藤原進之介です。このページでは法政大学2012年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
三角形OABにおいて 、、
そのなす角が である。三角形OABの面積と を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 3 、|OB| = 7 、挟角 60° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 60° = 12 × 3 × 7 × √32 = 21√34 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 60° = 3 × 7 × 12 = 212 。
答え： 面積 = 21√34 、 OA · OB = 212
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 60° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 21 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
法政大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 法政大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 法政大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
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法政大学の数学の過去問は29年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
法政大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 整数
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 空間図形
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、整数、方程式・不等式、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。法政大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は29年度、微分・積分は29年度、方程式・不等式は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、確率・場合の数、整数
: 2012 年度入学試験問題 216
法学部A方式H 日程・国際文化学部A方式
キャリアデザイン学部A方式
3 限 選択科目 (60分)
HE ページ RA ページ
Roa 2~21 日 本 BR 22~32
世界 & 34~51 地 理 52~65
数 学 66~68
〈注意事項>
1. 試験開始の合図があるまで, 商題百子を開かないこと。
2. 解答はすべて解答用紙に記入しなさい。
3. 試験開始後の科目の変更は認めない。
4. 数学については以下の注意事項も参照すること。
MER RPO CTE,
・解答はおもて面に記入すること(裏面は採点の対象にならない)。
・その他。 解答用紙に記載された指示にしたがい解答するごと(この指示どおりで
ない場合は採点の対象としない)。
ER, TUNA, 電卓の使用は診めない。
5. マークシート解答方法については以下の注意事項を読みなさい。
マークシート解答方法についての注意
マークシート解答では鉛筆でマーク したものを機械が直接読みとって採点する。したがって解答は
BB ORMECY— 7 FOIE ARE, ボールペン、 シャープペンシルななどを使用しないこと)。
RALORE
1. BARE REC RCV-IT OME.
Q) ELey-7 of @) 悪いマークの例
| prseameense.
〇でかこまないとと。
2, 解符を訂正する場合は。消しゴムでよく消してから。 あらためてマークすること。 ・
3. 境答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定きれた数よりゃ多くマークしないこと。
8 Pat
ath
(数 学)
CI) fm =12タ10* 9|とおく。
G) ニア(の のグラフをかけ。
(20- y=fle) のグラフと直線ヶ =-gr キエがちょうど4個の共有点をもつような,
実数の定数 の値の範囲を求めよ。
Bafa
(I) /Aー 90"である直角三角形ABC において, D は辺 BC上の点で, へABD の
3 辺の長きの和が1073, かつsin ZBAD : sin ZABD・simンADB =4:5:6
を満たすとする。
QQ) AB の長きを求めよ。
(2), AABD の面積を求めよ。
(3) AACD の面積を求めよ。 2
ーー一
(Ml) きいころを 3 回投げるとき, 1H, 2 回目, SMAKMSBeenen,g,
_ ky EBS, SHH, 大雨大十ね十訪を4で割った余りをそれぞれ
5 EBC 次の場合の確率を求めよ。
11 male
(2) 名が1。
8) m4, 玉吉がすべて等しい。
@ on, m, 旭が互いに異なる。
。 SB
法学部A方式H 日程・国際文化学部A方式
キャリアデザイン学部A方式
3 限 選択科目 (60分)
HE ページ RA ページ
Roa 2~21 日 本 BR 22~32
世界 & 34~51 地 理 52~65
数 学 66~68
〈注意事項>
1. 試験開始の合図があるまで, 商題百子を開かないこと。
2. 解答はすべて解答用紙に記入しなさい。
3. 試験開始後の科目の変更は認めない。
4. 数学については以下の注意事項も参照すること。
MER RPO CTE,
・解答はおもて面に記入すること(裏面は採点の対象にならない)。
・その他。 解答用紙に記載された指示にしたがい解答するごと(この指示どおりで
ない場合は採点の対象としない)。
ER, TUNA, 電卓の使用は診めない。
5. マークシート解答方法については以下の注意事項を読みなさい。
マークシート解答方法についての注意
マークシート解答では鉛筆でマーク したものを機械が直接読みとって採点する。したがって解答は
BB ORMECY— 7 FOIE ARE, ボールペン、 シャープペンシルななどを使用しないこと)。
RALORE
1. BARE REC RCV-IT OME.
Q) ELey-7 of @) 悪いマークの例
| prseameense.
