藤原進之介です。このページでは明治大学2024年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
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📊 2024年度 明治大学 数学 講評マップ（難易度・目標時間・使う型）
この年度の全11問を解説した数強塾のプロ講師陣が、各問題を難易度・目標時間・使う型の3つで整理しました。難易度と目標時間は数強塾の独自の見立てで、目標時間は過去問演習をするときの1問あたりの目安です（実際の試験の時間配分を示すものではありません）。「使う型」の列は解法パターン事典の該当単元につながっています。解けなかった問題は、下の解説で解き方を確認したあと、型のページで同じ型の問題を練習すると定着が速くなります。
2024年度の全11問
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 〔Ⅰ〕小問集合（3次方程式・空間ベクトル・回転体・場合の数） | 標準 | 約40分 | 場合の数 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕 の微分と面積 | やや難 | 約25分 | 微分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅲ〕放物線上の点から、直線 と鉛直線 までの距離が等しくなる点 | やや難 | 約25分 | 図形と方程式（座標） |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕小問集合（接線と法線・対数不等式・データの分析・正方形と円） | 標準 | 約25分 | 微分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕 と の交点と面積 | やや難 | 約20分 | 積分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅲ〕「1を加えて逆順」で作る数列と、正方形らせん | 難 | 約25分 | 複素数平面 |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕小問集合（解と係数・三角関数・ベクトル・数列・領域の面積） | やや難 | 約50分 | ベクトルの図形への応用 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕点 から に引いた接線 | 標準 | 約25分 | 微分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅰ〕小問集合（2乗の差・対称式の最大・倍数条件と包除原理） | 標準 | 約20分 | 場合の数 |
| 解説へ | 〔Ⅱ〕 が作る関数列と面積 | やや難 | 約30分 | 積分法（数II） |
| 解説へ | 〔Ⅲ〕円に内接し、すべての辺が等しい多角形 | やや難 | 約25分 | 図形と計量 |
💡 どこで差がつくか：この年度は全11問で、数強塾の見立てでは標準が4問・やや難が6問・難が1問です。扱う型は7種類にわたり、同じ型が複数の大問で顔を出すため、そこを固めると得点が動きやすくなります。やや難以上が7問あるので、まず標準の問題を確実に取り切る練習から入るほうが結果につながります。目標時間の合計は約310分（過去問演習での目安）。 この冊子11問の目標時間の合計は約310分（数強塾の見立て）。
「型が出てこなかった問題」が2問以上あった人へ。それは演習量の不足ではなく、単元の型の抜けが原因であることがほとんどです。数強塾は数学専門・プロ講師のみ・完全1対1のオンライン個別指導。実際にあなたが解いた過去問の答案を見ながら、どの型が抜けているかを特定し、明治大学の出題に合わせて埋めていきます。明治大学の過去問まとめ（全年度＋傾向）で他の年度も確認できます。
体験授業を予約する（初回3,000円・税込）まず無料で相談する※ 問題文は明治大学が公表した2024年度 理工学部 入学試験問題（数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した一般的な解答例そのものではありません。ただし答えは大学公表の解答（Meiji_2024_mat_A_03.pdf）と全18問すべてについて一致を確認しています。
- 〔Ⅰ〕マーク式・小問集合（4問）：3次方程式の整数係数決定／空間ベクトルと四面体の体積／回転体の体積2題／2部屋への分け方4連発。分野は完全にバラバラで、取りこぼしを作らない処理力が問われます。
- 〔Ⅱ〕記述式・三角関数と微積分（5問）：。 と書け、という誘導が全体の背骨で、これに乗れば (3)(4)(5) が芋づる式に出ます。
- 〔Ⅲ〕記述式・放物線と2種類の距離（5問）：点と直線の距離、点と鉛直線の距離が等しくなる点の個数。絶対値を外して2本の2次方程式に分けるのが決め手です。
- 90分で18問。誘導に素直に乗れるかだけで差がつく、明治理工らしい構成です。〔Ⅰ〕は1問あたり5分弱で処理し、〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕に時間を残す配分が現実的です。
〔Ⅰ〕小問集合（3次方程式・空間ベクトル・回転体・場合の数）
分野：方程式／空間ベクトル／積分（回転体）／場合の数 難易度：標準 目標時間：40分
(1) を定数とする。関数 は次の3つの条件を満たすとする。
・ は 以上の整数である。
・ に関する方程式 は を解にもつ。
・ を微分して得られる整式を とするとき、 を で割ったときの余りは である。
このとき を求めよ。また、方程式 の 以外の解を求めよ。
(2) を正の実数とし、座標空間内の4点 、、、 を考える。2つのベクトル と は垂直であるとする。また、3点 を通る平面を とし、点 から平面 へ下ろした垂線と平面 との交点を とする。このとき 、 の面積、 を で表した式、四面体 の体積を求めよ。
(3) 座標平面上の曲線 を とする。
(a) 曲線 と 軸および2直線 で囲まれた部分を、 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
(b) 曲線 と 軸および直線 で囲まれた部分を、 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
(4) 5人の中学生 と3人の高校生 の合計8人の生徒が、2つの部屋 に分かれて入る。ただし、どの生徒も必ずどちらかの部屋に入るものとする。
(a) どちらの部屋にも1人以上の生徒が入るような入り方は何通りか。
(b) どちらの部屋にも1人以上の中学生が入るような入り方は何通りか。
(c) どちらの部屋にも、1人以上の中学生と1人以上の高校生が入るような入り方は何通りか。
(d) どちらの部屋も中学生の人数が高校生の人数より多くなるような入り方は何通りか。ただし、どちらの部屋にも1人以上の高校生が入るものとする。
