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藤原進之介です。このページでは岩手大学2008年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 5 、|OB| = 3 、挟角 30° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 30° = 12 × 5 × 3 × 12 = 154 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 30° = 5 × 3 × √32 = 15√32 。
答え： 面積 = 154 、 OA · OB = 15√32
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 30° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 15 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
岩手大学 数学 過去問｜他の年度を見る
岩手大学の数学の過去問は18年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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岩手大学 2008年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 数列
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 整数
- 方程式・不等式
- 空間図形
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2008年度の問題PDFでは、図形・三角関数、数列、微分・積分、関数・グラフ、整数に関する語句や設問を確認できました。岩手大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は18年度、微分・積分は17年度、方程式・不等式は16年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、数列、関数・グラフ、微分・積分
(2 Ce)のすべての点がァ軸より上になるような々の範囲を求めよ。
(3 Cla) 2) の条件を満たし, かつ直線4*ー3ヵ二12一0に接するように
の値を定めよ。
ーー M3 (225—17)
3 辺の長さがすべて自然数である直角三角形をビタゴラス三角形と呼ぶことに
する。ヵ を奇数の素数として, 斜辺でない 2 辺のうちの一方の長さが 2p である
ようなビタゴラス三角形を求めたい。斜辺の長さを。とし. 残りの辺の長さを5
とするとき, 以下の問いに答えよ。
(1) この三角形の 3 辺について, 三平方の定理から得られる等式をかけ。
(2 <と々ー 5は共に偶数になることを示せ。
(3) 。と5?をそれぞれヵを用いて表せ。
ig 一 M3 (225—18)
以下の問いに答えよ。
(1) 次の関係式を満たす関数げ(*) を求めよ。
fla 2at— f° 7の
2) ROBLES BBL (x), g(x) を求めよ。
f@axt f g(t)dt
2 - 上
29=2ダセーのgw
8) FG), gG)を (2) で求めた関数とする。 2 曲線ターア(*) dy gO
方に接する直線の方程式を求めよ。
— A= M3 (225—19)
問2画像OCR
検出分野: 数列、関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式
(2) a, 8がegぐ1ぐ8を満たすとき, 。のとりうる値の範囲を求めよ。
(3) 2が (2) で求めた範囲を動くとき, のとりうる値の範囲を求めよ。
デル 一 ぐM4(225一21)
図のように, HOO, 0。である 2つの円が2 点A. Bで交わっている。直
親を2 つの円の共通接線 接点をで, DEL, 直線ABと直線 の交点をM
とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) AM dD CD の中点であることを示せ。
(2 AMA が直角であるとき, 2 つの円の半径は等しいことを示せ。
c
= M
|
Gp |
= きゃ一 M4 (225—22)
次の 2 題世軌のうちから 1 題を選択し 解答用紙の の中に選択した問
題記号(アまたはイ) を記入し, 解答せよ。
ある等差数列の第 ヵ WE a, とするとき,
go十g呈十gjs十gjs十ga三365, gjs十g7十geデー6
が成立している。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) この等差数列の初項と公差を求めよ。
(2 この等差数列の初項から第 ヵ 項までの和を S。 とするとき, S, の最大値を
求めよ。
座標空間内に, 3点A(1, 2,3), B(7,-1,9) および
P(47一6,7十1.7十5)がある。ただし, 7 は実数である。このとき, KOM
いに答えよ。
(1) PHIAB となるように, 直線AB 上に点H EES, MH の座標を7で表
せ。
(2) へPAB の面積が最小となるような?の値を求めよ。
es ae やM4(225一23)
次の 2 題因. 田のうちから 1 BRL, 解答用紙のし] の中に選択した問
題記号(カまたはキ) を記入し, 解答せよ。ただし, 還| は数学皿の範囲の知識を
要する問題である。
曲線ヶーア(?)は2 点(0, 0), (3, 0)を通っている。曲線ゞーア()上の各
点(7) における接線の傾きが3如ー 12x寺4で表されるとき, 次の問いに
答えよ。ただし, <は定数とする。
(1) 定数の値と関数/(ヶ) を求めよ。
Q) 5を実数とするとき, 方程式7な)ー5の相異なる実数解の個数を求め
(3) *軸と曲線ニア(*)で囲まれた図形の面積を求めよ。
BIBS (x) =e +40 OWT, 次の問いに答えよ。
(1) Hy =f) Exh, yah, および直線ヶー 21og 2 で囲まれた図形の面
