藤原進之介です。このページでは上智大学1999年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
未掲載の解答は順次公開中です。急ぎで解説が必要な問題はLINEでリクエストしてください。 解説をリクエスト
問題PDFをテキストでも確認
上智大学 1999年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 確率・場合の数
- 微分・積分
- ベクトル
- 複素数
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
1999年度の問題PDFでは、整数、図形・三角関数、関数・グラフ、確率・場合の数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。上智大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、整数は24年度、関数・グラフは24年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、関数・グラフ、指数・対数
(1) 直線 BC に関して, 点A と対称な点は(| + | >) である。
(2) (2,y) がSを動くときッーz の最大値は であり,g2+の2+2z OR
aves | | でぁる。
(3) 直線 7 は点A を通り, 線分 BC と点 D CH), 三角形 ABD と三角形
ACD の面積の比は 1 : 2 である。このとまき直線? の方程式は
[3] サイコロを控げたとき, 1 あるいは 2 の日が出れば得点はー1 点.3あるいは 4
の日が出れば 0 点、5あるいは 6 の目が出れば 1 点とする。たとえば,5 回投
ばげて出た日が順に 2. 5, 6, 1. 3 であれば、 各加の得点は1 点、 1 点, 1 点, -1
点, 0 点である。 回|
(1) サイコロを5 回投げてその得点の積が正となる確率は 2-3 c
ある。
[=]
(2) サイコロを5 回投げて 3 回以上正の得点が出る確率は 一 CHA,
(3) サイコロを5 回投げてその得点の和が正となる確率に 2-43 ss
ある。
(2) (2,y) がSを動くときッーz の最大値は であり,g2+の2+2z OR
aves | | でぁる。
(3) 直線 7 は点A を通り, 線分 BC と点 D CH), 三角形 ABD と三角形
ACD の面積の比は 1 : 2 である。このとまき直線? の方程式は
[3] サイコロを控げたとき, 1 あるいは 2 の日が出れば得点はー1 点.3あるいは 4
の日が出れば 0 点、5あるいは 6 の目が出れば 1 点とする。たとえば,5 回投
ばげて出た日が順に 2. 5, 6, 1. 3 であれば、 各加の得点は1 点、 1 点, 1 点, -1
点, 0 点である。 回|
(1) サイコロを5 回投げてその得点の積が正となる確率は 2-3 c
ある。
[=]
(2) サイコロを5 回投げて 3 回以上正の得点が出る確率は 一 CHA,
(3) サイコロを5 回投げてその得点の和が正となる確率に 2-43 ss
ある。
問2画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分、図形・三角関数、方程式・不等式
(1) ゅを与えられた非負の整数とする。このとき (3)? = 3"をみたす pig
の細にヵが寄数のときは全部で 3([ 3 |n+ [ & ]) m8», ヵが偶数の
ときは全部で >( [y ]n+ | タ ]) tad. Et 3P(—3) = 3 ART
か9の組はるが奇数のときは全部で ([ # ]n+ | » ]) tia», nt
数のときは全部で | |+ [+ ])mae.
(2) を与えられた非負の整数とする。このとき (V3)(-V3)§ = BEART
ゃの組は全部で(| + |a+ | = |Wぁゅ また(VS)"(-V3)* =ニー3"を
みたすなゃの宜は全部で(| メ |a+ [ + ]) mas.
(3) 3°(-3)%( V3)" (-V3)5 = 27 をみたす ヵ.9,7。 s の組は全部で 個ある。
[3] BRIO Plp.g) から放物線 O: yar? へ引いた2本の接線の接点を
それぞれ AA(a.q“)、B(あだ) とする。 ただしa<ちとする。 2H PA、PB と
GBC とで囲まれる部分の面積を 9 とする-
(1) pg を eg.ヵを使って表すと.
2]
b g [at | at [ |
p= a+ 8 =) AR + は
ー ーー
である。
(2) S=18 をみたしながら点 P が動くとき、その軌跡の方租式は
である。
の細にヵが寄数のときは全部で 3([ 3 |n+ [ & ]) m8», ヵが偶数の
ときは全部で >( [y ]n+ | タ ]) tad. Et 3P(—3) = 3 ART
か9の組はるが奇数のときは全部で ([ # ]n+ | » ]) tia», nt
数のときは全部で | |+ [+ ])mae.
(2) を与えられた非負の整数とする。このとき (V3)(-V3)§ = BEART
ゃの組は全部で(| + |a+ | = |Wぁゅ また(VS)"(-V3)* =ニー3"を
みたすなゃの宜は全部で(| メ |a+ [ + ]) mas.
(3) 3°(-3)%( V3)" (-V3)5 = 27 をみたす ヵ.9,7。 s の組は全部で 個ある。
[3] BRIO Plp.g) から放物線 O: yar? へ引いた2本の接線の接点を
それぞれ AA(a.q“)、B(あだ) とする。 ただしa<ちとする。 2H PA、PB と
GBC とで囲まれる部分の面積を 9 とする-
(1) pg を eg.ヵを使って表すと.
