関西大学 2008年度 過去問・解答

関西大学2008年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔I〕対称式の因数分解と、実数解の存在条件

(1) x³ + y³ + 1 − 3xy を因数分解する

これは有名な公式 a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) の c = 1 の場合です。

x³ + y³ + 1³ − 3·x·y·1 = (x + y + 1)(x² + y² + 1 − xy − y − x)

この公式は覚えていなくても、x³ + y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y) を使って (x+y) について整理すれば導けます。ただし頻出なので、形ごと覚えておくほうが速いです。

(2) x + y = k（k ≠ −1）のもとで x³ + y³ + 1 − 3xy = 0 となる k と、そのときの x, y

(1) より x³ + y³ + 1 − 3xy = (x + y + 1)(x² + y² + 1 − xy − x − y)。

k ≠ −1 すなわち x + y + 1 ≠ 0 なので、この式が 0 になる条件は

x² + y² + 1 − xy − x − y = 0

(x + y)² = x² + 2xy + y² = k² より x² + y² = k² − 2xy。代入して

k² − 2xy + 1 − xy − k = 0　⇔　3xy = k² − k + 1　⇔　xy = (k² − k + 1)/3

ここが要点です。x, y は和が k、積が (k²−k+1)/3 なので、2次方程式 t² − kt + (k²−k+1)/3 = 0 の2解です。x, y が実数であるためには、この方程式の判別式が 0 以上でなければなりません。

D = k² − 4·(k² − k + 1)/3 = (3k² − 4k² + 4k − 4)/3 = −(k² − 4k + 4)/3 = −(k − 2)²/3

D ≧ 0 かつ −(k−2)²/3 ≦ 0 なので、両立するのは D = 0 のときだけです。

(k − 2)² = 0 ⇔ k = 2

このとき x + y = 2、xy = (4 − 2 + 1)/3 = 1。t² − 2t + 1 = (t − 1)² = 0 より

「和と積が与えられた2数が実数で存在する ⇔ t² − (和)t + (積) = 0 の判別式 ≧ 0」は必須の道具です。この問題では判別式がつねに0以下という特殊な形になり、等号成立の1点だけが答えになりました。

この年の学習ポイント

〔I〕は「実数として存在するか」を判別式で管理する典型問題です。x と y を直接求めようとせず、和と積という2つの量に情報を集約してから、存在条件を課すという流れを身につけてください。この発想は、条件つき最大最小や領域の問題にもそのまま応用できます。

検算も簡単です。x = y = 1 のとき x³ + y³ + 1 − 3xy = 1 + 1 + 1 − 3 = 0、x + y = 2 = k。確かに条件を満たしています。

〔II〕〔III〕については、当塾で公開している解答PDFが解答の数値のみを掲載しており、問題文と途中の考え方を確認できる資料が手元にありません。裏づけのないまま推測で解説を作ることはしていません。資料が確認でき次第、追加いたします。