく。
(1 ©, g@)パターンのうち, w([z, 5 :c])ニーg7となるものの個数を求めよ。
また, w(la, 2ヵ : c])三のとなる(ヵ、 4)パターンの個数を求めよ。
以下ムーgの場合を考える。
2) s をヵ以下の整数とする。 (ヵ, ヵ)パターンで w([Z, 5 : c])ニーカ+† sとなるも
のの個数を求めよ。
a 8 =ニッ M3 (810—44)
第 4 問
座標平面上の1 点 P(す,十)をとる。 放物線>ニッ上の2京Q(ergの. RUGBY
を, SRP, Q RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき,
APQR の重心 G(X, Y) の軌跡を求めよ。
= 10 OM3(810—46)
*の3次関数7(x)= ax? + bx? er十のが, 3つの条件
‘
PAL, F-1)=—1, f (ee + ex + ade = 1
コ
を全て講たしているとする。このようなげ(*) の中で定積分
a Terns
アパのGy
を最小にするものを求め、そのときの7 の値を求めよ。ただし, /^(*)はア"く)の導
関数を表す。
ーsを<ー ©M3(810—40)
第 2 問
実数*の小数部分を。 0 ミッて1かつォーッが着数となる実数y のこととし, これ
SHG (x) で表す。実数に対して, 無限数列 fg』}の各項ox(ヵ=1, 2, 3....)を次
のように順次定める。
(i) a1 =(a)
= (bh
w nee ani =)
Gn =I0DER, ayer =0
(1) a=J2 DEX, BA la.) を求めよ。
(9 作意の自然数ヶに対して g。ニ。となるような上 以上の実数をすべて求め
ま。
oe っ やM3(810一42)
第 3 問
か 9を2 つの正の整数とする。 整数 g. b, cで条件
—qSbS0SaSp, bSceSa
を満たすものを考え, このようなzo, b, cを[g, bi c]の形に並べたものを(ヵ, 9)
パターンと呼ぶ。各(ヵ, 7)パターン[Z, 5 : c]に対して
の([g。ぁ:e])デカー9一(g寺の
とおく。
(1 ©, g@)パターンのうち, w([z, 5 :c])ニーg7となるものの個数を求めよ。
また, w(la, 2ヵ : c])三のとなる(ヵ、 4)パターンの個数を求めよ。
以下ムーgの場合を考える。
2) s をヵ以下の整数とする。 (ヵ, ヵ)パターンで w([Z, 5 : c])ニーカ+† sとなるも
のの個数を求めよ。
a 8 =ニッ M3 (810—44)
第 4 問
座標平面上の1 点 P(す,十)をとる。 放物線>ニッ上の2京Q(ergの. RUGBY
を, SRP, Q RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき,
APQR の重心 G(X, Y) の軌跡を求めよ。
= 10 OM3(810—46)
問2画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形
(1) APQR の面積 $(4) を求めよ。
(2) gが0ぐZぐ1の範囲を動くとき, $(2)が最大となるg を求めよ。
= Ao M4(@10一5
第 2 問
実数 の小数部分を, 0 ミッく1かつ*ーヵが整数となる実数yのこととし, これ
を記号 (x) で表す。実数に対して, MRA (an) OSH a(n =1, 2.3....)を次
DEDICMKIED SD,
(i) a) =(a)
i
ti [ore enこと)
の 三0のとき, ansi=0
(1]) g=ゾ2 のとき, BM {ay} を求めよ。
(2) 任意の自然数』に対してg。王となるような 以上の実数e々をすべて求め
よ。
8) 4が有理数であるとする。g を整数ヵ と自然数2 を用いて=をと表すとき.
9 以上のすべての自然数ヵに対して a, =0 であることを示せ。
6時 M4 (810—56)
第 。 3 問
とを正定数とする。座擦平面のx軸上の正の部分にある点 P(7. 0 )に対し, 原点
0 を中心とし点PF を通る円周上を, Pから出発して反時計回りに道のりんだけ進んだ
ME Qu(t), VERT.