積を求めよ。
(2) BABS (x) の最小値を求めよ。
ー4一 ぐM4(225一2
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、整数、関数・グラフ
ー 81 となるように, 定数, 2 の値を求めよ。
(2) (1)で求めた2. あとア(x) に対して, P(ヶ) = 0 の解を求めよ。
3) simtのcos12 = AL DL, sind + cos 2 の値を求めよ。
=一 OMB (225—26)
図のように. 直角二等辺三角形の綱目に分割されている平面において. 交点の
中から4点0, AB Cをとる。ただし, 点 0の座標を(0,0), 点Aの座標
を(1一 1) とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) BC とBA のなす角を 9 とするとき, cos 9 の値を求めよ。
(12) 点A から線分 BC に下ろした垂線の交点をHH とする。このとき, 点Hの座
標を求めよ。
8) AABH の重心Gの座標を求めよ。
WAVAWA
= 3 M5 (225—27)
図のように, 円アニエソ6ゼー5 と, その円に内接する六角形ABCDEE
を考える。ただし, A, Dはァ軸上にあるものとし. 円の中心をPとする。
APBニンCPDニンDPEニンFPA = (0<0<4)oe8, 次の問いに
答えよ。
(1) 円の中心Pの座標および半径を求めよ。
(2) 大角形ABCDEF の面積 (917) を, 9 を用いて表せ。
8) S(O) の増減表をつくり, S(9)が最大となる 9 の値を求めよ。また, $(0)0
最大値を求めよ。
y
PZ Ns
./ 9ピス9 \,
グ に6 /
B ae 4 Fc
|
Hg ee M5 (225—28)
[4] 義人 Ciアーデキと円 imキー1を考える。 REL, <は実数とす
る。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) Ciのxニア」における接痕の傾き m. EX を用いて表せ。また, LO
(ズ。 YYヵ) における接線の傾き m. eX. と Y。 を用いて表せ。ただし, Yr ¥0
とする。
Q とC』が図のように, 2点P。 Psで接している。ただし, CECA
(X、Y) で接するとは, BUX, や)における C、 と C。 の接線が一致することを
いう。このとき, PEP ORERBE, KK, a の値を求めよ。
(3) 2の条件のもとで, CEC CHENL, 図の角線部分の面積求めよ。
i
| G
Cs
ー4一 M5 (225—29)
3: = 6 1 0
行列4 = っ B= | に対して, 3メキアー4,
14 15 0 1
アームを満たす 2 次の正方行列 X, Y を考える。 このとき, KOM
いに答えよ。
(1) X, VeRO
(2) (xX+2Y)?, X+2y/ を求めよ。
(3) ヵを自然数とするとき, (メ十2)* を求めよ。
ass 5 M5 (225—30)
問4画像OCR
検出分野: 数列、関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式
(27 a, BMe<1<PEBEFER, <のとりうる値の範囲を求めよ。
8) <が 212 で求めた範囲を動くとぎ, のとりうる値の稚時を求めよ。
1 M6 (225—32)
図のように, PLO, 0。 である 2つの円が2点A, Bで交わっている。 直
線 を 2 つの円の共通接線, 接点をC, DEL, 直線 AB と直線 の交点をM
とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) AM は線分 CD の中点であることを示せ。
(2 CMA が直角であるとき, 2つの円の半径は等しいことを示せ。
M
ae M6 (225一33)
KOE, 還のうちから 1頭を選択し. 解答用紙の の中に選択した間
題記号(アまたはイ) を記入し, 解答せよ。
ある等差数列の第 ヵ 項を z,。 とするとき,
ay + au t+ a + ais + ayy = 365, ais + a7 + ay =— 6
が成立している。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) この等差数列の初項と公差を求めよ。
(2) この等差数列の初項から第ヵ 項までの和を S, とするとき, S, の最大値を
求めよ。
座標宰間内に, 3点A(1, 2,3), B(7,-1,9) および
P(4t—6,¢t+1,t+5) MHS. KEL, は実数である。 このとき, KOM
いに答えよ。
(1) PHTAB となるように, 直線 AB上に点H をとる。点H の座標をで表
せ。 -
(2) へPAB の面積が最小となるような#の値を求めよ。
= Bas M6 (225-34)
曲線ッーア(で)は 2 点(0, 0), (3, 0)を通っている。曲線ッーア(*)上の各喜
(e,y) BT SBMOMN 322 — 12ァので表されるとき, 次の問いに答え
よ。 REL, は定数とする。
(1) 定数の値と関数/(<) を求めよ。
2) ? を実数とするとき, HL (x) = b の相暴なる実数解の個数を求めよ。
8) xe thes y = f(a) で囲まれた図形の面積を求めよ。
ーー a me やM6(225一5)
ある微生物は一定時間ごとに 1 回分像して. 個数が2 BCMA TAS, TOPE
生物 1 個を観察ケースに入れた。 この微生物が観守途中で移ぬぬことなく増えてい
SER, 火の問いに答えよ。ただし。 logw2 = 0.3010 とする。
() この微生物が 12 回分裂したときの, 説宗ケース内の徴生物の個数を求め
&
(の BET —ANOWEMAMDT 100 万個以上になるのは。 何回分裂したとき
か
(3) 衝家開始から 6 回の分像をるたびに。 遂時に竹生物の個数を数えた後で
伸察ケース内の微生物の半数を取り除くぐものとする。このとき, 観察ケース内
の竹生物が初めて 100 万個以上になるのは。 何回分裂した直後か
ー5ー ぐのM6(225一36)
