中央大学 2010年度 過去問・解答

(1) 和が2である 2 つの数がある。 この 2 数の平廊の和は である。 この2数を求
めよ。

(2) 次の 2 次関数の値域を求めよ。

ッーダ二2z (-2<x<1)

(3) O° SOS 180 MLA, 2cosの9二1王0をみたす角のを求めよ。

(4) 10 人の生徒を, 5A, 3A, 2 入の3組に分ける方法は何通りあるか。

(5) RARE EHC PORK HS, 1 個のさいころを投げて1か2の目が出た
ら点P は正の向きに 1 進み, それ以外の目が出たら点Pは負の向きに 1 進む。さ
いころを4回続けて投げたとき, 点Pが上座標2 の位置に来る確率を求めよ。

(6) 点 A(一1], —2) から曲線ッー x? へ引いた接線の方程式を求めよ。

(7) 2 つの放物線ッタータタ十2ャー1。ッニータダ2ァ十1で囲まれた図形の面積を求
めよ。

on

TI ]辺が1mの正方形 ABCD がある。
| |
B 6
点Pが点せを出発して, Whe, C, D, A をへて Bまで戻ってくる。点Pが動
いた距離を xm とし, 線分 BP を 1 辺とする正方形の面積を ym* とする。このとき
直下の問いに答えよ。 (35K)
() をィで表して, そのグラフを挫け。
(12) 1) で描いたグラフとェ軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。
ーター

Ill 元金S円を年利率ァでヶ年間被利法で疾金するとき, ヵ年後の元利合計は以下の
式で与えられる。
Sx(+r)"
いくつかの金融商品があるときは年利率の大きい方を有利な商品とする。

SC, 2種類の金融商品 AB がある。商品 A は元金が 100 万円、年利率で5
年後に元利合計は 130 万円となる。他方, 商品 B は元金が 200 万円、年利率 %で7
年後に 300 万円になる。

このとき, とを小数第3位まで求め, 商品A とBはどちらが有利か示しな
さい。 (3040

ed logio x x logiox
1.0 | 0.0000 1.050 | 0.0212
1.1 | 0.0414 1.051 | 0.0216
1.2 | 0.0792 1.052 | 0.0220
1.3 | 0.1139 1.053 | 0.0224
1.4 | 0.1461 1.054 | 0.0228
1.5 | 0.1761 1,055 | 0.0233
1.6 | 0.2041 1.056 | 0.0237
1.7 | 0.2304 1.057 | 0.0241
1.8 | 0.2553 1.058 | 0.0245
1.9 | 0.2788 1.059 | 0.0249
2.0 | 0.3010 1.060 | 0.0252
ーョター

2010 年度入学試験問題
数 学
(試験時間 13:25-14:25 60分)
1, この問題は 入学順書提出時に選択した科目の問題です。科目名を確認のうえ,
解答してください。
2, 解答用紙は, 記述解答用紙のみです。
3. 解答は, 必ず解答欄に記入してください。 なお, 解答欄以外に書くと無効となり
ますので注意してください。
4. 解答は, HEの欠筆またはシャープペンシルを使用し、訂正する場合は、プラス
チック製の消しゴムを使用してください。
5. 解答用紙には, 受験番号と氏名を必ず記入してください。
122—SQ-M

] 次の問いの答を, 解答欄に記入せよ。 (35 点)
() Jal=3 [6l=4 12+5|=6のとき,|ヶ一6|の値を求めよ。
(2) 定義域が0ミャミ3である 2 次関数ッニーー gr"十2gr十の最大値が 3 で, 最
小値が 5 であるとき、 定数 ちの値を求めよ。ただしゥ>0 とする。
] (3) csの=ー を沿たす角のを求めよ。ただし, 0505 180° とする。
(4) 3つの数*ー2, *十1。*二7がこの順で等比数列となるとき, ヶの値を求めよ。
(5) ARB, 赤玉 2 個だ入っている袋から玉を 1個取り出し色を確認してからもと
に戻す。この操作を 3 回続けて行う。 1 回目に自, 2 回目に赤。 3 回日に赤の玉が
取り出される確率を求めよ。ただし, どの玉も取り出される確率は等しいとする。
(6) 関数ツーダー12xの区間一1ミャミ3 における最大値と最小値を求めよ。
(7) 次の条件を満たす関数 (と) を求めよ。
プア(= 6x? — 2x +3
es
ニュー