(1) 。 以外の解は と
(2) 、、、四面体 の体積
(3) (a) (b)
(4) (a) 通り (b) 通り (c) 通り (d) 通り
(1) 条件を「」と「」の2式に翻訳する
（ は 以上の整数）が を満たし、 を で割った余りが 。 と、 以外の解を求めよ。
【型】「割った余り」は剰余の定理で1点の値に翻訳する型
【なぜこうするか】未知数が3つあるのに、等式に見える条件は2つしかありません。ここで効くのが「 以上の整数」という第3の条件です。等式2本で候補を有限個に絞り、最後に整数条件でふるい落とす——という順序を最初から意識すると迷いません。「 で割った余り」は剰余の定理で に置き換えるのが定石です。
なので、剰余の定理より
は 以上の整数なので の2通りだけです。次に を整理します。
なら となり が整数になりません。 なら 、すなわち で条件を満たします。
このとき 。 が解なので を因数にもち
よって 以外の解は次の2つです。
【検算】 ✓。また ✓、 ✓。計算機で を全探索したところ、条件を満たす は ただ1組でした。
【定石】「 で割った余り」は剰余の定理で 。整数条件が付いた文字決定は「等式で候補を有限に→整数条件でふるう」の2段構え。
【よくあるミス】 の の前がマイナスであることを見落とし、 としてしまう。符号を1つ間違えるだけで の候補が総崩れになります。
(2) なら正射影は係数を別々に出せる
、、、、、。、、（ は から平面 への垂線の足）、四面体 の体積を求めよ。
【型】直交する2ベクトルへの分解は「内積÷長さの2乗」型
【なぜこうするか】ふつう垂線の足 は「 とおいて の連立」で求めます。ところが本問は なので連立が分離し、 をそれぞれ独立に「内積÷長さの2乗」で書けるのです。この構造に気づくと計算量が半分以下になります。
まず を決めます。
よって 、 で 。直交するので
次に とおきます。 より 。直交条件から左辺は となり
同様に より 。
成分にすると 、よって
四面体 の体積は「底面 高さ 」で
【検算】四面体の体積はスカラー三重積でも出ます。
「底面×高さ」から求めた値と一致しました。
【定石】 のとき、 の平面 への正射影は 。直交していれば連立方程式を解く必要がない。
(3)(a) 軸まわりは をそのまま
曲線 、 軸、、 で囲まれた部分を 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
【型】 軸まわりの回転体は「」型
【なぜこうするか】 を固定したときの断面は半径 の円なので、面積は 。それを で積むだけです。ここでは となって指数の積分1本で終わります。2乗してから積分する（積分してから2乗しない）という当たり前の順序を外さないことが唯一の注意点です。
なので
【検算】記号積分でも を得ました。数値でも で と一致します。
【定石】。 が積分区間の端に出てきたら、この変形で必ず簡単な数になる。
(3)(b) 軸まわりは「 に直してから 」
曲線 、 軸、直線 で囲まれた部分を 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
【型】 軸まわりの回転体は「逆関数に直して 」型
【なぜこうするか】回転軸が 軸なら、断面は を固定した円で半径は 。だから曲線を と について解き直してから積分します。区間は、囲まれた部分が （曲線と 軸の交点 ）から までであることから決まります。 の積分は部分積分2回です。
囲まれた部分は で、各 に対し 。よって
部分積分を2回使います。 なので
では 、 では 。したがって
【検算】記号積分でも を得ました。数値では 、。半径 ・高さ の円柱の体積 より小さく、内側にえぐれた形として整合しています。
【定石】 軸まわりの回転体は逆関数に直して で積分。 は覚えておく価値がある。
【よくあるミス】積分区間を としてしまう。曲線 と 軸の交点は なので、囲まれた部分は から始まります。
(4)(a)(b)(c) 「全体 片方が空」の余事象を3回使う
中学生5人と高校生3人の計8人が2部屋 に分かれる。(a) どちらの部屋にも1人以上の生徒／(b) どちらにも1人以上の中学生／(c) どちらにも1人以上の中学生と1人以上の高校生。それぞれ何通りか。
【型】「どちらにも1人以上」は の余事象型
【なぜこうするか】1人ずつ「X か Y か」を選ぶので、全体は 通り。「どちらの部屋にも1人以上」の否定は「全員 X」か「全員 Y」の2通りだけなので、。この形をひとつ覚えれば (a)(b)(c) は同じ道具の使い回しになります。ポイントは中学生と高校生の割り振りが独立であること。条件が中学生だけにかかるなら高校生は自由、両方にかかるなら積の法則で掛け合わせます。
(a) 8人それぞれに2通りで 通り。除くのは「全員 X」「全員 Y」の2通り。
(b) 条件は中学生だけにかかります。中学生5人の分け方で両方に1人以上入るのは 通り。高校生3人は自由なので 通り。
(c) 中学生も高校生も両方の部屋に入る必要があるので、それぞれ独立に
【検算】 通りをすべて計算機で列挙し、条件を直接判定したところ、(a) 、(b) 、(c) となり、上の値と完全に一致しました。
【定石】「どちらにも1つ以上」＝全体 （一方が空）。条件が特定のグループにしかかからないときは、そのグループだけで数えて残りは自由にする。
【よくあるミス】(c) を のように8人まとめて包除原理で処理しようとして複雑になる。中学生と高校生は独立なので、掛け算1回で終わります。
(4)(d) 高校生の人数で場合分けし、中学生の人数を挟み撃ちにする
どちらの部屋も中学生の人数が高校生の人数より多くなる入り方は何通りか。ただし、どちらの部屋にも1人以上の高校生が入るものとする。
【型】2つの条件が絡む数え上げは「片方を固定して残りを不等式で挟む」型
【なぜこうするか】高校生は3人しかいないので、部屋 に入る高校生の人数 で場合分けするのが最も軽い。条件「どちらにも1人以上の高校生」から の2通りだけです。そのうえで中学生の人数 を、 側と 側の2つの不等式で両側から挟むと、 が1つに定まってしまいます。
部屋 の高校生を 人、中学生を 人とすると、 には高校生 人、中学生 人。条件は
のとき： かつ 、すなわち より 。
高校生の選び方 、中学生の選び方 で 通り。
のとき： かつ 、すなわち より 。
、 で 通り。
【検算】 通りの全列挙で条件を直接判定した結果も 通りでした。なお の部屋は「中学生2・高校生1」と「中学生3・高校生2」、 は「中学生3・高校生2」と「中学生2・高校生1」で、2つの場合は と を入れ替えた関係になっています。だから両方 通りで等しいのは当然、という確認もできます。
【定石】人数の少ない方（ここでは高校生3人）で場合分けする。「両方の部屋で成り立つ」条件は不等式2本になり、たいてい変数が1つに固定される。
〔Ⅱ〕 の微分と面積
分野：三角関数／微分・面積 難易度：標準〜やや難 目標時間：25分
とし、座標平面上の曲線 を とする。関数 の導関数を とする。
