藤原進之介です。このページでは明治大学2025年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
MEIJI UNIVERSITY 2025 MATHEMATICS
明治大学2025 数学過去問を
学部・入試方式から選ぶ
全9種類の問題PDFを無料で確認できます。志望する学部・方式の行から問題を開き、解き終わったら数強塾オリジナルの解答・解説で復習してください。
全学部統一（数Ⅰ・Ⅱ・A・B・C）、情報コミュニケーション、経営、政治経済、商
全学部統一（数Ⅲを含む）、理工、総合数理
数学・化学・生物からの科目選択条件も問題表紙で確認
問題・解答PDF早見表
| 学部・方式 | 時間・配点 | 問題 | 解答・解説 |
|---|---|---|---|
| 全学部統一 数Ⅰ・Ⅱ・A・B・C | 60分・100点 | このページに全問解説あり 対数不等式PDF／漸化式PDF | |
| 全学部統一 数Ⅲを含む問題 | 60分・100点 | 詳細解説を順次追加 | |
| 理工学部 | 90分・120点 | 解答PDF このページに全問解説あり | |
| 情報コミュニケーション学部 | 60分・100点 | 解答PDF | |
| 経営学部 | 60分・100点 | 解答PDF | |
| 政治経済学部 | 60分・100点 | 解答PDF | |
| 農学部 | 2科目120分 1科目150点 | 解答PDF | |
| 商学部 | 60分・100点 | 解答PDF このページに全問解説あり | |
| 総合数理学部 | 120分・200点 | 解答PDF |
※解答・解説は数強塾による独自作成で、明治大学の公式解答ではありません。試験時間・配点・選択条件は2025年度問題冊子に基づきます。出願時は必ず最新年度の入試要項をご確認ください。
過去問で点数を伸ばす4ステップ
- 本番と同じ時間を計り、途中で解答を見ずに解く
- 丸付け後に「知識不足・方針ミス・計算ミス・時間不足」の4種類で失点原因を分ける
- 解説を読んだ直後、答案を閉じて自力でもう一度解く
- 3日後に同じ問題を解き、解法を再現できるか確認する
よくある質問
明治大学の数学過去問PDFは無料ですか？
はい。このページの問題PDFと数強塾オリジナルの解答・解説は、登録なしで無料閲覧できます。
文系数学と理系数学は、どれを選べばよいですか？
文系学部志望は全学部統一（数Ⅰ・Ⅱ・A・B・C）と志望学部の問題、理系学部志望は数Ⅲを含む全学部統一、理工、総合数理を優先してください。農学部は学科ごとの科目選択条件も確認しましょう。
解答は明治大学の一般的な解答例ですか？
いいえ。数強塾の数学講師が独自に作成・検算した解答と解説です。学習用として、考え方・定石・計算過程の確認にご利用ください。
他年度の明治大学数学も解けますか？
明治大学の年度別過去問一覧と、1問ずつ探せる全問解説ページから1995〜2025年度の問題を確認できます。
このページで読める全問解説
2025年度は、全学部統一（数Ⅰ・Ⅱ・A・B・C）・理工学部・商学部を、問題ごとに詳しく解説しています。
おすすめ演習順：まず志望方式の2025年度を本番時間で解く → 同じ方式を2024・2023年度まで遡る → 間違えた単元を1週間後に解き直す、の順が効果的です。
📘 1問ずつ解いて復習したい方へ：明治大学 数学 過去問の全問解説（1問ずつ対応・1995〜2025年度） では、問題と解答・解説が1対1で並んでいるので、解いた直後にその問題の解説へ直接ジャンプできます。
📊 2025年度 明治大学 数学 講評マップ（難易度・目標時間・使う型）
この年度の全19問を解説した数強塾のプロ講師陣が、各問題を難易度・目標時間・使う型の3つで整理しました。難易度と目標時間は数強塾の独自の見立てで、目標時間は過去問演習をするときの1問あたりの目安です（実際の試験の時間配分を示すものではありません）。「使う型」の列は解法パターン事典の該当単元につながっています。解けなかった問題は、下の解説で解き方を確認したあと、型のページで同じ型の問題を練習すると定着が速くなります。
全学部統一入学試験（6問）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(1) 対数不等式と格子点 | 標準 | 約8分 | 指数・対数 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(2) 隣接3項間の積型漸化式 | 標準 | 約8分 | 漸化式の全型 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(3) 曲線外の点から引く接線 | 標準 | 約8分 | 接線と法線 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(4) tan置換で見抜く最小値 | やや難 | 約10分 | 最大・最小の全型 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕 文字定数つき放物線と面積 | 標準 | 約15分 | 積分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅲ〕 円と直交条件の図形総合 | やや難 | 約18分 | 図形と方程式 |
💡 どこで差がつくか：〔Ⅰ〕の小問4題（目標の合計 約34分）をどれだけ速く正確に通過できるかが勝負です。特に(4)のtan置換は、型を知っているかどうかがそのまま得点差になる問題でした。〔Ⅱ〕は小問の誘導に沿って面積まで到達したい大問です。〔Ⅲ〕の図形総合は本セット最重量級なので、前半の設問を確実に拾い、深追いしない判断も戦略のうちです。6問の目標時間の合計は約67分（数強塾の見立て）。
理工学部（6問）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(1) 1の5乗根 | 標準 | 約8分 | 複素数平面 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(2)(3) 定積分2題 | 基礎〜標準 | 約10分 | 積分法（数III・計算） |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(4) 整式の割り算と2方程式の共通実数解 | やや難 | 約12分 | 複素数と方程式 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕(5) さいころと2次方程式の確率 | 標準 | 約10分 | 確率 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕 角の二等分線と内接円（記述式） | やや難 | 約15分 | 図形の性質 |
| 解説へ | 〔Ⅲ〕 曲線と直線の最短距離・微分総合（記述式） | やや難 | 約18分 | 微分法（数III） |
💡 どこで差がつくか：全体に計算量の多いセットです。1の5乗根・定積分・確率の典型3題で得点を固め、(4)の共通実数解の処理で差がつきます。記述式の〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕は、答えまで届かなくても方針と途中経過が採点対象になるので、白紙にしないことが大切です。6問の目標時間の合計は約73分（数強塾の見立て）。
商学部（7問）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 〔Ⅰ〕1. 二重根号 | 基礎 | 約4分 | 数と式 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕2. 三角方程式 | 基礎 | 約6分 | 三角関数 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕3. 3つの袋と条件付き確率 | 標準 | 約8分 | 条件付き確率 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕1. 放物線の2接線と三角形の面積 | 標準 | 約10分 | 接線と法線 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕2. 3次方程式の重解と虚数解 | 標準 | 約8分 | 複素数と方程式 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕3. 3次曲線が円に収まる条件と領域の面積 | やや難 | 約12分 | 積分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅲ〕 最短マッチングとフィボナッチ数列（記述式） | やや難 | 約15分 | 漸化式の全型 |
💡 どこで差がつくか：〔Ⅰ〕は基礎〜標準の小問集合で、ここでの失点は取り返しがききません。〔Ⅱ〕の3題は標準〜やや難で、3.の領域の面積まで手が回るかどうかが分かれ目です。〔Ⅲ〕のフィボナッチ数列は、設問の誘導に乗れれば見た目ほど手強くありません。7問の目標時間の合計は約63分（数強塾の見立て）。
「型が出てこなかった問題」が2問以上あった人へ。それは演習量の不足ではなく、単元の型の抜けが原因であることがほとんどです。数強塾は数学専門・プロ講師のみ・完全1対1のオンライン個別指導。実際にあなたが解いた過去問の答案を見ながら、どの型が抜けているかを特定し、明治大学の出題に合わせて埋めていきます。
体験授業を予約する（初回3,000円・税込）まず無料で相談する明治大学数学2025｜3方式の違いと時間配分
同じ明治大学でも、全学部統一・理工学部・商学部では、試験時間と答案の作り方が異なります。次の時間配分は、過去問を初めて本番形式で解くときの数強塾による目安です。実際の得意不得意に合わせ、2回目以降に調整してください。
| 方式 | 試験の特徴 | 時間配分の目安 | 復習の重点 |
|---|---|---|---|
| 全学部統一 60分・100点 | マーク式・大問3題。定石への接続速度と計算精度が重要 | Ⅰ 15分／Ⅱ 20分／Ⅲ 20分／見直し5分 | 1マス目のミスが後続へ波及していないかを確認 |
