同志社大学 2025年度 過去問・解答

※ 問題文は同志社大学が公表した2025年度入学試験問題を、解説のために引用したものです。解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したものです。当解説の答え（全20問）はすべて一般的な解答例と突き合わせて一致を確認しています。加えて、〔Ⅰ〕(1) は200万回のモンテカルロ実験、〔Ⅰ〕(2) は成分による直接計算、〔Ⅱ〕は漸化式から第20項まで分数のまま生成、〔Ⅲ〕(3) は200万分割の数値積分、〔Ⅳ〕は の数式処理による の直接計算でも独立に検算しました。

〔Ⅰ〕玉の取り出しと条件付き確率／空間座標と2球面の接触

分野：確率／空間ベクトル・図形　難易度：難　目標時間：35分

〔Ⅰ〕(1)アイ　1回目の確率

【型】「袋を選ぶ確率」×「その袋で白が出る確率」を足す（乗法定理＋全事象の分割）

【なぜこうするか】
さいころで袋 A が選ばれる確率は 、袋 B は 。ここを最初に確定させます。
袋 A は白2・赤4の計6個、袋 B は白3・赤2の計5個。よって

「白玉を取り出す」はA 経由と B 経由の2通りに分割されるので、足し合わせます。

解答。袋 A が選ばれる確率は 、袋 B は 。よって

［ア］、［イ］

検算。同じ要領で赤玉の確率を出すと 。白 と赤 の和が ✓（全事象になる）。分数のまま計算したプログラムでも一致 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】「原因が複数ある事象」は原因で分割して足す（全確率の公式）。検算は「補事象との和が1」で。さいころの は約分して にしておくと以降が軽くなります。

【よくあるミス】袋 A の玉数を「白2・赤4で合計5個」と数え間違えること（合計6個）。また袋 B が選ばれる確率を としてしまうミス（「他の目」は3,4,5,6 の4通り）。

〔Ⅰ〕(1)ウ　赤玉だったときに袋 A である条件付き確率

【型】ベイズの定理：

【なぜこうするか】
条件付き確率は「（両方起こる確率）÷（条件の確率）」。分子と分母をそれぞれアイと同じ要領で作るだけです。

よって

袋 A は選ばれにくい（）が赤が多い（）ので、赤が出たという情報で A の可能性が から へ上がる——ベイズ更新の典型例です。

解答。

［ウ］

検算。補として 。 ✓。
方向の妥当性：事前確率 が事後 に上がっている——赤の割合が A（）の方が B（）より大きいので正しい向き ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】条件付き確率は「分子＝同時確率、分母＝条件の確率」。分母はアイで作った値を再利用できます。検算は「A と B の事後確率の和が1」と「事前より上がった／下がったの向き」の2点で。

【よくあるミス】分母を や にしてしまうこと。条件は「赤玉が出た」なのでその確率 で割る。また と混同するミス（向きが逆）。

〔Ⅰ〕(1)エ　2回目が赤のとき1回目も赤である条件付き確率

【型】玉を戻さないので「1回目の（袋・色）」4通りで場合分けし、2回目の赤の確率を計算

【なぜこうするか】
玉を戻さないのがこの問題の核心。1回目に「どの袋から何色を取ったか」で袋の中身が変わるので、4通りすべてを追う必要があります。
2回目に赤が出る確率を、1回目のケースごとに計算します（2回目もさいころで袋を選び直すことに注意）。

1回目	確率	残り（A / B）	2回目が赤	同時確率
A・白		白1赤4 / 白3赤2
A・赤		白2赤3 / 白3赤2
B・白		白2赤4 / 白2赤2
B・赤		白2赤4 / 白3赤1

「2回目が赤」の確率は4行の合計、「1回目も赤」はそのうちA・赤と B・赤の2行。

（1回目の赤の確率と同じ になるのが面白いところ——対称性から自然な結果です。）よって

解答。上の表より2回目が赤となる確率は 、そのうち1回目も赤であるのは 。よって

［エ］

検算（分数のまま全ケース計算）。プログラムで4ケースをすべて分数で追い、、、条件付き確率 を確認 ✓。
妥当性：1回目が赤だと赤が1個減るので2回目に赤が出にくくなる＝負の相関。実際 は無条件の より小さい ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】「戻さない」試行は1回目の結果で状態が変わるので、状態ごとに場合分けした表を作る。分母を揃えて（ここでは ）整数の足し算に落とすのがミス防止のコツ。相関の向き（正か負か）で答えの妥当性を確認できます。