〇でかこまないとと。
2, 解符を訂正する場合は。消しゴムでよく消してから。 あらためてマークすること。 ・
3. 境答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4. 問題に指定きれた数よりゃ多くマークしないこと。
8 Pat
ath
(数 学)
CI) fm =12タ10* 9|とおく。
G) ニア(の のグラフをかけ。
(20- y=fle) のグラフと直線ヶ =-gr キエがちょうど4個の共有点をもつような,
実数の定数 の値の範囲を求めよ。
Bafa
(I) /Aー 90"である直角三角形ABC において, D は辺 BC上の点で, へABD の
3 辺の長きの和が1073, かつsin ZBAD : sin ZABD・simンADB =4:5:6
を満たすとする。
QQ) AB の長きを求めよ。
(2), AABD の面積を求めよ。
(3) AACD の面積を求めよ。 2
ーー一
(Ml) きいころを 3 回投げるとき, 1H, 2 回目, SMAKMSBeenen,g,
_ ky EBS, SHH, 大雨大十ね十訪を4で割った余りをそれぞれ
5 EBC 次の場合の確率を求めよ。
11 male
(2) 名が1。
8) m4, 玉吉がすべて等しい。
@ on, m, 旭が互いに異なる。
。 SB
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ
(1) 0から3までの数字が1つずつ書いてある4個のが入った袋がある。
QG) 袋から 1 個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し,
も う一度袋から 1 個の玉を取り出すとき, 最初に取り出きれた玉に書かれた数
と後に取り出された玉に守かれた数との積の期待値を求めょ。
(2) 袋から 2 個の玉を同時に取り出すとき, それらに購かれた 2 個の数の稿の期
待値を求めょ。 :
(3) BPS 1 個の玉を取り出してそれに書かれた数をを確認してから玉を袋に
EL, 今度は袋からぁ個の玉を同時に取り出すとき, 最初に取り出きれた玉
に書かれた数と後に取り出さ LEECH PRE RMD RO, 全部で
(ゅ& 1) 個の数の積の期待値を求めよ。ただし, 0 個の玉を取り出すとは玉
を取り出きないこととし, 1 個の数の積とはその数のこととする。 、
(I) 直線)ヵー5*一9を7 とおく。 また, ぁは実数の定数とする。
QO) 放物線ヵーニ2十gw一3の頂点が上にあるような実数の値をすべて求め
.
(2) 放物線ニー +a +k OWRAL EKSALIBKEMaA MPR. LI
つ存在するためのぁに関する条件を求めよ。
(3) 実数の定数とに対し, 放物線ッニ*2十gz十をとーー巡十gy 十ん
の頂点がともに2上にあり, それら 2 頂点の間の距離が 13 であるとき, RO
値を求めよ。
ー67 一 -
CEFR BE OCS BI .
四角形 ABCD は, 4 つの内角がいずれも 190 より小さく, AB=3, BCニア2
CD ニゾ6, AD =1 を満たすとする。
(1) ZBAD = 60"のとき, cos BCD の値を求めよ。
(2) 90'ミンBAD であり, AABD osemoven 215 のと き, ABCD OF} -
」 接円の半径を求めよ。
CE AMI)
0<2く2zとする。
Q) sin9一3 cos9のテー1を満たすの値の範囲を求めよ。
(2) 1)で求めた範囲ののについて, 4cos*9十3/3 cos9 の最大値と最小値を求
Hk EK, そのときの9の値を求めよ。
(3) ぁは実数の定数とする。 4cos'9 +373 cos*のをかつsin9 一73 cosのミー1 -
を満たす 9が, ちょうど3個存在するような, をの値の範囲を求めよ。
— 68 一
QG) 袋から 1 個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し,
も う一度袋から 1 個の玉を取り出すとき, 最初に取り出きれた玉に書かれた数
と後に取り出された玉に守かれた数との積の期待値を求めょ。
(2) 袋から 2 個の玉を同時に取り出すとき, それらに購かれた 2 個の数の稿の期
待値を求めょ。 :
(3) BPS 1 個の玉を取り出してそれに書かれた数をを確認してから玉を袋に
EL, 今度は袋からぁ個の玉を同時に取り出すとき, 最初に取り出きれた玉
に書かれた数と後に取り出さ LEECH PRE RMD RO, 全部で
(ゅ& 1) 個の数の積の期待値を求めよ。ただし, 0 個の玉を取り出すとは玉
を取り出きないこととし, 1 個の数の積とはその数のこととする。 、
(I) 直線)ヵー5*一9を7 とおく。 また, ぁは実数の定数とする。
QO) 放物線ヵーニ2十gw一3の頂点が上にあるような実数の値をすべて求め
.
(2) 放物線ニー +a +k OWRAL EKSALIBKEMaA MPR. LI
つ存在するためのぁに関する条件を求めよ。
(3) 実数の定数とに対し, 放物線ッニ*2十gz十をとーー巡十gy 十ん
の頂点がともに2上にあり, それら 2 頂点の間の距離が 13 であるとき, RO
値を求めよ。
ー67 一 -
CEFR BE OCS BI .
四角形 ABCD は, 4 つの内角がいずれも 190 より小さく, AB=3, BCニア2
CD ニゾ6, AD =1 を満たすとする。
(1) ZBAD = 60"のとき, cos BCD の値を求めよ。
(2) 90'ミンBAD であり, AABD osemoven 215 のと き, ABCD OF} -
」 接円の半径を求めよ。
CE AMI)
0<2く2zとする。
Q) sin9一3 cos9のテー1を満たすの値の範囲を求めよ。
(2) 1)で求めた範囲ののについて, 4cos*9十3/3 cos9 の最大値と最小値を求
Hk EK, そのときの9の値を求めよ。
(3) ぁは実数の定数とする。 4cos'9 +373 cos*のをかつsin9 一73 cosのミー1 -
を満たす 9が, ちょうど3個存在するような, をの値の範囲を求めよ。
— 68 一
問3画像OCR
検出分野: 整数、方程式・不等式、ベクトル、関数・グラフ、図形・三角関数
(1) 正しいマークの例 (32) 悪いマークタの合
PIA SRW Lo ;
.