| 理工学部 90分・120点 | 小問と記述問題の併用。式だけでなく根拠を残す力が必要 | Ⅰ 25分／Ⅱ 25分／Ⅲ 35分／見直し5分 | 方針を決めた理由と、採点者に伝わる途中式を再現 |
| 商学部 60分・100点 | 小問・計算・記述を短時間で切り替える構成 | Ⅰ 15分／Ⅱ 25分／Ⅲ 15分／見直し5分 | 条件付き確率、接線、数列を「型」から説明できるか確認 |
※時間配分は大学公式情報ではなく、数強塾が過去問演習用に提案する一例です。まず1回記録を取り、得点効率に合わせて自分用に修正してください。
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明治大学の1問別解説で類題を探し、入試数学の定石と解法テクニック事典で解法の型を復習します。
大学入試数学の過去問データベースから併願校を選び、同じ単元が別形式で出たときにも解けるか確認します。
失点原因が分からない場合は、数学つまずき診断（無料）で、知識・方針・計算・時間のどこに課題があるか整理します。
明治大学 2025年度 全学部統一入試 数学（数Ⅰ・Ⅱ・A・B・C）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：60分・100点・マーク式で大問3題。〔Ⅰ〕は対数・数列・微分（接線）・式の最小値の小問集合、〔Ⅱ〕は文字定数入りの放物線と面積、〔Ⅲ〕は円と直交条件を軸にした図形の総合問題（三角比・ベクトル・内接円まで連動）。誘導が丁寧なぶん、1マスの計算ミスが後続に波及する構成で、文字 や を含んだまま正確に処理する力が問われます。60分に対して分量が多く、「知っている解法に即座に接続する速度」が合否を分けます。
※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。他学部（理工・農・商・政経・経営・情コミ・総合数理・全学統一数Ⅲ）の解説も順次追加します。
※問題文は明治大学が公表した2025年度入学試験問題（数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成であり、大学発表の公式解答ではありません。
〔Ⅰ〕(1) 対数不等式と格子点 答：9個
【問題】
〔Ⅰ〕次の空欄中セ、ソ、タに当てはまるものを選択肢の中から選びその記号をマークせよ。それ以外の空欄に当てはまる 0 から 9 までの数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
(1) は正の整数の組で、次の 2 つの不等式 (i)、(ii) を満たすものとする。このような組 は全部で ア 個ある。
(i)
(ii)
【解答】
ア＝ （条件を満たす正の整数の組 は全部で 9 個）
内訳：
条件は かつ 。真数条件下で に翻訳できます。 のとき の7個、 のとき の2個、 は不適。合計 9個。【定石】対数の不等式は「底＞1なら向きそのまま」で真数の不等式へ翻訳し、整数条件は小さい方の文字で場合分け。
〔Ⅰ〕(2) 隣接3項間の積型漸化式 答：，
【問題】
(2) 正の実数からなる数列 が
を満たすとする。 であることに注意して
とおく。このとき
（□は イ）
となるので
（□は左から ウ、エ）
である。
【解答】
イ＝、ウ＝、エ＝
すなわち 、
の両辺を で割ると 、つまり 。 なので 。【定石】積の形の漸化式は「比 」を取ると等比に落ちる。 で検算一致。
〔Ⅰ〕(3) 曲線外の点から引く接線 答：，接線
【問題】
(3) についての関数 を
により定める。座標平面上で、曲線 の接線で点 を通るようなものの方程式を求めたい。接点を とするとき、 における の接線の方程式を を用いて表すと
（□は左から オ、カ、キ、ク、ケ、コ）
であり、この方程式が点 を通ることから サ であって、接線の方程式は
（□は左から シ、ス）
である。
【解答】
オ＝、カ＝、キ＝、ク＝、ケ＝、コ＝、サ＝、シ＝、ス＝
すなわち接線の方程式は （接点は ）
。接点 での接線は これが を通る条件を整理すると ，因数分解して 。実数解は のみで、接線は 。【定石】「外部の点から接線」は接点 を置いて通過条件の の方程式へ。 の判別式が負であることまで確認すると接線が1本だけである根拠になります。
〔Ⅰ〕(4) tan置換で見抜く最小値 答：， のとき最小値
【問題】
(4) を定数とし、、、 であるものとする。
により を定めるとき、 の値が最も小さくなるのは セ、 ソ のときであり、その時の の値は タ である。
セ、ソ、タの解答群
⓪ ① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
【解答】
セ＝②、ソ＝⑨、タ＝⑧
すなわち のとき最小値
は と置くと に化けます（ のため）。範囲は なので の最大は 。よって最小値は （）。【定石】 を見たら tan 置換。この形は加法定理 の「逆再生」で、明治が好む出題です。直接代入 でも検算一致。
〔Ⅱ〕 文字定数つき放物線と面積 答：頂点 ／平行移動 ／ の頂点 ／共有点 ，／面積 ，，
【問題】
〔Ⅱ〕次の空欄中ア、イ、ウ、クに当てはまるものを選択肢の中から選びその記号をマークせよ。それ以外の空欄に当てはまる 0 から 9 までの数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。ただし、カキ、コサ は 2 桁の数、シスセ は 3 桁の数である。
を正の定数として
とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1) 放物線 の頂点の座標は ア イ である。 のグラフを 軸方向に ウ だけ平行移動すると、 のグラフに重なる。
(2) 放物線 の頂点の座標は エ オ カキ である。
(3) と のグラフの共有点はただ 1 つであり、その 座標は ク である。 と のグラフの共有点はただ 1 つであり、その座標は ケ コサ である。
ア、イ、ウ、クの解答群
⓪ ① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
(4) と のグラフと 軸に囲まれた図形を とおく。 の面積は （□は順に シスセ、ソ）である。 と と のグラフに囲まれた図形を とおく。 の面積は （□は順に タ、チ）である。 の面積と の面積が等しいときの定数 の値は ツ である。
【解答】
ア＝⑧、イ＝⓪、ウ＝⑨
エ＝⓪、オ＝、カキ＝
ク＝①、ケ＝、コサ＝
シスセ＝、ソ＝、タ＝、チ＝、ツ＝
すなわち の面積 、 の面積 、両者が等しいのは
（）。(1) の頂点は 。 なので 軸方向に 平行移動。(2) の頂点は 。(3) を整理すると で重解 （接する）。 は より 、共有点 。
(4) は ・・ 軸で囲まれた部分。左右対称なので は ・・ で囲まれた部分で、， という完全平方の差に注目すると より ， だから 。【定石】差が になったら「接している」証拠で、面積は 公式感覚で即積分。 を代入すると で一致（検算済み）。
〔Ⅲ〕 円と直交条件の図形総合 答：下記のとおり
【問題】
〔Ⅲ〕次の空欄中ア、ウ〜クに当てはまるものを選択肢の中から選びその記号をマークせよ。空欄イには最も適切なものを選択肢の中から選びその記号をマークせよ。それ以外の空欄には当てはまる 0 から 9 までの数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
を 2 以上の自然数とする。原点が である座標平面を考え、 を原点中心で半径 の円とする。この平面上の点 と の座標をそれぞれ と とおく。点 は次の条件をすべて満たすような点であるとする。
(i) 点 は円 上にある。
(ii)
(iii) 点 と の座標は異なる。
以下の問いに答えよ。
(1) 線分 の長さは （□は ア）である。
(2) 点 の座標を とおいて、条件 (i)、(ii) を の式で表すことにより、イ を得る。さらに、条件 (iii) を考慮することにより、点 の座標は （□は左から ウ、ア、エ、ア）であることがわかる。
(3) 3 つの点 を通る円を とすると、 は点 も通る。このことに注意すると、（□は順に オ、ア）である。
(4) 三角形 について ア カ キ である。
(5) 三角形 の内接円の半径を とすると、 ア ク である。
(6) とする。点 を三角形 の内接円の中心であるとしたとき
（□は左から ケ、コ）
であり、 であることから、点 の座標は （□は左から サ、シ）である。
ア、ウ〜クの解答群
⓪ ① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
イの解答群
⓪ ① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
【解答】
ア＝⑧、イ＝⑥、ウ＝③、エ＝⑨
オ＝⑨、カ＝③、キ＝⑨、ク＝⑦
ケ＝、コ＝、サ＝、シ＝
すなわち 、、、 のとき
，，単位円上の点 が を満たす設定（）。(1) (2) について円の式 を内積条件 に代入すると これと円を連立し、（点A）を除外して
(3) より は3点 O, P, A を通る円 の直径。 だから も 上にあり、直角三角形 で (4) 3辺を 倍で整数比にすると ——これはピタゴラス数の生成公式そのものです。(5) 直角三角形の内接円半径 を比で計算して
(6) では 3辺比が 。内心の位置ベクトルは「対辺の長さで頂点を重み付け」した なので、、すなわち を成分計算して 【定石】「直交2条件＋円」は円周角（直径を見込む角 ）に翻訳するのが最短。 のとき ・3-4-5 の直角三角形になり、 から3辺への距離がすべて になることを座標で確認済みです。
この年度から得るべき教訓：明治の全学部統一は「誘導に乗る力」の試験です。tan置換（Ⅰ(4)）、比を取って等比化（Ⅰ(2)）、完全平方の差＝接する（Ⅱ）、直径を見込む円周角（Ⅲ）——どれも定石一発で数行になる設計で、思いつかず手が止まった単元がそのまま弱点リストになります。60分で完走するには、演習段階から「1問○分」の時間管理を徹底しましょう。
▶ 他年度：明治大学 2024年度｜2023年度｜2022年度