II 地球が半径 6378 km の完全な球であると仮定する。地球の中心をO, 北緯45 He,
東経 150 度の地点を A, 南緯45 度, 西経 120 度の地点をBとする。このとき, 次の
問いに答えよ。 (30 点)

() ZAOBの大きさを求めよ。
(20 AからBへ地球の表面上を最短の時間で移動するときの AB 問の距離を求めよ。
ただし, 円周率の値は 3.14 とする。
ー?ー

Ih サイコロを 2 個,、 くり返し投げたとき, xy 平面上で, 点P は原点を出発して, 次
の規則で移動していく。
(《) 1回投げるごとに, x 軸方向に十1 移動する。
(B) 目の和が10 以上のときは>軸方向に2 移動し, 9 以下のときはゅ軸方向に
ー1 移動する。
このとき, 次の確率を求めよ。 (35 点)
- (1) 5回投げたとき, AP AG, 4) に達する。
(2) 6回投げたなとき, 点Pが点(5, 4) を通り点(66, 5) に達する。
(3) 7 回投げたとき, 点Pが点(5, 4) を通り点(7。5) に達する。
ーー

数 学

(試験時間 13 :15-14:15 60分)
1, この問題は, 入学願書提出時に選択した科目の問題です。科目名を確認のうえ,
解答してください。
2 . 解答用紙は, 記六解答用紙のみです。
3. 解答は, 必ず解答欄に記入してください。なお, 解答欄以外に書くと無効となり

ますので注意してください。
4, 解答は, HBの鉛筆またはシャープペンシルを使用し, 訂正する場合は, プラス
チック製の消しゴムを使用してください。
5. 解答用紙には, 受験番号と氏名を必ず記入してください。
132-—SQ-M

] 以下の設問に答えよ。 (20 点)

問1 「14で割り切れ。 11 で割ると1 余る] 自然数の中で最小のものんを求めよ。
問2 自然数22十77二をは, 次の条件を満たすことを示せ。

@ 。 2, 7, 11のどれで割っても1 余る
問3 (*) を満たす自然数 ヵ で, 4005 25700 であるものをすべて求めよ。

TI 一辺の長さ1の正方形 ABCD を考える。まず辺 AB上に点 を決め, 辺BC上の
点F, 辺CD上の点G, 辺DA上の点本を「四角形EFGH が長方形になる」 よう
にとる。

線分 BE の長きを (0 <*く1) とおき, 以下の設問に答えよ。 (20 点)
問1 MUP BF の長きをャで表せ。
間2 へFCG の面積を * で表せ。
TI 関数
se) = |z|(すダーオタ) Fate
に対し, 以下の設問に答えよ。 (30 点)
間1 2く0 とするとき, 関数マーア(*) の*ーゥにおける微分係数(Z) を求めよ。
問2 の>0 とするとき, 関数ャーア(x) のャー6ムにおける微分係数(2) を求めよ。
問3 関数ッーア(z) ORM 一2ミャる3 における最大値と最小値を求めよ。
ーュー

TV 1から10 までの数字が1 つずつ書かれた球 10 個の入っている箱がある。
*この箱から 1 個の球を取り出したとき, その球の数字を X とする。
* 1回目に取り出した球を箱に戻さきず, 再び1 個の球を取り出す。 2 回目に取り
出した球の数字を 了了とする。
* 2 回目に取り出した球る箱に戻さきず, 再び1 個の球を取り出す。 3 回目に取り
出した球の数字を用 とする。
COLES, 以下の設問に答えよ。なお解答の数値は分数のままでよい。 (30 点)
問1 [(X, Y) の組み合わせの総数] および「(, Y,Z) の組み合わせの総数」 を求
めよ。
問2 メくとなる確率を求めよ。
問3 <ク<了となる確率を求めよ。

2010 年度入学試験問題
=
数 学
(試験時間 13:15一14:15 60分)