【よくあるミス】2回目も「1回目と同じ袋」から取ると思い込むこと。毎回さいころを投げ直して袋を選ぶのがルールです。また B・白の行で袋 B の残りを「白2赤2の4個」と正しく数えられずに のままにするミス。

〔Ⅰ〕(1)オ　袋 B より先に袋 A が尽きる確率

【型】色は無関係。「A が6回選ばれるまでに B が選ばれた回数が4回以下」＝負の二項分布

【なぜこうするか】
ここで発想の転換が必要です。どの色が出るかは「袋が尽きるかどうか」に無関係——選ばれた袋から1個減るだけだからです。したがって考えるべきは「A が選ばれる回数」と「B が選ばれる回数」だけ。
A は6個、B は5個。A が先に尽きる A が6回目に選ばれた時点で B の選ばれた回数が 以下（B が5回選ばれると B が尽きてしまう）。
B が 回（）選ばれた状態で A が6回目に選ばれるという事象は、「 回の中で A が5回・B が 回、そして 回目が A」。よって確率は

「最後の1回を固定して、それ以前を二項分布で数える」のが負の二項分布の考え方。これを から まで足します。

解答。玉の色は袋が尽きるかどうかに影響しない。袋 B が 回選ばれた時点で袋 A が6回目に選ばれる確率は

袋 B より先に A が尽きるのは のときだから

組合せの値は 。括弧の中を分母 で通分すると

したがって

［オ］

（分子・分母を で1回だけ約分できて 、。 は で割れないのでこれが既約です。）

検算（200万回のモンテカルロ実験）。「 から始めて、確率 で A を、 で B を1個減らし、どちらかが0になったら終了」というシミュレーションを200万回実行すると、A が先に尽きた割合は

一方 で小数第3位まで一致（200万回の標準誤差は約 なので誤差の範囲）✓。
また上の和 を分数のまま計算すると厳密に ✓。一般的な解答例と一致 ✓。
妥当性：A は6個で選ばれる確率が 、B は5個で 。B の方が「減りやすい」のでB が先に尽きる方が圧倒的に起こりやすい——A が先に尽きる確率が と小さいのは妥当 ✓。

【定石】「どちらが先に 回起こるか」は負の二項分布： の事象が 回目に起こるまでに の事象が 回 。最後の1回を固定するのがポイント。無関係な情報（ここでは玉の色）を大胆に切り捨てる判断も重要です。

【よくあるミス】玉の色まで考慮して場合分けを爆発させること（色は無関係）。また と組合せの上を間違えること——最後の1回を除いた 回の中で 回なので です。

〔Ⅰ〕(2)カ　

【型】成分を引いてから2乗和。 が共通なので 成分では消える

【なぜこうするか】
一見すると恐ろしい数値ですが、 座標と 座標に共通の が入っているので引き算で消えます。

成分と 成分がきれいに になる——これが設計の妙です。よって

問題文が「」と形を指定してくれているので、 でくくれることが答え合わせになります（）。

解答。

よって ［カ］。

検算（成分計算）。数式処理で 、 を確認 ✓。、 ✓。
ここで次への布石も確認しておきます：、 でぴったり等しい ✓——これがキの決定的な鍵になります。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】座標に共通項があれば引き算で消えるので、恐れず成分を引く。問題文が指定する答えの形（ など）は検算のヒント——割り切れなければ計算ミスです。

【よくあるミス】 を のように中央項 を忘れること。正しくは 。

〔Ⅰ〕(2)キ　点 H の 座標

【型】 なら は二等辺三角形 → H は AB の中点

【なぜこうするか】
一般には「 と置いて から を出す」——ですが数値が重い。
そこでカの検算で気づいた事実を使います。

両者が完全に一致——つまり で は二等辺三角形。二等辺三角形の頂点から底辺への垂線の足は底辺の中点なので

（ 成分：。）この一手で計算量が10分の1になります。

解答。 より 。よって は二等辺三角形で、O から直線 AB に下ろした垂線の足 H は線分 AB の中点。したがって

よって H の 座標は ［キ］。

検算。垂直条件を直接確認します。 を数式処理で計算すると厳密に ✓——たしかに OH は AB に垂直です。
また も数式処理で一致 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】 なら垂線の足は AB の中点。空間の垂線の足の問題では、まず と を比べる癖をつけましょう（等しければ一瞬で終わる）。等しくない場合は と置いて内積0。

