藤原進之介です。このページでは早稲田大学2002年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
すべての実数 に対して が成り立つとする。
そのような点 全体の領域を図示し、その面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解けなかった問題を、そのままにしない。
過去問で手が止まる場所は人によって違います。方針が立たないのか、方針は立つのに計算で崩れるのか——原因が違えば、次にやるべきことも変わります。
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早稲田大学 2002年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 整数
- 確率・場合の数
- 方程式・不等式
- 指数・対数
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 複素数
この年度の出題範囲と傾向
2002年度の問題PDFでは、図形・三角関数、整数、確率・場合の数、方程式・不等式、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。早稲田大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、整数は24年度、微分・積分は23年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、指数・対数、関数・グラフ、図形・三角関数、整数
問1 次の空欄にあてはまる適当な数値等を解答欄に記入せよ。
の2次関数
f(z) = 32? + ba +e
が, 任意の角9(0" < 6< 360°) に対して
(2sinの) =0, /13一cosの) ミ0
をみたす。このとき, 28 < で, 5の取り得る最大の値は であ
る。
さらに, (2cosの) (60° SOS 135°) の最小値が 10ならば, (5 c) =
である。
問2 座標平面上の, x, ヶ 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。P は, はじめ原
点O にあり, 格子点の上を終点 T まで動く点とする。また, 十分多くのカードの東
があり, それぞれのカードには A, X,Y のうちの1つの文字が書かれている。各格
子点でカードを 1 枚ずつ上から順にひく。動点P(? j) は, 次の3つの規則にした
がって, その点にとどまるか, または, 終点 T( n) に向かって進む。
規則 1. A をひいたときは, > 方向またはヶ 方向のどちらか一方に1 Hb.
規則2. X をひいたときは, :
i<m ならば 方向に+1 進む。
izm ならば その点にとどまる。
規則 3. Y をひいたときは,
j<n ならば ヶ方向に1 進む。
jan ならば その点にとどまる。
COLE, 次の空棚にあてはまる数または式を解答棚に記入せよ。
ーーターー
1. BATA (2, 4) で, カードの東がすべて A からなっているとき, 原点Oか
CRT に至る道順は, 通りである。
2. カードの束が X,Y。 X,Y, ... と交互に並んでいるとする。このとき, MAT
が (3, 5) ならば, 動点Pが原点Oから終点Tに至るまでには, 回
カードをひく必要がある。また, RATA (mn) (ただし, m>n) のとき
1, 回カードをひく必要がある。
3. カードの束のはじめの 2 枚が A, A で, 3枚目からは, X, Y, X,Y, ...と交互に
並んでいるとする。このとき, KATA (4, 5) ならば, 動点P が原点Oから
導点に至るまでには, 少なくとも | エ | 回カードをひく必要がある。
間3 a, b を正の数とし, ぁを自然数とする。
COLE, 不等式
1ogs(4十5) 十logz(g2十62) + logs (a? + b?) + ... + logs(a" + b")
= 11二 [」 (logzg十logz b)}
が成立する。 空欄に最も適当な数式を記入し, その不等式を証明せよ。 5 がどのよ
うなときに等号が成立するか, その場合も明記せよ。
ーー 一一
M4 zat における関数 /7) = [Pare 2)127について, 次の問いに符えよ。
(1) f(x) x の整式で表せ。
(7) すう と1 のとき 7@=| |
(イ) 1ミァミ2 のとき 7@=| |
(9) 2s2 のとき 7の=| |
(2 ) 了(z)が最小値をとるときのの値を求めよ。・
以下余 A
ーー ーー
の2次関数
f(z) = 32? + ba +e
が, 任意の角9(0" < 6< 360°) に対して
(2sinの) =0, /13一cosの) ミ0
をみたす。このとき, 28 < で, 5の取り得る最大の値は であ
る。
さらに, (2cosの) (60° SOS 135°) の最小値が 10ならば, (5 c) =
である。
問2 座標平面上の, x, ヶ 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。P は, はじめ原
点O にあり, 格子点の上を終点 T まで動く点とする。また, 十分多くのカードの東
があり, それぞれのカードには A, X,Y のうちの1つの文字が書かれている。各格
子点でカードを 1 枚ずつ上から順にひく。動点P(? j) は, 次の3つの規則にした
がって, その点にとどまるか, または, 終点 T( n) に向かって進む。
規則 1. A をひいたときは, > 方向またはヶ 方向のどちらか一方に1 Hb.
