藤原進之介です。このページでは同志社大学2006年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
を解け。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：対数方程式。解く前に真数条件——これを後回しにすると、出てきた解が使えるかどうか判断できません。まとめてから外すのは最後です。
1. なぜその一手を選ぶのか
まず定義域。真数は正でなければならないので x > 0 かつ x − 1 > 0 、あわせて x > 1 。この1行を最初に書くのが、この型で最も点になる部分です。
次に左辺。底が同じ 4 なので、log の和は積にまとめられます：log4 x + log4(x − 1) = log4 {x(x − 1)} 。底をそろえて1つの log にするのが対数方程式の第一手です。
2. 解答
- 真数条件：x > 0 かつ x − 1 > 0 より x > 1 。
- log4 {x(x − 1)} = 7 より x(x − 1) = 47 = 16,384 。
- 整理して x2 − 1x − 16,384 = 0 。解の公式より x = 1 ± √655372 。
- 負の解は真数条件 x > 1 を満たさないので捨てる。
答え： x = 1 + √655372（≒ 128.501）
3. 検算
真数条件で確かめる：128.501 > 1 なので採用してよい解です。
もう一方の解を見る：((1 − √65537) / 2 ≒ -127.501 は負で、真数条件から確実に外れます。2次方程式の解が2つ出たら、必ず両方を定義域に照らす——片方だけ見て終わるのがこの型の典型ミスです。
この型の一般化：log の和 → 積、差 → 商にまとめてから真数を比較するのが基本形。ただし「まとめる」操作は定義域を広げてしまうので（x と x−1 が両方負でも積は正になる）、最初に書いた真数条件で必ず絞り直します。底が違うときは底の変換公式で先にそろえます。第6章 関数で定義域の扱いを整理しています。
同志社大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 同志社大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 同志社大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
同志社大学 数学 過去問｜他の年度を見る
同志社大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
同志社大学 2006年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 数列
- 方程式・不等式
- 確率・場合の数
- ベクトル
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2006年度の問題PDFでは、微分・積分、図形・三角関数、関数・グラフ、数列、方程式・不等式に関する語句や設問を確認できました。同志社大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問3画像OCR
検出分野: 微分・積分、確率・場合の数、数列、ベクトル、関数・グラフ
(1) 日本更、世界更、政治・経済、数学から 1 科目を選択し解答する
こと。
(2) 解答用紙は各科目別になっている。
選択しない科目の解答用紙は、試験開始30分後に回収する。
なお、回収後は科目の変更はできない。
(3) 解答用紙には受験番号の記入欄がそれぞれ次のようにある。
日本更............3 か所
世界史............ 3 か所
数 学............表面に 2 か所、裏面に 1 か所、計3 か所
各人箇所とも正確、明瞭に記入すること。
(4) 解答はすべて解答用交の所定欄に記入すること。
(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(16) 試験開始後、問題紙に落丁損傷がないか確認すること。
(7) 試験終了後、問題紙は各自持ち帰ること。
数 学
[1] 炎の六中の[| | に適する数または式を, 解和用紙の同じ記号のつ
いた | |の中に記入せよ。
(1) BEI {an} をgi = 1, dyn = an 3( 1.2...) によって決め
る。定数 c = を使って, by = ay te (n= 1,2,0+) に
KD THRE SKI {dn} は公比が = の等比数列であり,
SOW, = | ウ | である。したがって, {an} の一般項は
On = であり, an Z18 となる最小の はカー
CHS. EK, {an} の初項から第 ヵ 項までの和は S, =
THD, Sy = 2006 となる最小のみヵはヵニ である。
(2) サイコロを ? 回投げて, 1 回目と 2 回目に出る目をそれぞれ z,? と
する。このとき, z?ー7z十11 <y となる確率は であり,
DM + ll <y <a + 7-8 となる確率は である。
また, 2ー7z十11 <リッマーz2二7z十も EM BHR | となる 定
Keb の値の範囲は, である。
| II | 1辺の長きが1 の正四画体 OABC において.