(1) 点 における曲線 の接線の方程式を求めよ。
(2) についての整式 で、 が成り立つものを求めよ。
(3) の範囲で、 となる の値を小さい順に とするとき、 を求めよ。
(4) の範囲での の最大値と最小値を求めよ。
(5) (3) で定めた と に対して、2点 を通る直線を とする。このとき、 の範囲において直線 と曲線 で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4) 最大値 、最小値
(5)
(1) 接線は と の2つの値だけで決まる
について、点 における接線の方程式を求めよ。
【型】 での接線は 型
【なぜこうするか】接点の 座標が と与えられているので、必要なのは と の2つの数値だけ。合成関数の微分で は 、 は になる点だけ丁寧に扱えば終わりです。
【検算】数式処理でも 、 を確認しました。
【定石】、。内側の係数 が前に出ることを機械的に。
(2) 3倍角・2倍角で を強引にくくり出す
についての整式 で、 が成り立つものを求めよ。
【型】「 でくくれ」という誘導は3倍角・2倍角で次数を落とす型
【なぜこうするか】この小問は後半すべての土台です。 の形にできれば、(3) の「」が または という2つの易しい方程式に分解します。そのために を3倍角で の式に、 を2倍角で にして、共通因数 をくくり出します。最後に で だけの式に揃えます。
【検算】数式処理で を展開したところ、恒等的に になりました。
【定石】3倍角 、2倍角 。「 でくくれ」と言われたら、 の奇数乗と の形に揃える。
(3) の解と を合わせて小さい順に並べる
の範囲で となる を小さい順に とするとき、 を求めよ。
【型】積の形の方程式は「各因数＝0」に分けて解を合流させる型
【なぜこうするか】(2) で と積の形になったので、 は または 。後者は についての2次方程式なので、まず で解いてから に戻します。最後に2系統の解を数直線上で合流させて小さい順に並べるのがこの小問の作業です。
すなわち を解くと
すなわち で、 となるのは
のいずれかのときです。 で小さい方から並べると、 から 、 から 。 は なので最小でも となり、上位3つには入りません。
【検算】 を で200万分割して符号変化を追ったところ、零点は の順に現れました。前3つは 、、 と一致し、4番目 が の最小解（）に対応しています。
【定石】 の解は単位円で。 が「有名角の値」でないときは、その解が上位に来ないことを大小評価で示すだけでよい（値そのものを求めない）。
【よくあるミス】 の解を「有名角でないから無視」と切り捨ててしまう。上位3つに入らないことを「 だから 」と根拠づける必要があります。
(4) 増減表は (3) の3点だけで書ける
の範囲での の最大値と最小値を求めよ。
【型】閉区間の最大最小は「極値の候補＋両端」を全部計算する型
【なぜこうするか】(3) から にある の点は の3つだけと分かっています。閉区間の最大最小はこの3点と両端 の合計5つの値を比べるだけ。増減の向きを調べる必要すらありません。
5点での値を計算します。
、、 を比べて
最大値は （ のとき）、最小値は （ のとき）です。
【検算】数式処理で5点の値を厳密計算し、上の値と一致しました。なお最大値・最小値がどちらも2か所ずつで達成されるのは、 が に関して対称だからです（）。この対称性は (5) の直線 が水平になることの理由でもあります。
【定石】閉区間の最大最小は「 の点」と「両端」の値をすべて出して比べるだけ。増減表は答案の説明用で、答えを出すのに必須ではない。
(5) 直線 が水平になることに気づけば積分は1本
2点 を通る直線を とする。 で と が囲む面積を求めよ。
【型】囲まれた面積は「上の関数 下の関数」を積分する型
【なぜこうするか】(4) で と分かっているので、直線 は水平線 。しかもこの値は区間内での最大値なので、区間全体で 、つまり上下関係が入れ替わりません。だから絶対値も場合分けも不要で、素直に1本積分すれば終わります。
(4) より なので 。区間内でこれが最大値なので が成り立ち、求める面積は
上端では 、下端では 。差をとって
【検算】記号積分でも を得ました。区間の幅は 、区間内で の最大は での なので、面積は より小さいはず。実際 はその約半分で、山なりの形として自然です。
【定石】2点の 座標が等しければ、その2点を通る直線は水平。関数が対称なら必ずこうなるので、対称性を先に確認しておくと計算が一気に軽くなる。
〔Ⅲ〕放物線上の点から、直線 と鉛直線 までの距離が等しくなる点
分野：図形と方程式／2次方程式の解の配置 難易度：やや難 目標時間：25分
座標平面上の曲線 を 、直線 を とする。 を実数とし、直線 を とする。曲線 上の点 に対し、 から直線 に下ろした垂線と との交点を とする。また、 から直線 に下ろした垂線と との交点を とする。
(1) 点 と点 の距離 を の式で表せ。
(2) 点 と点 の距離 を と の式で表せ。
(3) は がいくつのとき最小値をとるか。またその最小値を求めよ。
(4) のとき、 となる点 をすべて求め、その 座標を小さい順に並べよ。
(5) 実数 を固定したとき、 となるような点 の個数を とする。 となる の範囲を求めよ。
(1)
(2)
(3) のとき最小値
(4) 座標は小さい順に
(5)
(1) 点と直線の距離の公式を当てるだけ
上の点 から直線 に下ろした垂線の足を とする。 を の式で表せ。
【型】垂線の足を求めずに「点と直線の距離」で済ませる型
【なぜこうするか】 の座標そのものは聞かれていません。距離だけなら公式一発です。ここで大事なのは、絶対値の中身 の符号を判別式で決着させること。符号が一定だと分かれば絶対値が外れ、以降の (3)(4)(5) がすべて「ただの2次式」として扱えます。
を と書くと、点 との距離は
ここで の判別式は で、 の係数が負。よってつねに なので絶対値が外れて
【検算】 では 。実際、原点と直線 の距離は ✓。 では 、点 と の距離は ✓。
【定石】点 と の距離は 。絶対値の中身が2次式なら、まず判別式で符号を固定する。
(2) 鉛直な直線までの距離は 座標の差
から直線 に下ろした垂線の足を とする。 を で表せ。
【型】軸に平行な直線までの距離は座標の差そのもの型
【なぜこうするか】 は 軸に平行な直線なので、そこへの垂線は 軸に平行。したがって は と同じ 座標をもち、距離は 座標の差の絶対値だけです。ここで絶対値が残ることが (4)(5) の場合分けを生みます。
【検算】図で のとき 。一方 で確かに一致し、 が (4) の解の1つであることが確認できます。
【定石】 までの距離は 、 までの距離は 。軸に平行な直線には公式を使わない。
(3) 2次関数の最小は平方完成
の最小値と、そのときの を求めよ。
【型】2次関数の最小は平方完成型
【なぜこうするか】(1) で絶対値が外れているので、 は のただの2次関数。 に制限もありません。平方完成すれば頂点がそのまま答えです。ここで得られる「 は正の値しか取らない」という事実が、(5) で「2つの2次方程式に重複解が無い」根拠になります。