2]
b g [at | at [ |
p= a+ 8 =) AR + は
ー ーー
である。
(2) S=18 をみたしながら点 P が動くとき、その軌跡の方租式は
である。
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ
(1) 点 (12.5) と 円 Cど 上の点を結ぶ線分の長きの最小値を与える O 上の点の
の2 2 |
座標は (一 一) である。
[+]
(2) We: 3z十4 = 10 上の点と 円 ど上の点を結ぶ録分の長きの最小値は
であり, それを与える 4 上の点の座標は (tL) cas,
(3) 放物線 の」: y= a? + テ 上の点と AC 上の点を結ぶ線分の長きの最小
値は であり, それを与える C 上の点の y 座標は LS である。
[3| OWE, MH, AEA, それぞれ 2 個 1 個 2 個人入っている。 次の
ような規則で箱の中から玉を取り出す試行を行う
* 育まを取り出したときは。 箱にもどきず手元におく。
e 黄玉を取り出したときは。 そのまま箱にもどす=
e 赤玉を取り出したときは, 手元に青玉がなければそのまま手元におき,
FCT AHL HEL 個とともに箱にもふどす。
手元にドがない状態で試行を始める-
(1) を埋、殴,赤の甚に取り出す確率は =— CHS,
(2) Ee Mi. 資. FOMUCHLY Ress El である。
(3) 3 回の試行の後, 手元に玉が 3 個ある確率は 一 CHS,
(4) 3 回の試行の後手元に玉が2 個ある確率は —— である。
の2 2 |
座標は (一 一) である。
[+]
(2) We: 3z十4 = 10 上の点と 円 ど上の点を結ぶ録分の長きの最小値は
であり, それを与える 4 上の点の座標は (tL) cas,
(3) 放物線 の」: y= a? + テ 上の点と AC 上の点を結ぶ線分の長きの最小
値は であり, それを与える C 上の点の y 座標は LS である。
[3| OWE, MH, AEA, それぞれ 2 個 1 個 2 個人入っている。 次の
ような規則で箱の中から玉を取り出す試行を行う
* 育まを取り出したときは。 箱にもどきず手元におく。
e 黄玉を取り出したときは。 そのまま箱にもどす=
e 赤玉を取り出したときは, 手元に青玉がなければそのまま手元におき,
FCT AHL HEL 個とともに箱にもふどす。
手元にドがない状態で試行を始める-
(1) を埋、殴,赤の甚に取り出す確率は =— CHS,
(2) Ee Mi. 資. FOMUCHLY Ress El である。
(3) 3 回の試行の後, 手元に玉が 3 個ある確率は 一 CHS,
(4) 3 回の試行の後手元に玉が2 個ある確率は —— である。
問4画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分
(1) 7() は ェ=ー1 CHB EEN, Ey =f (2) OF F7 EON (0,0 に
おける接線が点 (1一6) を通るならば, a = [7 ]»= |*|に=
である。
(2) f(x) が関係式
(a) = f (3¢? — 6t — a)dt
をみたすならば = 固隔 [ # Jre= である。
[2] ゅre| * | | 7 ].[% [2], サ | icismermasy, | | に
選択肢Bより正しいものを 1 つ選び. その番号を答えよ。
(1) r.y lsc dae. |テキッーェpy が負数である] ことは fay がともに個
数である| ための * | 上
[2 と y ORKAMUA 1 CHS) TE Poe とりの最大公約雪が 2 で
ある」 ための
(2) ay は実数とする。「ヶyz2 上97 がとるに有理数である| ことは [ey
がともに有理数である」 ための ‘
fatty? が正の数である」 ことは「z+y が正の数である」 ための | ュ |.
(3) 4. を実数を要素とする集合とする。「.4 OZ BE a に対して B OBR
ぁ が存在しでて gq<りとなる」 CL [BORK 5 が存在して 4 のすべて
の要素 c に対して 。<りとなる] ための と
(4) Mi ayy HE SBME OM 9は整数である」の対八は
選択肢A
1. 必要十分条件である
2. 必要条件であるが二分条件ではない
3. 十分条件であるが必要条件ではない
4. 必要条件でも |分条件でもない
選択肢B
1. Fat y PERCE ESE z.y はともに整数でない]
2. |が整救でないならば r,y の一方のみが整数でない」
3. 「>+ッが整数でないならば ay OPE CES—Haeteetus|
4. Tet y DERE OS xy SE IKEA |
5. 「z.yがともに整数でないならば ょ+ッは整数でない|
6. 「z.y の一方のみが整色でないならば c+ y 2BRCHV
7. Tay の少なくとも 方が整数でないならばァオyyは整数でない]
[3] Keer に対して eM OMADMMEe [x] で表す。 たとえば [VB] = 1.