2. 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。 ーー
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。 B
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
RY »
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。 -
文学部は〔T ], 〔TT],〔文学部和〕
経営学部は〔T〕, C1), CAI
。 人間環境学部は[1 〕, (0), 〔人間環境学部由]
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。 .
CL) 遂立不等式
at2yS2e@+a+3, x2at+1, y2a
ORT BME DLBK. KEL, g は実数の定数とする。 また, M(x, ッ) がの
上を動くときの, * エ了の最小値を m, 最大値を 好 とおく。
Q) gニ1のとき, の を図示せよ。さらに, TOLEOmMEM の値を求めよ。
2) 人 となるような。の値を求めよ。
(3) M の値が最小となるような。の値と, そのときの 7 の値を求めよ。
ー 7一
(1) 0から6までの 7個の数字の中から異なる 3 個の数字を用いて, 3 桁の整数を
つくる。 」
(1) 5の倍数は全部で何個できるか。
(2) 一の位,十の位。百の位にある 3 つの数の積が5 の倍数となるものは金部で.
何個できるか。なお, 0は5の倍数である。
(3) 一の位, FOL, 百の位にある 3 つの数の和が5 の倍数となるものは全部で
何個できるか。
ーーカー
【文学部自]
2次方程式Z%す2gx十4の2一Ag 十4王0を(*)とおく。ただし, ahh ©
数の定数とする。
(1) ヵ=8のとき, (*)が実数解を持たないようなcg の値の範囲を求めよ。
(2) 一1 以上の全ての4に対して(*)が実数解を持たないようなんの値の範囲を
求めよ。
〔経営学部四]および[人間環境学部息]
1 辺の長きが1 の立方体 ABCDEFGH において, 2 辺 DH, GH の中点をそれぞ
AM, N とおく。 さらに, 3 つの線分AC, AM, AN が平面DE と交わる点をそ
れぞれP, Q, R とおく。
」 (1) ベクトル AQ AB, AD, AEで表せ。
(2) ベクトル AR を AB, AD, AE で表せ。
(3) 三角形 PQR の面積を求めよ。
ーー
PIA SRW Lo ;
.
2. 解答を訂正する場合は,消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。 ーー
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。 B
4. 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
RY »
(数 学)
受験学部により, 解答する問題は以下の通り。 -
文学部は〔T ], 〔TT],〔文学部和〕
経営学部は〔T〕, C1), CAI
。 人間環境学部は[1 〕, (0), 〔人間環境学部由]
なお, 指定された問題以外は採点の対象としない。 .
CL) 遂立不等式
at2yS2e@+a+3, x2at+1, y2a
ORT BME DLBK. KEL, g は実数の定数とする。 また, M(x, ッ) がの
上を動くときの, * エ了の最小値を m, 最大値を 好 とおく。
Q) gニ1のとき, の を図示せよ。さらに, TOLEOmMEM の値を求めよ。
2) 人 となるような。の値を求めよ。
(3) M の値が最小となるような。の値と, そのときの 7 の値を求めよ。
ー 7一
(1) 0から6までの 7個の数字の中から異なる 3 個の数字を用いて, 3 桁の整数を
つくる。 」
(1) 5の倍数は全部で何個できるか。
(2) 一の位,十の位。百の位にある 3 つの数の積が5 の倍数となるものは金部で.
何個できるか。なお, 0は5の倍数である。
(3) 一の位, FOL, 百の位にある 3 つの数の和が5 の倍数となるものは全部で
何個できるか。
ーーカー
【文学部自]
2次方程式Z%す2gx十4の2一Ag 十4王0を(*)とおく。ただし, ahh ©
数の定数とする。
(1) ヵ=8のとき, (*)が実数解を持たないようなcg の値の範囲を求めよ。
(2) 一1 以上の全ての4に対して(*)が実数解を持たないようなんの値の範囲を
求めよ。
〔経営学部四]および[人間環境学部息]
1 辺の長きが1 の立方体 ABCDEFGH において, 2 辺 DH, GH の中点をそれぞ
AM, N とおく。 さらに, 3 つの線分AC, AM, AN が平面DE と交わる点をそ
れぞれP, Q, R とおく。
」 (1) ベクトル AQ AB, AD, AEで表せ。
(2) ベクトル AR を AB, AD, AE で表せ。
(3) 三角形 PQR の面積を求めよ。
ーー
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、数列、微分・積分、整数
(1) ぁの値を求めよ。
(2) 数列) の一般項を求めよ。
(3) Gy = ay + Lb, ET Bo {が等比数列となる正の整数2 を求めよ。また,
この{ce} に対し S.= Big eke.