したがって のとき、最小値 をとります。
【検算】数式処理で を解くと 、そこでの値は 。 ✓。
【定石】 がつねに成り立つ（最小値が正）ことは、次の (5) で「 すなわち は解になり得ない」という形で効いてくる。最小値は答えるだけでなく、後の議論の材料になる。
(4) 絶対値を外して2本の2次方程式に分ける
のとき、 となる点 をすべて求め、その 座標を小さい順に並べよ。
【型】絶対値つき方程式は「場合分け＋範囲チェック」型
【なぜこうするか】 は絶対値つきなので、 と に分けて絶対値を外します。分けた後はどちらもただの2次方程式。解いたあとに「その場合分けの範囲に入っているか」を必ず確認するのがこの型の生命線です。
のとき条件は 、すなわち 。
のとき：、すなわち 。
いずれも を満たします。
のとき：、すなわち 。
、 でどちらも条件を満たします。以上を小さい順に並べて
【検算】数式処理で を厳密に解き、得られた4解を元の式に代入して等号成立を確認しました。数値では 。なお の判定は、 で より正、と2乗で比較すれば根号のまま示せます。
【よくあるミス】場合分けの範囲チェックを省いて、4つの解をそのまま答えてしまう。本問はたまたま4つとも条件を満たしますが、満たさない解が混じる年度もあるので確認は必須です。
(5) を「 の関数」に分離して個数を読む
実数 を固定したとき、 となる点 の個数を とする。 となる の範囲を求めよ。
【型】解の個数は「定数を分離して2本の放物線と水平線の交点」に読み替える型
【なぜこうするか】(4) と同じ場合分けを一般の でやると、2本の2次方程式それぞれについて「範囲内に何個解があるか」を判別式と軸と端点の値で調べる——という重い議論になります。そこで発想を変え、 について解いてしまうのです。条件は （）なので または 。右辺はどちらも の2次関数なので、「水平線 が2本の放物線と何点で交わるか」という見慣れた問題に変わります。
とおくと、条件 は 、すなわち
または
と同値です。それぞれ計算すると
は上に凸で、 のとき最大値 。 は下に凸で、 のとき最小値 。したがって
ここで2つの方程式が同じ を解にもつことはありません。もしそうなら から となりますが、(3) より だからです。よって は上の2つの和で、 となるのは両方が のとき。
【検算】 はこの範囲に入っており、(4) で確かに4個の解が出ました。さらに を から まで動かし、2本の2次方程式を厳密に解いて場合分けの条件を満たす解の個数を数えたところ、 で2個、 で3個、 で4個、 で3個、 で2個となり、上の結論と完全に一致しました。
【定石】 の形は と について解くと、解の個数が放物線と水平線の交点数に化ける。判別式と軸と端点を並べる重い議論を丸ごと回避できる。
【よくあるミス】2本の方程式の解を単純に足して とするとき、重複していないことの確認を忘れる。ここは (3) で求めた「最小値が正」がそのまま根拠になります。
- 誘導は「次の小問のための道具」。〔Ⅱ〕(2) の は、それ自体が目的ではなく (3) を「積＝0」に変えるための布石です。誘導の意図を読むだけで残り3問が連鎖的に解けます。
- 絶対値の中身は判別式で符号を固定する。〔Ⅲ〕(1) で を示したことが、(3)(4)(5) すべての前提になりました。
- 解の個数は定数を分離する。〔Ⅲ〕(5) は と読み替えるだけで、判別式・軸・端点の3条件を並べる議論が不要になります。
- 直交条件は計算を半分にする。〔Ⅰ〕(2) は のおかげで、正射影の係数を連立せずに1つずつ出せました。
- 場合の数は「余事象」と「独立性」。〔Ⅰ〕(4) は という1つの道具を、対象を替えて3回使うだけの問題です。
この解説を書いている講師に、直接習うことができます。
※ 問題文は明治大学が公表した2024年度 全学部統一入学試験の問題（数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません。この冊子は大学公表の解答が配布されていないため、全11問について記号計算・全探索・数値計算による独立検算を行い、二重に確認したうえで掲載しています。
- 〔Ⅰ〕小問集合4問：放物線の接線と法線／対数の不等式／データの分析（平均と分散から2値を復元）／正方形に内接する円と三角比。分野が完全にバラバラで、1問5分で処理する速さが要求されます。
- 〔Ⅱ〕4次関数と直線（4問）： と の交点。ふつうなら4次方程式で詰みますが、 を両辺に足すと両方とも完全平方式になるという強烈な誘導が付いています。
- 〔Ⅲ〕再帰的に作る数列とベクトル（3問）：「1を加えて逆順に並べる」を繰り返して作る数列。後半は「1を加える＝ 回転」と読み替えて、点が正方形らせんを描くことを見抜く問題です。この年度で最も面白い一題。
- 全体として「与えられた誘導の意味を読む」ことに全振りした構成です。誘導を無視して正面から計算すると、〔Ⅱ〕も〔Ⅲ〕も手が出ません。
〔Ⅰ〕小問集合（接線と法線・対数不等式・データの分析・正方形と円）
分野：微分／対数／データの分析／図形と計量 難易度：標準 目標時間：25分
(1) 座標平面上の放物線 を考える。 を でない定数とするとき、放物線上の点 における接線 の方程式を求めよ。また、点 を通りこの接線 に直交する直線を点 における法線と呼ぶことにすると、この法線の方程式はどうなるか。
(2) についての不等式 を解け。
(3) 次のデータは、ある7人制ラグビーチームの7人の選手の身長を調べたものである。
（cm）
このデータの平均が 、分散が のとき、 とすると、 の値を求めよ。
(4) 平面上に正方形 がある。点 が辺 上にあり、線分 を直径とする円が辺 に接するものとする。このとき と を求めよ。
(1) 接線 、法線
(2)
(3)
(4) 、
(1) 接線の傾きが決まれば法線の傾きは逆数の符号違い
放物線 上の点 （）における接線 と、 を通り に直交する法線の方程式を求めよ。
【型】接線・法線は「傾き」と「通る1点」だけで書ける型
【なぜこうするか】直線は傾きと通る点の2つで決まります。接線の傾きは微分係数 、法線の傾きは直交条件から 。ここで問題文が「 は でない」と断っているのは、 が だと法線が垂直線になって の形に書けないからです。条件文の意図を読むと、方針が確認できます。
より、点 における接線の傾きは 。よって
法線は と直交するので傾きは （ だから定義できます）。同じ点 を通るので
【検算】数式処理で両式を展開し、上の形と恒等的に一致することを確認しました。また傾きの積は で直交条件を満たします。
【定石】接線は 、法線は 。定数項をまとめるところまで一気にやると、マーク式の空欄に合う形になる。
(2) 底をそろえずに「底の変換公式で共通因数を作る」
を解け。
【型】底が混在する対数は「底の変換公式で1つの底に統一する」型
【なぜこうするか】底が と で混在していますが、底 の対数はすべて を共通因数にもつことに気づくと一気に片づきます。 とおいて底 に統一すると、 の形になり、両辺に共通の が現れます。正の数で割れるので不等号の向きも変わりません。残るのはただの2次不等式です。