明治大学 2025年度 理工学部 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：90分・120点。〔Ⅰ〕はマーク式の小問集合（複素数の 乗根・定積分2題・整式の割り算と共通解・さいころ×2次方程式の確率）、〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕は結果のみ記入の記述型で、〔Ⅱ〕は角の二等分線と内接円の図形量、〔Ⅲ〕は を題材にした数Ⅲの微分総合（極値・変曲点・距離・原点からの接線）。数Ⅲの計算体力と、共通解・確率の丁寧な場合分けが得点差になります。
※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDF（理工学部）をご参照ください。
〔Ⅰ〕(1) 1の5乗根と 答：，，，
【問題】
〔Ⅰ〕次の ア から フ にあてはまる 0 から 9 までの数字を、解答用紙の所定の欄にマークせよ。タチ、ツテ、トナ、ヌネ は 2 桁の数、ハヒフ は 3 桁の数である。なお、分数は既約分数にすること。
(1) とおく。ただし、 は虚数単位である。
(a) ア
(b) イ
(c) （□は上から ウ、エ）
(d) （□は上から オ、カ）
【解答】
ア＝、イ＝、ウ＝、エ＝、オ＝、カ＝
すなわち 、、、
ド・モアブルより 。 で だから 。この式を で割ると より ，したがって 。【定石】 の値は「1の5乗根＋相反方程式」で導くのが王道。 で検算一致。
〔Ⅰ〕(2)(3) 定積分2題 答：，
【問題】
(2) （□は上から キ、ク）
(3) （□は上から ケ、コ）
ただし、 は の自然対数を表し、 は自然対数の底とする。
【解答】
キ＝、ク＝、ケ＝、コ＝
すなわち 、
(2) と直してから部分積分： (3) と置換すると ：（）。【定石】 は必ず倍角に。分母の2乗は「分子＝分母の微分」を疑う。
〔Ⅰ〕(4) 整式の割り算と2方程式の共通実数解 答：，共通解 ／ は4個・最大は
【問題】
(4) を実数の定数とし、
とおく。
(a) を で割ったときの余りが となるのは サ のときである。このとき、 についての 2 つの方程式
は共通の実数解 シ をもつ。
(b) についての 2 つの方程式
が共通の実数解をもつような の個数は ス 個であり、そのような のうち最大のものは セ である。
【解答】
サ＝、シ＝、ス＝、セ＝
すなわち のとき共通の実数解は 。共通解をもつ は の 4 個で、最大は
。(a) 割り算を実行すると余りは 。これが に一致する条件は 。このとき と の共通解は、後者 より ，これが を満たすので共通解 。
(b) 共通解 では または 。「 かつ 」の場合： を代入して ，，。「 かつ 」の場合： を代入して ，， いずれも 。よって の 4個、最大は 。【定石】「積＝0 かつ 和＝1」型の共通解は、 と の2ケースに分けて を消去。 は で となることを代入確認済み。
〔Ⅰ〕(5) さいころと2次方程式の確率 答：，，，
【問題】
(5) 1 個のさいころを 3 回投げる。1 回目、2 回目、3 回目に出る目をそれぞれ とし、 とおく。
(a) 関数 の最小値が となる確率は （□は上から ソ、タチ）である。
(b) 2 次方程式 が異なる 2 つの実数解をもつ確率は （□は上から ツテ、トナ）である。
(c) 2 次方程式 が異なる 2 つの整数解をもつ確率は （□は上から ニ、ヌネ）である。
(d) が 2 次方程式 の重解となる確率は （□は上から ノ、ハヒフ）である。
【解答】
ソ＝、タチ＝、ツテ＝、トナ＝、ニ＝、ヌネ＝、ノ＝、ハヒフ＝
すなわち (a) 、(b) 、(c) 、(d)
。(a) 最小値 ： の2通りで 。(b) を数えると で2， で3， で6， で6 の計17通り：。(c) 異なる2整数解は解と係数の関係から正の整数ペアで の5通り：。(d) 重解条件 の重解は 。 の2通りで 。【定石】さいころ×2次方程式は「判別式・頂点・解と係数」を目盛りごとに数える丁寧さ勝負。(c)は和≦6かつ積≦6の絞り込みで一瞬です。
〔Ⅱ〕 角の二等分線と内接円（記述） 答：，，，，
【問題】
〔Ⅱ〕次の あ と い にあてはまる数と、う から か にあてはまる式を求め、最終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
において とする。辺 上の点 を中心とする円 が、辺 と辺 のそれぞれと、頂点 とは異なる点で接しているとする。円 と辺 の接点を とし、 とおく。
(1) あ い である。
(2) を の式で表すと う である。
(3) を の式で表すと え である。
(4) のとりうる値の範囲は お である。
(5) のとりうる値の範囲は か である。
【解答】
あ＝、い＝
う：
え：
お：
か：
円 が辺 AB・AC の両方に接する 中心 O は の二等分線上。O は辺 BC 上でもあるから、O は角の二等分線と BC の交点で 。よって (2) （）として余弦定理：，。
(3) 角の二等分線の長さの公式 と から (4) 接点が辺 AC 上（頂点 C と異なる）に乗る条件 と三角形の成立から (5) とおくと 。（、範囲内）で最大値 、 で に近づくので 【定石】「BC上の中心が2辺に接する」＝内角の二等分線との交点、と一言で見抜けるか。範囲の端は「接点が頂点に一致する瞬間」を数式にすることがポイントです。
〔Ⅲ〕 の微分総合（記述） 答：極値 ／極小 ／／最小距離 ／接点
【問題】
〔Ⅲ〕次の き から さ にあてはまるもの（数や式など）を求め、最終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
とし、座標平面上の曲線 を とする。
(1) 関数 が極値をとるような の値をすべて求め、小さい順に並べると き である。そのうち、関数 が極小値をとるような の値をすべて求め、小さい順に並べると く である。
(2) 曲線 のただひとつの変曲点を とし、点 における曲線 の接線を とする。接線 の方程式を求めると け である。
曲線 のうち、不等式 が表す領域に含まれる部分を とする。
(3) 点 が曲線 上を動くとき、点 と (2) で定めた直線 の距離の最小値を求めると こ である。
(4) 原点を通る直線が曲線 と接するとき、その接点の 座標を求めると さ である。
【解答】
き：
く：（ は極大）
け：（変曲点は ）
こ：（ のとき）
さ：
(1) の分母を払うと 。極値をとる は小さい順に の符号から、 は極大（）、極小は 。
(2) 。， より変曲点 での接線は (3) では （曲線は の上側）。この差を とすると より で最小値 。距離に直して
(4) 接点 の接線が原点を通る条件は 。整理して より接点の 座標は 。【定石】曲線と直線の最短距離は「傾きが等しい接点」＝差関数の最小化。原点を通る接線は 切片 の1行に落とすのが最速です。すべて分母を払うと3次方程式に落ち、有理数解 を試すのがこの大問の隠しテーマ。
理工学部のポイント：〔Ⅲ〕のように1つの関数を多角的に掘る数Ⅲ総合が理工の看板です。極値・凹凸・接線・距離の道具を「分母を払って3次方程式→有理数解を試す」処理に乗せる練習を。〔Ⅰ〕(4)(5)の場合分けは、書き出して数える愚直さが最短ルートです。
▶ 同年度：上の「全学部統一入試 数学」の解説もご覧ください｜他年度：明治大学 2024年度｜2023年度
明治大学 2025年度 商学部 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：60分・100点。〔Ⅰ〕は選択肢マーク式の小問（二重根号・三角方程式・条件付き確率）、〔Ⅱ〕は数字マーク式（放物線の2接線・3次方程式・曲線と円の領域）、〔Ⅲ〕は記述式の論証問題（最短マッチングとフィボナッチ数列）。〔Ⅲ〕は「商学部でここまで出すか」という思考力型で、differentiator（合否を分ける問題）はここです。〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕を素早く確実に固めて〔Ⅲ〕に時間を残す試験運びが必須です。
※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDF（商学部）をご参照ください。
〔Ⅰ〕1. 二重根号 答：
【問題】
〔Ⅰ〕次の各問の に入る数値を下の表から選んでアルファベットをマークせよ。同じアルファベットを選んでもかまわない。
1. を満たす自然数は、 (1)、 (2) である。
〔Ⅰ〕の選択肢
A. B. C. D. E. F. G. H. I.
J. K. L. M. N. O. P.
Q. R. S. T. U.
V. W. X. Y. Z.
【解答】
(1)＝E 、(2)＝F
すなわち
，。分母を有理化すると よって 。【定石】二重根号は「和が外・積が中」の2数分解。 の整理を落ち着いて。
〔Ⅰ〕2. 三角方程式 答：，
【問題】
2. のとき、 を満たすならば、
（□は左から (3)、(4)。選択肢は 1. と共通）
である。
【解答】
(3)＝P 、(4)＝U
すなわち 、（このとき で ）
を2乗して 。 で、 かつ積が負なら だから 。連立して
〔Ⅰ〕3. 3つの袋と条件付き確率 答：，
【問題】
3. の 3 つの袋に赤と白の玉が、いくつか入っている。（他の色の玉は、入っていない。） の玉の個数の比は、 である。 の白の玉の割合は、それぞれ である。 の玉を、すべて 1 つの袋に集めて、よく混ぜてから、1 つの玉を取り出したとき、赤であった。このとき、取り出した赤い玉が、もともと の袋に入っていたものである確率は (5) であり、また、取り出した赤い玉が、もともと の袋に入っていたものである確率は (6) である。
（選択肢は 1. と共通）
【解答】
(5)＝Z 、(6)＝X
個数比 を活かして、玉の総数を 個、すなわち が 個、 が 個、 が 個とおきます。赤の割合は白の余りなので、 は 、 は 、 は です。したがって赤玉の個数は が 、 が 、 が で、赤玉の総数は 個。
求める確率は「赤玉のうち何個がその袋由来か」の割合なので 【定石】条件付き確率は割合のまま足し算せず、いったん個数に直してから比を取るのが安全です。比 を と文字で置けば、 は最後に約分で消えます。
〔Ⅱ〕1. 放物線の2接線と三角形の面積 答：，
【問題】
〔Ⅱ〕次のア〜トに当てはまる 0〜9 の数字を解答欄にマークせよ。
1. 座標平面上で、 のグラフを とし、直線 を とする。 と の交点を とするとき、 の における接線を 、 における接線を とする。 の交点を とすれば、 の座標は、
（□は左から ア、イ、ウ）
である。このとき、三角形 の面積は、