【よくあるミス】 に気づかず、 を求める重い計算に突入して時間を失うこと。数値が汚い問題こそ「うまい構造」が仕込まれていると疑うべきです。

〔Ⅰ〕(2)クケ　 と接点 P の 座標

【型】2球面が1点だけを共有 外接（）または内接（）。最大は「 を内包する内接」

【なぜこうするか】
まず中心間距離を出します。

（3成分すべてが なので長さは と暗算できます。）
2球面が1点のみを共有するのは接するとき。

• 外接： より
• 内接： より （ は不適）

よって は と の2つで、最大は （このとき の内部に が入り、内側から接する）。
接点 P はH から見て C の向こう側にあります。、向きは の延長なので

よって P の 座標は 。 と整合しています。

解答。 より 。2球面が1点のみを共有するのは接するときで

外接なら より 、内接なら より

最大は ［ク］。このとき は の内部にあり、接点 P は H から見て C の先にあるので

よって ［ケ］。

検算（成分計算）。、 を数式処理で確認 ✓。
接点の妥当性： について を計算すると厳密に （）✓、（ の半径）✓——両球面上の点であることが確認できました ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】2球面（2円）が1点を共有 外接または内接。内接の方が半径が大きいので「最大」を問われたら内接。接点は中心を結ぶ直線上にあり、内接なら小さい球の中心を挟んで反対側（）。

【よくあるミス】外接の だけを答えること（「1点のみを共有」は内接も含む）。また接点 P を H と C のあいだに取ってしまうミス——内接では が の内側にあるので、接点はC の外側です。

〔Ⅰ〕(2)コ　 と 平面の交円の半径

【型】球と平面の交円の半径 （ は中心から平面までの距離）

【なぜこうするか】
球の中心から平面に垂線を下ろすと、「球の半径・中心から平面までの距離・交円の半径」が直角三角形をなす——ピタゴラスの定理そのものです。

（交円の半径）

平面までの距離は中心の 座標の絶対値。H の 座標はキで求めた なので 。よって

（。）キで求めた 座標がここで再利用される——問題全体が 座標を軸に組まれていることが分かります。

解答。 の中心 H の 座標は なので、H と 平面の距離は 。よって交円の半径は

［コ］

検算。。 で ✓ ピタゴラス成立。
妥当性： なので球は確かに 平面と交わる（ なら交わらない）✓。数式処理でも ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】球と平面の交円の半径は （円と直線の弦の半分と同じ構造）。座標平面までの距離は該当座標の絶対値（ 平面なら ）。交わる条件は 。

【よくあるミス】 を H の 座標ではなく （原点からの距離）にしてしまうこと。平面までの距離です。また を簡単にせず放置するのも減点対象になり得ます（）。

〔Ⅱ〕【記述式】3項間漸化式を2項間にまとめる技と、最大項

分野：数列　難易度：難　目標時間：30分

〔Ⅱ〕(1)　

【型】定義に を代入するだけ。ただし には が必要な順序に注意

【なぜこうするか】
素直な代入問題ですが、計算の順序が大事です。 は を含むので、先に を出す必要があります。

続いて の定義に代入。

がきれいな整数になるのは偶然ではなく、(3) の から となるためです。

解答。

検算（分数のまま第20項まで生成）。漸化式をプログラムで分数のまま回すと 、、 ✓。
(3) の一般項でも ✓、 ✓ と一致。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】複雑な定義の問題は、まず小さい番号で具体値を出す。ここで出した値が後の一般項の検算に使えるのが大きな利点です（ は (3) の答え合わせに必須）。

【よくあるミス】 に を入れるとき分母を ではなく などと誤ること。また で の係数を とするミス（分母は ）。

〔Ⅱ〕(2)　 を求める

【型】 を定義通り書き、3項間漸化式で を消して の形に factor する

【なぜこうするか】
を定義に従って書き下します。

ここで を3項間漸化式で置き換えるのが決め手。

の係数をまとめると

が消えて という共通因子が現れる——これがこの問題の設計の核心です。実際 の係数も

と同じ でくくれるので

これで3項間漸化式が2項間（等比型）に落ちました。

解答。 の定義と3項間漸化式より

よって

検算（実測の比）。プログラムで を分数のまま計算すると

とすべて に一致（ から まで全一致を確認）✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】3項間漸化式は「うまい1次結合 を作って2項間に落とす」のが王道。本問は が問題文で与えられているので、あとは共通因子でくくるだけ。係数の和が に依らない定数（ここでは ）になる仕込みを見つけるのが快感です。

