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解答の原本PDF
- 解答PDF 1
- 解答PDF 2
- 解答PDF 3
- 解答PDF 4
- 解答PDF 5
- 解答PDF 6
藤原進之介です。このページでは立教大学2007年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
曲線 と直線 で囲まれた部分の面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。
1. なぜその一手を選ぶのか
囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (12x + 7) − x2 。これは x2 − 12x − 7 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。
この形の積分は (β − α)3 / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。
2. 解答
- 交点：x2 = 12x + 7 すなわち x2 − 12x − 7 = 0 。解を α, β とすると α + β = 12 、αβ = -7 。
- (β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = 144 + 28 = 172 。よって β − α = 2√43 。
- 面積 S = 16 (β − α)3 = 16 × 172√172 。
答え： S = 172√433
3. 検算（大きさの見当をつける）
交点は x = (12 ± 2√43) / 2 、幅は 2√43 ≒ 13.11 。面積の概算は 幅3/6 ≒ 375.96 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。
この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)3 / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。
立教大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 立教大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 立教大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
立教大学 数学 過去問｜他の年度を見る
立教大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
立教大学 2007年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 数列
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 確率・場合の数
- 方程式・不等式
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2007年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、数列、関数・グラフ、空間図形に関する語句や設問を確認できました。立教大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、数列、指数・対数、ベクトル、関数・グラフ
MCR ER BSR ey
20074 Be Rite Se ee
H 数 学 問 題
注 意
1. 試験開始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題周子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1一となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席時の氏名欄に氏名のみみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいす
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この問題子の余白部分を使ってください.
8. この問題岬子は持ち帰ってください.
— H数1 一
TL の空層アーカに当てはまる数を記入せよ。 解答は解用紙の所定欄に記入せよ。
(i) > 3 のとき, 不等式
log. (2x +1) + Blogs (x ~ 3) + 4logy (2-1) <0
を満たす > の範囲は| ア | <><| イ | であぁる.
ce rok, ya *2 one, 3a? + day + 3y?= [Lo] である.
(ii) tana=/2 のとき, sin49ニ| エ | であぁる.
(iv) 次の和
et, ly by 1,1 yy 1 4 1 4 1
S=yatygtyetr ats 816-97 so
を既約分数で表すと S =F ] である.
(v) 袋の中に赤玉が AH, 白玉が8 個人っている. この袋の中から玉を 1 個取り出して.
袋に戻す操作を4 回繰り返すとき, 赤玉が出る回数の期待値は である.
ー昌数2 一
— H数3 一
(1. miixapepicsic, BACニンCADニ90", ZBAD=60° であり, AB=3,
AC=4, AD=5 CHS. このとき, 次の問(i )一(闘)に答えよ. 解答は解答用紙の所
定欄に記入せよ.
(i) AABCの重心をGとするとき, 線分ACの長さを求めよ.
Gi) AG と AD の内積 AG・AD を求めよ.
(ii) 点Pが線分DG上を動くとき, 線分APの長さの最小値を求めよ.
— H数4 一
和光 {a,} は炎の条件をみたしているものとする.
AQ =1, ay, =2a,+ (a +1)(a—2) (ヵテ1,2.3,...)
このとき, KOM(i)~ (HW) CBE, MESSMO A EMICATE,
(i) eO22KK f(x) IML By = ay + f(n) (w=1,2, 3°) とおくと, 数列 1 }
が公比 2 の等比数列になる. このとき, 2次式 /(>) を求めよ.
(ii) Wa, En ORTH,
(ii) 数列 {a,} の初項から第 10 項までの和を求めよ。
— H数5 一
LV. sini becute C: y =| - 3z| と直線 :ッーャ+gがえられている. REL, ald
定数とする. このとき, 次の問(i )(品)に答えよ、解答は解答用紙の所定欄に記入せよ。
(i) 直線/ が曲線に座標が正の点で接するときのgの値を求めよ。
Cit) 曲線Cと直線 が相異なる4個の共有点を持つようなの簡囲を求めよ。
(ii) <=0 DER, 曲線C と直線7 で囲まれる部分の図形の面積求めよ。
— Hae 一
【以下余白】
— HRT 一
20074 Be Rite Se ee
H 数 学 問 題
注 意
1. 試験開始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題周子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1一となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席時の氏名欄に氏名のみみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいす
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この問題子の余白部分を使ってください.