（□は左から エ、オ、カ）
となる。
【解答】
ア＝、イ＝、ウ＝、エ＝、オ＝、カ＝
すなわち 、
交点の 座標は 、すなわち の 2 解 です。解と係数の関係から 。 の における接線は 、 では なので、連立して 、 より 。このとき 。よって 。
【定石】 の 2 接線の交点は、 座標が 2 接点の中点、 座標が 2 接点の 座標の積になります。判別式を解いて を求める必要はなく、解と係数の関係だけで終わります。
面積は「底辺 ×高さ（ と の距離）」で出します。 より と の距離は よって がきれいに約分される形なので、途中で根号を展開しないのがコツです。
〔Ⅱ〕2. 3次方程式の重解と虚数解 答：／
【問題】
2. の解を考える。
(1) が 2 重解になるとき、 キク、 ケコ で、もう一つの解は、 サ となる。
(2) が解になるとき、 シス、 セソ で、実数解 タ を持つ。
【解答】
キク＝、ケコ＝、サ＝、シス＝、セソ＝、タ＝
すなわち (1) （解は ）、(2) （解は ）
この 3 次方程式には の項がありません。【定石】解と係数の関係より 3 解の和が です。これだけで、2 つの解が分かれば残りの解が即座に決まります。
(1) 解は で、和が だから 、。残りの関係式から 検算： に を代入すると 、微分 も で なので確かに 2 重解です。
(2) 係数が実数なので、 が解なら共役の も解です。和が だから第 3 の解は 。 を使って 検算： に を代入すると で一致します。
〔Ⅱ〕3. 3次曲線が円に収まる条件と領域の面積 答：，面積
【問題】
3. を正の数とし、座標平面上で、関数 のグラフを考える。 でこのグラフが、原点を中心とする半径 の円の内側（円周も含む）に入る の範囲は、（□は チ）である。
（□は チ）のとき、 を満たす の領域の面積は、（□は左から ツ、テ、ト）である。
【解答】
チ＝、ツ＝、テ＝、ト＝
すなわち 、面積は
条件は「 のすべての で 」、つまり です。左辺は だけの式なので、 とおくと 。さらに と置き換えると は等号成立。 では 、すなわち が必要十分です。
【定石】 は相加相乗平均から で最小値 。 なら動く範囲 に が含まれるので条件は 。 なら で となり常に成立します。あわせて 。等号は 、すなわち のときで、点 と で曲線が円に接します。
のとき曲線は 。 では なので 、したがって 。求める領域は「 より上、かつ半径 の円の内側、かつ 」なので 第 1 項は半径 の円の で 。第 2 項は 。よって 。
〔Ⅲ〕最短マッチングとフィボナッチ数列（記述） 答：1. A／2. ，，
【問題】
を自然数とし、座標平面上で異なる 個の点 をとる。この 個の点の中から 2 点ずつを結んでいき、次の条件を満たす 個の線分をつくる。
（条件） 個の線分の端点は、全て異なる。
ここでは、 個の線分を選ぶといったら、常にこの条件を満たすものとする。 個の線分を選んだとき、その 個の線分の長さの和を、 とする。また、 が最小となる 個の線分の選び方の総数を、 と置く。このとき、次の問に答えよ。
1. 次の命題の内、正しい命題をひとつ選び、そのアルファベットを、解答欄に記入せよ。
A. が最小となる 個の線分を選んだとき、どの 2 つの線分も共有点を持たない。
B. が最小となる 個の線分の選び方の必要十分条件は、 個の線分のどの 2 つの線分も共有点を持たないことである。
C. ある 2 つの線分が、共有点を持つが、 が最小となる 個の線分の選び方がある。
D. ならば、 は、直線上にある。
E. が、直線上にある為の必要十分条件は、 である。
2. の場合に、次の問に答えよ。
(1) を求めよ。（答えのみを、解答欄に記入せよ。）
(2) 一般の の場合に、 の最小値を求めよ。（答えのみを、解答欄に記入せよ。）
(3) について、 を漸化式で表せ。（解答経過の要点も、解答欄に記入せよ。）
【解答】
1. A
2.(1)
2.(2) の最小値は
2.(3) （ のフィボナッチ数列）
1. の考え方。2 つの線分 と が点 で交わっていたとします。三角不等式より なので、辺を と に組み替えると となり、必ず総和が短くなります。つまり交わりを持つ選び方は最小になり得ないので、A が正しい。
他の選択肢が誤りである理由も押さえておきます。B は「必要十分条件」としている点が誤りで、交わらないことは必要条件にすぎません（交わらない選び方が複数あって、長さの和が違う配置はいくらでもあります）。C は A に真っ向から反します。D と E は反例があります。たとえば の長方形の 4 頂点 では、最小は短い辺 2 本を選ぶ 1 通りだけなので ですが、4 点は一直線上にありません。【定石】「最小のとき交差しない」は交差→組み替え→三角不等式の一手で示せます。答案でもこの 3 行で十分です。
2. の設定。点は と の 2 列、各列に が並んだ の格子です。異なる 2 点の距離は最小でも なので、 本の線分の長さの和は 。実際に と を横に結べば 本すべてが長さ となり が実現します。よって の最小値は 。
ここが要点で、 が成り立つのは 本すべてが長さ のときに限ります。長さ の線分は「同じ段の横 1 本」か「隣り合う段の縦 1 本」しかないので、 は のマス目をドミノで敷き詰める総数とぴったり一致します。
いちばん下の段 の 2 点に注目すると、敷き詰め方は次の 2 通りに分かれます。
(i) と を横に結ぶ → 残りは の格子で 通り。
(ii) – と – を縦に 2 本結ぶ → 残りは の格子で 通り。
この 2 つは排反で尽くしているので なので とフィボナッチ数列になります。
【定石】「最小値を与える構成が一意的な形に限られる」ことを先に示してしまえば、数え上げはドミノ敷き詰め＝隣接2項間の場合分けという定番に落ちます。商学部でここまで出るのは異例で、この〔Ⅲ〕が合否を分ける問題です。
明治大学 数学 過去問｜他の年度を見る
明治大学の数学の過去問は32年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
明治大学 2025年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 整数
- 方程式・不等式
- 空間図形
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2025年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、関数・グラフ、整数に関する語句や設問を確認できました。明治大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、整数は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
重点的に準備したい分野
- 図形・三角関数条件を図へ書き込み、相似・円・三角比・座標化のうち短く処理できる方針を選ぶ練習が有効です。
- 微分・積分増減・極値・接線・面積を別々に暗記せず、式の意味から途中式を説明できるようにします。計算時間も記録してください。
- 確率・場合の数重複や数え漏れを防ぐため、標本空間と場合分けの基準を先に書いてから計算します。
- 関数・グラフ定義域、増減、端点を順に確認し、式とグラフの対応を答案に残します。
問題文の文字起こし
問1PDF文字抽出
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、方程式・不等式、微分・積分、整数
ょ。それ以外の空欄に当てはまる 0から 9までの数字を解答用紙の所定の欄にマーク
せよ。
(
1) (
x,y)は正の整数の組で、次の 2つの不等式(i)、(ii)を満たすものとする。この
ような組 (
x l
,y)は全部で[ロロニ 個ある
(
i
) l
og口> 1
og3y
(
i
i) (
lo )+(
g3x log )<2
3y
‐ l
(このページは きに利用してもよい。)
(
2) らなる数列 {an}が
釘= 1
, a2 =9
,
9an+l2‐an仰 + 2=0 n=1
( ,2,
3,・・
・・
・・
)
とする。伽> 0であることに注意して
a
bn
れ+1
n=I
( ,2 ,亀
,3 .
...
.)
an
とおく。このとき
加=にこ] n
となるので
伽 = 二 n(n □
]
)
る
。
(このページは計算や下書きに利用してもよい。)
(
3) X についての関数f(
x)を
f
()=x
x 丑
3‐3+ 4x+3
により定める。座標平面上で、曲線 Y=f(
x)の接線で点 A
(l,3
)を通るようなもの
,f(t))とするとき、 T におけるy=f(
の方程式を求めたい。接点を T(t x)の接線の
方程式をtを用いて表すと
y=(仁三]だ—仁三]t +
[三コ
)x
+(—亡三コ校+ロコ戸+ロコ)
であり、この方程式が点 A を通ることからt=[口こ]であって、接線の方程式は
y=二 xー
にこ]
である。
(このページ きに利用してもよい。)
(
4) a
,b を定数とし、___—
とする。
3 =~a~
`3'
‐= 13
--—~ b~= ~
3 =‐
X=
133' a ~ bであるもの
ab+1
` 凶
により x を定めるとき、 xの値が最も小さくなるのは a
に三コ
い に 二 の と き で あ り 、 そ の 時 の xの値は[こ乞二]である。
セ
、 ソ
、 タの解答群
13 ̲3 1‐2
_3 13
27 38
_3
11〇 1 1
13 ‐6 13 ‐6 1‐3 1‐2
(このページは計算や下書きに利用してもよい。)
〔I〕 次の空欄中ア、イ、ウ、クに当てはまるものを選択肢の中から をマー
□
□
クせよ。それ以外の空欄に当てはまる 0から 9 までの数字を解答用紙の所定の欄に
l
マークせよ。ただい[三ロニ 、[ロロこ│は 2桁の数、[こ は 3桁の数である
aを正の定数として
J(
x)= (ax+4
)2
g(
x)=(a+4
)(a丑+ 4
)
(x
h亀)= (
ax‐4
)2
とおくとき、 いに答えよ。
(
1) 放物線y=f(叫 は ( [ 口 こ ] [ここコ)である。y= f
(x)の
グラフを X 軸方向に だけ平行移動すると、y= h
(x)のグラフに重なる。
(
2) 放物線,リ=g(叫 ( こ こ ] , 二 a十 □ ])である。
(
3) y=f
(:.
