大阪大学 2006年度 過去問・解答

大阪大学 2006年度（平成18年度）前期日程 数学の全問解説です。文系が3題、理系が5題で、共通問題はなく全8題12小問。文系第3問と理系第2問は「」という同じ形の条件を扱う姉妹問題になっています。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる数値検算（20万点走査・数値積分・sympy による恒等式の厳密検証・重心の内部判定の全数照合・角度の実測） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 文系第3問と理系第2問が「同じ条件式の姉妹問題」。どちらも の形で、文系は 軸・ 軸、理系は ・ を使います。文系が 、理系が と、どちらも直角双曲線になるのは偶然ではありません（座標軸を 回すと重なります）。
• 理系第3問は「(1) がそのまま (2) の帰納法の道具」という露骨な誘導。(1) で作った部分分数分解を として 倍すれば、そのまま の橋渡しになります。誘導に乗れるかどうかだけの問題です。
• 理系第5問は「折り返して一直線に伸ばす」と一瞬で終わる。4つの角の等式は「入射角＝反射角」なので、正方形を鏡のように折り返していくと A から出た光線が P, Q, R で反射して S に届くという状況になります。一般的な解答例はこの見方を採っています。

【1】3次関数が区間で0以上（文系 第1問）

の範囲

【型】「区間で常に0以上」はその区間での最小値が0以上と言い換える型。まず端の値で候補を絞ってから最小値を調べると速い。

【なぜこうするか】いきなり増減表を書こうとすると が区間のどこにあるかで場合分けが増えます。先に と という「必要条件」で を狭めておくと、 の位置が自動的に決まって場合分けが消えます。

まず必要条件で絞ります。

から が必要です。以下、この範囲で考えます。

次に最小値を調べます。

なので 、つまり は必ず区間 の中にあります。よって増減は次のとおりです。

最小値は

これが0以上であればよいので

なので、 のとき成立、 のときは 、すなわち 、つまり 。

検証： を から まで 刻みで動かし、各 について を20万分割して の最小値を調べたところ、 となるのはちょうど でした（ で最小値 、 で ）。

【2】連分数と対数の評価（文系 第2問）

(1)　 を求める

【型】連分数は「整数部分」と「1より小さい残り」に分けて、外側から順に決める型。

【なぜこうするか】 かつ なので 、したがって 。つまり は の整数部分です。ここが決まれば残りが決まり、同じことを繰り返せば も決まります。

を決めます。 より 。一方 なので

を決めます。

逆数をとって

なので はこの値の整数部分です。 より

(2)　 の証明

【型】対数の大小は両辺を「底の累乗」に直して整数の比較に落とす型。

【なぜこうするか】 のままでは大小が見えません。不等式の両辺を指数に持ち上げれば、分数の比較という誰にでも確かめられる形になります。分母を払うために、指数は両辺の分母の最小公倍数倍にします。

(1) より なので

底 なので、これは

と同値です。両辺は正なので3乗しても大小は変わりません。

これは成り立つので、 が示されました。（証明終）

検証： なので 、、 より 。確かに です。また も確認しました。

【3】ベクトル条件と軌跡（文系 第3問）

を求める

【型】軌跡は傾きを媒介変数として R の座標を書き、その文字を消去する型。

【なぜこうするか】直線 を決めるのは傾き1つだけなので、すべてを傾き で表せば R も だけの式になります。あとは の関係だけを残せば軌跡が出ます。

が 軸とも 軸とも交わるので、 は縦にも横にもならず、傾きを として

と書けます。 とおくと 、 とおくと なので

与えられた条件から

R の座標を とおくと 、。この2式から を消去します。掛け合わせると

検証：傾き を から まで 刻みで動かして R の座標を計算し、すべてで が 以内で成り立つことを確認しました。

この問題の見方： は 「四角形 PAQR が平行四辺形」という意味です（対角線の中点が一致する条件）。理系第2問【5】は、これとまったく同じ条件を 軸・ 軸のかわりに で行ったものです。

【4】 と （理系 第1問）

(1)　共有点の 座標と接すること

【型】「接する」＝値が一致し、かつ微分係数も一致。2つとも確かめる型。

【なぜこうするか】共有点であることは「値が一致」だけですが、接するにはもう1つ「傾きも一致」が必要です。差の関数 を作って を言うのが一番短く、重解であることの説明にもなります。

共有点を求めます。

⟺ ⟺ または

となるのは （ は整数）。 のものを小さい順に並べると なので

の 座標は

接することを示します。差の関数を

とおきます。微分すると

では なので、

値も傾きも一致するので、2つのグラフは で接しています。（証明終）

検証： について と （差分近似）を計算したところ、いずれも （誤差 未満）でした。

(2)　囲まれる部分の面積

【型】 は半角で次数を下げる。 の積分は部分積分。

【なぜこうするか】2点 はどちらも直線 上にあるので、線分 は直線 の一部です。そして （）なので、直線が常に上。差を素直に積分すれば面積です。

、 とおくと 、 です。

前半は

後半は部分積分で

ここで 、 はどちらも の奇数倍なので 、。したがって後半は 0 になります。

検証： について数値積分すると 。 の値と9桁一致しました。

【5】直交2直線と軌跡（理系 第2問）

Q の軌跡が双曲線であることの証明

【型】直線を媒介変数（傾き）で表し、Q の座標を求めてからその媒介変数を消去する型。

【なぜこうするか】「 を漸近線とする双曲線」とは （0でない定数） の形のことです。だから目標は「 が によらず一定」を示すこと。この形を狙って計算を組み立てます。

A は 上にないので 、特に です。

まず が傾き をもつ場合を扱います。 とし、 とおきます。

との交点は から 。よって 、（）。

との交点は から 。よって 、（）。

条件から なので、 とすると

ここで を計算します。、 なので

右辺を計算すると

一方 なので、。したがって

また より と合わせると

よって

それぞれ平方完成すると 、すなわち

が縦線（）の場合も確かめます。このとき 、 なので 。確かに を満たします。

なので は双曲線で、その漸近線は 、すなわち 、つまり と です。（証明終）

検証： の3通りについて、傾き を から まで 刻みで動かし（ は除く）、 が から 以上ずれた は1つもありませんでした。縦線の場合も確認済みです。

文系第3問との関係：座標軸を 回転すると は 軸・ 軸になり、（定数）は （定数）の形に変わります。文系第3問の と本問は、同じ図形を違う向きから見たものです。

【6】部分分数分解と二項係数の恒等式（理系 第3問）

(1)　定数 を定める

【型】部分分数分解の係数決定は両辺に分母を掛けて多項式の恒等式にし、係数を比較する型。

両辺に を掛けると、右辺の第1項は が、第2項は が残るので

これが についての恒等式なので、両辺の係数を比べて

の係数：、　定数項：

つまり (1) が言っているのは次の関係です。この形で覚えておくと (2) で使いやすくなります。

(2)　二項係数の恒等式の証明

【型】 についての等式は数学的帰納法。(1) を「 から への橋」として使う型。

【なぜこうするか】(1) の等式で とおいて両辺に を掛けると、左辺が 版の左辺、右辺が 版の左辺2つの差になります。つまり (1) は「 版を 版に還元する装置」としてそのまま使えます。誘導の意図はここにあります。

[I]　 のとき

左辺 、　右辺

で一致します。

[II]　 で成り立つと仮定します。すなわち

(1) の等式で 、 とし、両辺に を掛けると

右辺の第1項は③そのもの、第2項は③の を に置き換えたものなので

第2和で と置き直すと なので、符号を移して合わせると

ここでパスカルの三角形の関係 が使えます。さらに 、 なので、3つの部分がきれいにひとつの和にまとまって

これは のときの等式です。

[I], [II] より、すべての自然数 について与えられた等式が成り立ちます。（証明終）

検証：sympy（記号計算）で について両辺の差を通分・簡約したところ、すべて厳密に 0 になりました。(1) の についても で同様に確認しています。

【7】重心が三角形の内部にある条件（理系 第4問）

条件と図示

【型】「三角形 OPQ の内部」は、 と書いたときの に翻訳する型。

【なぜこうするか】三角形 OPQ の内部の点は、2辺 OP, OQ を基底にして「係数がどちらも正で、和が1未満」と書けます。基底を から に取り替えるだけで条件が読めます。

で、、 なので

は一次独立なので、この表し方は一通りです。 より係数は自動的に正なので、内部にある条件は「係数の和が1未満」だけです。

図示しやすい形に整えます。両辺に を掛けて定数を足すと

範囲を読み取ります。境界は という双曲線で、 のとき 、 のとき 、対称軸 上では を通ります。この双曲線より右上側が求める範囲です（境界は含まない）。

検証：実際に三角形を1つ取り（）、 を から まで 刻みで動かして「G を で表したときの係数が正で和が1未満か」を直接判定したところ、「」との不一致は0件でした。

【8】正方形の中の4点と面積（理系 第5問）

3つの角の条件が意味すること　 は、辺 BC を鏡と見たときの「入射角＝反射角」です。同じことが Q, R でも起きているので、この条件は「A から出た光線が P, Q, R で反射して S に届く」という状況を表しています。

直角三角形の相似で言い換えると、 となり、すべて「短辺:長辺 」の相似形です。

(1)　 のとりうる範囲

【型】相似比を順に使って4点の位置をすべて で表し、「各点が辺の内部にある」条件を全部書き出す型。

【なぜこうするか】条件は「頂点と一致しない」だけなので、4つの長さがすべて0と1の間にあることを要求します。どれが一番きつい条件かは計算してみないと分かりません。

は の直角三角形。相似を順に使うと

たとえば は、 が と相似で「 が長辺側」だから 。 です。

各点が辺の内部にある条件（すべて0より大きく1より小さい）を並べると

• より
• より
• より
• より 、すなわち

一番きついのは最後の条件です。

検証： では4点すべてが辺の内部にあり、 では となって S が辺 AB からはみ出すことを確認しました。また各 で3つの角を実際に計算し、 などが小数第6位まで一致することも確認しています（例： で と ）。

(2)　 の最大値

【型】複雑な多角形の面積は全体から余分な三角形を引くのが早い型。最後は の形が出るので相加相乗。

【なぜこうするか】四角形 PQRT を直接分割するより、正方形から4つの直角三角形を引くほうが式が簡単です。 は T が線分 SR 上の点なので のちょうど半分になります（ から）。

（正方形）

各三角形の面積は「（2辺の積）」で計算できます。

4つの三角形の面積はそれぞれ次のとおりです（ だけは の半分であることに注意）。

合計を計算します。分母を にそろえると分子は になるので

したがって

で なので相加平均・相乗平均の関係より

等号は 、すなわち 、 のとき。これは を満たすので実現できます。

の最大値 　（ のとき）

検証：4点の座標を から計算し、四角形 PQRT の面積を靴ひも公式で直接求めたところ、 のいずれでも と9桁一致（例： で ）。区間を200万分割して最大を探すと （）で、 と一致しました。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、 と の二重走査での最小値判定／傾きを細かく動かしての軌跡の全点確認／数値積分／sympy による恒等式の厳密な簡約／重心の内部判定を の全格子で条件式と照合／4点の角度を実測して等式を確認／靴ひも公式での面積の直接計算、を行いました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

【7】について、一般的な解答例は の形で答えています。本ページでも同じ形にそろえました（ と同値です）。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。