藤原進之介です。このページでは防衛大学校2007年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：累乗の余りは必ず循環します。だから「一般の n で求めよ」と言われたら、実際に何乗かして1 に戻るまでの周期を見つけるのが定石です。
1. なぜその一手を選ぶのか
余りは 0 から 12 の 13 通りしかありません。だから 71, 72, … の余りを並べていけば、いつか必ず同じ値が現れて循環します（鳩の巣原理）。
実際に計算すると、712 ≡ 1 (mod 13) で 1 に戻ります。つまり周期は 12。あとは n を 12 で割った余りだけ見れば答えが決まります。
2. 解答
- 71 ≡ 7 、72 ≡ 10 、… と順に計算する。
- 712 ≡ 1 (mod 13) となり、ここから同じ並びが繰り返される。周期は 12。
- n を 12 で割った余りで分類すると下表のとおり。
12 で割った余り 7n を 13 で割った余り n ≡ 1 7 n ≡ 2 10 n ≡ 3 5 n ≡ 4 9 n ≡ 5 11 n ≡ 6 12 n ≡ 7 6 n ≡ 8 3 n ≡ 9 8 n ≡ 10 4 n ≡ 11 2 n ≡ 0 1
答え： n を 12 で割った余りが 1, 2, …, 11, 0 のとき、それぞれ 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1（周期 12）
3. 検算
n = 1 のとき 7 を 13 で割った余りは 7 で、表の「余り1」の欄と一致します。また n = 13 のときも 7 に戻るはずで、実際 713 ≡ 7 。周期の主張は「1周した先が最初に戻る」ことを1点だけ確かめれば足ります。
この型の一般化：累乗の余りは a と法が互いに素なら、周期はフェルマーの小定理（法が素数 p なら ap−1 ≡ 1）やオイラーの定理で上から押さえられます。ただし実際の周期はそれより短いことが多いので、試験では素直に計算して 1 に戻る回数を探すのが速い。互いに素でないとき（今回のような）は循環に入る前の助走がつくことがあるので、必ず n = 1 から書き出します。第2章 整数で合同式の使い分けを整理しています。
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防衛大学の数学の過去問は9年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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防衛大学校 2007年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 整数
- 指数・対数
- 図形・三角関数
- 方程式・不等式
- 空間図形
- 複素数
この年度の出題範囲と傾向
2007年度の問題PDFでは、微分・積分、関数・グラフ、整数、指数・対数、図形・三角関数に関する語句や設問を確認できました。防衛大学校の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は9年度、関数・グラフは9年度、微分・積分は9年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、整数、関数・グラフ
gぐ5 とする。
(2) (1) における 2 本の接線 。 と放物線で囲まれる部分の面積 9 を求めよ。
(3) 0 <#!<6 とする。 放物線上に点 P(t, 2 +6t) LK Q(6,0) をとり,P から z 軸に垂線 PH ETAT. COLE,
APQH の面積を最大にする # の値と面積の最大値 の を求めよ。
[2] sete 2, y at
y= 107 -10-7+"
という関係を潜たすとき, 次の問に答えよ。
(1) z をゅの式で表せ。
(2) 2, がともに整数であるとき, y のとり得る値をすべて求めよ。
(3) z が 2く>く4 を満たす実数で, y は整数であるとき, y のとり得る値は全部で何個あるか。
[3] ay ¥HLEA P(e,y) が原点(0.0) から出発して,
T(a,y) からは (w+ Ly) か (zy +1) へ移動する」
という条件を満たしながら動く。このとき, 次のアからケにあてはまる 0 から 9 までの数字を答えよ。
(1) (2,2) SM STIEM (4,4) へ行く方法は | アミイ |通りである。
(2) 点 6,4) べちょうど3 回曲がって行く方法は | ウエ| 通りである。
(3) A (2,2) GA (0,5) も通らずに点 (3,5) へ行く方法は [FT] 通りである。
(4) 8 (0,5) BAK (4,0) BAK (7,1) MSTA (7,5) へ行く方法は [キクミケ | 通りである。
[4] #71 (0,3 を
1 =1, Ong = Daetn? os
rat
で定めるとき, 次の問に答えよ。
(1) cs の値を求めよ。
(2) angi (n 22) を an とヵの式で表せ。
(3) On =an+2n (mp 1) とおくとき、6。+1 (n 22) Fb, との式で表せ。
(A) ay. の値を求めよ。
Muse一1の
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、指数・対数、図形・三角関数、整数、方程式・不等式
(2) 1
(3) 3
5 .
