藤原進之介です。このページでは茨城大学2011年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 9 、|OB| = 10 、挟角 60° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 60° = 12 × 9 × 10 × √32 = 45√32 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 60° = 9 × 10 × 12 = 45 。
答え： 面積 = 45√32 、 OA · OB = 45
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 60° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 90 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
茨城大学 数学 過去問｜他の年度を見る
茨城大学の数学の過去問は17年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
- 2019年度
- 2018年度
- 2017年度
- 2016年度
- 2015年度
- 2014年度
- 2013年度
- 2012年度
- 2011年度
- 2010年度
- 2009年度
- 2008年度
- 2003年度
- 2002年度
- 2001年度
- 1999年度
- 1998年度
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
茨城大学 2011年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 空間図形
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2011年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、指数・対数、微分・積分、確率・場合の数に関する語句や設問を確認できました。茨城大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は17年度、関数・グラフは17年度、微分・積分は16年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分
用いて表せ。
(2) 線分AC と線分 BD が交わり. その交点が(1)の点Pと一致するとき,
四角形 ABCD の形状を理由をつけて述べよ。
RA, BEA(-1, 5), B(2. 一1)とする。実数eg. 5について直線
ッー(2ー@)*ー(32十の)が線分ABと共有点をもつとする。点P(2. WD
存在する領域を図示せよ。
を1。 2に対して放物線ヶニゼー太1をCxで表す。点A(1. 1)での
C」 の接線に, 点 A で直交している直線を#とし, /とC。 の交点のうち座標が
正となる点を B とする。次の各問に答えよ」
1) 点Bの座標を求めよ。
2) WHC), Co と線分 AB で囲まれた図形の面積を求めよ。
関数げ(x) は
デー3zヶ?十2 (x S208)
7で) = |
x-2 > 2 のとき)
で定義されている。 次の各問に答えよ。
(1) ャニア(ぶx)のグラフを描け。
(2) aSxSat+2COF (x) の最大値が/(4 + 2 ) と等しくなるような実数々の
範囲を求めよ。
1 M1 (653—2)
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、確率・場合の数、指数・対数、方程式・不等式
(12 点Bが直線 AS の上側にある場合を考える。SB と点Bの座標を*で表せ。
が変化するときに点 Bが描く図形は何か。
(3) 点Dが直線 ES の上側にある場合を考える。 SD ERD の座標を s で表せ。
sが変化するときに点 D が描く図形は何か。
4 (22かつ(3の場合に点Cの座標をで表せ。s が変化するときに点Cが描く図
形は何か。
(6) かつの場合で、 5 つの点 AB、C. D.ドが同一円周トにあるような点
B,C, D の位置の組み合わせをすべて求めよ
—27= M3 (653-8)
[
a a ee ee en i i i nn i ee vn
問3画像OCR
検出分野: 指数・対数、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形
きき e
i) y=sin'2x ii) y= log
e+
2) 次の不定積分を求めよ。
1 2 7/ 交
6 [+ 2yac 0 {woe
3) 定積分 / grerrを求めよ。
a, b, cは実数の定数で. a>0, ヵ三0 とする。実数x. に関する条件ヵ.
9. ヶ を次のように定める。
pis +7 S1
riySVbxte
以下の各問に答えよ。
(1) 条件が条件かヵであるための十分条件となるとき. の値の範囲を求めよ。
(2) 条件ヶが条件みりであるための必要条件となるとき. ヵ.、cが満たす条件を求
, それを be 平面に図示せよ。
=i = M6 (653-15)
1 個のさいころを続けて 4 回投げて, 出た目の数を順に g. b,c, 9とする。
このとき, 座標平面上の点Pi。P。, Ps, Pa を手順 1 から手順 4 で定める。
手順 1. 原点Oから*軸の正の向きにgだけ移動した点を Pi, とする。
手順2. 点Piからy 軸の正の向きに だけ移動した点を Pr とする。
手順3. 点P。から*軸の負の向きにc だけ移動した点を P。 とする。
手順 4. 点P。からゅ軸の負の向きに9だけ移動した点を PL とする。
以下の各問に答えよ。
(1) APs OMG a, b,c, 9を用いて表せ。
(2) ARP; の座標が(1 2 )である確率を求めよ。
(3) 2 つの線分 OP」 と PaP。 が共有点をもつ確率を求めよ。
4 を実数とする。行列4三 じ 」 , どー | ‘| について, 以下の各問
に答えよ。 9 5 we
(1) 行列がー4が逆行列を持つかどうか調べよ。また, 逆行列を持つ場合には
それを求めよ。
(2) AM を求めよみ1.2.3....う。
(3) S,=E+AtA? +--+ AN とおくとき, $, を求めよみ = 1, 2, 3,70
|
. —2-— のNM6 (653-16)
TT: