同志社大学 2008年度 過去問・解答

(1) > 0とする. 2次方程式gz?- 6/22 + a? — 1a + 28 = 0 DMA
る実数解をもつための必要十分条件は, 判別式D() =[ ア |]>0
である. すなわち,

0<g<| イ | または <e<[ エエ 「]
CHS. また, この2 次方程式が負の解をもつのは
[キオ |<s<[ ヵ |
のときである.

(2) 曲線の:ァ=?一2.9ニーゲ十42 (2<7<4) はz,yで表すと
y=, ビター < <テー) である. 上の点P(9 に
おける接線の方程式はッゅ=[| コ ]zヶ+[ サ | であり, この接線と
cit, y 軸で囲まれる三角形の面積を 7/(g) とすると,

79 =レシ 7の=ヒス 7@ =しセコ>0
であるから, (<) はg=[ ソ ] のとき最小になる.

CI) zz空間上で点 A(0, 1, 0) と点 B(1, 14-4, c) を結ぶ線分AB を
7: (1一) に内分する点を Q とする. KEL, がめすの=1, 0 SS1
CHS. 次の各問に答えよ.

(1) 点Qの座標を求めよ.

(2) 点Qとx軸の距離,() ete bd CH.

(3) (2) で求めた距離(7) の最小値を ヵを用いて表せ.

(4) 線分AB がz軸と共有点をもつように5の値を定めよ.

ーーュー

[IT〕 平面上の AOAB において
Ok=2, OB=0, |al=1, 19|=2。 @- Hat

とする. 頂角 ZAOBの2等分線と辺AB との交点をP とし, へOAB の
Aime J, WDE Q とする. 次の各問に答えよ.

(1) OPをる,? を用いて表せ.

(22) 0 を,ず, 7,を用いて表せ.

(3) でに垂直な単位ベタトルの 1 つをで とする. を, ぢ, !を用い
て表せ.

(4) 0Qをず, ぢ7, #を用いて表せ.

CIV) BER Sf, (2) = Z"(1 — 2)” とその定積分 。 -/ な(2)dz について
次の各問に管えよ.ただし, ヵは正の整数である

(1) たre) ORBEA fs (2) が fae) = (n+l) fn(z) g(a) をみたすとき,
多項式 g(a) を求めよ.

(2) fnto(a) の第2 次導関数 訪.>(y) に対しが2(Z) = Anfntt(e) + Br fn(2)
が成り立つとき, 定数 4。, 。 Bn CRE.

(3) (2) An, Bn HL, AnInsa + Buln を求めよ.

(4) Jn =(2n4+1)!I, CBS. Ing % In CHE.

(5) In BRB.

ーー

(1) 座標平面上のベクトル で = (—V3,1) の大きさは, [a] =
CHD, で と で = (1.0) とのなす角の大きさは である。
で と直交し。 ? 成分が負の単位ペタトルは(| ウ | | ェ |で
ある。また, で とのなす角の大きさが 7 CH, y 成分が正の単位
ベクトルは(| オォ |] | ヵ |)であぁる。
(2) 4 RAK at — 409 + To? — 82 +4 = 0 の両辺を z2 で割って,
teat = とおけば, 4 に関する 2 HOTT =0 を得る。
との 2 次方程式を解いて+を求めると, t=[ ク |, で
ある。 t= Dee, ヶは実数で*=| コ |,
であり, t=[ 7 | のとき,zは虚数で=| シ |
である。
CD) joy不和き式
y20, z二9ミミ4 wtyS6, 9ー3zS12
が表す領域を の とする。次の問いに答えよ。
(1) Sik D を図示せよ。
(2) 点 (a, y) が傾域 にあるとき, 4z —y の最大値と最小値を求めよ。
Ek, そのときの a, y の値を求めよ。
(3) 点 (ey) が仙域 にあるとき, 2y—0? の最大値と最小値を求めよ。
また, そのときの z。? の値を求めよ。
ーー

CID fo ehise se: 1 の円周上に, 2 つの定点 A. BをAOBニ
2a (0<e< 5) であるようにとる。動点 P は A, B を結ぶ短い方の弧の
上にあり, 点A, Bに一致しないとする。 直線OP と円との交点のうち, PL
外のものを Q LBS, 直線 AB と直線PQ の交点を R とおく。ンARP = 9
とする。次の問いに答えよ。

(1) 9 = ZAPQ とおく。ンPQB をの 6 を用いて表せ。

(2) Ba, 9 を用いて表せ。

(3) 9のとり得る範囲を o を用いて表せ。

(4) AAPQ の面積を e, 9 を用いて表せ。

(5) 四角形 APBQ の面積 を a, 9 を用いて表せ。

(6) 3 の最大値を o を用いて表せ。

— 36 一

(1) 解答用紙は(一)と(二)のそれぞれ 1 枚ずつである。

(2) 受験番号の記入棚は, 解答用紙(一), (二)にそれぞれ
表面に 2 か所, 裏面に 1 か所ある。合計 6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。

(3) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題[ 1 }の解答は解答用紙(一)の〔 1 }の欄に記入。
問題[II]の解答は解答用紙(一)の[IL]の欄に記入。
問題(四]の解答は解答用紙(二)の〔]の欄に記入。
問題LIW]の解答は解答用紙(二)の[TV]の欄に記入。

