藤原進之介です。このページでは茨城大学2018年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：順列の中で「特定の位置に条件がつく」型。条件のついた場所から先に埋めるのが鉄則です。空いた場所から埋めると、後で数え直しになります。
1. なぜその一手を選ぶのか
1 から 10 までのうち奇数は 5 個（1, 3, …）、偶数は 5 個です。条件は「両端がともに奇数」なので、制約が乗っているのは両端の 2 か所だけ。ここを先に決めてしまえば、残りは何の制約もない普通の順列になります。
逆に「まず 3 個選んでから並べる」と考えると、選んだ組み合わせごとに両端に置ける奇数の個数が変わってしまい、場合分けが増えます。「条件の重い場所から」——これがこの型の判断です。
2. 解答
- 両端を決める：左端に奇数 5 通り、右端は残りの奇数から 4 通り。順序を区別するので 5 × 4 = 20 通り。
- 真ん中の 1 か所を埋める：使える数字は残り 8 個で、そこから 1 個を並べるので 8P1 = 8 通り。
- 積の法則より 20 × 8 = 160 通り。
答え： 160 通り
3. 検算
全体の並べ方は 10P3 = 720 通りなので、答えはこれより小さくなければおかしい。160 < 720 で条件を満たします。また両端がともに奇数になる確率はおよそ (5/10)×(4/9) ≒ 0.222 で、160 ÷ 720 ≒ 0.222 と一致します。
この型の一般化：「両端」「隣り合う」「特定の位置」といった場所に関する条件が出たら、その場所を先に固定して残りを自由順列にします。逆に「少なくとも」「含まれない」といった個数に関する条件が出たら、余事象か組み合わせで先に選んでから並べる方が速い。どちらの型かの見分け方は第13章 場合の数で整理しています。
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茨城大学の数学の過去問は17年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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茨城大学 2018年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 空間図形
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 整数
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2018年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、空間図形、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。茨城大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は17年度、関数・グラフは17年度、微分・積分は16年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、方程式・不等式
Q ACをと}を用いて表せ。
(3) 線分ACと線分 PD の交点をH とするとき, AH : ACを求めよ。
方程式 2sin?9 — cos 29 + 27 3 sinの= 0 について, 次の各問に答えよ。
REL, を実数とし, 0ミ9く2とする。
(1) <z=1のとき, 9の値を求めよ。 |
2) この方程式が解をもつとき, 。のとり得る値の範囲を求めよ。
ee amie M1 (821—2)
Z を実数とする。 曲線Ciッー刀一5*ー7。 曲線テー gm — ASE
をちょうど2 個もつ。それらのうちの 1 点における Cr の接線と の接線が一
KL, その接線を7 とする。C」 および? で了囲まれた図形の面積を $」 とし, Cy 1
および直線 = 2 で囲まれた図形の面積を 9。 とする。 次の各問に答えよ。
(1) の値を求めよ。
@ Sere. -
袋の中に赤玉4 個。自玉 3個 青玉 2 個が入っつている。袋の中から玉を 1 個ず
つっ取り出し, どの色の玉 1 個以上取り出された時点で取り出すのを終了する。
次の各癌に答えよ。ただし, 取り出した玉は, もとに戻さきないものとする。
() SB SMO ML CRT TSHR e tk.
2) 8個目を取り出して終了する確率を求めよ。
(3) 7 個目を取り出して終了したとき, 袋の中に白玉が残っていない確率を求め
ke
re 2 see M1 (821—3)
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、空間図形、指数・対数
TFC とする。点 D, E, F, の座標をそれぞれg。 7。 <を用いて表せ。
Q とたをそれぞれZ。 <を用いて表せ。
以下では, さいころを 2 回投げて, 出た目を順に 6, 6 とする。また, <= 2 と
する。ただし, さいころは1から 6 までのどの目も出る確率は とする。
(3) が整数となる確率 の」 を求めよ。また, RAWLS HK pe を求めよ。
A が整数となったときに, RABEL SHR ps を求めよ。
ーーュー でM2(821一5)
んを正の数とする。 2 つの曲線
Ci: y=keosx, Co: y =sinx
を考える。C」 と C。 は0 ミィミミ2ヶの範囲に交点が 2 つあり, それらのry座標を
それぞれe, 2(z < PETS, 区間< ミ*ミ2 において, 2つの曲線 Csで
囲まれた図形をの とし, その面積を 3とする。さらにりのうち, ゅ=0の部分
の面積を 5j, y ミ 0 の部分の面積を S。 とする。 以下の各問に答えよ。
(1) cosa, sina, cos が, sin@をそれぞれぁヵを用いて表せ。
Q) $をょを用いて表せ。
(3) 3S, = S。 となるようにょの値を定めよ。
4) 極限 im $ を求めよ。
ag, Sh ぐM2(821一6)
|
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形、指数・対数
(2) BORE F(x) & F(x) = cos cos 2x で定める。とのとき, f(x) OM 2 KM
fe) の* = 0 における値/(0 ) を求めよ。
(3) 次の曲線や直線とで囲まれた図形を、 電のまわりに 1回転してできる立体
の体積を求めよ。
goo be std, ct, ye
wersopmic, S3t[2— 224 |—1 ewer sinasi< me CL
する。ただし, TMBGMICCHS. LFOSMICERE.
(1) 図珍Cを複素数平面上に図示せよ。
(2 <がC上を動くとき, |z|の最大値 7 とそのときのzの値を求めよ。ただ
し, z の値は sin, cos を用いずに答えること。
(3) zの偏角argzを0ミargzく2ァの範囲で考える。zがC上を動くとぎ,
argz の最大仁ヵ とそのときのz の値を求めよ。ただし, の値は sin, cos を
用いずに答えること。
see | ee M4 (821-11)
以下の各問に答えよ。
(1) 実数9が0く9く< を満たすとする。このとき, tan 2をtan 2 を使って
表せ。答えのみを書けばよい。
(20 2つの実数g。 # はそれぞれ,
0<ax< i 0<e< >
を満たをすとする。次の(1)との各命題に対して, EOMBEMAK, EK, 真
ならば証明し, 偽ならば反例を示せ。
(i) taneが無理数ならば, tan 2は無理数である。
(i) tan2が無理数ならばtan ち- は無理数である。
[4] BS (2) EL) = LT で定める。 以下の各問に答えよ。
(1) 2つの極限 Tim f(x) HE Im f(x) を求めよ。
Q) 関数ゞニア(<) の増減および極値を調べよ。
| 8) 座標平面上の 200MM Cty =f) との :ッニアテー 2 ) の交点の座標
をすべて求めよ。
(20 前問(3で定めた 2 曲線 C, と Cr で囲まれた部分の面積 $ を求めよ。
a ーー やM4(821一12)