1.3] =-2 である。
a) [e+ 1 ニー2 をみたす 2 ORAS
である。
1 1 にす ょについて考え 河和] 3
(2) [i] = [e+ 1 をみたす > について考える。 = [5 ト | =たと
Sidi 記 =より
oF w+ [9] sz< [= ]*+ [7] poo B
Ch), また [5+] ニムょより
Eh le<EeE]
である。r OWM DO, 9が共通部分を持つのは k= のときのみで
あるから、 [i] = [5+ | をみたす z の範囲は
ネ | ミテで
である。
おける接線が点 (1一6) を通るならば, a = [7 ]»= |*|に=
である。
(2) f(x) が関係式
(a) = f (3¢? — 6t — a)dt
をみたすならば = 固隔 [ # Jre= である。
[2] ゅre| * | | 7 ].[% [2], サ | icismermasy, | | に
選択肢Bより正しいものを 1 つ選び. その番号を答えよ。
(1) r.y lsc dae. |テキッーェpy が負数である] ことは fay がともに個
数である| ための * | 上
[2 と y ORKAMUA 1 CHS) TE Poe とりの最大公約雪が 2 で
ある」 ための
(2) ay は実数とする。「ヶyz2 上97 がとるに有理数である| ことは [ey
がともに有理数である」 ための ‘
fatty? が正の数である」 ことは「z+y が正の数である」 ための | ュ |.
(3) 4. を実数を要素とする集合とする。「.4 OZ BE a に対して B OBR
ぁ が存在しでて gq<りとなる」 CL [BORK 5 が存在して 4 のすべて
の要素 c に対して 。<りとなる] ための と
(4) Mi ayy HE SBME OM 9は整数である」の対八は
選択肢A
1. 必要十分条件である
2. 必要条件であるが二分条件ではない
3. 十分条件であるが必要条件ではない
4. 必要条件でも |分条件でもない
選択肢B
1. Fat y PERCE ESE z.y はともに整数でない]
2. |が整救でないならば r,y の一方のみが整数でない」
3. 「>+ッが整数でないならば ay OPE CES—Haeteetus|
4. Tet y DERE OS xy SE IKEA |
5. 「z.yがともに整数でないならば ょ+ッは整数でない|
6. 「z.y の一方のみが整色でないならば c+ y 2BRCHV
7. Tay の少なくとも 方が整数でないならばァオyyは整数でない]
[3] Keer に対して eM OMADMMEe [x] で表す。 たとえば [VB] = 1.
1.3] =-2 である。
a) [e+ 1 ニー2 をみたす 2 ORAS
である。
1 1 にす ょについて考え 河和] 3
(2) [i] = [e+ 1 をみたす > について考える。 = [5 ト | =たと
Sidi 記 =より
oF w+ [9] sz< [= ]*+ [7] poo B
Ch), また [5+] ニムょより
Eh le<EeE]
である。r OWM DO, 9が共通部分を持つのは k= のときのみで
あるから、 [i] = [5+ | をみたす z の範囲は
ネ | ミテで
である。
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、関数・グラフ、整数、微分・積分
(1999 年度)
lr, ぷと
5 数 学 問 題
(この問題借子は 6 ページ, 3問である。)
「 受験についての注意 」| マークによる数値解答欄についての注意 MN, 次の2, 3
ページにある。 試験開始 3 分前に監督からの指示があるので, それに従って読むこ
és
受験についての注意 王還還昌昌昌昌昌昌昌還還
1. 驚替の指示があるまで. 次のページを開いてはならない
2. HAI: PHS やポケットベルのスイッチは切ること
3. 試験開始前に, 監督から指ががあったら、餅答用紙の右二の番はが日分の受
論番号かどうかを確認し、氏名を記入すること。次に, 解答用紙の右側のミシ
ン日にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番号と氏名とが書かれた切上を
WORL. 机上に置くこと。
4. 監督から武験開始の合図があったら、 この問題冊子が, 表紙に記したページ
数どおりそろっているかどうか本かぬること。
5. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマー
ク柄をぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけない
6. 玉記只は. HBの黒鉛筆とHBのシャープベンシルに限る。 万年筆・ボール
ベンなどを使用してはいけない。時計に組み込まれたアラーム機能, 計算機
WE. 辞書機能などを使用してはいけない。
Tl. マークをするとき. 桁かっらはみ出したり. 桁のなかに白い部分を残したり、
文字や番号 枠などにいやをつけたりしてはならない。
8. 訂正する場合は、消しゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。
9. 解窒用紙を折り鞭げばたり, 破ったりしてはいけない- 採点が不可能になる。