ee
OA=a, OB=6, OC=c
とし, 次の問いに答えよ。 ただし, ベクトル と v OME Uv で表す。
(1) AOAB の面積 $ を求めよ。
(2) AOAB の重心を G とするとき, OG を g と ヵ で表せ。
(3) 0G = 9 とするとき, (<)・g =0E(eC-Gg)-b = 0 を示せ。
(4) GC の大きさ ヵ を求めよ。
(5) 正四面体 OABC の体積 を求めよ。
ーー
門
[TID] 放物線 cy: y = 0? と, 頂点が (e+ 2, 3 — 2) である放物線
の :ッータgz二ちを考える。のi と の> が2 つの異なる共有点をもつと
き、次の問いに答えよ。
1) a,b を#を用いて表せ。
(2) #がとる値の範囲を求めよ。
(3) のOs の 2 つの異なる共有点の座標を. それぞれヵg(17ゎ<) とす
る。 Ci, Cz, で囲まれた図形の面積 & p と q を用いて表せ。
(4) 面積 8 を,を用いて表せ。また, S の最大値とそのときの#の値を
求めよ。
egy =
ou
こと。
(2) 解答用紙は各科目別になっている。
選択しない科目の解答用紙は、試験開始30分後に回収する。
なお、回収後は科目の変更はできない。
(3) 解答用紙には受験番号の記入欄がそれぞれ次のようにある。
日本更............3 か所
世界史............ 3 か所
数 学............表面に 2 か所、裏面に 1 か所、計3 か所
各人箇所とも正確、明瞭に記入すること。
(4) 解答はすべて解答用交の所定欄に記入すること。
(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(16) 試験開始後、問題紙に落丁損傷がないか確認すること。
(7) 試験終了後、問題紙は各自持ち帰ること。
数 学
[1] 炎の六中の[| | に適する数または式を, 解和用紙の同じ記号のつ
いた | |の中に記入せよ。
(1) BEI {an} をgi = 1, dyn = an 3( 1.2...) によって決め
る。定数 c = を使って, by = ay te (n= 1,2,0+) に
KD THRE SKI {dn} は公比が = の等比数列であり,
SOW, = | ウ | である。したがって, {an} の一般項は
On = であり, an Z18 となる最小の はカー
CHS. EK, {an} の初項から第 ヵ 項までの和は S, =
THD, Sy = 2006 となる最小のみヵはヵニ である。
(2) サイコロを ? 回投げて, 1 回目と 2 回目に出る目をそれぞれ z,? と
する。このとき, z?ー7z十11 <y となる確率は であり,
DM + ll <y <a + 7-8 となる確率は である。
また, 2ー7z十11 <リッマーz2二7z十も EM BHR | となる 定
Keb の値の範囲は, である。
| II | 1辺の長きが1 の正四画体 OABC において.
ee
OA=a, OB=6, OC=c
とし, 次の問いに答えよ。 ただし, ベクトル と v OME Uv で表す。
(1) AOAB の面積 $ を求めよ。
(2) AOAB の重心を G とするとき, OG を g と ヵ で表せ。
(3) 0G = 9 とするとき, (<)・g =0E(eC-Gg)-b = 0 を示せ。
(4) GC の大きさ ヵ を求めよ。
(5) 正四面体 OABC の体積 を求めよ。
ーー
門
[TID] 放物線 cy: y = 0? と, 頂点が (e+ 2, 3 — 2) である放物線
の :ッータgz二ちを考える。のi と の> が2 つの異なる共有点をもつと
き、次の問いに答えよ。
1) a,b を#を用いて表せ。
(2) #がとる値の範囲を求めよ。
(3) のOs の 2 つの異なる共有点の座標を. それぞれヵg(17ゎ<) とす
る。 Ci, Cz, で囲まれた図形の面積 & p と q を用いて表せ。
(4) 面積 8 を,を用いて表せ。また, S の最大値とそのときの#の値を
求めよ。
egy =
ou
問6画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、数列
(1) Sn = nan, a1 =1 であるとき, {an} と {Sp} の一般項を求めよ。
2) Sp =" $7 aq, a =2 であるとき. {an} と {Sn} の一般順を求めよ。
ー ター
[II] 0 を原点とする座禁補間に4 点 A(4,0,0), B(0,8,0), CO.0.4.
D(0,0,2) がある。次の問いに答えよ。
(1) AABO の重心 G の座標を求めよ。
(2) 直線 OG と平面 ABD との交点P の座標を求めよ。
(3) cos ZOPD を求めよ。
(4) AOPD の面積を求めよ。
ー 38 一
。
2) Sp =" $7 aq, a =2 であるとき. {an} と {Sn} の一般順を求めよ。
ー ター
[II] 0 を原点とする座禁補間に4 点 A(4,0,0), B(0,8,0), CO.0.4.