(1) u(t), 2(のを求めよ。
(2) 0く4ぐ1の範囲の実数に対し, 積分
fa= [WO TW OF at
を求めよ。
f(a) wp
(3) 極限im age を求めよ。
= 8 = のM4(810一58)
第。 4 問
護要平面上の1点P(-す、エ)をとる。 放物線ニダ上の2点Q(ogり. ROB
SEP, Q RがQRを大辺とする三等辺三角形をなすように動かすとき,
APQR の重心 GX.Y) の軌跡を求めよ。
ー10一 のM4810一60)
第 5 問
か 9を2つの正の整数とする。 整数 . b, cで条件
—qSbS0SaSp, bSce8a
を満たすものを考え,. このようなgz, b, cを[g. bi c]の形に並べたものを(ヵ. 9)
パターンと呼ぶ。各(ヵ,g)パターン[z. bs c]に対して
9([g. bicl)=p—q-(a+b)
とおく。
人1) (あか 9)パターンのうち, w(la, ヵ ic])ニーgとなるものの個数を求めよ。
また, w(la, 5 : c])ニあとなる(ヵ, g)パターンの個数を求めよ。
以下ヵーg の場合を考える。
(2) 5 を整数とする。(ヵ, の)パターンで w([g, 5? : c])ニーヵカ+ sとなるものの個数
を求めよ。
3) (ヵ, ヵ)パターンの総数を求めよ。
ー12一 OM4 (810-62)
第 6 問
(Dx, ヶを実数とし. > 0 とする。#を変数とする 2 KES (t) = xt? + yt O
0ミミ7全 1 における最大値と最小値の差を求めよ。
(12) 次の条件を満たす点(*, yY 全体からなる座標平面内の領域を $ とする。
*ン0かつ, 実数z で0 位7全1の範囲の全ての実数7に対して
OSat +yt+281
を満たすようなものが存在する。
ゞの概形を図示せよ。
8) 次の条件を満たす点(x, y, z) 全体からなる座標空間内の領域をとする。
0ミ*ミ1かつ, 0生生1の範囲の全ての実数7に対して,
OSx + yt+251
が成り立つ。
の体積を求めよ。
PR < ama OM4(810—64)
(2) gが0ぐZぐ1の範囲を動くとき, $(2)が最大となるg を求めよ。
= Ao M4(@10一5
第 2 問
実数 の小数部分を, 0 ミッく1かつ*ーヵが整数となる実数yのこととし, これ
を記号 (x) で表す。実数に対して, MRA (an) OSH a(n =1, 2.3....)を次
DEDICMKIED SD,
(i) a) =(a)
i
ti [ore enこと)
の 三0のとき, ansi=0
(1]) g=ゾ2 のとき, BM {ay} を求めよ。
(2) 任意の自然数』に対してg。王となるような 以上の実数e々をすべて求め
よ。
8) 4が有理数であるとする。g を整数ヵ と自然数2 を用いて=をと表すとき.
9 以上のすべての自然数ヵに対して a, =0 であることを示せ。
6時 M4 (810—56)
第 。 3 問
とを正定数とする。座擦平面のx軸上の正の部分にある点 P(7. 0 )に対し, 原点
0 を中心とし点PF を通る円周上を, Pから出発して反時計回りに道のりんだけ進んだ
ME Qu(t), VERT.