10、試験時間中に退場することはできない-
11. FMI SS. ORF. 計算川紙を持ち放ってはならない。
@ この癌題財子の余白を計算用紙として使用してよい。
Me マーク による数値解答欄についての注意
解答欄の各位の該当する数値の欄にマークせよ。その際, はじめの位の数が0
のときも,。 必ずマークすること。
符号杜がちうけられている場合には, 解答が負数の場合のみ-ーにマークせよ。
(0または正数の場合は、 符号柚にマークしない。)
分数は、既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
ATLA, 分母を 1 とする。
根号の内は, LOWMCH OT, 2 以上の整数の平方でわりきれないものとす
解答が所定間で表すことができない場合、あるいは二つ以上の人答が得られる場
合には, SHOMEL SE z にマークせよ。 (符号欄がちうけられている場合. 一に
はマーク しない。)
解答記入例 7
符号 M 10 の 位 1 の 位
|- lor1egsasereozio1234567892
0 WO0000000000000000@000
[解答記入例 一26]
符号 10 の 位 1 の 覆
本 208 OS Oe Ee £it bk 2 et EE SS
9 00#0000000000000000000
6 3
er ee にあてはめる場合 とする。
0 を, 一- にあてはめる場合 tvs:
Se ne | i にあてはめる場合 — || 3 | とする。
と Y 2 ig)
[Tay se) = Ao? + Sate は最小値 4 HEN, fix) =0 の解は -8.5 であ
る。 このとき a= [7]. 回 である。
(2) 等式 [3x — 20] = |x — 10| + |x +1] をみたす実数>は全部で| ェ | 個あ
にーー
), その中でもっとも小さいものは | オ | である。
(3) g> 0 とする。 <zく2g における 9一4r2十4な の最大値が = となる
Ix,
|
— sag = または ぃテー
のときである。
[2] 角形 ABC は /C が中角で、 AC = 1 である一等辺三角形である。辺 BC
HEAD をとり、/DAC <a E BCE. faneニ . CHS. HBOS HH
ADIZSF4L38ME AD EMORY EEL. WRBE L HH ACEO
He EF とする。このとき。
De. gp
回
DE =ー ッ| EF =一
回
である。 四角形 CDEF の面積は、 三角形 DEF の面積の El 倍である。
| 3 | aE. 音玉, 白玉が 1 個ずつ入っている袋から 1 個を取り出す。
* 取り出した玉が, RECS, 赤玉を 1 個加えて 赤玉 QW を秋にもるどす。
* 取り出した六が, FESS, 赤玉を 1 個加えて 赤玉 1 個 と 青玉 1 We
袋にもどす。
* 取り出した玉が, SECS, 白玉を 1 個加えて 白玉 2 個 を稚にもどす。
この試行の結果 袋には 4 個の玉が入っている。 第 2 回目の試行は、 1 1 回
目と同じことを 4 個の玉が入っているこの袋に対して行なう。
2 回の試行の結果, 袋には 5 個の玉が人人っている。 n MBO Ws, n+3
個の玉が入った袋になる。
人1) 2 回の試行で得られる 5 個の玉が入った袋について :
* 赤玉が 3 個, 青玉が 1 WA, 白玉が 1 個となる確率は —— であぁる。
* 赤玉が 2 個、 青玉が 1 個、 白王が 2 個となる確率は 一三 である。
eo 赤主が 1 A, 青玉が 1 個, 白玉が 3 個となる確率は S— CHA.
(2) 3 回目の試行で, 5 つの玉が入った袋から 1 つの玉を取り出す。青斑を取
り出す確率は —— CH), 白玉を取り出す確率は —— CHS,
(3) この試行を 97 回行う。袋の中には 100 個の玉が入っている。 100 個の
玉が
（続きは問題PDFで確認できます）
lr, ぷと
5 数 学 問 題
(この問題借子は 6 ページ, 3問である。)
「 受験についての注意 」| マークによる数値解答欄についての注意 MN, 次の2, 3
ページにある。 試験開始 3 分前に監督からの指示があるので, それに従って読むこ
és
受験についての注意 王還還昌昌昌昌昌昌昌還還
1. 驚替の指示があるまで. 次のページを開いてはならない
2. HAI: PHS やポケットベルのスイッチは切ること
3. 試験開始前に, 監督から指ががあったら、餅答用紙の右二の番はが日分の受
論番号かどうかを確認し、氏名を記入すること。次に, 解答用紙の右側のミシ
ン日にそって, きれいに折り曲げてから, 受験番号と氏名とが書かれた切上を
WORL. 机上に置くこと。
4. 監督から武験開始の合図があったら、 この問題冊子が, 表紙に記したページ
数どおりそろっているかどうか本かぬること。
5. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで. そのマー
ク柄をぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけない
6. 玉記只は. HBの黒鉛筆とHBのシャープベンシルに限る。 万年筆・ボール
