東北大学 2009年度 過去問・解答

東北大学 2009年度（平成21年度）前期日程 数学の全問解説です。文系（文・教育・法・経済・医保健看護）4題と理系（理・医・歯・薬・工・農）6題が出題され、うち1題が共通なので、まとめると全9題18小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（ を細かく動かして不等式が成り立つ範囲を全数判定・玉の並びを全列挙して確率と期待値・sympyによる因数分解と積分と行列計算・絶対値つき方程式の解の個数を について広く走査） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 文系・理系とも「文字定数を分離して、動く直線と固定の曲線の交点で考える」問題が軸です。文【1】も理【6】も、式を 「（定数を含まない曲線）＝（定数で傾きが変わる直線）」の形に直すのが最短ルート。この一手が使えるかどうかで、かかる時間が何倍も変わります。
• 理【2】は「のりしろで重なる面積を引く」という、式より状況把握が大事な問題です。紙 枚の総面積から重なりの分を引くだけですが、重なりが か所であることを図から読み取れるかが勝負。文章題としての読解力が問われます。
• 理【6】は場合分けが3つ×それぞれ複数と、この年度で最も重い問題です。答えも 、、 と3つの区間に分かれます。大きい の側にもう1つ区間があることを見落としやすいので、最後に を大きくした場合まで必ず確認します。

文系【1】すべての実数で成り立つ指数の不等式

(1) の範囲

【型】 と置きかえる。文字定数 は分離して「固定の放物線」と「動く直線」の上下関係にする。

【なぜこうするか】　 なので、 とおくと 。 の範囲は （ は全実数を動くので は正の数全体）です。
ここで について整理すると 。左辺は を含まない放物線、右辺は点 を通る傾き の直線。つまり「 で放物線が直線より上にある」という図形の問題になります。
直線は必ず を通るので、傾きを動かして「放物線からはみ出さない」範囲を読み取れば終わりです。境目は「 での高さ」と「接するとき」の2つ。

検証： を から まで 刻みで動かし、各 について を から まで動かして を全数チェックしました。成り立つ範囲は と完全に一致しています。

文系【2】直角三角形の辺上を動く点と内積

(1) の動く範囲

【型】直角があるなら座標を入れる。 を原点、直角をはさむ2辺を軸に取る。

【なぜこうするか】　 なので、 を原点、 を 軸正方向、 を 軸正方向にとれば計算が最短になります。 より 、。
すると はD の 座標そのものになります。D は線分 BC 上を動くので 座標は0（点C）から1（点B）まで。 の長さ によらないのがポイントです。

(2) のときの

【型】(1) の結果 を使って、D の座標を で書き直してから内積を計算する。

【なぜこうするか】　(1) で D の 座標が だと分かったので、 と書けます。あとは4つのベクトルを成分で書いて内積を計算するだけ。
両辺に や が現れますが、 なので割ることができ、最後は だけの1次方程式になります。

検証：sympy で を文字のまま置いて連立させたところ、解は のみで、 の値によらないことを確認しました。

文系【3】＝理系【3】　玉を戻さずに取り出す確率

(1) 4回目に初めて赤玉

【型】戻さない試行は「取り出す順列」で考える。分母は 。

【なぜこうするか】　「初めて」なので、1〜3回目が青、4回目が赤という順序まで決まった1通りの並びです。10個の玉を区別して4回分の順列を考えると、分母は 、分子は「青3個を並べる 通り × 赤1個の選び方3通り」。

(2) 8回目終了時点で赤玉がすべて出ている

【型】順序が関係ないなら組合せで数える。「残り2個が両方青」と読み替えると速い。

【なぜこうするか】　8回目までにどの順で出たかは関係なく、「最初の8個の中に赤3個が全部入っている」かどうかだけの問題です。これは裏返すと「袋に残った2個が両方青」ということ。
10個から8個を選ぶ組合せで考えれば 、残り2個で考えれば 。どちらも同じ値です。