CI} piir@) =だ2キテー3 について, つぎの問いに答えよ。
Q) f(z) の極値を求めよ。
Q cを実数とする。 曲線ッーア7) 上の異なる 2 点(g, M@), (一 e。 アーの)
における接線をそれぞれムム, とするとき, ムとんの交点の軌跡を表す曲線
y= 9(r) を求めょ。
(3) 曲線>=g(*) とヶ MBL UW s = 2で開まれた図形の面積を求めよ。
ー60一 -
(2) 数列) の一般項を求めよ。
(3) Gy = ay + Lb, ET Bo {が等比数列となる正の整数2 を求めよ。また,
この{ce} に対し S.= Big eke.
CI} piir@) =だ2キテー3 について, つぎの問いに答えよ。
Q) f(z) の極値を求めよ。
Q cを実数とする。 曲線ッーア7) 上の異なる 2 点(g, M@), (一 e。 アーの)
における接線をそれぞれムム, とするとき, ムとんの交点の軌跡を表す曲線
y= 9(r) を求めょ。
(3) 曲線>=g(*) とヶ MBL UW s = 2で開まれた図形の面積を求めよ。
ー60一 -
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数、数列
」 2012 年度入学試験問是 209
経済学部方式 1 日程・社会学部A方式[ 日程・現代福祉学部方式
3 限 選択科目 (60分)
笠 目 ページ 科 目 eed
政治・経済 QF 日 本 更 18~33
世 RoR 34~43 地 理 44~50
数 学 52~53
く注意事項>
1. 試験開始の合図があるまで, 間題田子を開かないこと。
2. 解谷はすべて解答用交に記入しなさい。
3. 試験開始後の科目の変更は認めない。
A, 数学は以下の注意事項に従うこと。
・解答用紙の所定の杜に受験学部を〇で囲むこと。
・ 解答を導く途中経過も書くこと。
・解答はおもて面に記入すること(理面は採点の対象にならない)。
・その他, 解答用紙に記載された指示にしたがい解答すること(この指示どおりで
ない場合は採点の対象としない)。
・定規、 コンパス, 電卓の使用は部めない。
5. マータクシート解答方法については以下の注意事項を読みなさい。
マークシート稲答方法についての注意
LH PRET, MET — 7 LOO EMMITT TRATES. LiMo THEI
HB ORRECY STH (GEE, ボールベン, シャープベンシルなどを使用しないこと)。
記入上の注意
1. A 解答を 3 にマークする場合。
0) 正しいマークの例 Q) 悪いマークの便
| Bada BREE
に ださきないこと。
Oでがにまないこと<
2. 解答を訂正する場合は。 消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4, 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
(数 学)
(I) aia, 3, 4, 5, 6, 7, 8と書かれた札を, Bは2、4, 6, 8%
かれた札を手光に持ち, 札の数池が書かれた面 GR) はふせられた状態である。
両者は札をよくかき混やた後ヵ攻の札を引き, 表にして数字を氏べる。 REL,
タデ 1のときは数字の大きい方が勝ちで, 両者の数字が等しいときは引き分け
とする。このとき, 次の問いに答えよ。
Q) ォニ1とする。 :
1 引き分けとなる確率を求めよ。
42 勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり, その他の場合はそれぞれ
の得点が0 となるとき, 4 の得点の期待値を求めよ。
Q) ヵ =2 とする。Aの札の数字の合計と, B の札の数字の合計が等しくなる確
< 率を求めよ。
3) ヵー} とする。 数直線上にある点Pを, Aが勝ったときは正の方向に2だ
け, Bが勝ったときは任の方向に 1 だけ動かす。ただし, 引き分けのときは動
PSE, COLARTE MRD 返すとき, 最初に原点にあった点Pが4
回の試行後に原点に位置する確率を求めよ。なお, AとBが引いた札は, B
行が終わるごとに名々の手元に戻し, よくかき混ざて次の試行を行うもるのとす
る。
ー 52一
(CW) pay = PS ELT, 数列 (1 を次のように定義する。
= 3, 5 (ay, f(a.) における曲線> ニア(<) ORM HERDS AD
BMS an, LTS (n= 1, 2,3, 0
次の商いに答えよ。
GO のjmをgm で表せ。
(2) GPO) を「/5 < au <a} とするとき, すべての正の整数ヶ に対し
てア(ヶ) が成り立つことを数学交帰衣法によって証明せよ。
8) 次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数/が存在することを示せ。
O ay-/b Srla,-J5) (#=1, 2,357),
つの a—V¥5 Sr" (nm =1,2,3,)o
(I) May = -(atayeta®—2ab2OF FIC ELT, 次の問いに
答えよ。ただし, aBlEFSs
G) と直線*ーニ1との交点の鹿標を (1, 1) とするとき, a の変化に記じて
: :のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) この関数がヶ=マ2 で極仁をとるとき, a の値および舞大値。李小舘を求め
By
8) g =1としたときのグラフをC」 とする。 20O7F9TICLE BEV H
とで囲まれた図形の面積が4 となるとき, a の値を求めよ。
経済学部方式 1 日程・社会学部A方式[ 日程・現代福祉学部方式
3 限 選択科目 (60分)
笠 目 ページ 科 目 eed
政治・経済 QF 日 本 更 18~33
世 RoR 34~43 地 理 44~50
数 学 52~53
く注意事項>
1. 試験開始の合図があるまで, 間題田子を開かないこと。
2. 解谷はすべて解答用交に記入しなさい。
3. 試験開始後の科目の変更は認めない。
A, 数学は以下の注意事項に従うこと。
・解答用紙の所定の杜に受験学部を〇で囲むこと。
・ 解答を導く途中経過も書くこと。
・解答はおもて面に記入すること(理面は採点の対象にならない)。
・その他, 解答用紙に記載された指示にしたがい解答すること(この指示どおりで
ない場合は採点の対象としない)。
・定規、 コンパス, 電卓の使用は部めない。
5. マータクシート解答方法については以下の注意事項を読みなさい。
マークシート稲答方法についての注意
LH PRET, MET — 7 LOO EMMITT TRATES. LiMo THEI
HB ORRECY STH (GEE, ボールベン, シャープベンシルなどを使用しないこと)。
記入上の注意
1. A 解答を 3 にマークする場合。
0) 正しいマークの例 Q) 悪いマークの便
| Bada BREE
に ださきないこと。
Oでがにまないこと<
2. 解答を訂正する場合は。 消しゴムでよく消してから, あらためてマークすること。
3. 解答用紙をよごしたり, 折りまげたりしないこと。
4, 問題に指定された数よりも多くマークしないこと。
(数 学)
(I) aia, 3, 4, 5, 6, 7, 8と書かれた札を, Bは2、4, 6, 8%
かれた札を手光に持ち, 札の数池が書かれた面 GR) はふせられた状態である。
両者は札をよくかき混やた後ヵ攻の札を引き, 表にして数字を氏べる。 REL,
タデ 1のときは数字の大きい方が勝ちで, 両者の数字が等しいときは引き分け
とする。このとき, 次の問いに答えよ。
Q) ォニ1とする。 :
1 引き分けとなる確率を求めよ。
42 勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり, その他の場合はそれぞれ
の得点が0 となるとき, 4 の得点の期待値を求めよ。
Q) ヵ =2 とする。Aの札の数字の合計と, B の札の数字の合計が等しくなる確
< 率を求めよ。
3) ヵー} とする。 数直線上にある点Pを, Aが勝ったときは正の方向に2だ
け, Bが勝ったときは任の方向に 1 だけ動かす。ただし, 引き分けのときは動
PSE, COLARTE MRD 返すとき, 最初に原点にあった点Pが4
回の試行後に原点に位置する確率を求めよ。なお, AとBが引いた札は, B
行が終わるごとに名々の手元に戻し, よくかき混ざて次の試行を行うもるのとす
る。
ー 52一
(CW) pay = PS ELT, 数列 (1 を次のように定義する。
= 3, 5 (ay, f(a.) における曲線> ニア(<) ORM HERDS AD
BMS an, LTS (n= 1, 2,3, 0
次の商いに答えよ。
GO のjmをgm で表せ。
(2) GPO) を「/5 < au <a} とするとき, すべての正の整数ヶ に対し
てア(ヶ) が成り立つことを数学交帰衣法によって証明せよ。
8) 次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数/が存在することを示せ。
O ay-/b Srla,-J5) (#=1, 2,357),
つの a—V¥5 Sr" (nm =1,2,3,)o
(I) May = -(atayeta®—2ab2OF FIC ELT, 次の問いに
答えよ。ただし, aBlEFSs
G) と直線*ーニ1との交点の鹿標を (1, 1) とするとき, a の変化に記じて
: :のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) この関数がヶ=マ2 で極仁をとるとき, a の値および舞大値。李小舘を求め
By
8) g =1としたときのグラフをC」 とする。 20O7F9TICLE BEV H
とで囲まれた図形の面積が4 となるとき, a の値を求めよ。
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、方程式・不等式
(1)
() 三角形ABC において, AB=/3, ZC=60 THY, ンAーの9とおく。
三角形ABC の外接円の半径は [PF] である。 a, 2 を定数として
AC三gcos9十2sinの
と表すと, a= [A], 2 - |ウ| でぁる。 1
ただし, |ア] - [ウ] については, 以下の 9-9からそれぞれ1つを選べ。 |
ここで, 同じものを何回選んでもよい。 |
ot o1 @2 of Oo |
ext ©8 of 273 |
Ke, OAT LF SLE, BC=[Z] CH, SMBABCO HAE
ET 2,
ただし, [E] については, 上の 9~9 から 1 つを選べ。
(〔T]の問題は次ページに続く。) |
ーーミー
2) 行列4を
et
ae 」
2 1
とするとき, 4コーニーニー 4 である。
8 <2
(0)
3HR5x—-3yt+2=0, 4at+y—12=0, e-4y-3=0%, THE
NL, bh, GETS.