8. この問題岬子は持ち帰ってください.
— H数1 一
TL の空層アーカに当てはまる数を記入せよ。 解答は解用紙の所定欄に記入せよ。
(i) > 3 のとき, 不等式
log. (2x +1) + Blogs (x ~ 3) + 4logy (2-1) <0
を満たす > の範囲は| ア | <><| イ | であぁる.
ce rok, ya *2 one, 3a? + day + 3y?= [Lo] である.
(ii) tana=/2 のとき, sin49ニ| エ | であぁる.
(iv) 次の和
et, ly by 1,1 yy 1 4 1 4 1
S=yatygtyetr ats 816-97 so
を既約分数で表すと S =F ] である.
(v) 袋の中に赤玉が AH, 白玉が8 個人っている. この袋の中から玉を 1 個取り出して.
袋に戻す操作を4 回繰り返すとき, 赤玉が出る回数の期待値は である.
ー昌数2 一
— H数3 一
(1. miixapepicsic, BACニンCADニ90", ZBAD=60° であり, AB=3,
AC=4, AD=5 CHS. このとき, 次の問(i )一(闘)に答えよ. 解答は解答用紙の所
定欄に記入せよ.
(i) AABCの重心をGとするとき, 線分ACの長さを求めよ.
Gi) AG と AD の内積 AG・AD を求めよ.
(ii) 点Pが線分DG上を動くとき, 線分APの長さの最小値を求めよ.
— H数4 一
和光 {a,} は炎の条件をみたしているものとする.
AQ =1, ay, =2a,+ (a +1)(a—2) (ヵテ1,2.3,...)
このとき, KOM(i)~ (HW) CBE, MESSMO A EMICATE,
(i) eO22KK f(x) IML By = ay + f(n) (w=1,2, 3°) とおくと, 数列 1 }
が公比 2 の等比数列になる. このとき, 2次式 /(>) を求めよ.
(ii) Wa, En ORTH,
(ii) 数列 {a,} の初項から第 10 項までの和を求めよ。
— H数5 一
LV. sini becute C: y =| - 3z| と直線 :ッーャ+gがえられている. REL, ald
定数とする. このとき, 次の問(i )(品)に答えよ、解答は解答用紙の所定欄に記入せよ。
(i) 直線/ が曲線に座標が正の点で接するときのgの値を求めよ。
Cit) 曲線Cと直線 が相異なる4個の共有点を持つようなの簡囲を求めよ。
(ii) <=0 DER, 曲線C と直線7 で囲まれる部分の図形の面積求めよ。
— Hae 一
【以下余白】
— HRT 一
問2画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、指数・対数、数列
立教大学 GEE H
コミュニティ 政策学科
映像身体学科
2007年度
C 数 学 問 題
注 意
1. 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題周子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は 1 となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が、あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7, 計算には, この問題國子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
— C数1 一
TL. 次の補導アーオに当てはまる数または式を記入せよ. 解答は解和用紙の所定欄に記入せよ
Gi) > についての方程式
log+(ァー1) + log, (テー4) +1 =0
の解は, x= CHS.
(i) 26 を z?キェ十1 で割った余りは である.
Gi) 4個の白い玉と 2 個の赤い玉の計 6 個の玉を, 赤い玉どうしが隣り合わないように
1 列に並べる方法は 通りある.
(iv) PRE AAS BI x OF LBS a, と, 初項と公差がともにヶゅの等差数列 HH,
Cn = gの(ター1.2.3.... ) EFS. c」 =8, 4, = 256 であるとき, cty=
である.
(vy) 半径1の球に内接する円雛のうち体積が最大であるものの高きは であぁる.
— C数2 一
Tl. 2 meena px) が
のニーデ+6z/ の
を満たしている. このとき, 次の問( i )一(語)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入
せよ.
(ji) f(x) を求めよ.
