神戸大学 2019年度 過去問・解答

(1) BR f(x) をを用いて表せ.
(2) 点 (1 7(1)) における曲線 = f(a) の接線を6とする. 直線 ?
の方程式を oを用いて表せ.
(3 0<a< テ とする. (2) で求めた直線《のと0の部分と曲線
リー f(z) のェこ0 の部分およびヶ軸で囲まれた図形の面積9
の最大値と, そのときのの値を求めよ.
ーュー

2. 次のように1.3, 4を繰り返し並べて得られる数列を {g。} ETS.
1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 4, ...
すなわち, a = 1, gs = 3, gs = 4 で, 4以上の自然数ヵに対し,
Oy = ga-』 とする. この数列の初項から第ヵ項までの和を 9。とす
る. 以下の問に答えよ. (配点25 点)
(1) Sp を求めよ.
(2) Sy = 2019 となる自然数々は存在しないことを示せ.
(3) どのような自然数なに対しても, Sy = だ となる自然数々が存
在することを示せ.
ーー

3. |AB| = 2をみたすへPAB を考え, 辺 AB の中点をM, APAB の重
心をG とする. 以下の問に答えよ.
(配点25 点)
(1) (PM? を内積 PA . PB を用いて表せ.
(2) ZAGB = + のとき, PA・PB の値を求めよ.
(3) 点Aと点B を固定し PA.Pニテをみたすように点Pを生
かすとき, /ABG の最大値を求めよ. ただし, 0< ZABG <ァ
とする.
ーー

(1) 関数
f(e) = 8%
のヶ> 0における最大値とそのときのzの値を求めよ.
(2) <をcg郊 1をみたす正の実数とする. 曲線ぃ=e と曲線=z?
(z > 0) が共有点P をもち, さらに点P において共通の接線
をもつとする. 点Pのz座標ををとするとき,。と#!の値を求
めよ.
(3) %と1?を (2) で求めた実数とする. ゎ を?をみたす正の実
数とするとき, e* とz? の大小を判定せよ.
ーーュー

2. |AB| = 2をみたすへPAB を考え, 辺 ABの中点をM, APABの重
心をとする. 以下の問に答えよ.
(配点30点)
(1) |PM? を内積 PA・PB を用いて表せ.
(2) ZAGB = テ のとき, PK. PB の値を求めよ.
(3) MALABOMIEL, PA PBニーをみたすように点Pを生
かすとき,ンABG の最大値を求めよ. ただし,0</ZABG <
とする.
=

3。ヵを2以上の整数とする. 2個のさいころを同時に投げるとき, 出
た目の数の積をんで割った余りが1 となる確率を 。とする. 以下
の問に符えよ. (配点30点)
(1) Pa, By, Py BRU &.
(2) n> 36のとき, を求めよ.
(8) Praag となるをすべて求めよ.
og

A. 次のように1, 3, 4を繰り返し並べて得られる数烈を {g。} とする.
1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 4, ...・
すなわち, a = 1, a = 3, a3 = 4 で, 4 EO RRA NIHL,
On = On -3 とする. この数列の初項から第ヵ項までの和を S, LT
る. 以下の問に答えよ. (配点30点)
(1) Sp を求めよ.
(2) Sp = 2019 となる自然数ゎは存在しないことを示せ.
(3) どのような自然数をに対しても, 9。 = だ となる自然数ヵが存
在することを示せ.
ーーュー