(4) す
(5) 上のどれでもない。
[2] wa / ーー の仙は次のどれか。
-4 1+2—2z'
(1) tog 3
(2) Elog 3
(3) $ log 10
(4) tog 2
(5) 上のどれでもない。
関数 f(x) =cosz(3cosz+sin?z) の最大値は次のどれか。
(1) 3
(2) 6+v2
5+2VS
(3) S428
(4) 15 +.2v3
(5) 上のどれでもない。
_ sw 1 一 のM15(674一!02)
関数 f(z) = z2ーlogz (>>0) の最小値は次のどれか。
(1) 1 ‘
(2) ze +1
1+log2
(Da
(3) ィ†log2
(5) 上のどれでもない。
se {2 | m, nik min <6 を満たす自然数} の要素の人数は次の
どれか。
(1) 9
(2) 11
(3) 13
(4) 15
(5) 上のどれでもない。
2ァ
16 | #58 Pye) (n= 1,2,3,---) を Pilz) =a, Prsale) =/ tP,() dt
(n =1,2,3,---) により定めるとき, Pio(z) の次数は次のどれか。
(1) 1436
(2) 1534
(3) 1642
(4) 1720
(5) 上のどれでもない。
ーー 2 一 M15 (674—103)
AR lim (1 - 200)# の仁は次のどれか。
=
(1) e?
(2) 〆
(3) e-?
(4) e?
(5) 上のどれでもない。
HR P(x) について, Pla) を ェー 2 で割ったときの余りが 3, P(P(?)
をァー2 で割ったときの余りが 4 であるとする。このとき, Plz) を
(々ー2)(z - 3) で割ったときの余りは次のどれか。
(1) 22-1
(2) -z+5
(3) 3
(4) 241
(5) 上のどれでもない。
19 | X,¥,Z, W, W, W の 6 文字を全て使って得ちられる文字列のうち, 2 つ
以上の W が隣り合わないものの総数は次のどれか。
(1) 24 」
(2) 48
(3) 96
(4) 120
(6) 上のどれでもない。
— 3 一 のM15 (674一104)
点 (x,y) が連立不等式 oP ty? く5, 2zッニ0 の表す領城を動くと
き, 29 の最小値は次のどれか。
Q) -4
(2) -3
(3) -2
(4) -1
(5) 上のどれでもない。
eR / | - 9(ヶ9|gz の値は| |でぁる。
a,b を実数とする。 複素数 1一? を解に持つ方程式 z% 5z2?+gz+5=0
の実数解は | | でぁる。
平面上の 3A (1,3), (7,5), (0,4) を頂如とする三角形の面積が 5 であ
るとき, 正の数 c の値は| | である。
xt I= 58) owe (| cos.
平面^クトル a, B について, [e420] =1, [2a Bl =1 であると
き, | -35 | のとり得る値の最大値は | | である。
ー4 一 M15 (674105)
問3画像OCR
検出分野: 微分・積分、関数・グラフ、整数、空間図形
<<5 とする。
(2) (1) における 2 本の接線 7, m と放物線で囲まれる部分の面積 9 を求めよ。
(3) 0 <!<6 とする。 放物線上に点 P(も 誠二60) と点 Q(6,.0) をとり,P から 軸に垂線 PH EFSF. COLE,
APQH の面積を最大にする+の値と面積の最大値 7 を求めよ。
実数が
y= 10" — 10741
という関係を満たすとき, 次の問に答えよ。
(1) z をヵの式で表せ。
(2) z, y がともに整数であるとき, y のとり得る値をすべて求めよ。
(3) xz が2くzく4を満たす実数で, y は整数であるとき, y のとり得る値は全部で何個あるか。
[3] ay 平面上を上 P(q) が原点 (0,0) から出発して,
T(a,y) からは (e+ 1,y) か (cy +1) へ移動する」
という条件を満たしながら動く。このとき, 次のアからケにあてはまる 0 から 9 までの数字を答えよ。
(1) (2,2) を通らずに点 (4,4) へ行く方法は 通りである。
(2) 上 (6,4) へちょうど 3 回曲がって行く方法は | ウほエ| 通りである。
(3) 点 (2,2) BAR (0,5) も通らずに点 (3,5) へ行く方法は は訪|通りでぁる。
(4) A (0,5) も点 (4,0) BA (7,1) も通らずに点 (7,5) へ行く方法は [キクミケ| 通りである。
[4] #7 f0,} *
ゆうモエ(すり
isl
で定めるとき, 次の問に答えよ。
(1) c。 の値を求めよ。
(2) angi (n 22) を an とヵ の式で表せ。
(3) な= cn十2n (nZ1) とおくとき。 bays (n = 2) Edn とn ORTH,
(4) ay, の値を求めよ。
oir 74-107)
(Hho 2)
Bate f(a) = EEE owe, ROMA L.
(1) BLE lim f(z) を求めよ。
(2) f(z) を最大にする z Offa と最大値 M, および, f(z) を最小にする z Of b CMAME m を求めよ。
mext