真数条件から 。、 とおくと
不等式は次のようになります。
なので両辺に を掛けても向きは変わらず
すなわち です。
を底とする指数に戻して
【検算】 と で左辺 右辺 （等号成立）、 では負（成立）、 では正（不成立）となることを数値で確認しました。境界が両方とも等号で成立する点であることも確かめています。
【定石】。底が2種類なら、少ない方の底の項をすべて変換して共通因数をくくり出す。 と置く「1文字化」も忘れずに。
【よくあるミス】 を までは分解できても、 を使わずに止まってしまう。、 の も同じ——数字の と の関係が全体を貫いています。
(3) 平均から和、分散から平方和。連立は基本対称式で解く
の平均が 、分散が 、。 を求めよ。
【型】平均と分散の2条件は「和」と「平方和」の連立型
【なぜこうするか】平均は「和」、分散は「偏差の平方和」の情報です。そこで最初から平均 を引いた偏差で考えると、既知の5個の偏差が という小さい数になり、計算が驚くほど軽くなります。あとは の和と平方和が分かるので、 と を出して2次方程式の解として求めます。
平均 より総和は 。既知5個の和は なので
次に分散 より偏差の平方和は 。既知5個の偏差は で、その平方和は
そこで とおくと
ここから積を出します。
よって は の2解で
より 、すなわち
【検算】 の範囲で全探索したところ、平均 ・分散 を同時に満たすのは のただ1組でした。実際に ✓、偏差の平方和は 、 ✓。
【定石】平均が与えられたら最初に偏差に直す。分散は「偏差の平方和 個数」。2つの未知数は と を出して2次方程式の解と係数の関係で回収する。
(4) 接する条件を「中心から辺までの距離＝半径」で式にする
正方形 、点 は辺 上。線分 を直径とする円が辺 に接する。 と を求めよ。
【型】円が直線に接する条件は「中心と直線の距離＝半径」型
【なぜこうするか】正方形は座標を置くのが最短です。1辺を として を原点にとると、辺 は直線 という最も単純な形になります。円の中心は直径 の中点、半径は なので、接する条件は「中心の 座標と の差＝半径」という等式1本。これで の位置が決まり、あとは三角比の計算です。
1辺の長さを とし、 と座標を定めます。 は辺 上なので とおけます。
円の中心は の中点 、半径は 。辺 は直線 なので、接する条件は
両辺を2乗して 、すなわち より
（ を満たしており適します。）よって 。
まず は と のなす角です。 なので
次に は と のなす角。、 で
より だから
【検算】 のとき中心は 、半径は 。直線 までの距離も で確かに接しています。座標から数値で角を計算すると 、 で、 と に一致しました。
【定石】正方形・長方形が出たら頂点を原点にとって座標化。「円が辺に接する」は中心と直線の距離半径 の1本の式に翻訳できる。
【よくあるミス】 を2乗したあと、 の確認を書かない。今回は で問題ありませんが、記述式なら必要な一言です。
〔Ⅱ〕 と の交点と面積
分野：方程式／積分（面積） 難易度：やや難 目標時間：20分
についての関数 を 、、 により定める。座標平面上で曲線 と直線 は、異なる2点で交わる。それら交点の 座標をそれぞれ （ただし ）とする。
(1) と を、それぞれ2乗の形に因数分解せよ。
(2) と を求めよ。
(3) は をどのような1次式で表すか。またそれを用いて を求めよ。
(4) 座標平面上で曲線 と直線 で囲まれる図形の面積を求めよ。
(1) 、
(2) 、
(3) 、
(4)
(1) を足すと両方とも完全平方式になる
、、。 と を2乗の形に因数分解せよ。
【型】「両辺に同じものを足す」誘導は平方完成型
【なぜこうするか】 は4次方程式で、まともに解こうとすると手が出ません。そこで両辺に を足すという誘導が置かれています。すると左辺 も右辺 も完全平方式になり、 すなわち という2次方程式2本に落ちます。「4次を2次に割る」ための仕掛けです。
【検算】数式処理で因数分解しても と が返りました。
【定石】 または 。高次方程式を「2乗＝2乗」の形に持ち込めれば、次数が半分になる。
(2) に分けて実数解だけを拾う
と の交点の 座標 について、 と を求めよ。
【型】差は「解と係数の関係」から で出す型
【なぜこうするか】 の両辺に を足しても解は変わりません。だから (1) を使って 、すなわち 。片方は実数解をもたないので、残る1本の2次方程式の2解が です。 を具体的に書く必要はなく、解と係数の関係だけで と が出ます（この形が (3)(4) でそのまま効いてきます）。
の両辺に を足して
すなわち または です。
前者は 、すなわち 。後者は 、すなわち で判別式が となり実数解をもちません。よって は
の2解です。解と係数の関係より 、。したがって
【検算】数式処理で を解くと実数解は の2つ（黄金比とその共役）で、和は 、差は でした。
【定石】 を求めずに だけで押し切る。 は毎回使う道具。
(3) で次数を下げる
が満たす の1次式表示を求め、それを用いて を求めよ。
【型】高次の値は「満たす2次式で次数を下げる」型
【なぜこうするか】 は の解なので が使えます。この置き換えを繰り返せば、どんな高次の式も という1次式に潰れます。 を個別に計算せず、1次式にしてから引けば、(2) で求めた がそのまま使えるのがポイントです。
を繰り返し使います。
よって 、。辺々引くと定数項が消えて
【検算】数式処理で を で割った余りを求めると 。また を直接計算すると で一致しました。なお係数 がフィボナッチ数列になるのは、 が成り立つからです。
【定石】 が を満たすなら、 は必ず の1次式に書ける。高次の計算は「次数下げ」で必ず軽くなる。
(4) 面積の計算に (2)(3) の値をそのまま代入する
曲線 と直線 で囲まれる図形の面積を求めよ。
【型】面積は「上 下」を積分し、対称式の値を代入する型
【なぜこうするか】 は無理数なので、積分結果に代入しようとすると計算が汚くなります。ところが原始関数を と で評価した差は という3つの部品の組み合わせにしかなりません。(2)(3) でそれらは全部求まっているので、代入するだけで終わる——ここまでが誘導の設計です。
区間 では直線が上にあるので
ここで 、、 を代入して
【検算】記号積分で直接 を計算しても を得ました。ざっくりした見積もりでも、区間の幅 、直線と曲線の差の最大が 付近で約 なので、面積は より小さい——という程度の整合は取れます。
【定石】交点が無理数のときは代入せずに対称式のまま持っておく。原始関数の差は必ず の組み合わせになるので、先にそれらを求めておけば計算が閉じる。
〔Ⅲ〕「1を加えて逆順」で作る数列と、正方形らせん
分野：数列（再帰的定義）／平面ベクトル・複素数平面的発想 難易度：難 目標時間：25分
整数からなる数列 を次の規則1、規則2により定める。
（規則1） である。