c)y=g(
と x)のグラフの共有点はただ 1つであり、その x座標は[こここ]
f
()と y=h
x (x)のグラフの共有点はただ 1つであり、その座標は
'二)である。
ア、イ、ウ、クの解答群
02‐a
ー
‐4‐a
1 1 3 4
2‐a 4‐a ‐8‐a
。
竺
(
4) y=f(
x)とy h
(x)のグラフと x軸に囲ま を A とおく。 Aの面積は
る。y=J(
x)とy=g(叫とy=h
(x)のグラフに囲ま
B とおく。 B の 面 積 は [ 三 コ a である。 A とB しいときの
仁
aの値は[ここ]である。
m〕
〔 ウ〜クに当てはまるものを選択肢の中から選びその記号をマークせ
。
ょ イには最も適切なものを選択肢の中から選びその記号をマークせよ。それ以
には当てはまる 0から 9 までの数字を にマークせよ。
nを 2以上の自然数とする。原点が 0 である座標
C を原点中心で半径が 1の円とする。
A と Pの座標をそれぞれ (
0,1
)と
G
,
o) とおく。点Qは次の条件をすべて満たす
ような点であるとする
X
(
i
) 点 Q は 円 C 上にある。
(ii)碍纂 PQ =O
(
ii
i) 点Qと A の座標は異なる。
し 。
ょ
(
1) AP さは である。
n
(
2) 点Qの座標を (
x,y)とおいて、条件(i)、(ii)を n
,x,yの式で表すことにより、
にニコ= 0を得る。さらに、条件(iii)を考慮することにより、点Qの座標は
(巨],~ヨ 1であることがわかる。
(
3) 3つの点 O,P,Aを通る円をいとすると、 C1 は点Qも通る。このことに
すると、 si
n乙Q ~
AP ‐ ‐ E 口 で あ る 。
(
4) 三角形 PA
Qについて AP:AQ: PQ :
に三コ
: lCIJ]て
ある。
(
5) 三角形 PAQの内接円の半径を r とすると、 AP:r = :にこコで
ある。
(
6) n= 2とする。魚 Iを三角形 PAQの内接円の中心であるとしたとき
頑
= 1 叩+ 1 可
□
亡
三] 亡
三]
で あ り 、 団 = ` 国 で あ る こ と か ら 、 点 Iの座標は 三
コ'
亡口
)
である。
ア、ウ〜クの解答群
11〇 1 1 2 n 3 2n 4尼
5 2n2 6 n+l 7 n‐l 8尼+1 9 n2‐1
イの解答群
11 x十包+ 1 1 x‐ど+1 2 X 十包_ 1
n n n
y X X
3 x ‐‐1 4—+リ+ 1 5 ‐‐y+l
n n n
X r
7 ‐ ‐y‐1 8 x ny+ l
亀
(—+y 1
n n
9 x+ny+ l
(このページは計算や下書きに利用してもよい。)
(このページ きに利用してもよい。)
問2PDF文字抽出
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、整数、微分・積分、複素数
所定の欄の番号をマークせよ。なお、解答群から同じものを 2回以上選んでもよい。それ以外の空欄には、
当てはまる 0から 9までの数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。ただし、 l
ogは自然対数で、iは虚数
単位である。
(
1) J
g
ロ
□
□
l dx=l
x(x+l
)
oコ
(
2) l
zl= Jiを満たす複素数 zを考える。このとき、複素数平面上で点 z と点召の距離と、点召と点 z3
との距離が等しいとする。このような zのうち虚部が正となるのは、
Z= ー ニ コ + [口t
に
こ] に
である。
(このページは計算用紙として使用してよい。)
(
3) nを 2以上の自然数とする。整数 Kに対して、座標平面上に点pk を次のようにとる。
, sin手
干
pk (COS )
点 pk‐l と 点 pk を結ぶ線分の長さを Lk とする。このとき、
仏=亡 □
である。これより、
n
n豆ど L←亡こ]
k=l
がわかる。
キ、クの解答群
11 2
1r 7
r 2
7r ・
n 7
r
1 2si
n‐ ( 2cos — 3tan― 4 2t ~
an2n
n n
'
, n 2n
5 T 6 ‐
r
‐ 7 2
rr 8 4
1r 9 CX)
(このページは計算用紙として使用してよい。)
[II 〕次の空欄[口:こ]、[:こコ、[口こ]、[口[コ、[~に当てはまるものを指定された
解答群の中から選び、解答用紙の所定の欄の番号をマークせよ。なお、解答群から同じものを 2回以上選
んでもよい。それ以外の空欄には、当てはまる 0から 9までの数字を解答用紙の所定の欄にマークせよ。
座標平面上で、方程式 x2 ‐
ピ4‐=1によって定まる双曲線を C とする。傾きが負となる Cの漸近線を l
とおくと、 lの方程式は
y=—仁三] x
である。
第 1象限にある C上の点 P(
s
,t)をとると、tは sの関数としてt=[こここ と表される。点 Pにおけ l
る C の接線を m とおくと、 m の方程式は
ロコーニy =l
である。
直 と m と の 交 点 を Q と お く と 、 Q の 座 標 は ( ロ コ ゚ ) で あ る 。 ま た 、 [ と m の交点を R とお
くと、 Rの 座 標 は ( 仁 9 一 口 ) で あ る 。
原点を 0 とし、三角形 OQRの面積をf(
s)とする。また、 x軸上に点 S(
s )をとり、三角形 PQSの面
,0
積 を g(
s)とする。このとき、
s豆 f(
s) = 二 』 児 f(
s)g(
s) =
巳
]
となる。
イ、ウ、エ、オ、力の解答群
11 2 ✓戸て] 1 2
s 2 v
百て了 戸て]
3 s+2/ □
4《「 詞+ s
5 2y
l □
‐詞 6 s 7《「 詞 □ 8 s+《豆 □] 9 《 「 言 互 ‐s
(このページは計算用紙として使用してよい。)
〔川〕次の空欄[口こ]、[口[]に当てはまるものを指定さ 中から 解答用紙の所
をマークせよ。なお、 ら同じものを 2 もよい。それ以外の空欄には、当
てはまる 0から 9 までの数字 にマークせよ。ただし、 l
ogは自然対数で、iは虚数単
位である。
(
1) J
(t)= +l
og t
( ると]'(t)=[三コい口+[三二]
となる。
(
2) tを実数とする。 z=(
1+t出を考える。 x
,yを として Z =尤十yiとおくと、
X =に こ ] , y=にこ] .
...
..(
*)
と
こと きる。
t
くとき、座標平面上で(*)によっ される曲線を C とおく。 C の O~ t ~l
となる
さは
□ +lo
g(ロコ+ [口)
ニ‐□
(
*)の 2式から t
を ると、 C は
x= 丁
によ まる あること かる。 C の の座標は([ロロ][ロロ])で、準線は
X =こ こ ] で あ る 。 C と 3つの直線y= 0
, y= 2
,X で囲ま 図形を x まわ
りに 1回転してできる立体の体積は[:王二] T となる。
エ、オの解答群
l+t 1‐t 2 t‐1 3 t ‐t
t ‐2t 7 1+t
2 1‐t
2 9 t
2‐1
(このページは計算用紙として使用してよい。)
(このぺ_ジは計算用紙として使用してよい。)
(このページは計算用紙として使用してよい。)
問3PDF文字抽出
検出分野: 方程式・不等式、関数・グラフ、指数・対数、図形・三角関数、微分・積分
い例のようにマークすること。解答欄 1行につき 2つ以上マークしないこ
。 2つ以上マークした場合は,その解答は無効となる。
と
〔H〕,〔 I
II〕は,解答用紙の所定の欄に解答すること。
. 解答は, またはシャープペンシル(いずれも HB・黒)
ること。
. 訂正する場合は,消しゴムできれいに消し,消しくずを解答用紙に残さな
いこと。
. 解答用紙は,絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
0. 問題冊子の余白等は適宜利用してよいが,どのページも切り離さないこ
と
。
1.解答用紙は持ち帰らず,必ず提出すること。
2. 問題冊子は必ず持ち帰ること。
3. または不正行為と疑われる行為に対しては,厳正に対処する。
4. 試験時間は 9
0分である。
ークシート記入例)
良い例 I 悪 い 例
II@Rり
〔I〕 次のアからフにあてはまる 0から 9までの数字を解答用紙の所定の
欄にマークせよ。[三三] [ 三 三 ] [ こ 三 ] [ 三 三 ] は 2桁の数,
巳 三 ] は 3桁の数である。なお,分数は既約分数にすること。
(
1) a =c
os‐
'
;
r十isin之T とおく。ただし,iは虚数単位である。
5 5
I ' ヽ
(
a) 岳=
(
b) a4+ヽ+ +a+l= ニ
‐1十 二
□
(
c
) 0+‐
a
亡
‐1十 □
□
(
d) c
os7
1r=
三]
ー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
(
2) lxsinxcosx血
a告 =圧
] T
(
3) 12log3 e
x
心 = 三
ただし, l
ogxは xの自然対数を表し, eは自然対数の底とする。
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
(
4) aを実数の定数とし,
f
()=叶+ 4x+a
x , g(
x a+5
)=企+ 3丑— 3x ‐3
とおく。
(
a) g(
x)を加)で割ったときの余りが x+5となるのは a=[口[こ]の
ときである。このとき, mについての 2
f
(x)g(
x , f
)~ 0 ()+g(
x x)=1
は共通の実数解 x=ー[ここ]をもっ。
(
b) X についての 2つの方程式
f
(x)g(
x , f
)=0 ()+g(
x x)=1
が共通の実数解をもつような aの個数は[こロニ]個であり,そのよう
な aのうち最大のものは[こここ]である。
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
(
5) 1個のさいころを 3回投げる。 1回目, 2回目, 3回目に出る目をそれ
ぞれ a1,a2,a3 とし,f(x)=丑 ‐a1x+a2 とおく。
(
a) 関数f(
x)の最小値が 1と な る 確 率 は 日 : で あ る 。
(
b) 2次方程式f(
x)=0 る 2つ の 実 数 解 を も つ 確 率 は 王
である。
(
c) 2 f(
x)=0が異なる 2つ の 整 数 解 を も つ 確 率 は 日
る
。
(
d) a3が 2次方程式f(叫= 0 とな
三
...。
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
I〕 次 の 口 こ ] と 口 こ ] に あ て は ま る 数 と , に こ ] か ら
〔I □
三]に
あてはまる式を求め,最終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
△ABCにおいて AB=3
,AC=2とする。辺 BC上の点 0 を中心とする
円 Sが,辺 AB と辺 ACのそれぞれと,頂点 A
,B, C とは異なる点で接し
ているとする。円 Sと辺 ABの接点を P と
し, x=s
in乙OABとおく。
(
1) 間にこ]瓦 □ 応である。
(
2) BCを xの式で表すと BC=[口こ]である。
(
3) OPを xの式で表すと OP=[ここコである。
(
4) X のとりうる値の範囲は[ロロ]である。
(
5) OPのとりうる値の範囲は[こここ]である。
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
〔I