D(0,0,2) がある。次の問いに答えよ。
(1) AABO の重心 G の座標を求めよ。
(2) 直線 OG と平面 ABD との交点P の座標を求めよ。
(3) cos ZOPD を求めよ。
(4) AOPD の面積を求めよ。
ー 38 一
。
問9画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、空間図形、関数・グラフ
(1) 解答用紙は(一)と(二)のそれぞれ1 枚ずつである。
(2) 受験番号の記入欄は, 解答用紙(一), (二)にそれぞれ
表面に 2 か所, MMI 1 か所ある。 合計6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。
(3) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題 ]の解答は解答用紙(一)の〔 1 }の欄に記入。
問題 〕の解答は解答用紙(一)の[IL]の欄に記入。
問題[四]の解答は解答用紙(二)の〔ル]の欄に記入。
問題LW〕の解答は解答用紙(二)の〔IV]の欄に記入。
(4) 問題紙の本文は 2ページである。
(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(6) 試験開始後, 問題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
(7) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
。
田 次の[ ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のついた
[ーー の中に記入せよ.
(1) 関数
げ(?) = 23 + (V2+ V3)2? + (1+ Vb)x + V2
に対しげ(-V2) =[ アア _] であるから
f(@) = (@ +t Jy? + Je +I)
である (ただし, [ イ ] は実数) . よって, HBX f(x) = 0 の解は
=[オ ][カ |,[ キ ] である.
1 3
(2) 曲線のターーテーッ と曲線 C。 :ャーツキラターミ の2つの交点の
座標はそれぞれ(し ][ ケ])と([コ][サ ])であぁり,
すべての正の数。に対し
a ey
vat =レシ =
/ ‘a? + 2dax 2 +f Jeni”
が成り立つことより, MRC, と の。 で囲まれた部分の面積は| ス ]
である.
加 2次の正方行列
1 1 6
に対し, 次の各間に答えよ. KEL, 0 <c<1である.
(1) Pの逆行列P-! を求めよ.
(2) 行列の積ア4Pを求めよ.
(3) Dy=(P“)"AP" (n=1,2,3,---)ETSES, ワ。を求めよ.
(4) 行列の(1, 2) MEd, とするとき, Sd, を求めよ.
=|
sa #3
[IT 空間にある四面体の頂点 O, A, B, C に対し,
OA=7, OB=V, 0C=ぞ
EFS. この空間の点Pをとり,OP=ゥで+g5 +rで ENTER,
次の各問に答えよ.
(1) 点Pが線分BCを#:(1一り (0<t<1) に内分する点であるとき,
の値を求め, 9,7 Bt CHE.
(2) 点Pが平面 ABC上のへABC の内部 (辺上の点は含まない) にある
ための p,q, 7 の満たすべき条件を求めよ.
(3) 点Pが平面 ABC上の人へABC の内部 (辺上の点は含まない) にある
とする. 四面体 OABP, OBCP, OOAP の体積をそれぞれ愉, Vo, Vy
で表すとき, PRUE Va: Vy を求めよ.
[IV] 原点 O を通る直線ん:9=ztanの(0<9< う および 2 つの曲線
Orのの=ー1 な0.9ミ0). Oiy= 5 (c > 0)
に対し, KOBMICBAL.
(1) LEC, の交点をそれぞれ P, Q とする. 点P と点Qの座標を求
めよ.
(2) のとの の共有点を A とする. KA の座標を求めよ.
(3) Q からz軸に垂線を下ろし, >軸との交点を R ETS. BWP AO, OR,
RQ と曲線 C。 で囲まれた図形の面積を 9?,」とする. 8 を求めよ.
(4) のとのとで囲まれた図形の面積を 9。 とする. 55 を求めよ.
(5) の とz軸ととで囲まれた扇形の面積を 9。とする. 8。 = 5。 のとき,
tan9 の値を求めよ.
ea py se
(2) 受験番号の記入欄は, 解答用紙(一), (二)にそれぞれ
表面に 2 か所, MMI 1 か所ある。 合計6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。
(3) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題 ]の解答は解答用紙(一)の〔 1 }の欄に記入。
問題 〕の解答は解答用紙(一)の[IL]の欄に記入。
問題[四]の解答は解答用紙(二)の〔ル]の欄に記入。
問題LW〕の解答は解答用紙(二)の〔IV]の欄に記入。
(4) 問題紙の本文は 2ページである。
(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(6) 試験開始後, 問題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
(7) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
。
田 次の[ ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のついた
[ーー の中に記入せよ.
(1) 関数
げ(?) = 23 + (V2+ V3)2? + (1+ Vb)x + V2
に対しげ(-V2) =[ アア _] であるから
f(@) = (@ +t Jy? + Je +I)
である (ただし, [ イ ] は実数) . よって, HBX f(x) = 0 の解は
=[オ ][カ |,[ キ ] である.