（規則2） について、初項から第 項までの値のそれぞれに を加え、それらすべてを逆の順序にしたものが第 項から第 項までの値と定める。
たとえば、初項と第2項のそれぞれに を加えて順序を逆にすると を得る。これより、初項から第4項までは となる。同様に、これらのそれぞれに を加えて順序を逆にすると となる。これより、初項から第8項までは となる。
(1) この数列において と を求めよ。また、第 項（）の値を求めよ。
(2) を求めたい。規則2によれば、 を満たす に対して に を加えた数と第何項が等しいか。また、 を満たす整数 を求め、 を求めよ。
(3) 点 を次のように定める。数列 の初項から第 項に着目し、 を で割った余りにしたがって、ベクトル を「 の倍数のとき 、余り のとき 、余り のとき 、余り のとき 」と定め、点 の位置ベクトルを とし、点 の位置ベクトルを とする。 は の何倍か。また を求めよ。さらに を求めよ。
(1) 、。第 項の値は
(2) と等しいのは第 項。。
(3) は 倍、、
(1) 規則どおりに第16項まで書き出す
、「初項から第 項の各値に を加え、逆順にしたものが第 項から第 項」。 と第 項の値を求めよ。
【型】再帰的に定義された数列は、まず手を動かして書き出す型
【なぜこうするか】抽象的な規則は実際に数個作ってみるのが最短です。第8項まで問題文にあるので、同じ操作をもう1回やれば第16項まで得られ、 も も直接読めます。第 項については、書き出した表を眺めればいつも で終わっていることに気づきます。理由も規則からすぐ言えます。
問題文より第8項までは 。これらに を加えると 、逆順にすると
これが第9項から第16項です。したがって初項から第16項までは
第 項については、逆順に並べたときの最後の値は元の並びの最初の値 に を加えたものです。つまり
が任意の で成り立ちます。よって第 項の値は（ のすべてで） です。
【検算】規則どおりに第2048項まで計算機で生成したところ、先頭16項は上の並びと一致し、、。また から までの第 項はすべて でした。
【定石】再帰的定義の問題は「まず10項ほど書き出す」。規則性はたいてい見えるし、見えた規則を証明する材料も同時に手に入る。
(2) 逆順の対応を「番号の式」で書く
に対し は第何項と等しいか。また の を求め、 を求めよ。
【型】「逆順」は番号の和が一定になる対応型
【なぜこうするか】逆順に並べるとき、元の番号と写った先の番号の和は一定です。ブロックの左端 には元の右端 が対応し、右端 には左端 が対応する——この2組から和が と分かります。この対応さえ式にできれば、 は番号を半分以下に折り返す操作を繰り返すだけで求まります。
逆順の対応では、元の番号 と写った先の番号 の和が一定です。 が に、 が に対応することから 。したがって
つまり と等しいのは第 項です。
次に より 。 は のブロック（第 項から第 項）に属するので、上の対応で
同じ操作を にも使います。 なので のブロックにあり
(1) の並びから 。したがって
【検算】生成した数列で 、、 を直接確認しました。また対応式 が から 、 のすべての組（合計 通り）で成り立つことも計算機で確かめています。
【定石】逆順の対応は「番号の和が一定」。端の2組を当てはめれば、その一定値がすぐ決まる。大きい番号はこの折り返しを繰り返して小さい番号に落とす。
【よくあるミス】 の不等号の向きを取り違えて や としてしまう。ブロックの右端はちょうど なので、右側だけが等号付きです。
(3) 「 を加える」は「 回転」と読み替える
の で割った余りに応じて を と定め、 とする。 は の何倍か、 は何度か、 は何か。
【型】4状態の巡回は「 回転」に翻訳する型
【なぜこうするか】この小問の核心はただ1つ、「 に を加えると が 回転する」という対応です。実際 は反時計回りに ずつ。しかも和をとるときは順序が関係ないので、「逆順にする」という操作は無視できます。よって新しいブロックのベクトルの和は、前のブロックの和を 回転したものそのものです。
に を加えると余りが1つ進み、 は反時計回りに 回転します。この回転を と書きます。規則2より第 項から第 項の値は「初項から第 項に を加えて逆順にしたもの」ですが、和をとるので順序は無関係。したがって
よって
成分で書くと のとき なので
ここで と は直交し長さが等しいので、 は を 回転して 倍したもの（直角二等辺三角形の対角線）です。したがって
つまり は、原点のまわりに ずつ回りながら長さが 倍ずつ伸びる正方形らせんを描きます。 は長さ 、偏角 なので、一般に
であり、 の偏角は です。
では偏角が 。 なので偏角は 、長さは 。したがって
【検算】数列を第2048項まで生成して から を定義どおり足し上げたところ、 となり、長さは順に 、偏角は と予測どおりでした。また漸化式 が から まで成り立つことを確認し、 から98回反復した結果は で一致しました。
【定石】4つの向きを巡回する構造は 回転（複素数なら 倍）。 は「 倍して 回転」——これを知っていれば漸化式を解かずに答えが出る。
【よくあるミス】「逆順にする」に引きずられて、和の計算でも順序を気にしてしまう。和は順序に依らないので、この問題で効いているのは「1を加える」の方だけです。
- 誘導は「次数を下げる装置」。〔Ⅱ〕の は、4次方程式を 経由で2次に落とすためだけに置かれています。なぜその式を足すのかを考えると、以降がすべて見通せます。
- 交点が無理数なら、値を求めずに対称式で持つ。 と次数下げだけで、面積 まで一度も無理数を代入せずに到達できます。
- 「1を加える」を「回転」と読む。〔Ⅲ〕(3) は、数列の問題を幾何の問題に翻訳し直すことで、漸化式を解かずに が出ます。
- 逆順は「番号の和が一定」。大きな添字は、この折り返しを繰り返して小さな添字に落とす——という処理は、他大学の数列問題でもそのまま使えます。
- 図形は座標を置く。〔Ⅰ〕(4) は、正方形の1頂点を原点にとった瞬間に「中心と直線 の距離＝半径」という1行の式になります。
この解説を書いている講師に、直接習うことができます。
※ 問題文は明治大学が公表した2024年度 政治経済学部 入学試験問題（数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した一般的な解答例そのものではありません。ただし答えは大学公表の解答（Meiji_2024_mat_A_06.pdf）と全16問すべてについて一致を確認しています。
- 〔Ⅰ〕マーク式・小問集合（13問）：解と係数の関係／単位円上の三角関数の最大3連発／ベクトルの内積が表す図形／ を含む数列の最大と桁数／放物線と直線が作る2つの領域の面積比較。1問4分で回す処理速度が要求されます。
- 〔Ⅱ〕記述式・3次関数の接線（3問）： に点 から接線を引く。接点を と置いて「 の解の個数」に翻訳するという、接線の本数問題の王道です。
- この年度の山場は〔Ⅰ〕(5) と〔Ⅱ〕(3)。どちらも「求めるものを、グラフと水平線の交わり方に読み替える」という同じ発想で解けます。