(1) u(t), 2(のを求めよ。
(2) 0く4ぐ1の範囲の実数に対し, 積分
fa= [WO TW OF at
を求めよ。
f(a) wp
(3) 極限im age を求めよ。
= 8 = のM4(810一58)
第。 4 問
護要平面上の1点P(-す、エ)をとる。 放物線ニダ上の2点Q(ogり. ROB
SEP, Q RがQRを大辺とする三等辺三角形をなすように動かすとき,
APQR の重心 GX.Y) の軌跡を求めよ。
ー10一 のM4810一60)
第 5 問
か 9を2つの正の整数とする。 整数 . b, cで条件
—qSbS0SaSp, bSce8a
を満たすものを考え,. このようなgz, b, cを[g. bi c]の形に並べたものを(ヵ. 9)
パターンと呼ぶ。各(ヵ,g)パターン[z. bs c]に対して
9([g. bicl)=p—q-(a+b)
とおく。
人1) (あか 9)パターンのうち, w(la, ヵ ic])ニーgとなるものの個数を求めよ。
また, w(la, 5 : c])ニあとなる(ヵ, g)パターンの個数を求めよ。
以下ヵーg の場合を考える。
(2) 5 を整数とする。(ヵ, の)パターンで w([g, 5? : c])ニーヵカ+ sとなるものの個数
を求めよ。
3) (ヵ, ヵ)パターンの総数を求めよ。
ー12一 OM4 (810-62)
第 6 問
(Dx, ヶを実数とし. > 0 とする。#を変数とする 2 KES (t) = xt? + yt O
0ミミ7全 1 における最大値と最小値の差を求めよ。
(12) 次の条件を満たす点(*, yY 全体からなる座標平面内の領域を $ とする。
*ン0かつ, 実数z で0 位7全1の範囲の全ての実数7に対して
OSat +yt+281
を満たすようなものが存在する。
ゞの概形を図示せよ。
8) 次の条件を満たす点(x, y, z) 全体からなる座標空間内の領域をとする。
0ミ*ミ1かつ, 0生生1の範囲の全ての実数7に対して,
OSx + yt+251
が成り立つ。
の体積を求めよ。
PR < ama OM4(810—64)
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、微分・積分
第 1 問
この問題では, 商業活動における意思決定のプロセスにおいて, 最適に行動する
にはどのようにすればよいかを, 数学を用いて考える。
A
ある商店街に3 軒の肉屋X.Y, Zがあり, WHENSRBTEHD TKS. AB
X, Y, Zは, 同じ量の唐揚げを注文してもそれぞれ調理時間が異なり、かつ注文
する量が多いほど時間が長くかかる。肉屋X, Y, Zへの注文策をそれぞれ
ake), ykgJ,z【kg], 調理時間をそれぞれs分, 7分, 分とすると, *ァ0のと
きャー4 オッ0のときぎー6オーーター 0のときャー7エェの半係が
ある。また*デー0のときs=テ0,.yテ0のときヵ0, zデ0のとき%=0であ
Be
S, ASAMMBTESH Z(kg]注文するものとする。 (ただしは正の実数で
ある。) COR, A さんは複数の肉屋に分けて同時に注文してもよく, その場合に
は注文したそれぞれの店で要した調理時間の最大値がA さんの待ち時間になり,
その値を分とおく。また, 1 軒の肉屋だけに注文する場合には, その店で要し
た調理時間がA さんの待ち時間7になる。
A さんは待ち時間 をできるだけ短くしようと試みる。そのために, SIKOTE
文量々 を, それぞれの肉屋にどのように振り分けて注文すればよいかを考える。
その際, 注文しない肉屋があってもよい。また, 複数の肉屋に分けて注文する場
合, 待ち時間を最短にするためには, 注文したそれぞれの店で要した調理時間をす
べて等しくすればよいことが知られている。なぜなら, もし調理時間にバパラつきが
あるなら, 調理時間が長くかかる店の注文量の一部を調理時間が短い店に振り分け
TUS, 全体の待ち時間を短くすることができるからである。 解答にあたっては, こ
の事実をた用いてよい。
ーー Be やM10(810一270)
(A-1) まず, 肉屋Zが休業中で, 注文できる肉尾はX, Yの2軒に限られる状
況を考える。このとき, 注文量の合計が々2、g三6のそれぞれの場合につい
て, ABX, Y への注文量。 ヶおよびA さんの待ち時間7を求めよ。
(A-2) (A-1)と賠じく, 注文できる肉屋がメ, Yの2 軒に限られる状況を考え
る。このときァツ 0 となる6の範囲を求めよ。
(A-3) 今度は, 肉屋X, Y,。Zがいずれも開店中で, 3軒に注文できる状況を
GAS. COLE, 4 さんの待ち時間7をヶを用いて表せ。
5 = やM10810一271)
B
ある町に 1 本の大通りがあり, その通りに沿って 1 (km)にわたって均等に人が
住んでいる。そこに何軒かのユンビニエンスストア(コンビニ)が出店を考えてい
る。住民は』 日1回 いずれかのコンビニに立ち寄る。また, TOR, 住民は自宅
に一番近いコンビニーに行く。各店は自分の店に来る客の数をなるべく多くするよう
に出店位置を決める。
以上の状況を数学的に表すために, 客が区間[0, 1]の上に均等に分布してお
0, HOWRAH, [0. 1]上の1 点で表されるものとする。商題を分析しやす
くするために, 複数の店が同じ場所に出店することも可能であるとし, その場合に
i, その場所にやってくる客を名店が等分するものとする。たとえば, 店がX.