Ci) 座標平面上の>0,ヵ>0 の領域でッニア(>) と直線 = mr が交点をもつ
EDO, の条件を求めよ、 さらに,ヵ がこの条件を満たますときの交点をAとすると
き, Aの座標を を用いて表せ.
(ii) 原点を0.ッニア(z) と軸との交点のうち0でない方の点をB、点Aからr軸
に下ろした垂線の足をCとする (すなわち, 点Cは> 軸上にあり, 直線ACはェ軸
に垂直に交わっている). BAC, 線分CB , HH y = f(x) のAからBまでの部
分によって囲まれる領域の面積と. へ0ACの面積の比が4 : 3であるとき,娘の値
を求めよ.
— C数4 一
町 + 220 の関数
f(t) = tcos@
ae
(9 は 0<9<今 の実数) を考える. このとき。, ROM(i)~ (ii) BAK. 解答は解答
用紙の所定欄に記入せよ.
(i) g(t) 20 を満たす # の範囲を 9 を用いて表せ.
Gi) t が(i)で求めた範囲を動くとどき, (/) の最大値 g(t) の最大値 万 をそれ
ぞれ の を用いて表せ.
(ii) 0を0く0く今 の範団で動かすとき, を9の関数と考えることができる. LAME
大となるような 2 の値を求めよ.
一C数5 一
TV AABcにおいて, 辺ABの長きは2であり, 辺BCを2 : 7に内分する点をDとする
と, 直線ADは辺BCに直交している. BA と BC の内積が, BA・BC= 2 であるとき,
次の問( i )一(台)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 辺ACの長さを求めよ.
(i) AABCの面積を求めよ.
(ii) BAC= 9 とするとき sing を求めよ.
— Ch6 一
コミュニティ 政策学科
映像身体学科
2007年度
C 数 学 問 題
注 意
1. 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題周子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は 1 となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が、あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7, 計算には, この問題國子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
— C数1 一
TL. 次の補導アーオに当てはまる数または式を記入せよ. 解答は解和用紙の所定欄に記入せよ
Gi) > についての方程式
log+(ァー1) + log, (テー4) +1 =0
の解は, x= CHS.
(i) 26 を z?キェ十1 で割った余りは である.
Gi) 4個の白い玉と 2 個の赤い玉の計 6 個の玉を, 赤い玉どうしが隣り合わないように
1 列に並べる方法は 通りある.
(iv) PRE AAS BI x OF LBS a, と, 初項と公差がともにヶゅの等差数列 HH,
Cn = gの(ター1.2.3.... ) EFS. c」 =8, 4, = 256 であるとき, cty=
である.
(vy) 半径1の球に内接する円雛のうち体積が最大であるものの高きは であぁる.
— C数2 一
Tl. 2 meena px) が
のニーデ+6z/ の
を満たしている. このとき, 次の問( i )一(語)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入
せよ.
(ji) f(x) を求めよ.
Ci) 座標平面上の>0,ヵ>0 の領域でッニア(>) と直線 = mr が交点をもつ
EDO, の条件を求めよ、 さらに,ヵ がこの条件を満たますときの交点をAとすると
き, Aの座標を を用いて表せ.
(ii) 原点を0.ッニア(z) と軸との交点のうち0でない方の点をB、点Aからr軸
に下ろした垂線の足をCとする (すなわち, 点Cは> 軸上にあり, 直線ACはェ軸
に垂直に交わっている). BAC, 線分CB , HH y = f(x) のAからBまでの部
分によって囲まれる領域の面積と. へ0ACの面積の比が4 : 3であるとき,娘の値
を求めよ.
— C数4 一
町 + 220 の関数
f(t) = tcos@
ae
(9 は 0<9<今 の実数) を考える. このとき。, ROM(i)~ (ii) BAK. 解答は解答
用紙の所定欄に記入せよ.
(i) g(t) 20 を満たす # の範囲を 9 を用いて表せ.
Gi) t が(i)で求めた範囲を動くとどき, (/) の最大値 g(t) の最大値 万 をそれ
ぞれ の を用いて表せ.
(ii) 0を0く0く今 の範団で動かすとき, を9の関数と考えることができる. LAME
大となるような 2 の値を求めよ.