II〕 次のロロから にあてはまるもの ど)を求め,
終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
f (x) =丑+ 10x+17+ —とし,座標平面上の曲線y=f位)を C とする。
X
(
1) 関数f(
x)が極値をとるような xの値をすべて求め,小さい順に並べる
と[三コである。そのうち,関数f(
x)が極小値をとるような xの値を
すべて求め,小さい順に並べると I < Iである。
(
2) 曲線 C のただひとつの変曲点を P とし,点 Pにおける曲線 C
fとする。接線£の方程式を求めるとy=
I け I
である。
曲線 C のうち,不等式 x>Oが表す領域に含まれる c十とする。
(
3) 点Qが曲線 C十上を動くとき,点Qと (
2)で定めた直線£
小値を求めると[こここ]である。
(
4) 原点を通る直線が曲線 C十と とき,その接点の x座標 ると
にである。
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
しi
問4PDF文字抽出
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、データ・統計、整数
〔I〕 (1)(5)において,R,餞cの値の大小関係を調べ,最大のものと ものを,そ
れぞれ所定の解答欄 にマークせよ。
(
1) @ l
og102+l
og103 @ l
og108‐l
og102
cl
og210
1 5 2
(
2) R
13‐、 @ 3y12‐、 c 312 ‐213
(
3 ° <0<1
) 9
0 80
° でs
in0+c
os0=—ー2 のとき,
@ s
in0cos0 @ cos0‐s
in0 ct an0+~
t
an
(
4) {
an}の初項から第 n項までの和を Snとする。
@ a2=1
2, a5=3
0であるときの初項 a1
R a2=7
, S5=3 0であるときの初項 a1
c S2=18, Ss=30であるときの初項 a1
(
5) 集合 X の要素の個数が有限であるとき,その個数を n(X)と表すことにする。
U および U の部分集合 A
, B がそれぞれ
U={nlnは 15以下の自然数}
A ={
1,2
,5,7
,9,10
,12
,14,1
5}
B ={
2,4
,5,9
,10,1
3,15}
であるとき,
@ n(AUB)
@ n(AUB)
c n((AnB)u( )
)
ー
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
I〕 所定の解答欄(表面)に,解答をマークせよ。
〔
□
□
□
の[口こ]などは解答が 1ケタの数であることを[三 ]などは解答
が 2ケタの数であることを[: 三]などは解答が 3ケタの数であることを表して
いる。
なお,分数形で解答する場合,それ以上約分できない形で答えること。
Kの
□
(
1) X の 2次方程式丑+( 3k‐1)x+2炉+ 2=0 もたないとき,
二 < K< ]である。
(
2) 変量 xのデータの分散が 2
0であるとする。このとき,y=‐3x+4によって得ら
れる新しい変量yのデータの分散は[三三三], ・仁
である。ただし,y15=2
.24として計算せよ。
(
3) X とyがともに自然数であり,丑— l0x+8 =炉であるとき, x の値は[三三二]
る
(
4) 円に内接する四角形 ABCDがあり, AB= 5
, BC= 5
, CD= 8
, DA= 3
であるとき,乙 A の大きさは °である。また,四角形 ABCDの面積は
口 で あ る 。
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
直〕 1
()(
3)の空欄 □
□ 〜ロコこついては下の解答群から解答を選び,
にその番号をマークせよ。( 4
)については所定の解答欄(裏面)に解
と答をとも
曲線 C:y 丑 + 2x+必とする。ただし aは実数で a>l とする。また, とる
曲線 C 1,曲線 Cの接線のうち,
l りかつ傾き
ものを l
2と 。このとき,次の問に答えよ。
(
1) 曲線 C を a を用い と,(〖口] )である。
(
2) hの式を a を用い と,y=( )
x る
。
(
3) 曲線 C と直線らの接点の x座標を a を用い と
, である。
(
4) 曲線 C と直線 hで囲まれた部分の面積を S1,曲線 C と直線 hおよびらで囲ま
れた部分の面積を品とするとき, 81=品となる aの値を求めよ。
ロ][口l (同じものを繰り もよい)
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
w〕 (1)(3)については所定の解答欄
〔 に解答をマークせよ。 (
4)について
も
の解答欄 に解答経過と
の [ ロ ニ ] は 解 答 が 1ケタの数であることも[三三こ]などは解答が 2
ケタの数であることを表している。
なお,分数形で解答する場合,それ以上約分できない形で答えること。
下の図のような東西に延びる 5 と,南北に延びる 5 し
て,
目のように区分された街がある。なお, 2本の道が交わるところをポイントと呼ぶこと
にする。図中に示すように,街の中にはポイント A
,B,C
,D, Eがあり,ポイント
A は街の南西角に,ポイント B は北東角にある。
この街で X さんと Y さんが,次のルールに従って移動するものとする。
• X さんは東または北にしか進まない。
• yさんは西または南にしか進まない。
• X さんも Y さんも,各ポイントで同時にそれぞれサイコロ り,出た目に
応じて下の表に示す方向に 1つ隣りのポイントまで進む。ただし,一方向に
しか進めないときは,サイコロの目にかかわらず,確率 1でその方向に進む。
北
B
サイコロ
E IXさん IYさん
の出た目
西
D
東
I ポイント 1
,2,3
C,D,E以外 4
,5,6
C
ポイント 1
,2,3
,4
A C
,D,E 5
,6
南
このとき,以下の問 。
ょ
(
1) X さんがポイント A にいるとする。このとき, X さんがポイント C
,D, Eのい
ずれも通らずにポイント B に到着する経路はすべてで[ロロ:]通りある。
(
2) X さんがポイント A にいるとする。このとき, X さ ん が ポ イ ン ト C を通り,か
つポイント D を通らず,さらにポイント E を通ってポイント B に到着する確率は
三
] である。
(
3) X さんがポイント C に
, Y さんがポイント Eにいるとする。この後, X さんと Y
さんが出会う確率は である。
(
4) X さんがポイント A に
, Y さんがポイント B にいるとする。この後, X さんと Y
さんがポイント D以外で出会う確率を求めよ。
(以上問題終)
問5PDF文字抽出
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、整数、確率・場合の数、関数・グラフ
ヽ
る。このサイコロを 3回投げて出た目の数を順に a
,b,cとする。
以下の問に答えなさい。空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマー
クしなさい。ただし,分数はすべて既約分数にしなさい。
(
1) a
bcが 3の倍数となる 9] である。
(
2) a+b+cが 8の約数となる である。
(
3) a
,b,
cがこ をなし,かつ, a<b<cを 満 た す 確 率 [ 王
である。
(
4) a,b,c 力~ 0£
;log2a+l
og2b+l
og2c‐l
og23:
;1 田 て
E
a
ある。
(
5) a
,b,
cが 1 6I ldx+1 6I
x‐a ldx+1 6¥
x‐b x c
ldx=30 を は
JO JO
る
。
‐ l
(このページは計算用紙として使用しなさい。)
〔I〕 平面上に 3点 A,B,Cを頂点とする三角形 ABCがあり,辺 ABの長さは 3ぷ,
辺 ACの長さは 5、i,乙BACは 1
° である。三角形 ABCの内心を Iとし,三角形
ABCの外心を 0 とする。
以下の問に答えなさい。空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマー
クしなさい。ただし,分数はすべて既約分数にしなさい。根号を伴う
の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
(
1) 辺 BCの長さは[口こ二]』ロロロ]であり,三角形 ABC の直径は
亡である。
(
2) 三角形 ABCの面積は[ □□三二]』 ]であり, ABCの の
仁ロコ
半径は[ロロ]である。
こ
こコ
(
3) A
I =ロロコ韮+亡ニコ ACである。
こ
三コ に
こコ
(
4) 嘉=[ロロこ]国 応である。
に
(このページは計算用紙として使用しなさい。)
m〕 2つの関数f(x)=企+ 3t丑+ 12(t‐l)x, g(x)=‐
〔 f(x)について,座標平面上の
2曲線y=f(
x)
, y=g(
x)を考える。ただし,tは定数である。また,関数f位)が
極大値と極小値をもち,極値をとるときの xの値を a,(
3 (ただし, a <(3)とする。
以下の問に答えなさい。設問( 1
),(
2)は空欄内の各文字に当てはまる数字を所定
の解答欄にマークしなさい。設問 (
3)
,(4
),(
5)は裏面の所定の欄に解答のみ書きな
さい。ただし,分数はすべて既約分数にしなさい。
(
1) a+ f3=—仁三コt, af
3= □
□ □ t
ー 三],
Iこ ] t ‐ 亡 三 ] で あ る 。
〇‐ a = こ
(
2) 2曲線 Y=f(
x, y=g(
) x)の共有点が 3個となるとき,原点以外の共有点の x
座標をァ, 6とすると
ァ+ 6=ーロニ]t, r
y5
c= 二 t ‐ ロ ニ ] で あ る 。
(
3) 2曲線 Y=f(
x, y=g(
) x)の共有点が 2個となるtの値をすべて書きなさい。
(
4) 2曲線 Y = f( x
), y = g(x
)の共有点が 3個となるとき, 4点 A (
a,f(
a))
,
B
(a,g(
a))
, C((
,f((3
), D(/
) 3,g(/3))を頂点とする四角形 ABCDの面積を Sとす
。 Sをtを用いて表した式を書きなさい。
る
(
5) (4) の条件を満たし,かつ,(3 -a~3 となるとき,四角形 ABCD の面積が最
小となるtの値とそのときの面積 Sを求めなさい。
(このページは計算用紙として使用しなさい。)
問6PDF文字抽出
検出分野: 関数・グラフ、微分・積分、確率・場合の数、図形・三角関数、方程式・不等式
マークせよ。分数は全て既約分数で表し、根号の中の平方数は根号の外に出して簡略
化せよ。
(
1) 1個のさいころを続けて 4回投げる。
1 1回目と 2回目は奇数の目、 3回目と 4回目は偶数の目が出
ー
である。
日
2 4回投げたうち少なくとも 2回の目が同
である。
3 4回投げたうち異なる 2つの数の目がそれぞれ 2回出る確率は
田
である。
l‐
このページは計算用紙として使用しなさい。
(
2) 以下の問いに答えよ。
x+2y門を展開したとき、 x4炉の係数は[ロロコである。
1 式(
2式(三) 6を展開したとき、四の係数は王てあり、定数項は
王である。
このページは計算用紙として使用しなさい。
(
3) なる 4 C は線分 ABを 2:3に内分する
点である。 →
a, ↓b, →→ → →
,b
c とする。 a
→
aI=1,I
, cは I oI=1.