w 4eaneaa((P],—])< 4とるは京B([ ウェ], [ォヵ|) で
を とる は点C (|和キ| , [2 | ) でそれぞれ交わる。 |
三角形 ABC の重心の座標は (2. 回 CH), ZBAC “a
Bo
2) (ky) が連立不等式
5*一3y二2テ0
Pos
ax-—4y-350
を満たすとキッージは (oy) = | SS SS | KB CRA
elke (x9) = ([E], [R]) caecemn Da] をとる。
os BS
(計算 用 ak) ;
Boge
() 三角形ABC において, AB=/3, ZC=60 THY, ンAーの9とおく。
三角形ABC の外接円の半径は [PF] である。 a, 2 を定数として
AC三gcos9十2sinの
と表すと, a= [A], 2 - |ウ| でぁる。 1
ただし, |ア] - [ウ] については, 以下の 9-9からそれぞれ1つを選べ。 |
ここで, 同じものを何回選んでもよい。 |
ot o1 @2 of Oo |
ext ©8 of 273 |
Ke, OAT LF SLE, BC=[Z] CH, SMBABCO HAE
ET 2,
ただし, [E] については, 上の 9~9 から 1 つを選べ。
(〔T]の問題は次ページに続く。) |
ーーミー
2) 行列4を
et
ae 」
2 1
とするとき, 4コーニーニー 4 である。
8 <2
(0)
3HR5x—-3yt+2=0, 4at+y—12=0, e-4y-3=0%, THE
NL, bh, GETS.
w 4eaneaa((P],—])< 4とるは京B([ ウェ], [ォヵ|) で
を とる は点C (|和キ| , [2 | ) でそれぞれ交わる。 |
三角形 ABC の重心の座標は (2. 回 CH), ZBAC “a
Bo
2) (ky) が連立不等式
5*一3y二2テ0
Pos
ax-—4y-350
を満たすとキッージは (oy) = | SS SS | KB CRA
elke (x9) = ([E], [R]) caecemn Da] をとる。
os BS
(計算 用 ak) ;
Boge
問7画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、指数・対数
(1) 解答上の注意
問題中の ア,イ, ウ, ... のそれぞれには, 特に指示がないかぎり, - (マイ
ナスの符号)、 または0 一 9 までの数が 1 つずつ入ります。当てはまるものを選
U, マークシートの解答用紙の対応する欄にマークして解答しなさい。
ただし, 分数の形で解答が求められているときには, 符号は分子に付け, 分
母・分子をできる限り約分して解答しなさい。
また, 根号を含む形で解答が求められているときには, 根号の中に現れる自然
数が最小となる形で解答しなさい。
【例]
に = と答えたいときには, 以下のようにマークしなさい。
マークシート解答方法の注意事項は癌表紙に続きます。問題司子を裏返して読
みなさい。ただし, 問題冊子を開いてはいけません。
ui as
a
ーョ3一
(1)
() a@>OELT, xニlogzg とおく。
ャニー5のとき, q = | アイ| である。 Kk, 2 キ1のとき, HHH
jog。2564 > 31og。g
国:
の左辺は |ウ| +2, HDS thd. LRM OT, LORBRE
[4]+«
Rt x の値の範囲は
である。
(CT )の問題は次ページに続く。)
2) 9が0ミミ= を満たすとする。また,
ーー
EBL. * のとり得る値の範囲は
24 <5<24)
であり, のとり得る値の範囲は
ra EW
ens led
である。
yl EWE (2
¢ = [XR] + = — sin | 20+
‘sl sin P]*
であり, t< 1 となる6の値の範囲は。 9 > ーー である。
Bex
(0)
n&2VEOBREFS,
(1) 平面上の平行な 2 直線上に, 相異なる点がそれぞれヵ個ずつある。これら
の2ヵ 個の点から 3 AEB
(@) ヵー5のとき, この選び方は全部で | アイウ | 通りあり, 選んだ3点が
1 直線上にあるような選び方は 通りある。
(6) 選んだ3点が三角形をつくるような選び方は [ [ヵ| - [キ| ) 通りぁぁ。
ただし, a], [| にっついては, 以下の1-9 からそれぞれ 1 つを選
Xo ここで, 同じものを何回選んでもよい。
Da @ 2n @ 3n @ が © 2x
© 37% Ow ® 2が 9 30
((I〕の問題は次ページに続く。)
esa
2) 0を中心とする円の円周を等分する 2ヵ 個の点がある。これらの2 個の
点と点Oから3点を選ぶ。
(9) ヵー3のとき, 選んだ3 点が三角形をつくるような選び方は 通
りある。
」 = ; » (2) -図)
(0) 選んだ3点が三角形をつくるよう Ss
りある。
© ヵぁ=12のとき, 選んだ3 点が正三角形をつくるような選び方は