一C数5 一
TV AABcにおいて, 辺ABの長きは2であり, 辺BCを2 : 7に内分する点をDとする
と, 直線ADは辺BCに直交している. BA と BC の内積が, BA・BC= 2 であるとき,
次の問( i )一(台)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 辺ACの長さを求めよ.
(i) AABCの面積を求めよ.
(ii) BAC= 9 とするとき sing を求めよ.
— Ch6 一
問3画像OCR
検出分野: 数列、空間図形、微分・積分、方程式・不等式
we oe
立教大学 EE A
会計ファイナンス学科
2007年度 BOER BALE
Ok 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆たはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題同子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1 一となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が、あな
たの受験貢の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この問題同子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
ー 0数1一
. 炎の空欄アーキに当てはまる数または式を記入せよ、解答は解答用紙の所定欄に記入せ
&.
(i) (es) (1g, ) は, 2= のとき, WK をとる. ここで,
ェッ0 とする.
(i) soma 7-24, + Boa omit, 2 = Lye である.
(ii) 点A(一12.6) を通り, 円 ダキザー36 に接する2本の直線の方程式は,
y= ie CHS.
(iv) 定積分 [lett 2 -2lar の値は, | キ | であぁる.
— 0数2 一
I ・ 座標空間に正四面体0ABCがある. ただし, O10, 0,0), A(6, 0, 0),
Bは平面上の第 1 象限の点,Cは2成分が正である点とする. このとき, KOM(i), (ii)
BAL, 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 点Bと点Cの座標を求めよ.
(ii) 点Qは線分OCを1 : 5に内分する点であるとし, 点Pは>軸上の点であるとする.
ンBPQが90"となるような点Pの座標をすべて求めよ.
— 0数4 一
TL. Fao ksic, Bom et Lo FCB TINS ER, KOMI )~ (ii) IC
GAL, HSM ROMBMCRLAEE.
(i) 最上行に横に並んをでいる数からなる数列 1 2, 4 OF m BE m の式で表せ.
(i) 最左列に継に並んでいる数からなる数列 1 3, 6 ... の第ヵ項をヶの式で表せ.
(ii) 最左列に縦に並んでいる数列の初項から第ヵ 項までの和 $。 を求めよ。
lefts fefel |
lll | | |
ーO数5 一
V. x OBR f(z) = 2 +a? +axrt+b EFAS, このとき, 次の問(ij)一(闘)に答えよ.
解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
Ci) ターニア(z) が極大値と極小値をもつ条件を求めよ.
Gi) 一1 <くく1 の範囲で yニが(z) が極大値と極小値をもつ条件を求めよ.
(ii) 問(ji)において, 極値与えるの値を 2, x (a,<x,) とする.
ーー人(am) =f となるときの a, d, m, Mm) の値を求めよ。
— 0数6 一
立教大学 EE A
会計ファイナンス学科
2007年度 BOER BALE
Ok 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆たはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題同子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1 一となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が、あな
たの受験貢の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この問題同子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
ー 0数1一
. 炎の空欄アーキに当てはまる数または式を記入せよ、解答は解答用紙の所定欄に記入せ
&.
(i) (es) (1g, ) は, 2= のとき, WK をとる. ここで,
ェッ0 とする.
(i) soma 7-24, + Boa omit, 2 = Lye である.
(ii) 点A(一12.6) を通り, 円 ダキザー36 に接する2本の直線の方程式は,
y= ie CHS.
(iv) 定積分 [lett 2 -2lar の値は, | キ | であぁる.
— 0数2 一
I ・ 座標空間に正四面体0ABCがある. ただし, O10, 0,0), A(6, 0, 0),
Bは平面上の第 1 象限の点,Cは2成分が正である点とする. このとき, KOM(i), (ii)
BAL, 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 点Bと点Cの座標を求めよ.
(ii) 点Qは線分OCを1 : 5に内分する点であるとし, 点Pは>軸上の点であるとする.
ンBPQが90"となるような点Pの座標をすべて求めよ.
— 0数4 一
TL. Fao ksic, Bom et Lo FCB TINS ER, KOMI )~ (ii) IC
GAL, HSM ROMBMCRLAEE.