1 3
(2) 曲線のターーテーッ と曲線 C。 :ャーツキラターミ の2つの交点の
座標はそれぞれ(し ][ ケ])と([コ][サ ])であぁり,
すべての正の数。に対し
a ey
vat =レシ =
/ ‘a? + 2dax 2 +f Jeni”
が成り立つことより, MRC, と の。 で囲まれた部分の面積は| ス ]
である.
加 2次の正方行列
1 1 6
に対し, 次の各間に答えよ. KEL, 0 <c<1である.
(1) Pの逆行列P-! を求めよ.
(2) 行列の積ア4Pを求めよ.
(3) Dy=(P“)"AP" (n=1,2,3,---)ETSES, ワ。を求めよ.
(4) 行列の(1, 2) MEd, とするとき, Sd, を求めよ.
=|
sa #3
[IT 空間にある四面体の頂点 O, A, B, C に対し,
OA=7, OB=V, 0C=ぞ
EFS. この空間の点Pをとり,OP=ゥで+g5 +rで ENTER,
次の各問に答えよ.
(1) 点Pが線分BCを#:(1一り (0<t<1) に内分する点であるとき,
の値を求め, 9,7 Bt CHE.
(2) 点Pが平面 ABC上のへABC の内部 (辺上の点は含まない) にある
ための p,q, 7 の満たすべき条件を求めよ.
(3) 点Pが平面 ABC上の人へABC の内部 (辺上の点は含まない) にある
とする. 四面体 OABP, OBCP, OOAP の体積をそれぞれ愉, Vo, Vy
で表すとき, PRUE Va: Vy を求めよ.
[IV] 原点 O を通る直線ん:9=ztanの(0<9< う および 2 つの曲線
Orのの=ー1 な0.9ミ0). Oiy= 5 (c > 0)
に対し, KOBMICBAL.
(1) LEC, の交点をそれぞれ P, Q とする. 点P と点Qの座標を求
めよ.
(2) のとの の共有点を A とする. KA の座標を求めよ.
(3) Q からz軸に垂線を下ろし, >軸との交点を R ETS. BWP AO, OR,
RQ と曲線 C。 で囲まれた図形の面積を 9?,」とする. 8 を求めよ.
(4) のとのとで囲まれた図形の面積を 9。 とする. 55 を求めよ.
(5) の とz軸ととで囲まれた扇形の面積を 9。とする. 8。 = 5。 のとき,
tan9 の値を求めよ.
ea py se
問10画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式、関数・グラフ、ベクトル
〔 1 〕の欄に記入。
問題[TH〕の解答は解答用紙(一)の〔I 〕の欄に記入。
問題(Jの解答は解答用紙(二)の〔Tル〕の欄に記入。
問題[W〕の解答は解答用紙(二)の〔W〕の欄に記入。
(4) 間題紙の本文は 2 ページである。
(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(6) 試験開始後, 問題紙に落丁損傷がないか確認すること。
(7) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
|
|
|
|
|
。
町 次の[ ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のついた
[ ] の中に記入せよ.
1 ss
By = Te のグラフを C で表す.
42 +3 7
ーテーー +o
Qe +5 2 (< 内 3)
ERWTSE, Clty = Loy a 7% otic] AN, ytipstnc
[ウ ] だけ平行移動したものであり, したがって, その瀬近線は[ エエ ]
ELF] であることがわかる.
C LOR (x,y) で z,9 が整数であるものの座標は( カカ ],| キ |),
(タテヶ]) (a7, ). Ce, a) tH.
また, 直線= kz--2とCが共有点をもたないたの範囲は| セ ] CHS.
(W] kA0 を定数とする. HRC sy = (kale について次の各間に
BAL,
(1) HEAR C LOA (a, (k — a)e) における接線の方程式を求めよ.
(2) (1) の接線が原点を通るための, oeが満たすべき条件を求めよ.
(3) 曲線ひの接線で原点を通るものがただ一本であるときのたの値をjo
EL, その接線を?とする. Ao ERD, /の方程式を求めよ。
(4) (3) で得られる曲線 CO :り= (oz)e" の概形を描け.
(5) ?軸と(3) で得られる曲線のと接線 ?で囲まれた図形の面積を求めよ.
me gy ee
(Ul) zy平面で, 原点 O を中心とする半径 1 の円 上を動く点P OF
BE (5,1) CHT.
