京都大学 2016年度 過去問・解答

平成28年度入学試験問題
数 FF (LA)
150 点満点
る配点は, 学生募集要項に記載のとおり. >
往 意)
1. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで開かないこと.
2. 解答冊子は表紙のほかに 16 ページある.
3. 問題は全部で5 題ある(1 ページから 2 ページ).
4. 試験開始後, 解答國子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること. 表紙には, これら以外のことを書いてはならない.
5. 解答は解答冊子の指定された解答用ページに書くこと. REL, 続き方をはっ
きり示して計算用ページに解答の続きを書いても良い. この場合に限って計算
用ページに書かれているものを解答の一部として採点する. それ以外の場合,
計算用ページは採点の対象としない.
6. 解答のための下書き, 計算などは, 計算用ページに書くこと.
7. 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある.
8. 解答冊子は, どのページも切り離してはならない.
9. 問題周子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない.
やM3(837一23)

[1] (30 #%)
cy 平面内の領域
2+ゲS2,。 |elS1
で, 曲線C : カッ=z?十ツー の上側にある部分の面積を求めよ.
(30 st)
ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある.
「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする. この装置のボタンを 20 回
押したとき, 1 回以上「あたり」の出る確率は 36% CHS. 1 回以上「あたり」
の出る確率が 90% 以上となるためには, この装置のボタンを最低何回押せばよ
いか. 必要なら 0.3010 < logyy 2 < 0.3011 を用いてよい.
[3] (30)
7 を4以上の自然数とする. 数 2. 12, 1331 がすべて n 進法で表記されてい
るとして,
22三881
が成り立っている. このとき ヵ はいくつか. 十進法で答えよ.
sed M3 (837—24)

(30 点)
四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ.
条件 : 頂点 AB,.G からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は
対面の重心を通る.
ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の3つの頂点がなす三
角形のことをいう.
(30 #8)
実数を係数とする3次式 /(z) = a tar? +brt+clCWl, 次の条件を考える.
(A) 方程式 /(z) = 0 の解でもるすべての複素数 o に対し, a8 もまた f(x) =0
の解である.
(a) 方程式げ(>) = 0 は虚数解を少なくとも 1 つもつ.
この2つの条件 (イ), (A) を同時に満たす 3 次式をすべて求めよ.
問題は。 このページで終わりである.
oe WD) == M3 (837—25)

(1) を2 以上の自然数とするとき, 関数
fn(9) = (1+ cos6) sin"! の
の0S9< 5 における最大値 7。 を求めよ.
2) im (Mz)" を求めよ
(30点)
BL p,q を用いて
p+
と表される素数をすべて求めよ.
[3] (35 #8)
四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ.
条件 : BUM A,B,C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は
対面の外心を通る.
REL, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の3つの頂点がなす三
角形のことをいう.
= 4 M4 (837—27)

[4] (35 点)
zgz 空間において, 平面タニタッの中で
If s SE 1, 0ミッミloge
で与えられる図形 を考える. ただしは1 より大きい定数とする.
この図形 % y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
[5] (35 点)
acy 平面上の6 個の点 (0,0), (0,1), (1,0), (1.1),(2,0),(2, 1) が図のように長さ
1 の線分で結ばれている. 動点 lS, これらの点の上を次の規則に従って 1 秒ご
とに移動する.
規則 : 動点Xは, そのときに位置する点から出る長さ 1 の線分によって_
結ばれる図の点のいずれかに, 等しい確率で移動する. -
例えば, X が (2,0) にいるときは, (1.0)。(2,1))のいずれかに 5 の確率で移動す
る. またXXが(1,1) にいるときは, (0,1), (1,0), (2,1) のいずれかに 3 の確率で
移動する.
時刻 0 で動点XがO =(0,0) から出発するとき, ヵ 秒後にXのz座標が0で
ある確率を求めよ. ただしヵは0 以上の整数とする.
y

om eel M4 (837—28)

回 . (3558)

複素数を係数とする 2 次式 f(x) = 2? tax+ bICML, 次の条件を考える.
(イ) 7(Z?) は f(a) で割り切れる.
(A) fla) の係数 ,5の少なくとも一方は虚数である.
この2つの条件 (1), (A) を同時に満たす 2 次式をすべて求めよ.

ヽ
問題は このページで終わりである.
ee M4 (837—29)