茨城大学 2014年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：「少なくとも 1 個」と書かれた瞬間に余事象を疑う型。正面から数えると「1個のとき・2個のとき・…」と場合分けが増えますが、余事象なら 1 回の引き算で終わります。

1. なぜその一手を選ぶのか

1 から 10 までのうち奇数は 5 個、偶数は 5 個です。求めたいのは「奇数が少なくとも 1 個」。その反対は「奇数が 1 個も入らない」＝ 選んだ 6 個が全部偶数、というたった 1 通りの状況です。

場合分けの数を比べれば選択は明らかです。正面から数えると奇数 1 個、2 個、…、5 個の 5 通りの場合分け。余事象なら 1 個だけ。「少なくとも」は余事象のサイン——これがこの型の判断です。

2. 解答

1. 全体：10 個から 6 個を選んで並べる方法は ₁₀P₆ = 151,200 通り。
2. 余事象：奇数を 1 個も使わない、つまり偶数 5 個だけから 6 個を並べる方法は ₅P₆ = 0 通り。（偶数は 5 個しかないので 6 個は取れず、0 通り）
3. 求める場合の数 = 151,200 − 0 = 151,200 通り。

答え： 151,200 通り

3. 検算

偶数が 5 個しかないのに 6 個選ぶので、「全部偶数」はそもそも起こりえません。だから答えが全体と一致するのは正しい挙動です。ここで 0 を書き忘れて引き算しないミスが起きやすい箇所です。

この型の一般化：「少なくとも」「1 つも〜ない」「〜を含む」はすべて余事象の候補です。判断基準は場合分けの本数——正面から数えたときの場合の数が 2 通り以上に割れ、余事象が 1 通りで書けるなら余事象を選びます。逆に「ちょうど 5 個」のように条件が 1 点に定まっているときは、余事象にすると損をします。第13章 場合の数で整理しています。