→
I 1
cl= —を満たす。
1 Cは
と
゚
□
召 = ロ コ d十 ロ コ i
亡 ] 仁二]
2 実数 xについての 2次関数
f
(x)=1
a+x即
を考える。f(
x)は
x= 王
のとき る
。
このページは計算用紙として使用しなさい。
(
4) 連立不等式
+‐+ A
(「↓, 4ゴ ー
v=<=VI—点
391 。
xx x —— 2 る
_す
を 初砂 Y y
x
、
ヽ
ーー
,
により表される と
(ー、 , A上を動くとき、
以下の問い よ
。
A の面積は である。
2 丑ー 2x+炉ー 4yの最大値は である。
3 丑ー 2x+炉ー 4
yは
(
x, y
)=ビ
]巴)
l
のとき最小値ー[ロロニ をとる。
亡
このペー として使用しなさい。
(
5) 1の円 01 に内接する正方形の 1 つを 82ヽ 品に内接する円
を 03、円 03に内接する正三角形の 1つを 形 T4に内接する円を C5
とする。以下同様に、自然数 nについて、円 C年 + 1 に内接する正方形の 1つを
s
年 + 2、正方形 S年 + 2 に内接する円を C知 + 3、円 C年 + 3 に内接する正三角形の
1つを T知 十 4ヽ 形 T年 十 4 に る円を C年 + 5 とする。
円 C3の半径は
ニ
ニ
である。
正方形 s6の面積は
である。
三
T16の面積は
313 x (
王)ニ
である。
このペー として使用しなさい。
(
6) a
,bを O<a<bを満たす定数とする。実数 mの関数f(
x)=(
x‐a
)(x‐b
)は
[ J(
x) ,[ I
x=0
d J(
x)l
dx=9
を満たすとする
゚
このとき、 a= [
ロ
コ b= [ ニ コ で あ る 。
亡コ 二
このペー とし しなさい。
〔
I〕 aを 1と異なる とし、 mの関数
ax
f
(x
)
疋十`i
を考える。以下の問いに答えよ。
(
1) 実数 xの 関 数 f(x)+f(l‐x)は一定の値をとることを ょ。また、その値
を求めよ。
(
2) a=2025とする。このとき
>f(2<ii5)
の値を求めよ。
このページは計算用紙とし しなさい。
問7PDF文字抽出
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、指数・対数、微分・積分、関数・グラフ
る解答欄にマークしなさい。
(
1) 3s
i 1
n 一の正の周期のうち最小のものは[二こコ冗である。
(
2) 2sin 〖一の正の周期のうち最小のものは[ここコ冗である。
(
3) 3s
inf +2s
infの正の周期のうち最小のものは[ここコ冗である。
(
1の解答群)
A ‐
1 B ‐
2 4 E ‐
C 1 D F 2
2 3 3 2
G 3 H 4 I 6 J , K その他
(2の解答群)
1 B ‐
2 4 E ‐
A C 1 D F 2
3 3 3 2
G 3 H 4 I 6 J 8 K その他
(
3の解答群)
1 B ‐
1 1
A C D 2 E 3 F 4
6 3 2
G 6 H 1
2 I 1
5 J 1
8 K その他
数学 問題は次のページに続いています。
る
〔I
I〕 次の設問の[ここ]と の空欄の正解を解答群から
解答欄にマークしなさい。
コービー、紅茶、緑茶、ウーロン茶の 4種類の飲み物が買える自動販売機から
8本の飲み物を購入する場合を考える。なお、 4種類の飲み物はそれぞれ 8本以
自動販売機に入っているとする。
(
1) 8本の飲み物 る組合せは[ロニ]通りある。ただし購入しない種
類の飲み物があってもよいとする。
(
2) 購入した 8本が 2種類の飲み物だけで構成される組合せは りあ
る
。
(4
CI 2
A 1
20 B 1
65 D 2
75 E 3
30 F 3
2 5
G 4
40 H 4
95 J 6
60 k その他
(5の解答群)
045 248
CI 3 DJ 3
A 2
4 B 2
8 E 3
5 F 3
G 4
0 H 4
2 k その他
数学 問題は次のページに続いています。
ら
直〕 次の設問の[口こ]から[こロコの空欄の正解を
る解答欄にマークしなさい。
シャツとジャケットの両方を製作している工場がある。シャツとジャケットの
製作は共に、裁断工程と裁縫工程に分かれている。工場では 1日あたり裁断工程
門の職人が 1
8名、裁縫工程専門の職人が 3
6名働いている。それぞれの職人
は、シャツまたはジャケットのどちらも手がけることができる。
シャツ 1着分の布を裁断するためには 1日あたり 1名の、裁縫するためには 1
日あたり 3名の職人が必要である。また、ジャケット 1着分の布を裁断するため
には 1日あたり 3名の、裁縫するためには 1日あたり 3名の職人が必要である。
シャツ 1着から得られる利益が 6
00円、ジャケット 1着から得られる利益が
000円のとき、 1日あたりの工場全体の利益を最大化するためには、シャツを
亡こ]着ジャケットを[ロニ]着製作するとよい。そのときの利益は
亡円である。
(6の解答群)
BH 39
A 2 C 4 D 5 E 6 F 7
G 8 I 1
0 J 1
1 k その他
(7の解答群)
BH 39
A 2 C 4 D 5 E 6 F 7
G 8 I 1
0 J 1
1 k その他
(8の解答群)
A 3
600 B 4
800 C 7
200 D 8
000 E 8
400 F 9
G 1
0 H 1
0 I 1
0 J 1
800 k その他
数学 問題は次のページに続いています。
国〕 次の設問の[口こ]から[ここコの空欄の正解を解答群から選び、該当す
る解答欄にマークしなさい。また、 [三[コについては、各自で得た答えを解
に書きなさい。
形 ABCの頂点 A、B、Cから対辺へ下した垂線の長さをそれぞれ 7
.5、
6、 5とする。三角形 ABCの 3辺の長さを BC=a、CA=b、AB=C とし
とき以下の問い なさい。
(
1) a :b:c=4 :I 9 I :亡三]である。
□
(
2) 乙BAC=0とするとき、 cos0=[口こ]である。
(
3) a= 三]である。
(9の解答群)
6 C ‐
7 2
4 F ‐
A 3 B D E 5
5 2 5 5
G 6 H ‐
5 I 8 J , K その他
(
10の解答群)
8 C ‐
10 1
8 E ‐
‐ F ‐
A B 3 D
3 3 5 5 5
G 6 H ‐
5 I 8 J , その他
(
1 B ‐
1 3 E 立
A C D
8 3 5
F ‐
3‐ 4
G H I J
4 5 3
K の他
数学 問題は次のページに続いています。
V〕 次の設問の
〔 □三]と仁三]の空欄の正解を解答群から選び、該当する
解答欄にマークしなさい。また、 [口ここ]については、各自で得た答えを解答
欄に書きなさい。
正の奇数 nが n個ずつ続く次のような数列がある。
, 3
, 3
, 3
, 5
, 5
, 5
, 5
, 5
, 7
,..
.
(
1) 奇数 1
5が初めて現れるのは第[口こ]項である。
(
2) k番目の奇数 2k‐1が初めて現れるのは第[口亘二]項である。ただし、
kを用いた式で表すこと。
(
3) 第1
0項の奇数は 1 1
3 I
である。
(
12の解答群)
A 4
7 B 4
8 C 4
9 D 5
0 E 5
1 F 6
G 6
7 H 6
8 I 6
9 J 7
0 K その他
(
13の解答群)
A 9
9 B 1
01 C 1
49 D 1
51 E 1
99 F 2
G 2
49 H 2
51 I 2
99 J 3
01 K その他
数学 問題は次のページに続いています。
V
〔I〕 次の設問の[口こコから[口ここ│の空欄の正解を解答群から選び、
る解答欄にマークしなさい。
放物線y =2 炉— X + 1について以下の問い なさい。
(
1) (‐1
, 2)か ら こ の 放 物 線 に 引 い た 2 の 線の接
x=, 14 . I lり
I lである。ただし、 1 1
4 I
<I 15 Iと
る
。
(
2) この放物線と 2本の接線と まれた部分の面積は 1 1
6 l
である。
(
14の解答群)
7 1
3 1
1 5
A ‐4 B C D ‐3 E F
G
, H ‐2
I
J
L9
K その他
4 2
4 4 2
(
15の解答群)
3 5 1 3 1 1
A B C D E F
4 8 2 8 4 8
H ‐
1 1 1
I
゚
G J K その他
8 4 I 2
(
16の解答群)
4̲36
8̲328‐3
4‐3
220‐3
F
BH CI
2 D
A ‐ E 3
J
G 5 k その他
数学 問題は次のページに続いています。
V
〔1
I〕 次の設問の I 17 Iから 1 20 Iの空欄の正解を解答群から
る解答欄にマークしなさい。
関 数 y=2(
log2
x)3‐3
0(l
og4x)(
log2x)+6l
og厄炉+ 4 (
1~ X ~ 3
2)
はx 1
7 Iで最大値 I 1
8 Iをとり、 X 1
9 2
をとる。
(
17の解答群)
A 1 B 2 C 4 D 8 E 1
2 F 1
G 2
0 H 2
4 I 2
8 J 3
2 k その他
,
(
18の解答群)
A 3 B 4 C 6 D 7 E F 1
G 1
2 H 1
3 I 1
5 J 1
6 k その他
(
19の解答群)
A 1 B 2 C 4 D 8 E 1
2 F 1
G 2
0 H 2
4 I 2
8 J 3
2 k その他
(
20の解答群)
A ‐1
6 B ‐1
5 C ‐1
3 D 1
2 E ‐1
0 F ‐9
G 7 H 6 I ‐4 J ‐3 k その他
以下の余白は計算用紙として使用できます。
以下の余白は計算用紙として使用できます。
以下の余白は計算用紙として使用できます。
問8PDF文字抽出
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形、整数、微分・積分
せよ。同じアルファベット もかまわない。
3‐5
を
. 自然数は、
m= □
□,□ n=
る
。
. 0~ 0~ 1r のとき、 s
in0+c
os0=―ーを満たすならば、
s
in0= 二 'cos20 4
る
。
. A,B,C の 3つの袋に赤と白の王が、いくつか入っている。(他の色の玉
は、入っていない。) A,B,Cの玉の個数の比は、 2:1:1である。 A,B,Cの
2 1 2
白の玉の割合は、それぞれー,——である。 A,B,C の玉を、すべて 1 つの袋に
3'3'3
集めて、よく混ぜてから、 1つの玉を取り出したとき、赤であった。このとき、
り出した赤い玉が、もともと Aの袋に入っていたものである確率は、 L
二こ_」で
□
□