【よくあるミス】 の定義で 、分母 の置き換えを誤ること。 を に「すべて」置き換えるのを機械的にやること。

〔Ⅱ〕(3)　 の一般項

【型】比が で変わる漸化式は「掛け合わせて約分」（階乗が出る）

【なぜこうするか】
は比が で変わるので等比数列ではありません。 から まで掛け合わせます。

分母は3から までの積、つまり 。よって

の と分母の の が掛かって になり、 と合わせて ——恐ろしくきれいに収まります。
でも と成立するので、場合分けは不要です。

解答。(2) より のとき

のときも で成立するので

検算（分数のまま照合）。漸化式から生成した と を比べると

と第17項まで完全一致 ✓。たとえば ✓。一般的な解答例と一致 ✓。
（面白い性質： は 付近で最大になり（ は まで増加）、その後急減します。これが (4) の と深く関係します。）

【定石】 型は掛け合わせて階乗が出る。 のように「どこから始まる階乗か」を丁寧に。最後に でも成立するかを確認します。

【よくあるミス】分母の積を としてしまうこと（ が抜けているので ）。また掛ける個数を 個としてしまうミス（ から までは 回掛ける）。

〔Ⅱ〕(4)　 が最大となる と

【型】 の符号を漸化式から直接読む → 増減が の符号で決まる

【なぜこうするか】
漸化式そのものが階差の式になっていることに気づくのが第一歩です。

問題文が「 を使ってよい」と言っているので、右辺の符号は だけで決まる。

• ： より （増加）
• ： より （横ばい）
• ： より （減少）

から始まるので、大小関係は

つまり最大値をとるのは と の2つ——「すべて求めよ」と言われている理由がここにあります。
最後に の値。 の定義に を入れると係数がちょうど0になるのがポイント。

(3) より なので 、したがって

なので も同じ値。「 を掛ける」という指定は、答えを というきれいな数にするための演出だったわけです。

解答。漸化式より で、 だから符号は と一致する。よって

したがって がすべての で成り立つのは 。
また であり、(3) より なので

よって求める組は

検算（第20項まで分数で生成）。プログラムで を分数のまま計算すると

となり、最大を与える は と の2つであることを確認 ✓（ から まで増減の符号も表の通り）。
また ✓ 厳密に一致。 も確認 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】漸化式が「（ の式）」の形なら、それがそのまま階差。 が保証されていれば符号は係数だけで決まるので増減表が一瞬で書けます。階差が0になる があれば最大値をとる番号が2つになる——「すべて求めよ」はその合図です。

【よくあるミス】 だけを答えること（ なので も最大）。また を求めるのに漸化式を10回回してしまうこと—— という「係数が0になる仕掛け」を使えば一瞬です。

〔Ⅲ〕【記述式】 の積分・最小値・回転体

分野：三角関数／微分積分（数学III）　難易度：難　目標時間：30分

〔Ⅲ〕(1)　定積分

【型】2乗は半角公式で1次に落とす（、）

【なぜこうするか】
2乗のままでは積分できないので半角公式で次数を下げるのが第一手です。

定数部分が にまとまるのが気持ちいいところ。この形は (2)(3) でもそのまま使います。
積分すると

上端では 、。下端では 。よって

最後に を に翻訳します。 なので 、したがって （符号が正と確定するのがこの条件の役割）。

解答。半角公式より 。よって

より だから

検算（数式処理）。 を数式処理で計算すると で、 との差は恒等的に ✓。
妥当性： なら で積分は 。式でも で ✓。 なら で ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】三角関数の2乗は半角公式で1次に。（中身の係数で割る）。 の符号は の範囲で確定させること——これが「」という条件の存在理由です。