ベンなどを使用してはいけない。時計に組み込まれたアラーム機能, 計算機
WE. 辞書機能などを使用してはいけない。
Tl. マークをするとき. 桁かっらはみ出したり. 桁のなかに白い部分を残したり、
文字や番号 枠などにいやをつけたりしてはならない。
8. 訂正する場合は、消しゴムでていねいに消すこと。 消しくずはきれいに取り
除くこと。
9. 解窒用紙を折り鞭げばたり, 破ったりしてはいけない- 採点が不可能になる。
10、試験時間中に退場することはできない-
11. FMI SS. ORF. 計算川紙を持ち放ってはならない。
@ この癌題財子の余白を計算用紙として使用してよい。
Me マーク による数値解答欄についての注意
解答欄の各位の該当する数値の欄にマークせよ。その際, はじめの位の数が0
のときも,。 必ずマークすること。
符号杜がちうけられている場合には, 解答が負数の場合のみ-ーにマークせよ。
(0または正数の場合は、 符号柚にマークしない。)
分数は、既約分数で表し, 分母は必ず正とする。また, 整数を分数のかたちに
ATLA, 分母を 1 とする。
根号の内は, LOWMCH OT, 2 以上の整数の平方でわりきれないものとす
解答が所定間で表すことができない場合、あるいは二つ以上の人答が得られる場
合には, SHOMEL SE z にマークせよ。 (符号欄がちうけられている場合. 一に
はマーク しない。)
解答記入例 7
符号 M 10 の 位 1 の 位
|- lor1egsasereozio1234567892
0 WO0000000000000000@000
[解答記入例 一26]
符号 10 の 位 1 の 覆
本 208 OS Oe Ee £it bk 2 et EE SS
9 00#0000000000000000000
6 3
er ee にあてはめる場合 とする。
0 を, 一- にあてはめる場合 tvs:
Se ne | i にあてはめる場合 — || 3 | とする。
と Y 2 ig)
[Tay se) = Ao? + Sate は最小値 4 HEN, fix) =0 の解は -8.5 であ
る。 このとき a= [7]. 回 である。
(2) 等式 [3x — 20] = |x — 10| + |x +1] をみたす実数>は全部で| ェ | 個あ
にーー
), その中でもっとも小さいものは | オ | である。
(3) g> 0 とする。 <zく2g における 9一4r2十4な の最大値が = となる
Ix,
|
— sag = または ぃテー
のときである。
[2] 角形 ABC は /C が中角で、 AC = 1 である一等辺三角形である。辺 BC
HEAD をとり、/DAC <a E BCE. faneニ . CHS. HBOS HH
ADIZSF4L38ME AD EMORY EEL. WRBE L HH ACEO
He EF とする。このとき。
De. gp
回
DE =ー ッ| EF =一
回
である。 四角形 CDEF の面積は、 三角形 DEF の面積の El 倍である。
| 3 | aE. 音玉, 白玉が 1 個ずつ入っている袋から 1 個を取り出す。
* 取り出した玉が, RECS, 赤玉を 1 個加えて 赤玉 QW を秋にもるどす。
* 取り出した六が, FESS, 赤玉を 1 個加えて 赤玉 1 個 と 青玉 1 We
袋にもどす。
* 取り出した玉が, SECS, 白玉を 1 個加えて 白玉 2 個 を稚にもどす。
この試行の結果 袋には 4 個の玉が入っている。 第 2 回目の試行は、 1 1 回
目と同じことを 4 個の玉が入っているこの袋に対して行なう。
2 回の試行の結果, 袋には 5 個の玉が人人っている。 n MBO Ws, n+3
個の玉が入った袋になる。
人1) 2 回の試行で得られる 5 個の玉が入った袋について :
* 赤玉が 3 個, 青玉が 1 WA, 白玉が 1 個となる確率は —— であぁる。
* 赤玉が 2 個、 青玉が 1 個、 白王が 2 個となる確率は 一三 である。
eo 赤主が 1 A, 青玉が 1 個, 白玉が 3 個となる確率は S— CHA.
(2) 3 回目の試行で, 5 つの玉が入った袋から 1 つの玉を取り出す。青斑を取
り出す確率は —— CH), 白玉を取り出す確率は —— CHS,
(3) この試行を 97 回行う。袋の中には 100 個の玉が入っている。 100 個の
玉が
（続きは問題PDFで確認できます）
問6画像OCR
検出分野: ベクトル、整数、微分・積分、図形・三角関数、方程式・不等式
(1) P(1,1, 0), Q(0,1,1), R(1.0.1) は 4p の 8 点である。 三角形 PQR OMI
中
は である。また HHH OPQR の体積は —— CHS,
(2) Ay の要素の数を ny ETH,
である。
(3) 4。の点の 0 に関する位置ベクトル全体の集合を BETS, BILBTAE
のベクトルとの内積もすべて整数であるベクトル全体の集合を C とする。
鶴ペベクトル0 以外の C の要素で 大ききが最小なものは 全部で fal
WZ]
HEL, それらの大ききは である。
[3] wei Cs リー を考える。#>0に対して、 WHE: ont CORRE
P(t?) EFS. P における で の接線と直交し、P を通る直線を とする。
(1) 直線ょの方得式は.