- 政経は文系学部ですが、 の増減や常用対数による桁数など数列と対数の融合が毎年出ます。ここを落とさない訓練が要ります。
〔Ⅰ〕小問集合（解と係数・三角関数・ベクトル・数列・領域の面積）
分野：2次方程式／三角関数／平面ベクトル／数列と対数／積分（面積） 難易度：標準〜やや難 目標時間：50分
(1) 2次方程式 の解を とする。① を求めよ。② を解とし、 の係数が であるような2次方程式を と表すとき、実数 の値を求めよ。
(2) 座標平面において、単位円上の点 を考える。ただし とする。① は がいくつのとき最大となるか。② は がいくつのとき最大となるか。③ は がいくつのとき最大となるか。またその最大値を求めよ。
(3) 座標平面上の3点 を考える。① 線分 を に外分する点の座標を求めよ。② 点 が条件 を満たすとき、 の形に表せ。
(4) 一般項が である数列 を考える。ただし を自然数とする。① を求めよ。② を の形に表せ。③ は がいくつのとき最大となるか。またこの最大値は何桁か。ただし とする。
(5) 実数 は を満たす。以下の不等式
を満たす座標平面上の点 全体からなる領域を とする。また、以下の不等式
を満たす座標平面上の点 全体からなる領域を とする。① のとき、 の面積を求めよ。② 領域 の面積を求めよ。③ 領域 と領域 の面積が等しくなるような の値を求めよ。
(1) ① ②
(2) ① ② ③ のとき最大値
(3) ① ②
(4) ① ② ③ のとき最大で、 桁
(5) ① ② ③
(1) 解を求めずに「和と積」だけで押し切る
の解を とする。 を求めよ。また を解とし の係数が の2次方程式 の を求めよ。
【型】対称式は「解と係数の関係」で基本対称式に落とす型
【なぜこうするか】この2次方程式は判別式 なので解は実数ではありません。しかし も も の対称式なので、解の姿を一切知らなくても和 と積 だけで計算できます。「解を求めてから代入」は虚数計算になって損。ここが解と係数の関係を使う意味です。
解と係数の関係より 、。したがって
次に の和と積を出します。
の係数が の2次方程式は なので
【検算】数式処理で を解き、その2解に を足すと となって、元の の解と一致しました。
【定石】「解を だけずらした方程式」は を代入しても作れる。 と一発で出るので、こちらの方が速い。
(2)①② 三角関数の合成で「 が になる瞬間」を探す
、。 と はそれぞれ がいくつのとき最大か。
【型】 と の1次式・積は「1つの にまとめる」型
【なぜこうするか】 は2倍角で 、 は合成で 。どちらも「 の形」に統一できれば、最大は中身が のときと即決まります。あとは中身の動く範囲に が入っているかを確認するだけです。
① 2倍角の公式より
より 。この範囲に が入るので、 のとき最大（最大値 ）。
② 三角関数の合成より
にこの範囲に が入るので、、すなわち のとき最大（最大値 ）。
【検算】 を200万分割して数値的に最大を探すと、① は で 、② は で となり、上の結論と一致しました。
【定石】。合成したら必ず中身の変域を書く——それが「最大が取れるかどうか」の判定そのもの。
(2)③ 2次式は「次数下げ→合成」の2段階で1つの にする
、 のとき、 の最大値と、そのときの を求めよ。
【型】 の2次式は「半角と2倍角で1次に落としてから合成」型
【なぜこうするか】2次の項があるままでは合成できません。そこで、 で の1次式に落とすのが定石です。ここで を先に使って項数を減らしておくと、計算がぐっと楽になります。
ここで と合成できて
より で、この範囲に が入ります。よって 、すなわち
すなわち のとき、最大値は次の値です。
【検算】200万分割の数値探索でも （）で最大値 となり、 と一致しました。
【定石】 の同次2次式は必ず の形に書ける。まず をくくり出し、残りを半角・2倍角で潰す。
(3)① 外分点は「符号を変えた内分点」
。線分 を に外分する点の座標を求めよ。
【型】外分は「一方の比を負にした内分」型
【なぜこうするか】 の外分は の内分と同じなので、内分の公式 の を に替えるだけ。公式を2つ覚えるのではなく、1つの公式の符号を変えると覚えると間違えません。
【検算】求めた点を とすると 、 で、 かつ は線分の外側（ 側）にあります。確かに の外分点です。
【定石】 の外分点は 。 なら side、 なら 側の外側に出る、と位置まで確認する。
(3)② 内積の条件式は展開して平方完成する
。 が を満たすとき、円の方程式の形に表せ。
【型】内積 の条件は成分で書いて平方完成する型
【なぜこうするか】成分に直せば の2次式が出るだけです。ここで大事なのは、 を先に計算して簡単にしておくこと。実際にやると という短い式になり、掛け算が一気に軽くなります（係数 なので の1次式に潰れるのがミソ）。
成分で書くと
内積が なので
平方完成して
【検算】数式処理で と条件式の差を展開すると恒等的に になりました。中心 、半径 の円です。
【定石】内積が という条件は、たいてい円（ なら を直径とする円）。係数がついていても、平方完成すれば必ず円か直線か1点になる。
(4)①② 階差 は でくくる
について、 を求めよ。また を の形に表せ。
【型】指数×多項式の階差は「共通の でくくる」型
【なぜこうするか】 には が現れるので、 を共通因数としてくくり出せば、括弧の中は多項式の引き算だけになります。指数関数は正なので、あとで符号を調べるときも括弧の中だけ見ればよい——これが③への布石です。
まず 。
次に階差を計算します。
【検算】数式処理で を展開すると になりました。 で確かめると 、一方 ✓。
【定石】 型の階差は必ず 。次数は上がらないので、最大最小の判定はこの括弧の符号だけで決まる。
(4)③ 階差の符号で最大を決め、桁数は常用対数で
は がいくつのとき最大か。またその最大値は何桁か（）。
【型】数列の最大は「階差の符号が変わる場所」型
【なぜこうするか】数列は連続関数ではないので微分できません。代わりに の符号を見ます。正の間は増え続け、負に変わったところが山の頂上。②で階差を求めたのは、まさにこのためです。桁数は常用対数の整数部分 。指数と多項式の積は、 を取れば足し算に化けます。
②より 。 なので符号は括弧の中で決まります。
より 、すなわち 。したがって では 、 では 。
したがって のとき最大です。
最大値は 。桁数を常用対数で求めます。 なので
よって は 桁です。
【検算】 から まで を実際に計算したところ、最大は の で、確かに 桁でした。
【定石】数列の最大最小は階差の符号（比が扱いやすければ と の大小）。桁数は 。与えられた対数の値だけで済むように素因数分解するのが定番の作業。
【よくあるミス】 から「 で最大」としてしまう。階差が正なのは 、つまり なので、最大は です。不等式が「次と比べてどうか」を表していることを忘れないこと。
(5)① は直角二等辺三角形
は の領域。 のとき の面積を求めよ。
【型】1次不等式だけの領域は多角形と決まる型