通りある。
aos
問題中の ア,イ, ウ, ... のそれぞれには, 特に指示がないかぎり, - (マイ
ナスの符号)、 または0 一 9 までの数が 1 つずつ入ります。当てはまるものを選
U, マークシートの解答用紙の対応する欄にマークして解答しなさい。
ただし, 分数の形で解答が求められているときには, 符号は分子に付け, 分
母・分子をできる限り約分して解答しなさい。
また, 根号を含む形で解答が求められているときには, 根号の中に現れる自然
数が最小となる形で解答しなさい。
【例]
に = と答えたいときには, 以下のようにマークしなさい。
マークシート解答方法の注意事項は癌表紙に続きます。問題司子を裏返して読
みなさい。ただし, 問題冊子を開いてはいけません。
ui as
a
ーョ3一
(1)
() a@>OELT, xニlogzg とおく。
ャニー5のとき, q = | アイ| である。 Kk, 2 キ1のとき, HHH
jog。2564 > 31og。g
国:
の左辺は |ウ| +2, HDS thd. LRM OT, LORBRE
[4]+«
Rt x の値の範囲は
である。
(CT )の問題は次ページに続く。)
2) 9が0ミミ= を満たすとする。また,
ーー
EBL. * のとり得る値の範囲は
24 <5<24)
であり, のとり得る値の範囲は
ra EW
ens led
である。
yl EWE (2
¢ = [XR] + = — sin | 20+
‘sl sin P]*
であり, t< 1 となる6の値の範囲は。 9 > ーー である。
Bex
(0)
n&2VEOBREFS,
(1) 平面上の平行な 2 直線上に, 相異なる点がそれぞれヵ個ずつある。これら
の2ヵ 個の点から 3 AEB
(@) ヵー5のとき, この選び方は全部で | アイウ | 通りあり, 選んだ3点が
1 直線上にあるような選び方は 通りある。
(6) 選んだ3点が三角形をつくるような選び方は [ [ヵ| - [キ| ) 通りぁぁ。
ただし, a], [| にっついては, 以下の1-9 からそれぞれ 1 つを選
Xo ここで, 同じものを何回選んでもよい。
Da @ 2n @ 3n @ が © 2x
© 37% Ow ® 2が 9 30
((I〕の問題は次ページに続く。)
esa
2) 0を中心とする円の円周を等分する 2ヵ 個の点がある。これらの2 個の
点と点Oから3点を選ぶ。
(9) ヵー3のとき, 選んだ3 点が三角形をつくるような選び方は 通
りある。
」 = ; » (2) -図)
(0) 選んだ3点が三角形をつくるよう Ss
りある。
© ヵぁ=12のとき, 選んだ3 点が正三角形をつくるような選び方は
通りある。
aos
問9画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、空間図形、図形・三角関数、方程式・不等式、数列
(1)
LAF OME AND OIE OD & DO EMETED Di, |
Q1) 4, 78, 9]6, 82 の大小を不等号を用いて表すと |
である。 |
(2) WH) = (1+ 2)" (n は自然数 を* で隊分すると |
アニ asa
である。 一方, 二項定理より
"SF at e
(ene) =2 Ga=ryin*
である。これより, 次の式が成り立つ。
azx別
Bqram- Bl |
3) 行列4を |
中内 a
: 72 ft
で与えると |
|
. Av =
である。 |
|
ーー
|
|
Q) 実数*に対して, be Skt LEW THR ELIERT IETS.
COLES, 次の方程式 =
2 [z]=4ヶ5 -
ZOOM, mln <m) を持つ。それらは
X= —S_.. . FS
[
である。
=] ~Elomen
| © Ye @ 7 ® 96 ® 9
| 回回
j @©@n-1 Oa @xtl @r-1 @r
® rt
[=] - [B] omer
© 0 @1 @ 2 ® 3 @6 4 -
® 5 6 6 @ 7 8 9
1 19 -
| z =
| -
|
|
|
(1)
ail |
る を実数として, 行列4 *4ー| ese, BA (x,), (yb |
a
in in 1
区MOE (*}-( | |
Jott Yn 5 a 1
によって定める。以下の空棚に入れるのに最も適切なものを解答群から選べ。
GD) etry ちあ) In PM DBRS
である。 |
(2) tye = Pa tam, LRLEES, Wp, att
o=[Fr]o+ Ge]e+
で与えられる。 |
(3) 係数 ¢ EMO 2KABK YS ~ px—g = OOMET, s(r >s) ELT, |
ty = Ry, — Phys Oy = yg, — 5%, EBL. TOER, 次の関係 !
が成り立つ。 |
|
eda |
|
|
| (1) BEA (44) の一般順を求めると
! =
ぇ=岡田
となる。この数列が収束するような実数4 の範囲を求めると.