規則2. X をひいたときは, :
i<m ならば 方向に+1 進む。
izm ならば その点にとどまる。
規則 3. Y をひいたときは,
j<n ならば ヶ方向に1 進む。
jan ならば その点にとどまる。
COLE, 次の空棚にあてはまる数または式を解答棚に記入せよ。
ーーターー
1. BATA (2, 4) で, カードの東がすべて A からなっているとき, 原点Oか
CRT に至る道順は, 通りである。
2. カードの束が X,Y。 X,Y, ... と交互に並んでいるとする。このとき, MAT
が (3, 5) ならば, 動点Pが原点Oから終点Tに至るまでには, 回
カードをひく必要がある。また, RATA (mn) (ただし, m>n) のとき
1, 回カードをひく必要がある。
3. カードの束のはじめの 2 枚が A, A で, 3枚目からは, X, Y, X,Y, ...と交互に
並んでいるとする。このとき, KATA (4, 5) ならば, 動点P が原点Oから
導点に至るまでには, 少なくとも | エ | 回カードをひく必要がある。
間3 a, b を正の数とし, ぁを自然数とする。
COLE, 不等式
1ogs(4十5) 十logz(g2十62) + logs (a? + b?) + ... + logs(a" + b")
= 11二 [」 (logzg十logz b)}
が成立する。 空欄に最も適当な数式を記入し, その不等式を証明せよ。 5 がどのよ
うなときに等号が成立するか, その場合も明記せよ。
ーー 一一
M4 zat における関数 /7) = [Pare 2)127について, 次の問いに符えよ。
(1) f(x) x の整式で表せ。
(7) すう と1 のとき 7@=| |
(イ) 1ミァミ2 のとき 7@=| |
(9) 2s2 のとき 7の=| |
(2 ) 了(z)が最小値をとるときのの値を求めよ。・
以下余 A
ーー ーー
問2画像OCR
検出分野: 数列、整数、関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数
(1) ?を虚数単位として, と5を正の定数とする。 複素数々が
liztalsob
を満たすとき, [2— 2a] の最大値は である。
(2) 正の整数 に対して, BB Bl, n) を以下のように定義する。
(i) すべてのぁヵ生1に対して
BO, 0 =n+1,
Gi) FXTOm nZLiCHLT
B(m +1, 1) = B(m, 2),
Bim + 1,n+ 1) = B(m, B(m +1, n)).
COLE, BB n= [5 | である。
(3) 正の定数に対して,
sual
Ae
1 a+2
と定め, 正の整数ヵ に対して,
(* *)
An=
dy
とする。このとき, c = である。
(4) PREC BREE BAA, B, Cがある。
点Pが い
aPA+bPB+cPC=0, @
a>0, 2く0. c<0, at b+e<0 ®
B Cc
を満たすならば APpamowe [= | own
- © 0} @
に存在する。
tg
正の実数fに対して, 平面上の点 P(t) の座棟を(fcos 。 20Sin とする。
(1) 原点Oと2点P(), PA) が一直線上にあるようなの値をすべて求めよ。
(2) {PW|OStS x} と*軸によって囲まれる部分の面積 さ を求めよ。
(1) ヵ 4を定数とする 2 次方各式
x?— pr- q=0
が2 つの実数解 e Bla>B)EROEFS, SHK, ある定数々 sに対して,
ay = ra" + sB" (n 21)
とする。このとき, 数列 fan} O-BH ae PG wiおよびoz を用いて表
せ。
( 2 ) ヵ個の球を一度に 1 個あるいは2 個ずつ取っていくとき, すべての球を取りつ
くす方法の総数を 。とする。このとき, ヵ と 55 を求めよ。また, 3以上のに
対して, 0。 を Ona & Ong を用いて表せ。
(3) (2)で定まる数列 15計 の一般項 。 を求めよ。
実数 g。 5 (KEL, 0くgぐ3) に対して,
f(x) ニーgw十5
とする。このとき, KM 一1ミァ生 1 における |/め| の最大値が となるよう
なgと5の値を求めよ。
liztalsob
を満たすとき, [2— 2a] の最大値は である。
(2) 正の整数 に対して, BB Bl, n) を以下のように定義する。
(i) すべてのぁヵ生1に対して
BO, 0 =n+1,
Gi) FXTOm nZLiCHLT
B(m +1, 1) = B(m, 2),
Bim + 1,n+ 1) = B(m, B(m +1, n)).