(i) 最上行に横に並んをでいる数からなる数列 1 2, 4 OF m BE m の式で表せ.
(i) 最左列に継に並んでいる数からなる数列 1 3, 6 ... の第ヵ項をヶの式で表せ.
(ii) 最左列に縦に並んでいる数列の初項から第ヵ 項までの和 $。 を求めよ。
lefts fefel |
lll | | |
ーO数5 一
V. x OBR f(z) = 2 +a? +axrt+b EFAS, このとき, 次の問(ij)一(闘)に答えよ.
解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
Ci) ターニア(z) が極大値と極小値をもつ条件を求めよ.
Gi) 一1 <くく1 の範囲で yニが(z) が極大値と極小値をもつ条件を求めよ.
(ii) 問(ji)において, 極値与えるの値を 2, x (a,<x,) とする.
ーー人(am) =f となるときの a, d, m, Mm) の値を求めよ。
— 0数6 一
問4画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、空間図形、確率・場合の数、数列
(1) 2次方行列 4ニ| 2 2 | caus, am a(" ) eae.
3 ュ cd
2 4
a= a ロ ] でぁる.
(2) BEA La,} DWH a= A (カー1. 2, 3 ...) を満たしているとする。
ER, 任意の自然数 HLT, a, 0 とする. ヵ によらない定数 を に対して。
b= Lek (ォー1.2.3....) によって数列 {| を定めるとき,#ー
とすれば {| は等比数列となる. さらに, MH a が2のとき, lima, =
である.
(3) 不定積分 (smz+zcosz)なは|ホー]上(Ci は積分定数) である.
このことから, 不定積分 / (smz+>cosz)ogzみ はしへ ]+6 (G tt
生分定数) であることがわかる.
(4) A, Bの2人がさいころをそれぞれ2 回ずつ振り, Aの1回目, 2回目に出たさい
ころの日をそれぞれ a, @, Bの1回目、 2 回目に出たさいころの目をそれぞれ by,
bp とする. ayby + が偶数になる確率は CHS.
ー Ni数2 一
— Ni数3 一
TL. 府林空間において、3点A(1.0.1).B(0.1.2)、C(5、2.0) を考える。
また, 連立不等式
x-3y+3S0, 3z一2y+2=0. 2x+y—-850
で表される xy 平面上の領域を とし, 点Pは K 上を動くものとする.
(i) 領域 を xy 平面に図示せよ.
(i) 2点A, Bを通る直線と xy 平面との交点Dの座標を求めよ.
(ii) へCDPの面積を S とする. 四面体BCDPの体積 訪, および四面体ABCPの体
BV, を, S を用いて表せ. ここに, Dは(ii )で求めた点である.
(iv) 点Pが K 上を動くときの, 四面体ABCPの体積 の最大値と最小値を求めよ.
ー Ni数4 一
一Ns数5 一
TL. oy Vi LOMO EM, 2 軸の正の部分を始線とする極座標 (/。 0) において, 極
RR
r=2cosé
で表される曲線 C』 がある. 曲線 CO Tsos > の部分を CG とする.
Ci) を直交座標 (>, y) に関する方程式で表せ. また, xy 平面上に CG の概形を
描け
Gi) 直交座標が (-# 0) である点を通り C と共有点を持つ直線のうち, 傾きが
最大であるものを求め、そのときの共有点の直交座標を求めよ.
Gi) (ii)で求めた直線を 7 とする. CG, 7 および z 軸で囲まれた部分を cx 軸のまわ
りに1 回転きせてできる立体の体積を求めよ.
— Ni数6 一
【以下余白】
ー Ni数7 一
3 ュ cd
2 4
a= a ロ ] でぁる.
(2) BEA La,} DWH a= A (カー1. 2, 3 ...) を満たしているとする。
ER, 任意の自然数 HLT, a, 0 とする. ヵ によらない定数 を に対して。
b= Lek (ォー1.2.3....) によって数列 {| を定めるとき,#ー
とすれば {| は等比数列となる. さらに, MH a が2のとき, lima, =
である.
(3) 不定積分 (smz+zcosz)なは|ホー]上(Ci は積分定数) である.
