京都大学 2017年度 過去問・解答

(1) 100 桁以下の自然数で, 2 以外の素因数を持たないものの個数を求めよ.
(2) 100 桁の自然数で, 2 と5以外の素因数を持たないものの個数を求めよ. _
(30 #2)
座標空間において原点 O と点 A(0,-1,1) を通る直線を 7 とし, 点 B(0,2,1)
と点 C(—2,2,-3) を通る直線を METS. 7 上の 2 点 P、Q と, mEORRE
へPQR が正三角形となるようにとる. このとき, 人へPQR の面積が最小となるよ
うな P,Q,R の座標を求めよ.
I ー やM3(840一23

|4| (30 5%)
pq を自然数, a, Be 8 _
1 1 5
tana == tan § = —
ana 7 an 8 a
を満たす実数とする. このとき, 次の問に答えよ. .
(1) 次の条件 -
(A) tan(a + 28) =2 8
を満たす ヵ, 7 DM (p,q) のうち, 9 ミ 3 であるものをすべて求めよ.
(2) 条件 (A) を満たすヵ, 9 OM (p,q) で, 9 > 3 であるものは存在しないことを
示せ. é
(30 5%)
ne 2 以上の自然数とする. さいころをヵ 回振り, 出た目の最大値 7 と最小
値の差 7一を とする.
(1) X =1 である確率を求めよ.
(2) X =5 である確率を求めよ.
問題は。 このページで終わりである.
ーー の のM3(840一25) R

(1) 実数刀はルッ> 1 を満たす定数とする. が絶対値 の複素数全体を動くと
き, cy 平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ.
(2) 実数eyは0<< 3 を満たす定数とする. w が偏角 0 の複素数全体を動く
とき, z 平面上の点 (,9) の軌跡を求めよ。
(30 点)
四面体 OABO を考える. 点 D, E。 F, G, H, は, それぞれ辺 OA, AB, BC,
CO, OB, AC 上にあり, 頂点ではないとする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) DG と BF が平行ならば AE : EB 一 CF : FB であることを示せ.
(2) D, B, F, G, HI が正八面体の頂点となっているとき, これらの点は OABC
の各辺の中点であり, OABO は正四面体であることを示せ.
(35 点)
Pde BRE a, Be
tana = <5, tanガーー
を満たす実数とする. このとき
tan(e十2の=2
を満たすヵ, 9の組 (p,q) をすべて求めよ。
oe J M4 (840—27)

(35 #8)
OABC は鋭角三角形であり, ZA = であるとする. また AABC の外接幅
の半径は 1 であるとする.
(1) AABC の内心を P とするとき, ZBPC を求めよ.
(2) AABC の内接円の半径 7 の取りうる値の範囲を求めよ.
[5] (35 &&)
g = 0 とする. 0 <zる<Y2の範囲で曲線 ゥ = ze-", 直線 = gz, 直線
c= V2 によって囲まれた部分の面積を 9(o) とする. このとき, S(a) の最小値
を求めよ.
(ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち 2 つ以上で囲まれた
部分を意味するものとする.)
回 5
ヵ を自然数とする. ヵ 個の箱すべてに, | 1 | | 2 [3 |,| 4 |,[5 | の5 種類の
カードがそれぞれ 1 枚ずつ計 5 枚入っている. 各々の箱から 1 枚ずつカードを
取り出し, 取り出した順に左から並べて ヵ 桁の数 メ を作る. このとき, が3
で割り切れる確率を求めよ.
問題は このページで終わりである.
ー2 一 やM4(840一28)