COLE, BB n= [5 | である。
(3) 正の定数に対して,
sual
Ae
1 a+2
と定め, 正の整数ヵ に対して,
(* *)
An=
dy
とする。このとき, c = である。
(4) PREC BREE BAA, B, Cがある。
点Pが い
aPA+bPB+cPC=0, @
a>0, 2く0. c<0, at b+e<0 ®
B Cc
を満たすならば APpamowe [= | own
- © 0} @
に存在する。
tg
正の実数fに対して, 平面上の点 P(t) の座棟を(fcos 。 20Sin とする。
(1) 原点Oと2点P(), PA) が一直線上にあるようなの値をすべて求めよ。
(2) {PW|OStS x} と*軸によって囲まれる部分の面積 さ を求めよ。
(1) ヵ 4を定数とする 2 次方各式
x?— pr- q=0
が2 つの実数解 e Bla>B)EROEFS, SHK, ある定数々 sに対して,
ay = ra" + sB" (n 21)
とする。このとき, 数列 fan} O-BH ae PG wiおよびoz を用いて表
せ。
( 2 ) ヵ個の球を一度に 1 個あるいは2 個ずつ取っていくとき, すべての球を取りつ
くす方法の総数を 。とする。このとき, ヵ と 55 を求めよ。また, 3以上のに
対して, 0。 を Ona & Ong を用いて表せ。
(3) (2)で定まる数列 15計 の一般項 。 を求めよ。
実数 g。 5 (KEL, 0くgぐ3) に対して,
f(x) ニーgw十5
とする。このとき, KM 一1ミァ生 1 における |/め| の最大値が となるよう
なgと5の値を求めよ。
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、指数・対数、整数、微分・積分
I. A(@.0) を定点とし, Cを双曲線2ー 2ニー4の>0の部分とする。Aを通る傾
Am (KEL m>0) の直線が, 異なる 2 点でCと交わるように宙の範囲を定めよ。
I. f(z) =e EL, m=1, 2, HLA, (@) を
FAB) = x f(a)
により定め,
P,(£) = e-* f(x)
とおく。次の問に答えよ。
(i) Pal) はヵ次多項式であることを証明せよ。
Gi) Pr(@) における x" ORBE ay, 2°? ORE de EB Lo dn, by ERD Lo
I. (i) 2X2行列4は条件
4ぢーーの=の ...... (8)
1 0 0 0
を満たすもるのとする。ただし e-(* i): o-(’ ) とする。実数!に対
して X=sA+t(E—A) とおくとき
X*—(s+ eX
を求めよ。
3 2
(ii) v=( ) cwrc
2 0
Y = sA+t(E—A)
となるように実数7 (s>t) と条件(*)を満たす行列 4 を求めよ。
(iii) Gi) の行列 4, 了と自然数ヶに対して
Y" = p,A+qn(E—A)
を満たす pr, dn を求めよ。
V. (i) abt RReFS. a<b, a=b, a>b のそれぞれの場合に極限
Jim logs (x°+ 2°)
を求めよ。
Gi) 4のは @+PS1 を満たす実数とする。
L = jm log. (2x°+ 2?)
を最小にする g,ちおよびそのときのしとの値を求めよ。
V. 0くの <訪 を満たすりに対して
7の) yf |sinaz 一tan9coszlsin 2xdx
とおく。次の問に答えよ。
Ci) 7(のを求めよ。
(ii) 7(のを最小にするの に対しcosの の値を求めよ。
以下余 A)
Am (KEL m>0) の直線が, 異なる 2 点でCと交わるように宙の範囲を定めよ。
I. f(z) =e EL, m=1, 2, HLA, (@) を
FAB) = x f(a)
により定め,
P,(£) = e-* f(x)
とおく。次の問に答えよ。
(i) Pal) はヵ次多項式であることを証明せよ。
Gi) Pr(@) における x" ORBE ay, 2°? ORE de EB Lo dn, by ERD Lo
I. (i) 2X2行列4は条件
4ぢーーの=の ...... (8)
1 0 0 0
を満たすもるのとする。ただし e-(* i): o-(’ ) とする。実数!に対
して X=sA+t(E—A) とおくとき
X*—(s+ eX
を求めよ。
3 2
(ii) v=( ) cwrc
2 0
Y = sA+t(E—A)
となるように実数7 (s>t) と条件(*)を満たす行列 4 を求めよ。
(iii) Gi) の行列 4, 了と自然数ヶに対して
Y" = p,A+qn(E—A)
を満たす pr, dn を求めよ。
V. (i) abt RReFS. a<b, a=b, a>b のそれぞれの場合に極限
Jim logs (x°+ 2°)
を求めよ。
Gi) 4のは @+PS1 を満たす実数とする。
L = jm log. (2x°+ 2?)
を最小にする g,ちおよびそのときのしとの値を求めよ。
V. 0くの <訪 を満たすりに対して
7の) yf |sinaz 一tan9coszlsin 2xdx
とおく。次の問に答えよ。
Ci) 7(のを求めよ。
(ii) 7(のを最小にするの に対しcosの の値を求めよ。
以下余 A)
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、方程式・不等式、空間図形、微分・積分
(1) この円は, 定数 % の値に関係なくある定点を通る。
その定点の座標を求めよ。
(2 ) この円の半径を最小にする定数 m の値を求めよ。
また, そのときの円の中心の座標と半径を求めよ。
(3) 2直線 ッニャぇ ッニーxが共にこの円に接するように, Em の値を定めよ。
また, そのときの接点の座標を求めよ。
(4) (3)において, この円の弧と2直線 ヵニャ yッニーxr とで囲まれる部分の面積を求
めよ。
memmemic 2 ACL, -3, 1), B(2, 1, -3) がある。 原点をO として, 次
の問に答えよ。
(1) AOB の大きさを求めよ。
(2) AOAB の画積を求めよ。
(3) 2点A, Bを通る直線とyz平面との交点 P の座標を求めよ。
(4) 原点Oから2点A, Bを通る直線に下ろした垂線の足H の座標を求めよ。
実数の定数 ゎに対して, 2次方程式
+ bx FL =0 ...1
は実数解をもたないものとする。このとき, 次の問に答えよ。
(1) 定数ゎの値の範囲を求めよ。
(2) 2次方程式 1 OTS TATED BIG RRP RL ICMR LE,
(3) 2次方程式1 の解をとする。g@* の実部が正となる解すべてが作る図形を複素
数平面上に図示せよ。
その定点の座標を求めよ。
(2 ) この円の半径を最小にする定数 m の値を求めよ。
また, そのときの円の中心の座標と半径を求めよ。
(3) 2直線 ッニャぇ ッニーxが共にこの円に接するように, Em の値を定めよ。
また, そのときの接点の座標を求めよ。
(4) (3)において, この円の弧と2直線 ヵニャ yッニーxr とで囲まれる部分の面積を求
めよ。
memmemic 2 ACL, -3, 1), B(2, 1, -3) がある。 原点をO として, 次
の問に答えよ。
(1) AOB の大きさを求めよ。
(2) AOAB の画積を求めよ。
(3) 2点A, Bを通る直線とyz平面との交点 P の座標を求めよ。
(4) 原点Oから2点A, Bを通る直線に下ろした垂線の足H の座標を求めよ。
実数の定数 ゎに対して, 2次方程式
+ bx FL =0 ...1
は実数解をもたないものとする。このとき, 次の問に答えよ。
(1) 定数ゎの値の範囲を求めよ。
(2) 2次方程式 1 OTS TATED BIG RRP RL ICMR LE,
(3) 2次方程式1 の解をとする。g@* の実部が正となる解すべてが作る図形を複素
数平面上に図示せよ。
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、複素数、空間図形、確率・場合の数
問1
a eye
© \loge(x + 1) loga(y + 3) = ー1
のときァ*=| アッ=|イ| でぁる.
ーー
ウゥ
2) ser tfc eae:
8) みニ4 aui= 2a +15 のとき
Da >10°
となる最小の ぁ は| エ | であぁ.
(4) サイコロを3個科げるとき 1の目も 2の日も出る確率は T= である.
問2
点 (0 11) を申心として半径2の円をさとし, A (7一13. 0) BLE LCHE OME
とする.ただしァは自然数とする。
(9) 円と円の中がもっとも近づくのは 『ー| カ | のときで, その離は 。/ | キ | である.
2) とのような実数に対しても, 円さと円が甘有所をもたないようみ自然数 ORK
は| 2 | でぁぁ.