==> <-3 aS
|
| である。
i PJ~E). F)~E) omar
: _ © 0 ®@ 1 9 2 ® 3 @ 4
| @ 5 @ 6 @2 7 @©8 9 |
@ - 20 (a-1) Ba @ (at+1) @ ヵー1
On 1619 atl
[2] ~ ほ] omer ]
@ 0 @ ュ @ 2 @ 3 @ 4
@ 5 @ 6 @7 8 @9
10 rors
-
|
. ーー
:
|
| |
(m1) |
きいころを振って, 偶数の目が出たら 0 と音かれたカードを。 FROTAMA |
ら 1 と守かてたカードを手渡される。A, B,C, D, E,。Fの6 人が順番にそれ
ぞれ3 回きいころを振って, 各人は手流された順に 3 枚のカードを横一列に並べ |
るものとする。 以下の空欄に入れるのに最も適欧なもるのを解答詳から選べ。 |
() 3枚のカードの異なる並びの総数は である。
2) 1番目に手渡されたカードの数字を如, 2番目に手渡されたカードの数字
EX, 3番目に手渡されたカードの数字を XK と表す。ここで, カードの並び
XXX, に対して次の計算 -
6 3
XY XY =D Gx 2) ;
を用いて数字了を対応させる。たとえば
: 000 —+ 0x 2°+0x2'+0x2'= [9] |
- 0一0x29+1x29+0x2=[エ|
[sax | — [a] x 2°+ [a] x2! + [] x22=ィ7
。 である。 」 1
(3) A, B,C, D, EB, Fの各入のカードの並びに対応する数字を順に怠。ち, |
Ys, Yar Yor ERT. COLE, NY, Yoo Ke, Va, Ve, VOM VN TRES 1
‘ 場合の数は である。また, 1 ミ7く7ミミ6 を満たすすべての5 1
（続きは問題PDFで確認できます）
LAF OME AND OIE OD & DO EMETED Di, |
Q1) 4, 78, 9]6, 82 の大小を不等号を用いて表すと |
である。 |
(2) WH) = (1+ 2)" (n は自然数 を* で隊分すると |
アニ asa
である。 一方, 二項定理より
"SF at e
(ene) =2 Ga=ryin*
である。これより, 次の式が成り立つ。
azx別
Bqram- Bl |
3) 行列4を |
中内 a
: 72 ft
で与えると |
|
. Av =
である。 |
|
ーー
|
|
Q) 実数*に対して, be Skt LEW THR ELIERT IETS.
COLES, 次の方程式 =
2 [z]=4ヶ5 -
ZOOM, mln <m) を持つ。それらは
X= —S_.. . FS
[
である。
=] ~Elomen
| © Ye @ 7 ® 96 ® 9
| 回回
j @©@n-1 Oa @xtl @r-1 @r
® rt
[=] - [B] omer
© 0 @1 @ 2 ® 3 @6 4 -
® 5 6 6 @ 7 8 9
1 19 -
| z =
| -
|
|
|
(1)
ail |
る を実数として, 行列4 *4ー| ese, BA (x,), (yb |
a
in in 1
区MOE (*}-( | |
Jott Yn 5 a 1
によって定める。以下の空棚に入れるのに最も適切なものを解答群から選べ。
GD) etry ちあ) In PM DBRS
である。 |
(2) tye = Pa tam, LRLEES, Wp, att
o=[Fr]o+ Ge]e+
で与えられる。 |
(3) 係数 ¢ EMO 2KABK YS ~ px—g = OOMET, s(r >s) ELT, |
ty = Ry, — Phys Oy = yg, — 5%, EBL. TOER, 次の関係 !
が成り立つ。 |
|
eda |
|
|
| (1) BEA (44) の一般順を求めると
! =
ぇ=岡田
となる。この数列が収束するような実数4 の範囲を求めると.
==> <-3 aS
|
| である。
i PJ~E). F)~E) omar
: _ © 0 ®@ 1 9 2 ® 3 @ 4
| @ 5 @ 6 @2 7 @©8 9 |
@ - 20 (a-1) Ba @ (at+1) @ ヵー1
On 1619 atl
[2] ~ ほ] omer ]
@ 0 @ ュ @ 2 @ 3 @ 4
@ 5 @ 6 @7 8 @9
10 rors
-
|
. ーー
:
|
| |
(m1) |
きいころを振って, 偶数の目が出たら 0 と音かれたカードを。 FROTAMA |
ら 1 と守かてたカードを手渡される。A, B,C, D, E,。Fの6 人が順番にそれ
ぞれ3 回きいころを振って, 各人は手流された順に 3 枚のカードを横一列に並べ |
るものとする。 以下の空欄に入れるのに最も適欧なもるのを解答詳から選べ。 |
() 3枚のカードの異なる並びの総数は である。
2) 1番目に手渡されたカードの数字を如, 2番目に手渡されたカードの数字
EX, 3番目に手渡されたカードの数字を XK と表す。ここで, カードの並び
XXX, に対して次の計算 -
6 3
XY XY =D Gx 2) ;
を用いて数字了を対応させる。たとえば
: 000 —+ 0x 2°+0x2'+0x2'= [9] |
- 0一0x29+1x29+0x2=[エ|
[sax | — [a] x 2°+ [a] x2! + [] x22=ィ7
。 である。 」 1
(3) A, B,C, D, EB, Fの各入のカードの並びに対応する数字を順に怠。ち, |
Ys, Yar Yor ERT. COLE, NY, Yoo Ke, Va, Ve, VOM VN TRES 1
‘ 場合の数は である。また, 1 ミ7く7ミミ6 を満たすすべての5 1
（続きは問題PDFで確認できます）