Y, Zの3軒あって, それぞれの出店位置をx,、ゅ, 200Sx, y, <至1)とし, 仮
に*ーィくをが成り立っていたとすると, 来客数(の割合)は, X とYがそれぞれ
iy tte ete
2 2 4
となる一方, 2は
) ころとと
となる。
(B-1) 店がX、Yの2軒のときを考える。それぞれの出店位置をryとする。
(9) *ぐヶのとき, Y の位置は変えずに, X だけ適切に出店位置を変えればX の
来客数を増やすことができることを示せ。
( メーッ OLS, Y の位置は変えずに。X だけ適切に出振位置を変えれ
WX の来客数を増やすことができることを示せ。
CO セーター のとき,X。Y のどちちに着目しても MOMOMELAAT
に自分だけどのように出店位置を変えても自分の店の来客数を増やすことはで
きないことを示せ。
(C)のような状況一すなわち, どの店に着目しても, 他の店の位置は変えずに
自分だけどのように出店位置を変えても自分の店の来客数を増やすことはでき
ない状況一を「均衡]という。 店が 3 軒以上の場合も同様である。
— 6 一 M10(810—-272)
(B-2) 店がX, Y, Zの3 軒あるときを考える。それぞれの出店佐置を々。タ,z
とする。
(3) x<y S2 OBS, 篤衡にならないことを示せ。
(b) *テッディの場合は, 均衡にならないことを示せ。
(B-3) 店が4軒あるときを考える。このとき, 均衛は存在するか。もし均衡が
存在するとすれば, 4軒の出店位置はどのようなものになるか。理由を添えて述
べよ。
ーィ7ー ぐM10810一273)
第 2 問
この問題では。 割合や確率に関係したことがらについて考える。
A
A.BCDの4人人が図1 のように丸テーブルを囲んで座っており, それぞれ砂金
を alke), bike), clkg), dikg) FORD THSETS, HELA, 5 c, 9は正の
定数である。今, 4 人の各々が, 自分の砂金のうち, ヵの割合を右隣の人に, 7の
割合を左隣の人に分け与え、 残りの(1 一ヵー9)の割合を自分のところに残す操作
を同時に行うとする。 (図1 のように4A の右隣はB, Aの左隣はD CHS.) ここ
Cp, git, OSpS1, 0SqS1, の人ミ1 をみたす定数である。この操作
（続きは問題PDFで確認できます）
この問題では, 商業活動における意思決定のプロセスにおいて, 最適に行動する
にはどのようにすればよいかを, 数学を用いて考える。
A
ある商店街に3 軒の肉屋X.Y, Zがあり, WHENSRBTEHD TKS. AB
X, Y, Zは, 同じ量の唐揚げを注文してもそれぞれ調理時間が異なり、かつ注文
する量が多いほど時間が長くかかる。肉屋X, Y, Zへの注文策をそれぞれ
ake), ykgJ,z【kg], 調理時間をそれぞれs分, 7分, 分とすると, *ァ0のと
きャー4 オッ0のときぎー6オーーター 0のときャー7エェの半係が
ある。また*デー0のときs=テ0,.yテ0のときヵ0, zデ0のとき%=0であ
Be
S, ASAMMBTESH Z(kg]注文するものとする。 (ただしは正の実数で
ある。) COR, A さんは複数の肉屋に分けて同時に注文してもよく, その場合に
は注文したそれぞれの店で要した調理時間の最大値がA さんの待ち時間になり,
その値を分とおく。また, 1 軒の肉屋だけに注文する場合には, その店で要し
た調理時間がA さんの待ち時間7になる。
A さんは待ち時間 をできるだけ短くしようと試みる。そのために, SIKOTE
文量々 を, それぞれの肉屋にどのように振り分けて注文すればよいかを考える。
その際, 注文しない肉屋があってもよい。また, 複数の肉屋に分けて注文する場
合, 待ち時間を最短にするためには, 注文したそれぞれの店で要した調理時間をす
べて等しくすればよいことが知られている。なぜなら, もし調理時間にバパラつきが