(4) 問題紙の本文は 2 ページである。

(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。

(6) 試験開始後, 問題紙に落丁損傷がないか確認すること。

(?) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。

(1) 次の に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のついた
[| |の中に記入せよ.
(1) BO {an} @
a =1, dnt1 = 2a, +3-2"-1 (n21)
で定める. さらに, BGI {b,} を
bp = (em ー1)
によって定めると, {b,} は初項ち = Se の等差
数列である. したがって, 数列 {an} の一般項はg。 =[_ ウ | CHS.
(2) zy平面上に原点を中心とする椿円ががある. その長軸はヶ軸上にあり,
EX 2a, 短軸は長さ 20である(。> 0の. 椿円選の方程式は[| エ |]で
BS. BLO3ZHKA(-a,0), B(0,-), P(p,q) がつくる AABP OW
ABを底辺とするときの高さをヵ, で表すと| オ | であるから, へABP
の面積を 9 とすると, 9 =[ カカ | CHS. したがって, 9は (ヵ,9) =
( キ ],| ク ]) のときに最大であり, 最大値は[| ケ ] CHS.
. es " いこ 1 Ste ye
C1) 実数zに対し, MM Dore について次の各
問に答えよ.
(1) との等比級数が収束するような>の値の範囲をのとする. りを定めよ.
(2) りの範囲にある>に対するこの等比級数の値を 7/(x) とするとき, D
で定義される関数 7/(x) のグラフの概形を描け.
(3) 自然数ヵ= 2に対し, Hy = f(x) とz軸および2直線々ー1, ニカ
で囲まれた部分の面積を 5%。 とする. 5, を求めよ.
(4) jim Sn を求めよ.
ーーュー

[TI ) cy PETC, zに関する対称移動を表す行列を 4 とし, 原点を
中心とする角 9の回転移動を表す行列を とする. 次の各間に答えよ.。
(1) 原点のまわりに -のだひけ回転した後, z 軸に関して対称移動すること
により, Ale, AVEC, の) に移動する. COL, ( ) =B ( : )
? 9
をみたす行列 を 4 と を用いて表せ.
(2) Hey = (anのz (0 < 9 <う) に関する対称移動を表す行列をの と
する. のを4とアを用いて表せ.
(3) 直線ヶ= (tanの) z に関する対称移動により点 (2, y) が点 (", y!") に移
BL, 2M = la", y= ty! とする. とのとき, ( = ) =R ( a )
2 2 y y
RBS RE Q を用いて表せ. また, PERDE,
(4) 点Pi = (a,b) に対して, APP =(ai,b)) (6 =2,3,---) ®
10 po f a 1 ーー
(Z ) oF (;:) mh
で定めると, 点Pi,P。, Ps,...・ が一つの直線上にあることを示せ.
(5) 線分OP、 17=1.2,....) の長さを。 とする. Hm OG で表せ.
i=l
CIV) BB f(a) = 2cos (wx) + 3rz2 について次の各間に答えよ.
(1) tan (nz) >が0<ヶ< 3 で成り立つことを示せ.
(の) BO) が ocz< 』 CBT SC Lem.
(3) 9()= コン ESB. g(a) か0 <a <t CMT SE LEAL,
(4) tipo) 0G). 0 (G) 2人をそれぞれ求めよ.
6) 0<2< ; における f(x) の最大値と最小値を求めよ。
=

問題 1 ]の解答は解答用紙(一)の〔 1 ]の棚に記入。
問題[II ]の解答は解答用紙(一)の[TI 〕の欄に記入。
問題[町]の解答は解答用紙(二)の〔由〕の欄に記入。
問題【[W]の解答は解答用紙(二)の[W]の棚に記入。

(4) 問題紙の本文は 2 ページである。

(5) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。

(6) 試験開始後, 問題紙に落丁損傷がないか確認すること。

(?) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。

[I〕 ROL ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のついた
| | の中に記入せよ.

(1) 4次の多項式 (>) をヶー 1で割ると余りが3, >一2で割ってもz+3
で割っても, ともに余りが7である. このとき, f(x) をz2ー3z十2で
割ると余りは[ ア | であり, 3ー7z二6で割ると余りは| イ |で
HS. さらに(0) = -5, (0) = -4 であれば, 7(z) =[ ウ |で
ある.

a 3 1 3
(2) 4-[ ) ownー 2 2 | であるとき,
2 5 ce od
e=| エ |].5=| キオ ].c=[ カ |],2=[| キ ] である.

[II〕 半径1の円O の円周上に 4 点 AB,C,D を, 線分ACと線分 BD が
円Oの内部の点E で交わるようにとる. AABE と へCDE がそれぞれ,
WORE 6.ヵ の正三角形であるとき, 次の各問に答えよ.

(1) 線分BCの長さを求めよ.

(2) =,とするとき, を#で表せ

(3) g+5が最大となるときの+の値とそのときのc+5の値をそれぞれ求
めよ.

(4) AABE とへCDE の面積の和の最小値とそのときの+の値を求めよ.

=

CII) ヵを正の整数とする. 関数
fa(n) = ソロー(0ogo (: <2 り
で定義される曲線 の。 : y = fr(x) について次の各問に答えよ.
(1) 関数ターた(ヶ) の最大値を求めよ.
(2) 曲線 との。の2つの共有点を求めよ.
(3) HRC, EC, の, (2) で求めた 2つの共有点の問にある部分で囲まれ
た図形をヶ軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を とする.
の値を求めよ.
CIV) 関数(の) = 2cos9二cos29, g(の) = 2sin9一sin29により,
曲線のを
Ciァニ7の.9=9の (0s9ミ3)
と定義する. 次の各問に答えよ.
Tv rT
a) 7(3), 9(F) の値を求めょ.
(2) BEBE F(A), (9 (0s9s3) の増減をおのおの調べよ.
3) 点(0.0) と点 (7 () ,9 (3 ) ) を通る直線の方程式を求めよ.
(4) 曲線Cと直線7とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
ーー