1, この問題は, 入学晶提出時に涯択した科目の韻題です。科目名を確認のう 2,

解答してください。
. 2, MANS, LMOMEMROATT.
= 3. MEL, LTMSMCRA LT CHS. 2, DURCH C CARL oD

ますので注意してください。

4. MES, HBの鉛筆またなはシャープペンシルを使用し。 訂正する場合は プラス

チック没の消しプムを使用してください。

5.解和用紙には。 受験番号と氏名を必ず記入してくだきい。

131一SQ一M

I sy FHT, 次の不等式の表す領域を ETS,
の: |x|+2\yi/s60
以下の設問に答えよ。 (20 点)
問1 のをxy平面上に図示せよ。
9 間2 次の条件を滴たす束数の組 (om, ) の個数を求めよ。
m+2nS60, m21, 221
問3 のに合まれる整数の組 (m, 7) の個数を求めよ。
Il 不等式 -
19200 < 19683 = 3° < 20000 < 20480 = 2"-10
を利用して, LEFORMICB AE. EL, ァー logo, マー logwS とする。 (2020)
問1 login19200 の値をャとッで表せ。
問2 xk 語の大小を比較せよ。 なお計算過程5示すこと。
MS ッと詩の大小を比較せよ。なお対外周程う示すこと。
TI pia
Me) = B22 +\x|(L4 320)
に対し, xy 平面上のグラフ Ciy =f) を考える。 2 を正の実数とし, > 軸上の点
- ア(0.一のの)からCに2 本の接線 GES. COLES, 以下の設問に答えよ。
(30 点)
Bl Cと人るの接点を S(s, (5)) とする。sく0のとき, 4を用いて 5 を表せ。
M2 Cとるの接点を (7の) とする。# >0のとき, Zを用いて7 を表せ。
FS 4とるが直交するような々の値を求めよ。
ーーイー

TV 四角珍の頂点に図のような番号を振り, 点を番号0 の頂点に置く。
0 1
Ll 。
次に, サイコロを1 回投げるごとに
CHAS 3 以上の場合、アを時計回りの隣接する頂点に移動
*出た目が2 以下の場合, 戸を反時計回りの隣接する頂点に移動
という操作を繰り返し行う。
サイコロをぁみ回投げたとき, アが移動した頂点の番号を Qn) と表す。このとき
以下の設問に答えよ。なお解答の数値は 分数のままでよい。 (30 点)
Fl [Q(2) = 0} となる確率を求めよ。
問2 「の(2)ま0かつ @14) =0) となる確率を求めよ。
問3 (QU) 0] となる確率を求めよ。
=

2010年 度 入 学 試 験 問 題

‐
学

(試 験 時 間 15:20〜 17:00 100分 )

1 牟答 用紙 は,記 述解 答 用紙 とマ ー ク解 答 用紙 の 2 TI類 が あ ります の で注意 して く
角

ごさ ヽヽ
オ 。

2 解答 は,必 ず解答欄 に記入 して くだ さい。 なお,解 答 Wll以 外 に書 くと無効 とな り

‐ ます ので注意 して くだ さい。

3.解 答 は,HBの 鉛筆 またはシャーブ ベ ンシル を使用 し,訂 正す る場合 は,プ ラス
チ ック製の消 しゴム を使用 して くだ さい。特 に,マ ー ク解答 用紙 には鉛筆 の あ とや

消 しくす を残 さな いで くだ さい。 また,折 りまげた り,汚 した りしないで くだ さい。

記述解答用紙 の ド敷 きにマー ク解答用紙 を使用す るこ とは絶対 にさけて くだ さい。

4 解答用紙 には,受 験番号 と氏名 を必ず記入 して くだ さい。

5 マー ク解答用紙 の受験番号お よび受験番号 のマー ク記入は,電 算処 理 卜非常に重

要 なので,誤 記 の な い よう特 に注意 して くだ さい。

6 設間文 にある点数 は,満 点が 100点 となるよ うな配点表示 になって い ますが,数

学科 の配点は 200点 とな ります。

141‐MQ

次 の 問題文 の空欄 に もっ とも適す る答 えを解 答群 か ら選び,そ の 記 号をマー ク解 答

用紙 にマー クせ よ。ただ し,同 じ記号 を 2度 以上用 いて もよい。 (20点 )

空間内の 4点 A,B,C,Dを 頂点 とす る正 四面体 の 重心 Gは ,点 0を 基準 とす

る位置 ベ ク トル を使 って

OG= OA+OB+OC+OD

と表 さ れ 瓢 十雨 +∝ +雨 = ァ とな る こ とが わ か る。 ま た 正 四 而

体 の 対称 '性 か ら IGAI=IGBI=IGCI=IGDIで あ り, また GA,こ ■ , こで, こう

の うち 2つ の 異 な るベ ク トル の なす 角 は どれ も等 しい。 この 角 度 を θ とす る。 GA

は 面 BCDに 直交 し,他 の ベ ク トル と面 も同様 で あ るか ら,こ の 正 四面 体 の 2つ の

面 の なす 角 (こ れ を面 角 と い う)ω と θは θ = イ を み た す。 そ こで ,内 積

百貫 (石 A+雨 +配 +こ 動 を計 算 す れ ば cos θ= ウ と cOs ω =□

早る。
をイ
一 方 , この 正 四面 体 の 6本 の 各辺 の 中点 を頂 点 と して正 八 面体 が 作 れ る。 よって正

四 面 体 の 面 角 ω と正 八 面 体 の 面 角 ク は ,= オ の 関 係 に あ り,cos,=

力 とな る。 この 正 八面 体 の 1辺 の 長 さ と正 四面 体 ABCDの 1辺 の 長 さの 比

は キ で あ る。 これ よ り, 1辺 の 長 さの 等 しい正 四面体 と正 八 面体 の 体 積 の 比

は ク とな る。

問題 Iの アの解答群

0 0G O ‐Oё 0 26ё 1 ‐2てた 0 3歌 j 1 =3て薄

0:∝ 1― 1+∝ 1―
÷∝ 1 J
=∝
問題 Iの イ,オ の解答群

Oω 6 ―ω O=十 ω 1 あ 0=+サ
1 ,一 サ O π
ttω 1 π―ω Oπ=一+サ Oπ ―子
問題 Iの ウ,工 , 力の解答群

30 ■1
0 1 ●: o : of
g― 手 [手 O― f O÷ 1― 1
O― こ千 。一 f O÷ = =
1―
O― ギ = = Of
‖題 1の キ、 クの解答群
01:2 02:1 01:√ 0.2:l ol:Jg C、 511
01:3 0311 0114 04:1 01:8 1■ 811

(設 間 は次 ペ ー ジ に続 く。)

II 次 のFn3題 文の 空欄 に もっと も迪す る答 えを解答群 か ら選び,そ の記号 をマー ク解答
用紙 にマー クせ よ。 ただ し,同 じ記号 を 2度 以上 用 いて もよい。 (20点 )

ll!′
じヽA,半 径 1の l板 の l・l̲liに 2点 R,Sを と り,中 ′
しヽ角 ∠RASを θとす る

しヽAを 含 む図形 を ク とお く
(0く θ<π )。 円板 を弦 RSで 2つ に切 り離 した とき,中 ′

(IX l)。 ′′ の弧 RS 卜に11Bを RB=SBと なるように とる。

'平 面の )'≧ 0の 領域 に,図 形 Dを 点 Bが 原点 に位置す るように置 く (図 2の 左

端 )。 さて この の を,■ 軸 に接 した まま鴻 らな い ように転が して,ク が lI回 転 した と

きの点 Bの 座標 を (b.0)と す る (b>0)。 ただ し,点 Sが r軸 に達 した時点で Sを 支

点 として弦 RSが χlllに 重 なるまで の を回転 させ ,引 き続 き点 Rか ら転 が して い く

もの とす る。 この とき中心 Aの 描 く曲線 を Clと し,点 Bの 描 く曲線 を C2と す る。

曲線 Ciの 1こ さは ケ で あ り,Cl,I軸 1,3.軸 と直線 χ=bと でレ
」まれ る領
域 の■i積 は コ +(Dの H 積 )で ある。
次 に,Gと C2の 交点 を El(、 :.1),E2(■ 21)(■ lく ■2)と し,Clと C2と で囲 まれ
る領城 を F` とす る。 この とき,■ 1= サ である。 また,「 内の点の y座 標 の
（続きは問題PDFで確認できます）