=a
である。
(2) 直線ょに関して点 (も0) EXE MOMS,
EE Ge
[# Jers トドEm
である。
(3) 直線ょに関して 直線 # と対称な直線を m とする。
m の傾きは ———__ THB,
(4)m とでの交点のうち,P 以外の点 Q の座標は
1 1
ーー
である。
中
は である。また HHH OPQR の体積は —— CHS,
(2) Ay の要素の数を ny ETH,
である。
(3) 4。の点の 0 に関する位置ベクトル全体の集合を BETS, BILBTAE
のベクトルとの内積もすべて整数であるベクトル全体の集合を C とする。
鶴ペベクトル0 以外の C の要素で 大ききが最小なものは 全部で fal
WZ]
HEL, それらの大ききは である。
[3] wei Cs リー を考える。#>0に対して、 WHE: ont CORRE
P(t?) EFS. P における で の接線と直交し、P を通る直線を とする。
(1) 直線ょの方得式は.
=a
である。
(2) 直線ょに関して点 (も0) EXE MOMS,
EE Ge
[# Jers トドEm
である。
(3) 直線ょに関して 直線 # と対称な直線を m とする。
m の傾きは ———__ THB,
(4)m とでの交点のうち,P 以外の点 Q の座標は
1 1
ーー
である。
問7画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、指数・対数、確率・場合の数、微分・積分
(1) を 1 以外の実数. を自然数とし
a \? oe Ke
とおく。 NF cc のとき、 Sy(x) が収束するための必要十分条件をょ>o で表す
& oe である。 xr >g のとき, 5。(z) の n— oo TOMRE Six) とおく。
e>a OMT cya とすると、 5(z) は S— に収束する。
(1+243+---+n)
(2) lim a ae Re eT
mS (1424434 tnt)
(3) 8
f(a) = 21+ =
fo(a1,@2) = 22+ Shisx)
ry
essed ag eee et)
Ly
EL, 2, >0、zs >0....、z。 > 0 DMATO falar, c2,-++ 2p) Olea M,,
とする。 M=[4] であり,ヵ2 のとき M, は清化式
log My = log [42] + == log Mn
で計算できる。 nO のとき, M, it [F] に収束する。
放物線 ヵーァ" と 点 (Oa), a> 1 を中心とする半径 1 の円が接しているとする
と. = > である。 この円の外部で 円と放物線とで囲まれた図形 が の面積は
mvE-a である。また 図形が を HOS HID 同転してできる回
転体の体積は Ph である。きさらに、 この回転体を z HO ED Y= 】 回転して
czmm4omeロ1y。 である。
下図の A から出発して后まわりに. コインを 1 回投げるたびに表が出たら 2 コ
マ。 RAMS 1 コマ進む. というゲームを考える。
(A) ©)
(1) n 回コインを投げたあとに A,B,C に止まる確率をそれぞれ an, bp, cn と
すると
gn+】 = > On + Cn
であるので、
= = | a
回
となる。よって、 lim a, = = である。
eae
(2) nBATY ERTS EIMOT A に止まる確率を pヵ。 とすると,ヵと2の
ときには
カー1
a= |S
(3)
となる。 初めて A に止まるまでにコインを投げる回数の期待値は 回 である。
a \? oe Ke
とおく。 NF cc のとき、 Sy(x) が収束するための必要十分条件をょ>o で表す
& oe である。 xr >g のとき, 5。(z) の n— oo TOMRE Six) とおく。
e>a OMT cya とすると、 5(z) は S— に収束する。
(1+243+---+n)
(2) lim a ae Re eT
mS (1424434 tnt)
(3) 8
f(a) = 21+ =
fo(a1,@2) = 22+ Shisx)
ry
essed ag eee et)
Ly
EL, 2, >0、zs >0....、z。 > 0 DMATO falar, c2,-++ 2p) Olea M,,
とする。 M=[4] であり,ヵ2 のとき M, は清化式
log My = log [42] + == log Mn
で計算できる。 nO のとき, M, it [F] に収束する。
放物線 ヵーァ" と 点 (Oa), a> 1 を中心とする半径 1 の円が接しているとする
と. = > である。 この円の外部で 円と放物線とで囲まれた図形 が の面積は
mvE-a である。また 図形が を HOS HID 同転してできる回
転体の体積は Ph である。きさらに、 この回転体を z HO ED Y= 】 回転して
czmm4omeロ1y。 である。
下図の A から出発して后まわりに. コインを 1 回投げるたびに表が出たら 2 コ
マ。 RAMS 1 コマ進む. というゲームを考える。
(A) ©)
(1) n 回コインを投げたあとに A,B,C に止まる確率をそれぞれ an, bp, cn と
すると
gn+】 = > On + Cn
であるので、
= = | a
回
となる。よって、 lim a, = = である。
eae
(2) nBATY ERTS EIMOT A に止まる確率を pヵ。 とすると,ヵと2の
ときには