あり、また、取り出した赤い玉が、もともと C の袋に入っていたものである確率
は、[ ]である。
A
. 2 B
. 1 C
.O D
.1
E
.2 F
.3 G
.4 H
.5
.6
I .8
J k 1
拿 0 .v
L 1
M. J3 .15
N . 、む+、
0 .13+凶
P
Q.嘉ー R
. ヽ s
.叩 .皐
T
2 1
u事17言 v
.1‐
2 w
.3 x
.5‐
Y. 3ヽ z
.5
l‐
(計算用紙)
I〕 次のア〜卜に当てはまる 0 9の数字を解答欄にマークせよ。
〔
. 座標平面上で、y= 丑 の グ ラ フ を C とし、直線y=ax+lをfとする。
C とfの交点を A,B とするとき、 C の A における接線を釘、 B における
1ヽ応の交点を P とすれば、 Pの座標は、
接線をんとする。 £
(
日,
ーニ
)
である。このとき、三角形△ PABの面積は、
(必+口])こ
口
となる。
. x
2 3‐ax+b=0の解を考える。
(
1 l
) X =2が 2重解になるとき、 a=[[口], b=[口こ で、もう一つの解は、
X =ーロコとなる。
(
2) X = 2+y'2iが解になるとき、 a=[こ □
,b=[ここ]で、実数解
X =ー ロ を 持 つ 。
. r を正の数とし、座標平面上で、関数y = x
3 3‐ r分のグラフを考える。
‐r こ x 三 r でこのグラフが、原点を中心とする半径 r の円の内側(円周
も含む)に入る r の範囲は、 rこ]ロロ]である。
, 丑+ Y2 ~ r汽yこ IX3 _茫 x
r= 口 の と き 、 X こ o │ を満たす (
x,y
)
の 領 域 の 面 積 は 、 口 ] 7r‐ロ コ で あ る 。
(計算用紙)
直〕 n を自然数とし、 る 2n個の点 PぃP2,• • ・
,P2nをとる。
この 2n個の点の中から 2 を結んでいき、次の条件を満たす n個の線分を
つくる。
(条件) n個の線分の端点は、 る
。
ここでは、 n個の線分を選ぶといったら、常にこの条件を満たすものとする。
n個の線分を選んだとき、その n個の線分の長さの和を、fとする。
また、£が最小となる n,個の線分の選び方の総数を、 an と置く。
このとき、次の問に答えよ。
. 次の命題の内、正しい をひとつ選び、そのアルファベットを、解答欄
に記入せよ。
を
A. £が最小となる n個の線分を選んだとき、どの 2つの線分も
持たない。
B. fが最小となる n個の線分の選び方の必要十分条件は、 n個の線分のどの
2つの線分も共有点を持たないことである。
C.ある 2つの線分が、共有点を持つが、tが最小となる n個の線分の選び方
がある。
D
. an=1ならば、 P1,P2,.. P加 事 , 直線上にある。
E
. P1,Pぁ・ • ・,P2nが
、 ある為の必要十分条件は、仰= 1である
. P1(1,1),P2(1,2),• ・・,Pn(1,n),Pn+1(2,1),Pn+2(
2,2
),• • ・,P2n(2,n)
の場合に、次の問に答えよ。
(
1) a2,a3 を求めよ。 のみを、解答欄 ょ
。)
(
2) 一般の nの場合に、fの最小値を求めよ。(答えのみを、 )
。
(
3)n~ 3について、 an を漸化式で表せ。 も
、 に記入
せよ。)
(計算用紙)
(計算用紙)
(計算用紙)
(計算用紙)
(計算用紙)
(計算用紙)
問9PDF文字抽出
検出分野: 確率・場合の数、微分・積分、図形・三角関数、整数、関数・グラフ
. 問題〔 I
I〕,〔皿〕は,解答用紙「数学1」の所定の欄に解答すること。
. 問題〔 w〕,〔 V〕は,解答用紙「数学2」の所定の欄に解答すること。
. 解答用紙の所定の欄以外のところには何も記入しないこと。
0 1問につき 2つ以上マークしないこと。 2つ 以 上 マ ー ク し た 場 合 は そ の
蕎
解答は無効になる。
る
1. またはシャープペンシル(いずれも HB•
こと。
訂正する場合は,消しゴムできれいに消し,消しくずを残さないこと。
3. 解答用紙は,絶対に汚したり折り曲げたりしないこと
4. してよいが, どのページも切り離さないこと。
5. 解答用紙は持ち帰らず,必ず提出すること。
6. 問題冊子は必ず持ち帰ること。
7.不正行為または不正行為と疑われる行為は行わないこと。
8. 試験時間は 1
20分である。
9. マークシート記入例
良い例 I 悪 い 例
9│@ R
り
(このページは計算用紙として使用してよい)
(
2) 内に 2点 P
(l,O
,1, Q(
) l,1
,1) をとる。点 R が m軸上を動くとき
Q~ 3
乙PR 0
°
となるような Rの x座標の範囲は
亡 ~x~ 亡□]+
である。
(このページは計算用紙として使用してよい)
(
3) Eと m は 0以上の整数とする。このとき, ことができな
い自然数のうち, 2番目に大きなものは である。答えが 1桁
の数の場合は,十の位に 0 を埋めよ。
(このページは計算用紙として使用してよい)
(
4) 座標平面内に点 A
(O,‐
2)と曲線 S
:x2_炉= 4(ただし x>O)がある。
(
a) S の接線であって, A からの距離が 2であるものは 2本あり,それらを
ax+by= 4 x+dy= 4 (ただし a<c
, e )
と表すとき
a= 仁
二], b 'C , d=
である。
(
b) (
a)の 2本の接線と Sが囲む図形を, x軸のまわりに回転させてできる回
転体の体積は
i
(
P15‐q)
と
。ここでpとqは自然数であり,それぞれ
p= 'q=
である。答えが 1桁の数の場合は,十の位に 0 を埋めよ。
シ,ス,セ, ソの解答群
う
11 ‐20 1‐《5 2 ‐2 3 ‐1
4〇 5 1 6 2 7v'5
8 2Js 94
(このページは計算用紙として使用してよい)
〔I〕 次の空欄[口こ]に当てはまるもの(数・式など)を解答用紙の所定の欄に記入
せよ。
n を 2以上の自然数とする。 1こKこn ‐1 Kに対して
s
in点
ak
{
sin 賢}(sin)
昴
n‐1
とおくとき, L a k を ると
k=l
n‐1
どak
k=l
である。
(このページは計算用紙として使用してよい)
直〕 l
次 の 空 欄 [ 口 こ ] 詞 [ こ こ こ に当てはまるもの(数・式など)を解答用紙の
所定の欄に記入せよ。なお,分数は既約分数にすること。
ある誰もいない場所に人が 1 人ずつ集まるとする。 n~l として, n 番目に到着
した人は,
(
a) nが 2以 上 の 場 合 す で に い る (n‐1)人のいずれか 1人だけと互いに友人に
なるか,( n‐1)人の誰とも友人にならないか,確率的に決まるものとする。こ
のとき,すでにいる人と互いに友人になる確率は,( n‐1)人それぞれについて
1 1
―,(n‐1)人の誰とも友人にならない確率も_ーとする。すでにいる (n‐1)人
n n
の間の友人関係は変わらないものとする。
例えば nが 3の場合, 3番目に到着した人が, 1番目に到着した人と友人に
1 1
なる確率は―—,そうではなく 2 番目に到着した人と友人になる確率は―—,そ
3 3
のどちらでもなく誰とも友人にならない確率は― である。
(
b) nが 1の場合,そのときには誰とも友人にならない。
また,友人関係でつながっている人たちの集まりをグループと呼ぶ。例えば A と
B が互いに友人で, B と Cが互いに友人ならば A
,B, C は同じグループに属す
る。グループの人数をサイズと呼ぶことにする。ただし,誰とも友人になっていな
い人は,その人だけからなるサイズ 1のグループであるとみなす。この場所に到着
してグループが決まった人は,そのときに自分のいるグループのサイズ(自分自身
も含める)を点数として得るものとする。
グループのサイズの組合せを考える。例えば 3人集まったとき,(i)サイズ 3のグ
ループが 1つ,(ii)サイズ 2のグループが 1つとサイズ 1のグループが 1つ,(iii)サ
イズ 1のグループが 3つ,の全部で 3通りの場合がある。グループのサイズを大き
い順に並べてそれぞれの場合を〈 3〉
,〈2
,1〉
,〈1
,1,
1〉と表すことにする。
(
1) 3人が集まったとする。グループのサイズの組合せが〈 3〉
,〈2
,1〉
,〈1
,1,
1〉と
なる確率は,それぞれ[口ここ│
9 [ロロコ'[ここ]である。
(
2) 6人が集まったとする。グループのサイズの組合せが〈 3
,2,
1〉となる確率は
亡 で あ る 。 グ ル ー プ の サ イ ズ の 組 合 せ が 〈3
,2,
1〉で,なおかつ 6番目に
到着した人が 2点を得る確率は[:ここ]である。
(
3) 9人が集まったとする。グループのサイズの組合せが〈3
,3,
3〉となる確率は
である。
(
4) n ~ 3とする。 n 番目に到着した人が (n‐1
)点を得る確率は で
ある
〔
lV〕 a と cは a>c>Oを満たす定数とする。座標平面上で 2点 A(‐c,O), B(c,O)
からの距離の和が 2aである点の軌跡を E とする。 P
(xo
,Yo oヂ0
)は E 上の点で Y
を満たすとし, P における E の法線と x軸との交点をQとする。以下の問い
ぇょ。( 1
)は結果のみ答え,( 2
)
,(3
),(
4)は途中経過も記述せよ。
(
1) E の方程式は
=1
と表せる。 てはまるものを a と cで表せ。
(
2) Qの x座標を a
,c, xo またQが線分 AB あることを示せ。
(
3) BPを AP:BP=(
a2+c
xo):(
a2‐c
xo)であることを示せ。
(
4) 乙APQ =LBPQであることを
(このページは計算用紙として使用してよい)
V〕 aは a>2を満たす定数とする。また x>O
〔 された 2つの関数を
f
()=
x
X
g
(叫
とし, ける曲線y=f(叫,'リ=g (
x)を考える。以下の問いに答えよ。
(
1)と (
2) (
3)
,(4
),(
5)は途中経過も記述せよ。
(
1) 曲線y=f(叫とy=g(
x)の交点の x をすべて求めよ。
(
2) (
1)で求まったもののうち,最大のものを bとし, のものを c とする。
cを b
(
3) 不 定 積 分 jf(
x)dxを求めよ。
(
4) p> 1に対して, :
p
占
g(
x)dx=0を示せ。
(
5) c~ x ~ bの範囲で, 2曲線 Y=f(
x) と y=g(
x) で囲まれる図形におい
て,y ~O の部分の面積を S とし,y ~O の部分の面積を T とする。このとき,
S=Tとなることを示せ。ただし, bと cは (
2)で定めたものとする。
(このページは計算用紙として使用してよい)