早稲田大学 1997年度 過去問・解答

(問 題) |
(97 理) |
注 意 事項
1. 問題弄子および解答用紙は, 試験開始の合図があるまで開かないこと。
2. 問題は4一 7 ページに記載されている。
3. 解答はすべて解答用紙の所定欄に黒鉛筆で記入すること。
4. 受験番号および氏名は各解答用紙の所定欄 (2 か所) に記入すること。
5. 下書きは問題冊子の余白を使用すること。
6. 問題冊子は持ち帰ること。

I. 3次方程式
x—3x+1=0 see (xk)
について以下の問に答えよ.
(i) (*) の解で1より大きなものは, ただ1つであることを示せ.
(ii) (*) の解で1より大きなものを @EL, =eー2. アーゲー2 とする.
このとき, YSP<a となることを示せ.
(iii) 月,.7 th (#) の解であることを示せ.
HI. 正の整数ヵ CEB a(n, p)(m=1, 2, ・...) を次のように定める.
a1. p=,
ws 1 n~l
a(n, p)=—-(55 alk, p)+n), (nz2)
か ぴー
このとき以下の問に答えよ.
(i) 一般項 a(n, p) を求めよ.
(ii) 李限 tim a ([+-]. p) を求めよょ。ただし実数 x に対して[*] its EMRE
い最大の整数を表す-.

HW. 数字1.2. 3を # 個並べてできる z 桁の数全体を考える. そのうち1 が人奇数回現
われるものの個数を an, 1 が偶数回現われるかまったく現われないものの個数を 6
とする. 以下の問に答えよ.

Ci) ari。 Ont: を Qn, 5を用いて表せ.
Gi) an, を求めよ.

IV. 3辺の長きが a,b,c である三角形 7 を考える. azb2Sc OLS IMMKEH
ラ・5,c である三角形が存在するならば. 了 は「変形可能」 ということにする.
以下の問に答えよ.

(i) 1>x>y EFS. 3 辺の長さが 1. x.y である三角形が存在し, かつその三
角形が「変形可能]」 となる (x,y) の男囲を座標平面に図示せよょ.

(ii) 1>ェッッ> うとする. 3辺の長きが 1 、*、ゞである三角形は何度でも「変
形可能]」 なことを示せ. CEN, この三角形は「変形可能」 であり変形して得られ
た三角形もまた「変形可能] であり.....・となっていることを示せ.

V. 座標平面上の円
Cixi ty=9
の内側を半径 1 の円 の が滑らずに転がる. 時刻 「 において Dita (3cost, 3sint)
で C に接しているとする.
以下の問に答えよ.
(i) BRM t=0 において点 (3,0) にあった D LOS P の時刻! における座標
(x(t), 9(t)) を求めよ、ただし 0 4人とする.
(ii) OSt < 22 の範囲で点 P の描く曲線の長きを求めよ.

(1) 2+ ayer! + aan? + + + aio + an=0
がある。 ここで q、@、... 、のにGa はすべて整数である。
CHER, (1) が有理数の解をもつならば, その解は整数である。それは次
のようにして証明される。
方程式 (1) が有理数*ニと を解にもつとしょう。ただし, ヵは整数, 9 は正
PERC, 互いに素とする。ここで耳いに素であるとは, pt 9 の最大公約数が
1であることをいう。
zat を (1 ) に代入して整理すれば
を得る。この式の右辺は| イ |で割り切れるから,| ウ |も| x |で割りき
れる。ところが, かと 9は互いに素であるから| オ |と| カ |も互いに素で
ある。ゆえに| キ |でなければならない。ゆえに| F |となり, (1)の

解は整数である。
(B) 上の結果を利用して7 は無理数であることを示せ。
問3 。 *,りを任意の正の数とし,か9を
すすなー) pO ヵ>1. 7>1
をみたす有理数とする。このとき, 次の各問に答えよ。
(1) 不等式
(x+y)? S px? tay’
が成立することを示せ。また。, 等号が成立するときの ヵ.9 を, x.y を用いて
表せ。
(2) URES rsa? xt 等を用いて, 次の不等式
(x+y)? <x ty?

(1) 2つのベクトル AP, BP の内積が最小となる点 P の座標を求めよ。
(2) AABP が直角三角形となる点 P の座標をすべて求めよ。
(3) ABPの9 とおくとき, 0'ぐの<90' tand=}- となる点 P の座標を求め
ts,
a
BAN | ay! (m=1, 2, 3, ce) は
log, @.— (n+ 1) loga,2-—n=0, a,>1
を満たしている。次の問に答えよ。
(1) 一毅項 を求めよ。
(2) by=n-dn (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき,
BA | d,| の初項から第ヵ項までの和を求めよ。
(3) = (logaansr-1) (m=, 2, 8 ......) を満たすとき,
数列 | cy) の初項から第 ヵ項までの和を求めよ。

(1) 平面上の 3 点 4 (一3, 4), B (4, 5), C(1, 一4) を通る円を S
とする.
直線 yニ2z十 1 上にあって, 円 ぐ の周上または内部に含まれ, HO,
x 座標と ゞ座標がともに整数である点をすべて求めなさい.
(2) wh Ft y=2° —ax? + bx は*x軸と異なる 3 点で交わり, Ma, 5
は互いに素な自然数である.
曲線 FL x 軸で囲まれる 2 つの部分の面積が等しくなるように, a, 5
の値を定めなさい.
(3) 一辺の長きが a であり, 1 つの内角が の9 であるひし形の面積 S と,
そのひし形に内接する円の面積 7 を求めなさい.
Ek, 面積の差 ゞー7 が最大になるときの sind の値を求めなさい.