(3) t=10 のとき, 円S$が円了の内部にあるような自然数の最小値は| ケ |である.
間3
複素数平面において, 原点を通らない直線の方程式は, 0 でない複素数 を用いて
@z+az =2
と表すことができる.
Q) 点 4(1) と点 お(/3 1) を通る直線の方程式を
@z十の =2
と表すとき, 複素数 は
々=| コ |+ —_— i
vit
である. したがって lal? = ーーュー である.
(2) 直線と複素数々は(1)のものとする. 点 Q(@)を与えるとき,点 0と直線に関して対称
な点 の(@) は
_ =
ER Pl, aS
CHS.
問4
三角形の重心,外心 (外接円の中心)。垂心は一直線上にあることが知られている. この事実を
具体的な三角形において確認しよう.
三角形 048 の各辺の長きが OA=4, OB=3, AB=VIT として, いま
a@=0A, 5=O8
とする.
() 22のペクトル ad, Bowed bial チ |である.
(2) 三角形 048の重心をでとすれば -
Ae 1 7
0G =
(¢+8)
である.
(3) 頂点のから対辺 4ぢへ垂線を引き, CORRE 4との交点をアとする. BA APB
一直線上にあることと, RHE OP L 48ぉ から
2c);
OP = a7 ¢% + =z?
である. さらに, 三角形 OAB OTD HOWIR OP LISS CEL, 条件 AHLOB から
_ |ナ =
OH = Ed a+ [a] ちヵ
La]
CHS.
(4) 次に, SHB OABOHLEREL, 実数 ヵ7 によって
OR = pa + ab
と表されているとする. Ht OR = AR= BROS
3. a 7 |
a-4l;,E1,
64 64
である. ゆえに RH = RG LEY, 点亡李では一直線上にあることがわかる.
a eye
© \loge(x + 1) loga(y + 3) = ー1
のときァ*=| アッ=|イ| でぁる.
ーー
ウゥ
2) ser tfc eae:
8) みニ4 aui= 2a +15 のとき
Da >10°
となる最小の ぁ は| エ | であぁ.
(4) サイコロを3個科げるとき 1の目も 2の日も出る確率は T= である.
問2
点 (0 11) を申心として半径2の円をさとし, A (7一13. 0) BLE LCHE OME
とする.ただしァは自然数とする。
(9) 円と円の中がもっとも近づくのは 『ー| カ | のときで, その離は 。/ | キ | である.
2) とのような実数に対しても, 円さと円が甘有所をもたないようみ自然数 ORK
は| 2 | でぁぁ.
(3) t=10 のとき, 円S$が円了の内部にあるような自然数の最小値は| ケ |である.
間3
複素数平面において, 原点を通らない直線の方程式は, 0 でない複素数 を用いて
@z+az =2
と表すことができる.
Q) 点 4(1) と点 お(/3 1) を通る直線の方程式を
@z十の =2
と表すとき, 複素数 は
々=| コ |+ —_— i
vit
である. したがって lal? = ーーュー である.
(2) 直線と複素数々は(1)のものとする. 点 Q(@)を与えるとき,点 0と直線に関して対称
な点 の(@) は
_ =
ER Pl, aS
CHS.
問4
三角形の重心,外心 (外接円の中心)。垂心は一直線上にあることが知られている. この事実を
具体的な三角形において確認しよう.
三角形 048 の各辺の長きが OA=4, OB=3, AB=VIT として, いま
a@=0A, 5=O8
とする.
() 22のペクトル ad, Bowed bial チ |である.
(2) 三角形 048の重心をでとすれば -
Ae 1 7
0G =
(¢+8)
である.
(3) 頂点のから対辺 4ぢへ垂線を引き, CORRE 4との交点をアとする. BA APB
一直線上にあることと, RHE OP L 48ぉ から
2c);
OP = a7 ¢% + =z?
である. さらに, 三角形 OAB OTD HOWIR OP LISS CEL, 条件 AHLOB から
_ |ナ =
OH = Ed a+ [a] ちヵ
La]
CHS.
(4) 次に, SHB OABOHLEREL, 実数 ヵ7 によって
OR = pa + ab
と表されているとする. Ht OR = AR= BROS
3. a 7 |
a-4l;,E1,
64 64
である. ゆえに RH = RG LEY, 点亡李では一直線上にあることがわかる.