@=(0,2), B=(1,0), で=109
ELT, 点 P の動きにつれて
OBasR+th +e
を満たす点 Q が動く. このとき, 次の各間に答えよ.
(1) 点 P の座標が(1、0) DES, 対応する点 Q ORM (x,y) をす を用い
て表せ.
(2) 点Pがの上を動くとき, 対応する点 Q の描く曲線の方程式を求め,
その曲線の囲む図形の面積を求めよ.
(3) (2) で求めた曲線が z 軸と共有点をもつための g の条件を求めよ.
(4) 9@=0とする. 点 Piは(1,0) から, A P。 は(0.1) から同時に出発し,
C上を反時計回りに同じ速さで動くとする. その速さは正で一定とし,
Py, Po に対応する点を Q」,Q。 とする. このとき, 内積 0Q!・0Q。 の
最大値と最小値 を求めよ.
[TV] xy平面の曲線
Cim=sint, ターsim24 (0<t< 5)
について次の各問に答えよ.
(1) の上の点P (smo,sim 2a) における, 曲線どの接線?の方程式を求めよ.
(2) z平面の原点O とビ上の点P(sin e,sin 2c) を結ぶ直線と接線?のなす
MEO (0<9<う) とするとき, tanのをcosc THE.
(3) (2) で tan 9 = tano を満たすとき, sina の値を求めよ.
=p 財
問題[TH〕の解答は解答用紙(一)の〔I 〕の欄に記入。
問題(Jの解答は解答用紙(二)の〔Tル〕の欄に記入。
問題[W〕の解答は解答用紙(二)の〔W〕の欄に記入。
(4) 間題紙の本文は 2 ページである。
(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(6) 試験開始後, 問題紙に落丁損傷がないか確認すること。
(7) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
|
|
|
|
|
。
町 次の[ ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のついた
[ ] の中に記入せよ.
1 ss
By = Te のグラフを C で表す.
42 +3 7
ーテーー +o
Qe +5 2 (< 内 3)
ERWTSE, Clty = Loy a 7% otic] AN, ytipstnc
[ウ ] だけ平行移動したものであり, したがって, その瀬近線は[ エエ ]
ELF] であることがわかる.
C LOR (x,y) で z,9 が整数であるものの座標は( カカ ],| キ |),
(タテヶ]) (a7, ). Ce, a) tH.
また, 直線= kz--2とCが共有点をもたないたの範囲は| セ ] CHS.
(W] kA0 を定数とする. HRC sy = (kale について次の各間に
BAL,
(1) HEAR C LOA (a, (k — a)e) における接線の方程式を求めよ.
(2) (1) の接線が原点を通るための, oeが満たすべき条件を求めよ.
(3) 曲線ひの接線で原点を通るものがただ一本であるときのたの値をjo
EL, その接線を?とする. Ao ERD, /の方程式を求めよ。
(4) (3) で得られる曲線 CO :り= (oz)e" の概形を描け.
(5) ?軸と(3) で得られる曲線のと接線 ?で囲まれた図形の面積を求めよ.
me gy ee
(Ul) zy平面で, 原点 O を中心とする半径 1 の円 上を動く点P OF
BE (5,1) CHT.
@=(0,2), B=(1,0), で=109
ELT, 点 P の動きにつれて
OBasR+th +e
を満たす点 Q が動く. このとき, 次の各間に答えよ.
(1) 点 P の座標が(1、0) DES, 対応する点 Q ORM (x,y) をす を用い
て表せ.
(2) 点Pがの上を動くとき, 対応する点 Q の描く曲線の方程式を求め,
その曲線の囲む図形の面積を求めよ.
(3) (2) で求めた曲線が z 軸と共有点をもつための g の条件を求めよ.
(4) 9@=0とする. 点 Piは(1,0) から, A P。 は(0.1) から同時に出発し,
C上を反時計回りに同じ速さで動くとする. その速さは正で一定とし,
Py, Po に対応する点を Q」,Q。 とする. このとき, 内積 0Q!・0Q。 の
最大値と最小値 を求めよ.
[TV] xy平面の曲線
Cim=sint, ターsim24 (0<t< 5)
について次の各問に答えよ.
(1) の上の点P (smo,sim 2a) における, 曲線どの接線?の方程式を求めよ.
(2) z平面の原点O とビ上の点P(sin e,sin 2c) を結ぶ直線と接線?のなす
MEO (0<9<う) とするとき, tanのをcosc THE.
(3) (2) で tan 9 = tano を満たすとき, sina の値を求めよ.
=p 財