このことから, 不定積分 / (smz+>cosz)ogzみ はしへ ]+6 (G tt
生分定数) であることがわかる.
(4) A, Bの2人がさいころをそれぞれ2 回ずつ振り, Aの1回目, 2回目に出たさい
ころの日をそれぞれ a, @, Bの1回目、 2 回目に出たさいころの目をそれぞれ by,
bp とする. ayby + が偶数になる確率は CHS.
ー Ni数2 一
— Ni数3 一
TL. 府林空間において、3点A(1.0.1).B(0.1.2)、C(5、2.0) を考える。
また, 連立不等式
x-3y+3S0, 3z一2y+2=0. 2x+y—-850
で表される xy 平面上の領域を とし, 点Pは K 上を動くものとする.
(i) 領域 を xy 平面に図示せよ.
(i) 2点A, Bを通る直線と xy 平面との交点Dの座標を求めよ.
(ii) へCDPの面積を S とする. 四面体BCDPの体積 訪, および四面体ABCPの体
BV, を, S を用いて表せ. ここに, Dは(ii )で求めた点である.
(iv) 点Pが K 上を動くときの, 四面体ABCPの体積 の最大値と最小値を求めよ.
ー Ni数4 一
一Ns数5 一
TL. oy Vi LOMO EM, 2 軸の正の部分を始線とする極座標 (/。 0) において, 極
RR
r=2cosé
で表される曲線 C』 がある. 曲線 CO Tsos > の部分を CG とする.
Ci) を直交座標 (>, y) に関する方程式で表せ. また, xy 平面上に CG の概形を
描け
Gi) 直交座標が (-# 0) である点を通り C と共有点を持つ直線のうち, 傾きが
最大であるものを求め、そのときの共有点の直交座標を求めよ.
Gi) (ii)で求めた直線を 7 とする. CG, 7 および z 軸で囲まれた部分を cx 軸のまわ
りに1 回転きせてできる立体の体積を求めよ.
— Ni数6 一
【以下余白】
ー Ni数7 一
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、空間図形、数列
(1) 2次正行列 4 = に対して, AM = ERS,
Bol ed
2 2
a= .ち= [| a) でぁる.
(2) BEA Lay) AWE og., = AM CH= 1, 2, 3...) を満たしているとする。
EK, 任意の自然数 * に対して, a, 0 とする. ヵ によらない定数 * HLT,
bk (11, 2, 3,") によって数列 [4] を定めるとき、ょニハ
とすれば (0,) は等比数列となる. さらに. 初項 が2のとき, lima, = [=
CHS.
(3) 不定積分 / (sina + 2cosx)ar tk ER ] +6 (C REM) CHS,
このことから, 不定積分 / (sine + x cos )logx de は[| へ 4+G (GH
BOER) THOT EMD.
(4) A, Bの2人がさいころをそれぞれ2 回ずつ振り ADIGA, 2回目に出たさい
ころの目をそれぞれ ay, a, BOIMA, 2回目に出たさいころの日をそれぞれ by,
by とする. ayby + and, が偶数になる確率は である.
ー N.数2 一
— N。数3 一
TL. aye 放林補間において。3点A(1.0,1)。B(0.1.2)。C(5.2.0) を考える.
また, 連立不等式
r-3y+3S0, 3z一2y填2=0, 2zオター8ミ0
で表される xy 平面上の領域を とし, 点Pは KK 上を動くもるのとする.
(i) 領域 を ay 平面に図示せよ.
(i) 2点A, Bを通る直線と xy 平面との交点Dの座標を求めよ.
(ii) へCDPの面積を S とする. 四面体BCDPの体積 必, および四面体ABCPの体
積 を, S を用いて表せ. ここに, Dは(ii)で求めた点である.
(iv) 点Pが 上を動くときの, 四面体ABCPの体積 の最大値と最小値を求めよ.
— N。数4 一
— NS 一
Tl. 向上の馬N&O em, x 起の正の部分を始線とする極座標 (/。 9) において。極
BK
r=2cos0
で表される曲線 C」 がある. MWC OT sos の部分を C とする.