【よくあるミス】 の半角で と中身を2倍し忘れること（正しくは ）。また の符号確認を省略すること。

〔Ⅲ〕(2)　最小値をとる と最小値

【型】微分して和を積に直す（）→ 因数分解された形で符号を読む

【なぜこうするか】
微分すると

このままでは符号が読めません。そこで問題文が与えてくれた和積の公式を使います。 とすれば 、 なので

よって

積の形になれば符号が一目。 より なので、符号は で決まります。
では で、。この範囲で となるのは のみ（ は範囲外）。よって

前後で が正から負に変わるので は負から正——たしかに極小（最小）。
最小値は (1) で作った形に を代入。、 なので

解答。。 より符号は と一致する。
では なので となるのは のみ。よって

で は負から正に変わり最小。 を に代入して

検算（数式処理と数値）。 を数式処理で計算し との差が恒等的に であることを確認 ✓。 で ✓、 ✓。
数値でも のとき の最小値は 、 ✓、最小点は 、 ✓。 でも一致 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】 や は和積公式で「積」に直すと符号が読める。問題文が公式を与えてくれているのは「これを使え」という指示。 の取り方は が目的の形になるよう逆算します。

【よくあるミス】 の解を の両方採用すること。 なので後者は範囲外です。また を のまま残して「 の式で」の指定に反すること。

〔Ⅲ〕(3)　回転体の体積

【型】 回転なので半径は 。 と1本にまとめる

【なぜこうするか】
は最小値なので がつねに成立、つまり曲線は直線 の上側にあります。（）と （）は で分かれているだけなので、体積の和は から までの1つの積分にまとめられます。

次に を簡単にします。ここでもう1つの和積公式が効きます。 として

よって

が丸ごとくくり出せる——だから問題文が で割った形を聞いているのです。

展開して を半角で落とすと

原始関数は 。上端 では 、、下端 では 、 なので の項が打ち消え、

解答。 は最小値なので 。よって

和積公式より なので

したがって より

検算（200万分割の数値積分）。 について を200万分割で数値計算すると

	数値
0.3	0.445522	0.445522
0.7	0.826510	0.826510
1.2	1.631479	1.631479

と6桁一致 ✓。数式処理でも差が恒等的に ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】直線 回転の半径は 。 が最小値なら符号を気にせず でよい。2つの部分に分かれていても回転軸が同じなら積分区間をつないで1本にできます。和積公式で を丸ごとくくり出すのがこの問題の設計。

【よくあるミス】 と を別々に計算して の代入で沈むこと（足すなら1本の積分）。また の展開で の項を落とすミス。

〔Ⅳ〕【記述式】 とガウス積分（エルミート多項式の入口）

分野：微分積分（数学III）／極限　難易度：最難　目標時間：40分

〔Ⅳ〕(1)　 の計算

【型】積の微分。 の微分は「添字がずれる」ので、2つの和の差を取ると端だけ残る

【なぜこうするか】
と書けば （ の項が ）。積の微分で

ここで は添字が1つずれた和になるのが要点です。

つまり は の最後の項 だけが欠けた和。したがって

ほとんどが打ち消えて末項だけ残る——これが (2) の不等式を生む仕掛けです。

解答。 とおくと 。

したがって

検算（数式処理）。 について を具体的に書いて微分すると

となり、いずれも と厳密に一致 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】 を含む関数の微分は「添字のずれ」で処理。 のテイラー多項式 は という美しい関係をもちます。この は「 とその近似の差」を測る道具です。

【よくあるミス】 として符号を落とすこと。また の約分（）でつまずくこと。

〔Ⅳ〕(2)　不等式 の証明

【型】(1) から が単調減少 → → 。最後に と置き換える

【なぜこうするか】
(1) より では なので は単調減少。 だから

左辺の和には の項 （正）が入っているので、 では

つまり が で成立（不等号が真に強くなるのは を落としたから）。
最後の一手は を に置き換えること。実数 に対して なので上の不等式が使えて

「 でしか言えない不等式を、変数を2乗に置き換えて全実数に拡張する」——このアイデアが (5) で「多項式×」を保証するために使われます。

解答。(1) より では なので は で単調減少。 だから で 、すなわち

左辺は の項 を含み、 では各項が 以上だから

よって で 。実数 に対して なので、この不等式に を代入して

（証明終）

検算（数値）。 で を試すと と は

と常に成立し、しかも差が急激に開く ✓（指数が多項式を圧倒する）。一般的な解答例と一致 ✓。

【定石】不等式の証明は「差を関数と見て単調性」が王道。ここでは(1) の微分結果が符号一定なので単調性が即座に出ます。 の不等式を で全実数に広げるのは頻出テクニック。この不等式の意味は「 は任意の多項式より速く0に減る」ということで、後半の極限計算の土台になります。

【よくあるミス】 を全実数で主張すること（ では の符号が の偶奇で変わるので に限る）。また「」を「」で終えてしまうこと—— を落とす段階で真に小さくなると明記しましょう。

〔Ⅳ〕(3)　 が 次式であることと の係数

【型】 と置くと 。 となり、すべてが の世界のガウス関数の微分になる

【なぜこうするか】
この問題の全体を貫く魔法の置き換えがここです。 なら 、 なので

「」がただの「」に化ける——だから漸化式 は、 と書けば

そして出発点は

がガウス関数 になる——ここが問題の心臓部です。また なので

具体的に を計算すると

漸化式を作ります。 を微分して と比べると

これで数学的帰納法が回ります。 が 次で の係数を とすると、 は 次、 は 次で最高次係数 。よって は 次で 。 より

解答。 とすると より 。また

だから で、。よって

また を微分して だから

帰納法： のとき は0次で の係数は 。 が 次で の係数が と仮定すると、 の右辺は「 次式」＋「 次式（最高次係数 ）」だから は 次で の係数は 。
よってすべての で は の 次式であり、 の係数は

検算（数式処理で を直接計算）。 から を実際に計算し、 を代入すると

となり、最高次の係数は すなわち ✓、次数も 次 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。
（参考：これらはエルミート多項式 を用いて と書ける有名な多項式列です。）

【定石】 という演算子は で になる（対数微分の言い換え）。 も覚えておく価値があります。次数と最高次係数だけを追う帰納法は、多項式列の問題の標準手法です。

【よくあるミス】 を としてしまうこと（指数は ）。また の次数を と誤って最高次の判定を間違えるミス（微分で次数は1下がる）。

〔Ⅳ〕(4)　

【型】 で置換すると被積分関数が 、区間が になる

【なぜこうするか】
(3) の置換をそのまま積分に持ち込みます。 なら で、区間は

つまり で は から まで——「 から 」という一見不思議な区間は、 の世界で対称な区間にするためだったのです。
被積分関数は 、 なので

がきれいに約分されて、残るのは「多項式の2乗 × ガウス関数」。したがって

あとは与えられた （偶関数なので全区間で ）を使うだけ。

は なので 。部分積分で

境界項は(2) の不等式から なので消え、。よって 。

解答。 とおくと 、 は に対応し

よって 。 より

より 。部分積分と (2) による境界項の消滅から なので

検算（数式処理）。 から被積分関数を作り に置換すると、それぞれ 、 になることを確認 ✓。全区間で積分すると 、 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。
参考に も同じ手順で計算すると被積分関数は 、 で、積分値は 、 ✓——(5) の と一致します。

【定石】「 から 」という区間は で から の対称区間になるという合図。 は部分積分で に帰着します（一般に も同様）。

【よくあるミス】置換で を忘れること（これがあるおかげで が消える）。また を としてしまうミス——与えられているのは から の値なので2倍します。

〔Ⅳ〕(5)　 を の式で表す

【型】 を示し、部分積分で の漸化式を作る

【なぜこうするか】
まずもう1本の関係式を用意します。(3) の から

が成り立ちます（帰納法： は ✓。 を仮定して を微分すると
✓）。
次に を部分積分します。 と見て（）

境界項は （多項式 × ガウス関数）なので、(2) の不等式から で 。よって を使って

これで漸化式 が得られました。あとは繰り返すだけ。

解答。まず から帰納法で

を得る（ は 。仮定 の下で を微分し、再び を使うと ）。
は をみたすから、部分積分により

(2) の不等式より「多項式 」は で に収束するので境界項は 。よって

だから

検算（ を数式処理で直接計算）。被積分関数を実際に作って全区間で積分すると

	被積分関数（ で）	（実測）
0
1
2
3

とすべて一致 ✓。漸化式 も 、、 と成立 ✓。一般的な解答例と一致 ✓。
（この はエルミート多項式の直交関係として知られる公式で、量子力学の調和振動子にも現れます。高校範囲の道具だけでここに到達させる、非常に野心的な出題です。）

【定石】定積分の列は「部分積分で と を結ぶ」のが定番。境界項の消滅には(2) のような「指数が多項式を圧倒する」不等式が必要——だから (2) が前に置かれています。誘導の各設問が最後の1問のために配置されていることを読み取れると、こういう大問は一気に見通せます。

【よくあるミス】部分積分の境界項を「明らかに0」と書いて済ませること（(2) を根拠として引用すべきです）。また を証明せずに使うミス。 の で となることの確認も忘れずに。