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立命館大学 数学｜原本PDF照合版
2005年度の実際の大問を全文掲載・条件整理・解法解説
実際に出題された大問を省略せずテキスト化し、条件の意味、最初の一手、途中式、検算、典型的な失点原因まで順に整理しています。冊子全体は原本PDFでも確認できます。
- 問題冊子
- 7冊
- 問題ページ
- 38ページ
- 本ページの深掘り
- 1大問＋公開解答7冊
同じ年度には日程・方式の異なる冊子が複数あります。従来の「問1・問2…」というリンク名は大問番号ではなく冊子番号だったため、本欄では冊子名と大問番号を分けて表記します。
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藤原進之介です。このページでは立命館大学2005年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
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- 立命館大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 立命館大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
答案を自力で再現できるところまで掘り下げる
2005年度 大問別の詳しい解説
選択科目 I
5回の公平なコイン投げと、途中経路に条件がある期待値
問題文（全文）
I コインを投げるゲームをする。コインを1回投げるごとに、表が出たら持ち点に1点を加え、裏が出たら1点を引く。最初の持ち点を0点とする。5回投げた後にゲームを終了する。ゲーム終了時の持ち点を $X$ で表す。ただし、コインの表が出る確率と裏が出る確率は等しいものとする。
[1] $X>0$ の確率は［ア］である。
[2] このゲーム中に、一度でも持ち点がマイナスになる確率は［イ］である。
[3] このゲーム中に持ち点がマイナスにならず、かつ $X>0$ の確率は［ウ］である。
[4] 参加者はゲーム終了後に賞金を受けとる。ゲーム中に一度でも持ち点がマイナスになれば、賞金は0円となるが、そうでなければ持ち点 $X$ に対し、賞金は $X$ 万円となる。このゲームの賞金の期待値は［エ］万円である。
条件を一つずつ読む
- 各回の増分は、表なら $+1$、裏なら $-1$ であり、それぞれ確率 $1/2$。
- 試行回数は5回なので、全結果は $2^5=32$ 通りで同様に確からしい。
- 終了時得点は $X=2H-5$（$H$ は表の回数）であり、$X$ は必ず奇数。
- [2]〜[4]では終了時だけでなく、1回目から5回目までの部分和を見る必要がある。
問題の構造
- [1]は表の回数を数える二項分布の問題。
- [2]と[3]は、原点から始まる長さ5の格子路が水平軸を下回るかどうかを数える問題。反射原理、または短い試行なので全経路の分類で処理できる。
- 5は奇数なので、全時刻で非負なら終了時は自動的に正になる。したがって[3]は『5歩すべてで部分和が非負』と同値。
- [4]は確率だけでなく、非負経路を終了値 $1,3,5$ ごとに分けて重み付き和を取る。
最初の一手と、その理由
- 表を $U$、裏を $D$ と書き、5文字列の部分和を持ち点とみなす。
- $X>0\iff H\ge3$ を先に確定する。
- 非負経路の本数は、終了値 $j$ に対して $\binom{5}{(5-j)/2}-\binom{5}{(5-j)/2-1}$ と数える。
解答・途中式
[1] 終了時の符号
$X=2H-5$ なので $X>0$ は $H=3,4,5$ と同値である。公平なコインでは $H$ と $5-H$ の分布が対称で、$X=0$ は起こらないため、正と負の確率は等しい。直接足しても同じ結果になる。
$P(X>0)=\frac{\binom53+\binom54+\binom55}{2^5}=\frac{10+5+1}{32}=\frac12$.
[2] 一度でも負になる経路
補集合『一度も負にならない』を数える。長さ5の非負経路は10本である。したがって負になる経路は $32-10=22$ 本。なお、反射原理を使うと、非負経路数は $\binom{5}{\lfloor5/2\rfloor}=\binom52=10$ と一度に求められる。
$P(\min_{1\le k\le5}S_k<0)=1-\frac{10}{32}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16}$.
[3] 非負かつ最終正
5歩後の得点は奇数なので、非負経路の終了値は $1,3,5$ のいずれかであり、0にはならない。よって[2]で数えた10本がそのまま該当する。
$P(S_1,\ldots,S_5\ge0,\ X>0)=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$.
[4] 終了値別に重み付け
非負経路のうち、終了値1の経路は $\binom52-\binom51=5$ 本、終了値3は $\binom51-\binom50=4$ 本、終了値5は1本である。それぞれの賞金1、3、5万円を掛けて合計する。
$E[\text{賞金}]=\frac{1\cdot5+3\cdot4+5\cdot1}{32}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16}$ 万円。
最終答案
- ア
- $\frac12$
- イ
- $\frac{11}{16}$
- ウ
- $\frac5{16}$
- エ
- $\frac{11}{16}$
検算・別角度からの確認
- 経路数は終了値別に $5+4+1=10$ 本となり、[2]の補集合と[3]の分子が一致する。
- 賞金の期待値は最大でも5万円であり、$11/16$ 万円は範囲内。
- 対応解答PDFの I は、ア=$1/2$、イ=$11/16$、ウ=$5/16$、エ=$11/16$。
よくある失点
- [2]で終了時の $X<0$ だけを数え、途中で負になって戻る経路を落とす。
- [3]で『非負』を『正』と読み替え、途中で0に戻る経路を除外する。
- [4]で $E[X]$ を計算してしまう。賞金は負になった経路では強制的に0なので、経路条件付きの確率変数である。
復習する単元
- 確率・二項分布
- 格子路
- 反射原理
- 期待値
- 部分和とランダムウォーク
全文・空欄記号・『一度でも』という経路条件を原本画像で照合済み。