(i) を直交座標 (ょ, y) に関する方程式で表せ. また, xy 平面上に C OMI
描け.
(ii) 直交座標が (-4. 0) である点を通り C, と共有点を持つ直線のうち, 傾きが
最大であるものを求め、そのときの共有点の直交座標を求めよ.
(ii) (ii)で求めた直線を / とする. 7 および x 軸で囲まれた部分を > ORD
りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
— N.数6 一
— Ni数7 一
Bol ed
2 2
a= .ち= [| a) でぁる.
(2) BEA Lay) AWE og., = AM CH= 1, 2, 3...) を満たしているとする。
EK, 任意の自然数 * に対して, a, 0 とする. ヵ によらない定数 * HLT,
bk (11, 2, 3,") によって数列 [4] を定めるとき、ょニハ
とすれば (0,) は等比数列となる. さらに. 初項 が2のとき, lima, = [=
CHS.
(3) 不定積分 / (sina + 2cosx)ar tk ER ] +6 (C REM) CHS,
このことから, 不定積分 / (sine + x cos )logx de は[| へ 4+G (GH
BOER) THOT EMD.
(4) A, Bの2人がさいころをそれぞれ2 回ずつ振り ADIGA, 2回目に出たさい
ころの目をそれぞれ ay, a, BOIMA, 2回目に出たさいころの日をそれぞれ by,
by とする. ayby + and, が偶数になる確率は である.
ー N.数2 一
— N。数3 一
TL. aye 放林補間において。3点A(1.0,1)。B(0.1.2)。C(5.2.0) を考える.
また, 連立不等式
r-3y+3S0, 3z一2y填2=0, 2zオター8ミ0
で表される xy 平面上の領域を とし, 点Pは KK 上を動くもるのとする.
(i) 領域 を ay 平面に図示せよ.
(i) 2点A, Bを通る直線と xy 平面との交点Dの座標を求めよ.
(ii) へCDPの面積を S とする. 四面体BCDPの体積 必, および四面体ABCPの体
積 を, S を用いて表せ. ここに, Dは(ii)で求めた点である.
(iv) 点Pが 上を動くときの, 四面体ABCPの体積 の最大値と最小値を求めよ.
— N。数4 一
— NS 一
Tl. 向上の馬N&O em, x 起の正の部分を始線とする極座標 (/。 9) において。極
BK
r=2cos0
で表される曲線 C」 がある. MWC OT sos の部分を C とする.
(i) を直交座標 (ょ, y) に関する方程式で表せ. また, xy 平面上に C OMI
描け.
(ii) 直交座標が (-4. 0) である点を通り C, と共有点を持つ直線のうち, 傾きが
最大であるものを求め、そのときの共有点の直交座標を求めよ.
(ii) (ii)で求めた直線を / とする. 7 および x 軸で囲まれた部分を > ORD
りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
— N.数6 一
— Ni数7 一
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、整数、微分・積分
2007年度 TAKE SP RAB
BK 学 問 題
注 意
1 . 試験剛始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8ページまでとなっています. 試験開始後. ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1 となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が. あな
たの受験杜の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席革は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には、この問題冊子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
— BRI 一
. 炎の空欄アーコに当てはまる数を記入せよ、 解答は解用紙の所定に記せよ。
(i) (cos9) = cos49 となる4次多項式 /(z) は
7(z)=[アs+[イ|]2+[ラzz+[エ|z+
である.
(i) 定数 g, 6 にたいして, f(z) = 29 + 2az? + br +8 #8 (2-2) で割り切れる
とき,g=ー[ヵカ |.ぁ5=[ キ | であぁる.
(ii) 2つのさいころを同時に投げて 2 つのさいころとも2 以下の目が出たときに得点 1
それ以外のときは得点 0 のゲームを考える. ゲームを2 回行ったときに得点の合計が
1 以上になる確率は である.
(iv) 年利5多の 1 年毎の複利で, 毎年の初めに 20 万円ずつ積み立てるとき, 元利合計は,
1 万円未満を切り捨てると, 2 年後には 43 万円となり, 7年後には | ケ | 万円とな
る. ただし, (1.05) = 1.4071 とする.
(v) Jn の整数部分が 50 であるような自然数ヶ は | コ | 個ある.