カー1
a= |S
(3)
となる。 初めて A に止まるまでにコインを投げる回数の期待値は 回 である。
問8画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、整数、図形・三角関数、微分・積分、複素数
(1) 内の容器に 3 cm3/秒 の割合で水を入れる。 水を入れ始めてから 10 WK
における水面の上時する速度は ーー cm/秒 である。
[7]ve
(2) 容器を空にして. 半径cm (b> 0) の鉄球をこの容器の中に入れねる。この
TRA ERAT ET CHF BLA BAL 0 < < Ht である。
(3) b=4 (cm) とする。 鉄球を入れたまま 3 cm3/秒 の割合で再び水を入れ
So OS yS8 OM TARA yom ISLA, RHO LAT Spelt
w+) cm/秒 Ca"),
-
rg (y ) 上
加速度は
[y+
a ( : cm/秒
il] (y+)
ただし 鉄球は動かないものとする。 |
[2]
Q) (14+ [=] - 24: が成り立つ。 ただし|] |コ| eeecan,
ate MEME Th Be
(2) at +429 + 10x? + 122 +8 = 0 DRO CHAO RAMS
Chi), 最小値は | シ| である。 MORRROMM argz (0° S args < 360°)
をラジアンで表すと, その最大値は fel" である。
(3) BRACHIAL hO 38 z』 ニー1寺25 2 =3i, zy =-2451 を頂点とする三
角形を. 扱素数 w をかけることによって移動し, wi =14i, wy, =5, ws = 5454,
4三2十4 を項点とする四角形と共有点をもちつようにする。このような複素数
ME2|
な の中で絶対値の最大値は 、/| ソ| であり, 最小値は である。また (ass
arga (0 S$ arga < 360°) の最大値を 0, 最小値を w とすると
ME [ly
pee eal ccnp)
Le]
である。
AEX
1 1 1 1
こニーヤテーーニー ギャー © |
my Ne ng Ths
BRET IER ROM (1.12, 23.14) (HEL, ny So Sz Sy) をすべて決定
Babge
まず、 の最小値は [ネネ| であり最大値は |ノ| でぁる。
m= [4] のとき、 Ot [>] であり最大値は [E] である。
(me) = ([ネ| ]) のとき, 条件をみたす (mami) Oat [7] MY,
(ai.nz) = (4). ] ‘i 1) のときは [A] MHS.
こ うして数えていくと, 結局 全部で | ホ | 組の解があることがわかる。
放物線 y =x? OM P(1.1) COMME A P で弟交する直線を CLEA, Olt
9 tit y= で交わり, 放物線とは AP Lut = sche
€ と放物線とで囲まれた図形を c 軸のまわりに1 回転してできる回転体を @ と
する。 回転体 OD ょ>0 の部分の体積は fe" である。 回転体をきらに
9 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積は Ela である。
における水面の上時する速度は ーー cm/秒 である。
[7]ve
(2) 容器を空にして. 半径cm (b> 0) の鉄球をこの容器の中に入れねる。この
TRA ERAT ET CHF BLA BAL 0 < < Ht である。
(3) b=4 (cm) とする。 鉄球を入れたまま 3 cm3/秒 の割合で再び水を入れ
So OS yS8 OM TARA yom ISLA, RHO LAT Spelt
w+) cm/秒 Ca"),
-
rg (y ) 上
加速度は
[y+
a ( : cm/秒
il] (y+)
ただし 鉄球は動かないものとする。 |
[2]
Q) (14+ [=] - 24: が成り立つ。 ただし|] |コ| eeecan,
ate MEME Th Be
(2) at +429 + 10x? + 122 +8 = 0 DRO CHAO RAMS
Chi), 最小値は | シ| である。 MORRROMM argz (0° S args < 360°)
をラジアンで表すと, その最大値は fel" である。
(3) BRACHIAL hO 38 z』 ニー1寺25 2 =3i, zy =-2451 を頂点とする三
角形を. 扱素数 w をかけることによって移動し, wi =14i, wy, =5, ws = 5454,
4三2十4 を項点とする四角形と共有点をもちつようにする。このような複素数
ME2|
な の中で絶対値の最大値は 、/| ソ| であり, 最小値は である。また (ass
arga (0 S$ arga < 360°) の最大値を 0, 最小値を w とすると
ME [ly
pee eal ccnp)
Le]
である。
AEX
1 1 1 1
こニーヤテーーニー ギャー © |
my Ne ng Ths
BRET IER ROM (1.12, 23.14) (HEL, ny So Sz Sy) をすべて決定
Babge
まず、 の最小値は [ネネ| であり最大値は |ノ| でぁる。
m= [4] のとき、 Ot [>] であり最大値は [E] である。
(me) = ([ネ| ]) のとき, 条件をみたす (mami) Oat [7] MY,
(ai.nz) = (4). ] ‘i 1) のときは [A] MHS.