(3) 赤玉がちょうど8回目ですべて出る

【型】「ちょうど 回目で終わる」は「 回目までに残り1個」＋「 回目にそれが出る」。

【なぜこうするか】　8回目で「すべて出そろう」ということは、7回目までに赤が2個出ていて、8回目に最後の1個が出るということです。
前半は組合せ、後半は条件つき確率（残り3個のうち赤1個なので ）。
（(2) から「7回目までにすべて出ている確率」を引いても同じ答えになります。）

(4) 4回目終了時点の赤玉の個数の期待値（理系のみ）

【型】「個数の期待値」は、1個ずつの指示変数に分けて足す（期待値の線形性）。

【なぜこうするか】　個数の分布を求めてから としてもできますが、手間がかかります。（ 回目が赤なら1、青なら0）とおくと で、期待値は和のまま計算できます（独立でなくても線形性は成り立ちます）。
そして 回目に赤が出る確率は、何回目であっても （対称性）。だから答えは です。

検証：赤玉3個の位置の選び方 通りをすべて列挙して数えたところ、(1) 、(2) 、(3) 、(4) となり、上の結果と一致しました。

文系【4】折れ線が境界の領域に、放物線がすっぽり入る条件

(1) の範囲

【型】絶対値は場合分けで外して境界を折れ線にする。「放物線が直線の上側」は〈2式を連立した2次方程式が実数解をもたない〉。

【なぜこうするか】　まず領域 の形をつかみます。 を外すと境界は2本の直線をつないだ折れ線。 では 、 では で、頂点は 。
ここで大事なのは、「折れ線の上側」は「2本の直線の両方の上側」と言いかえられることです（下に凸な折れ線なので）。つまり かつ 。
すると条件は「放物線が2本の直線それぞれの上側にある」となり、それぞれについて「連立した2次方程式が実数解をもたない（判別式 ）」で処理できます。場合分けが要らなくなるのがこの読み替えの効果です。

検証： を から まで 刻みで動かし、各 について を から まで 刻みで動かして 上の点が に入るかを全数チェックしました。成り立つのは と完全に一致しています。

理系【1】3次式の因数分解と不等式

(1) のとき

【型】条件式を代入して展開する。あるいは (2) を見越して因数分解しておく。

【なぜこうするか】　 をそのまま代入して展開すれば1行で終わります。
ただし (2) のことを考えると、ここで を因数分解しておく方が得です。有名な公式 で を に置きかえると、ちょうどこの式が出ます。

(2) のとき

【型】① の第2因子が必ず0以上であることを、平方の和に変形して示す。

【なぜこうするか】　① の第1因子 は仮定から0以上。あとは第2因子が0以上だと言えれば、積も0以上です。
は、2倍して整理すると3つの平方の和になります： 実数の平方は0以上なので、これで確定です。「符号が混ざった2次式は、平方の和に直せないか試す」のが定石です。

検証：sympy で を因数分解すると となり、第2因子が と一致することも確認しました。

理系【2】紙を貼り合わせてつくる長方形の面積

(1) と

【型】貼り合わせの面積は「紙の総面積 − 重なりの総面積」。重なりの箇所は か所。

【なぜこうするか】　紙1枚の面積は 、それが 枚で総面積 。
枚を1列につなぐとき、のりしろは か所（枚数より1つ少ない）。ここを押さえるのがこの問題の核心です。
A では1か所の重なりが 、B では 。それぞれ 倍して引きます。

(2) のときの の範囲

【型】差 を作って符号を調べる。

【なぜこうするか】　両辺に と が入っているので、差をとって整理すると という簡単な形になります。(3) でもこの式をそのまま使えるので、一般の のまま差を作っておくのが得です。

(3) そのような が存在する の範囲

【型】「そのような が存在する」は、 を動かしたときの最大値で判定する。

【なぜこうするか】　① を で割ると（） となり、 の2次関数 が正になる2以上の自然数 があるかという問題になります。
は上に凸で 。 より軸 。上に凸なので、 で正でなければ でも正になりません（軸より右では単調減少、軸が より右にある場合も が最大とは限りませんが、 なら の正の区間は 側にしかなく、2以上の自然数は取れません）。
よって条件は 、つまり (2) と同じ不等式に帰着します。