ー B数2 一
TL. meri toast
2r+y28
[ +2y=6
の表す領域をDとするとき, 次の問( i ) 一(癌)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入
tk,
Ci) 領域Dを図示せよ.
(ii) 原点0と直線 2キッー8一0 の距離および原点0と直線 + 29ー6=0 OFF
能をそれぞれ求めよ。
(ii) 点Pがか領城Dを動くとき, 原点OからPまでの距離の最小値と.。 そのときのPの座
標を求めよ。
ー BRA 一
ll ・ 半径ヶ (0<7 <1) の球が, 底面の半径 1 , 高さんの円雛に, 図のように内接して
いる. このとき, 次の問( )一(ji)に答えよ。解知は解答用紙の所定欄に記入せよ。
(i) ヵをヶを用いて表せ.
(i) 球の体積を円能の体積を とするとき。婦 をヶを用いて表せ.
Gi) 分 の最大値と。 そのときのァの値を求めよ。
ーB数5 一
WV. 図のょうに=角形ABCの内部に点Pをとり. BURA, B, CLP EMA TCE Sita
ESWORMED, E, FESS. BAーデ, BCニアとおき,BFニマデ, BDニラテ
とする. このとき, 次の問( i )一(品)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) BE を 記,ア を用いて表せ.
Gi) BE: BP を求めよ。
(ii) AE: EC を求めよ.
A
B D C
ーB数6 一
BK 学 問 題
注 意
1 . 試験剛始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8ページまでとなっています. 試験開始後. ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1 となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が. あな
たの受験杜の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席革は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には、この問題冊子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
— BRI 一
. 炎の空欄アーコに当てはまる数を記入せよ、 解答は解用紙の所定に記せよ。
(i) (cos9) = cos49 となる4次多項式 /(z) は
7(z)=[アs+[イ|]2+[ラzz+[エ|z+
である.
(i) 定数 g, 6 にたいして, f(z) = 29 + 2az? + br +8 #8 (2-2) で割り切れる
とき,g=ー[ヵカ |.ぁ5=[ キ | であぁる.
(ii) 2つのさいころを同時に投げて 2 つのさいころとも2 以下の目が出たときに得点 1
それ以外のときは得点 0 のゲームを考える. ゲームを2 回行ったときに得点の合計が
1 以上になる確率は である.
(iv) 年利5多の 1 年毎の複利で, 毎年の初めに 20 万円ずつ積み立てるとき, 元利合計は,
1 万円未満を切り捨てると, 2 年後には 43 万円となり, 7年後には | ケ | 万円とな
る. ただし, (1.05) = 1.4071 とする.
(v) Jn の整数部分が 50 であるような自然数ヶ は | コ | 個ある.
ー B数2 一
TL. meri toast
2r+y28
[ +2y=6
の表す領域をDとするとき, 次の問( i ) 一(癌)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入
tk,
Ci) 領域Dを図示せよ.
(ii) 原点0と直線 2キッー8一0 の距離および原点0と直線 + 29ー6=0 OFF
能をそれぞれ求めよ。
(ii) 点Pがか領城Dを動くとき, 原点OからPまでの距離の最小値と.。 そのときのPの座
標を求めよ。
ー BRA 一
ll ・ 半径ヶ (0<7 <1) の球が, 底面の半径 1 , 高さんの円雛に, 図のように内接して
いる. このとき, 次の問( )一(ji)に答えよ。解知は解答用紙の所定欄に記入せよ。
(i) ヵをヶを用いて表せ.
(i) 球の体積を円能の体積を とするとき。婦 をヶを用いて表せ.
Gi) 分 の最大値と。 そのときのァの値を求めよ。
ーB数5 一
WV. 図のょうに=角形ABCの内部に点Pをとり. BURA, B, CLP EMA TCE Sita
ESWORMED, E, FESS. BAーデ, BCニアとおき,BFニマデ, BDニラテ
とする. このとき, 次の問( i )一(品)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) BE を 記,ア を用いて表せ.
Gi) BE: BP を求めよ。
(ii) AE: EC を求めよ.
A
B D C
ーB数6 一