こ うして数えていくと, 結局 全部で | ホ | 組の解があることがわかる。
放物線 y =x? OM P(1.1) COMME A P で弟交する直線を CLEA, Olt
9 tit y= で交わり, 放物線とは AP Lut = sche
€ と放物線とで囲まれた図形を c 軸のまわりに1 回転してできる回転体を @ と
する。 回転体 OD ょ>0 の部分の体積は fe" である。 回転体をきらに
9 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積は Ela である。
問9画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、整数、複素数、微分・積分
(1) 空の容器に 3 cm?/秒 の割合で水を入れる。 水を入れ始めてから 10 HER
における水面の上昇する速度は ーー__ cm/秒 である。
[z]ve
(2) Qe IIL, 半径ヵcm (5 > 0) の鉄球をこの容器の中に入れる。この
PDR REY EO TRE BLE FAIS 0 <りくユー である。
(3) 0 = 4 (em) とする。 鉄球を入れたまま 3 emi/秒 の割合で再び水を入れ
る。0 ミッミ8 の男囲で水深が yom になるとき. 水面の上昇する速度は
— = cm/秒 TH),
my (u+ [=]) y
加速度は
CHS; —" クジ PG
ただし 鉄球は動かないものとする。
|
a) (1+ F]i)' = B]-aiamnw, eee FS] eae,
? は上護数単位である。
(2) ot + 4z9 + 10x? + 120 +8 = 0 の複素数解の中で絶対休の最大値は
であり、 最小値は \/| シ| である。 MORRO argc (0° S args < 360°)
をラジアンで表すと、 その最大値は rel" である。
(3) 複素数平面上の3点タァィニー1十2 るー35 23 ニー2+53 を頂点とする三
角形を, 複素数 w をかけることによって移動し, ゅ」ニ1二?. wo =5, wy = 545i,
w= 244i を頂点とする四角形と共有点をもつようにする。 このような複素数
yl
a の中で絶寺箱の最大値は | ソ| であり, 最小値は である。また (ef
arga (0° S arga < 360°) の最大舘を 9. 最小値をと p とすると
Wve ,.ZvEI
oso Zyl) ene
回
である。
1 1 1 1
—+—+—+—=1
my ny Thy ny
EAA UERMAL (ny 1, 25.m4) (AZEL, my Sng Sng S m4) をすべて決定
もまき。
まず, の最小値は |[ネ| であり最大値は [7] である。
（続きは問題PDFで確認できます）
における水面の上昇する速度は ーー__ cm/秒 である。
[z]ve
(2) Qe IIL, 半径ヵcm (5 > 0) の鉄球をこの容器の中に入れる。この
PDR REY EO TRE BLE FAIS 0 <りくユー である。
(3) 0 = 4 (em) とする。 鉄球を入れたまま 3 emi/秒 の割合で再び水を入れ
る。0 ミッミ8 の男囲で水深が yom になるとき. 水面の上昇する速度は
— = cm/秒 TH),
my (u+ [=]) y
加速度は
CHS; —" クジ PG
ただし 鉄球は動かないものとする。
|
a) (1+ F]i)' = B]-aiamnw, eee FS] eae,
? は上護数単位である。
(2) ot + 4z9 + 10x? + 120 +8 = 0 の複素数解の中で絶対休の最大値は
であり、 最小値は \/| シ| である。 MORRO argc (0° S args < 360°)
をラジアンで表すと、 その最大値は rel" である。
(3) 複素数平面上の3点タァィニー1十2 るー35 23 ニー2+53 を頂点とする三
角形を, 複素数 w をかけることによって移動し, ゅ」ニ1二?. wo =5, wy = 545i,
w= 244i を頂点とする四角形と共有点をもつようにする。 このような複素数
yl
a の中で絶寺箱の最大値は | ソ| であり, 最小値は である。また (ef
arga (0° S arga < 360°) の最大舘を 9. 最小値をと p とすると
Wve ,.ZvEI
oso Zyl) ene
回
である。
1 1 1 1
—+—+—+—=1
my ny Thy ny
EAA UERMAL (ny 1, 25.m4) (AZEL, my Sng Sng S m4) をすべて決定
もまき。
まず, の最小値は |[ネ| であり最大値は [7] である。
（続きは問題PDFで確認できます）
SUCCESS STORY
この過去問で合格した先輩がいます
【詳細掲載準備中】この大学の合格者事例は、イニシャル・出身高校・指導開始時期・成績の変化を個人情報に配慮して整理のうえ掲載します。
過去問は「解く」だけでは伸びません。どこで落としたか、なぜ落としたかをプロ講師が一対一で分析し、あなた専用の対策に変えます。
※成績の伸びは個人の学習状況により異なります。指導事例をもっと見る