あるなら, 調理時間が長くかかる店の注文量の一部を調理時間が短い店に振り分け
TUS, 全体の待ち時間を短くすることができるからである。 解答にあたっては, こ
の事実をた用いてよい。
ーー Be やM10(810一270)
(A-1) まず, 肉屋Zが休業中で, 注文できる肉尾はX, Yの2軒に限られる状
況を考える。このとき, 注文量の合計が々2、g三6のそれぞれの場合につい
て, ABX, Y への注文量。 ヶおよびA さんの待ち時間7を求めよ。
(A-2) (A-1)と賠じく, 注文できる肉屋がメ, Yの2 軒に限られる状況を考え
る。このときァツ 0 となる6の範囲を求めよ。
(A-3) 今度は, 肉屋X, Y,。Zがいずれも開店中で, 3軒に注文できる状況を
GAS. COLE, 4 さんの待ち時間7をヶを用いて表せ。
5 = やM10810一271)
B
ある町に 1 本の大通りがあり, その通りに沿って 1 (km)にわたって均等に人が
住んでいる。そこに何軒かのユンビニエンスストア(コンビニ)が出店を考えてい
る。住民は』 日1回 いずれかのコンビニに立ち寄る。また, TOR, 住民は自宅
に一番近いコンビニーに行く。各店は自分の店に来る客の数をなるべく多くするよう
に出店位置を決める。
以上の状況を数学的に表すために, 客が区間[0, 1]の上に均等に分布してお
0, HOWRAH, [0. 1]上の1 点で表されるものとする。商題を分析しやす
くするために, 複数の店が同じ場所に出店することも可能であるとし, その場合に
i, その場所にやってくる客を名店が等分するものとする。たとえば, 店がX.
Y, Zの3軒あって, それぞれの出店位置をx,、ゅ, 200Sx, y, <至1)とし, 仮
に*ーィくをが成り立っていたとすると, 来客数(の割合)は, X とYがそれぞれ
iy tte ete
2 2 4
となる一方, 2は
) ころとと
となる。
(B-1) 店がX、Yの2軒のときを考える。それぞれの出店位置をryとする。
(9) *ぐヶのとき, Y の位置は変えずに, X だけ適切に出店位置を変えればX の
来客数を増やすことができることを示せ。
( メーッ OLS, Y の位置は変えずに。X だけ適切に出振位置を変えれ
WX の来客数を増やすことができることを示せ。
CO セーター のとき,X。Y のどちちに着目しても MOMOMELAAT
に自分だけどのように出店位置を変えても自分の店の来客数を増やすことはで
きないことを示せ。
(C)のような状況一すなわち, どの店に着目しても, 他の店の位置は変えずに
自分だけどのように出店位置を変えても自分の店の来客数を増やすことはでき
ない状況一を「均衡]という。 店が 3 軒以上の場合も同様である。
— 6 一 M10(810—-272)
(B-2) 店がX, Y, Zの3 軒あるときを考える。それぞれの出店佐置を々。タ,z
とする。
(3) x<y S2 OBS, 篤衡にならないことを示せ。
(b) *テッディの場合は, 均衡にならないことを示せ。
(B-3) 店が4軒あるときを考える。このとき, 均衛は存在するか。もし均衡が
存在するとすれば, 4軒の出店位置はどのようなものになるか。理由を添えて述
べよ。
ーィ7ー ぐM10810一273)
第 2 問
この問題では。 割合や確率に関係したことがらについて考える。
A
A.BCDの4人人が図1 のように丸テーブルを囲んで座っており, それぞれ砂金
を alke), bike), clkg), dikg) FORD THSETS, HELA, 5 c, 9は正の
定数である。今, 4 人の各々が, 自分の砂金のうち, ヵの割合を右隣の人に, 7の
割合を左隣の人に分け与え、 残りの(1 一ヵー9)の割合を自分のところに残す操作
を同時に行うとする。 (図1 のように4A の右隣はB, Aの左隣はD CHS.) ここ
Cp, git, OSpS1, 0SqS1, の人ミ1 をみたす定数である。この操作
（続きは問題PDFで確認できます）