【なぜこうするか】 を決める3本はすべて直線なので、領域は三角形です。3直線の交点を求めれば面積は一瞬。 と の交点が 、 との交点が と なので、2辺が座標軸に平行な直角三角形になります。
3直線 の交点は の3点。直角をはさむ2辺の長さはともに なので
したがって の面積は次のようになります。
を代入して
【検算】 のとき3頂点は で、直角をはさむ2辺はともに 。面積 ✓。
【定石】領域の面積はまず境界の交点をすべて出す。1次式だけなら多角形、2次式が混ざれば積分——この振り分けを最初に済ませる。
(5)② は「上端が途中で切り替わる」ので2つに分けて積分する
は の領域（）。その面積を求めよ。
【型】上端が切り替わる領域は「切り替わる で分割して積分」型
【なぜこうするか】下端はつねに放物線 ですが、上端は と の小さい方です。両者が入れ替わるのは のとき。だから と に分けて積分します。右端が になるのは、 だと となって下端が上端を超えてしまうからです。
では なので上端は 、 では上端は 。よって
したがって の面積は次の2つの積分の和です。
前半は 、後半は
足し合わせると の項が消えて
【検算】記号積分でも を得ました。さらに で400万点のモンテカルロを回すと の面積は 、理論値は で一致しています。
【定石】上端や下端が途中で入れ替わる領域は、入れ替わる を先に求めて区間を割る。ここでは と の交点 。
(5)③ 面積の等式を の方程式にして解く
領域 と領域 の面積が等しくなるような （）を求めよ。
【型】等式条件は「共通因数で割って次数を落とす」型
【なぜこうするか】①②で両方の面積が の多項式として得られているので、あとは等式を解くだけ。ここで両辺に が共通因数として現れるので、 より として割れば4次が2次に落ちます。「割る前に を宣言する」のが答案の作法です。
①より の面積は 。②と等しいとおくと
より なので、両辺を で割って
より は不適、 は を満たします。
【検算】数式処理で面積の等式を解くと の2つが出て、区間内なのは だけでした。この を両方の面積の式に入れると、どちらも で一致します。
【定石】高次の方程式は共通因数でくくって次数を下げる。割るときは「その因数が でない」根拠（ここでは ）を必ず添える。
〔Ⅱ〕点 から に引いた接線
分野：微分／接線と解の個数 難易度：標準 目標時間：25分
座標平面上の曲線 を考える。
(1) を実数とする。曲線 上の点 における の接線の方程式を としたとき、 をそれぞれ の式で表せ。
(2) (1) で求めた を の関数とみなし、 と表すとき、関数 の増減表を書け。
(3) を実数とする。点 から曲線 に接線を引くとき、少なくとも1本の接線に対して接点の 座標が正となるような実数 の範囲を求めよ。
(1) 、
(2) は で減少、 で増加、 で減少。 で極小値 、 で極大値
(3)
(1) 接線の式を で書き、 切片を取り出す
上の点 における接線を とするとき、 を で表せ。
【型】接線は「接点をパラメータにして係数を読む」型
【なぜこうするか】接線の本数や接点の条件を問う問題では、接点を と置いて接線を の式で書くのが出発点です。とくに 切片 が主役になります。というのも、次の (3) で「点 を通る」という条件がそのまま になるからです。
なので、接線の傾きは です。
接線の方程式は
【検算】数式処理で を計算すると となり と一致しました。 では接線 で、 上の点 を通り傾き ✓。
【定石】3次曲線 の接線の 切片は 。「定点を通る接線の本数」＝「 の実数解の個数」という翻訳が使えるようにしておく。
(2) の増減を調べる
の増減表を書け。
【型】3次関数の増減は「導関数の因数分解」型
【なぜこうするか】やることは を因数分解して符号を読むだけ。ただしここで求めた極大値 が (3) の答えそのものになります。増減表は答案の飾りではなく、次の小問の材料です。 の係数が負なので「減 → 増 → 減」の順になる点にも注意します。
となるのは 。 の係数が負なので は でのみ正です。よって
： で減少／：極小値 ／： で増加／：極大値 ／： で減少。
【検算】数式処理で 、 を確認しました。また の範囲で を300万分割して調べると最大値は でした。
【定石】 の因数分解は共通因数を先に出す（）。最高次の係数の符号で増減の並び（増減増か減増減か）が決まる。
(3) 「接点の 座標が正」を での値域に読み替える
点 から に接線を引くとき、少なくとも1本の接線に対して接点の 座標が正となるような の範囲を求めよ。
【型】接線の本数・接点の条件は「 の解の個数」型
【なぜこうするか】(1) より、接点 の接線が点 を通る条件は 。つまり接点 と は で対応しているので、「接点の 座標が正である接線が少なくとも1本ある」は「 を満たす が存在する」、すなわち が の における値域に入ると言い換えられます。(2) の増減表がそのまま使えます。
(1) より、接点の 座標が である接線が点 を通る条件は
したがって求める条件は「 を満たす が存在すること」です。(2) の増減から、 における の値の動きは
が から まで動くとき は から まで増加し、 が から大きくなるとき は から まで減少します。よって における の値域は
（ の側だけで 以下のすべての値を取ります）。したがって
【検算】境界を直接確かめます。 のとき は （重解）を解にもつので、接点 が確かに存在します。 では正の解が の2つ、 では正の解が存在しません（3次方程式を数値的に解いて確認）。 では 、 では と、 が小さくても必ず正の接点が1つ残ります。
【定石】「定点を通る接線」は接点 の方程式 に翻訳する。接線の本数＝実数解の個数、接点の符号条件＝解の存在範囲。グラフと水平線 の交わり方で全部読める。
【よくあるミス】極大値をとる だけを見て を除外したり、 の側だけを答えたりする。 が大きい側で が まで落ちるので、どんなに小さい でも正の接点が存在します。
- 解を求めないで済ませる。〔Ⅰ〕(1) は解が虚数ですが、対称式なので和と積だけで答えが出ます。「まず解く」は最善手ではありません。
- は1つの にまとめる。2次式なら半角・2倍角で次数を落としてから合成。合成したら中身の変域を必ず書く。
- 数列の最大は階差の符号。 型は でくくれば括弧の中の2次式だけで判定できます。桁数は常用対数で。
- 領域の面積は境界の交点から。〔Ⅰ〕(5) は「上端が から に切り替わる 」で区間を割るのが全て。
- 定点を通る接線は に翻訳する。〔Ⅱ〕は3問すべてがこの1本の等式を作るための準備になっています。誘導の意図を読むと、(3) は増減表を眺めるだけの問題です。
この解説を書いている講師に、直接習うことができます。
※ 問題文は明治大学が公表した2024年度 商学部 入学試験問題（数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した一般的な解答例そのものではありません。ただし答えは大学公表の解答（Meiji_2024_mat_A_08.pdf）と全10問・全空所について一致を確認しています。なお〔Ⅲ〕4.は大学が「都合により設問を削除」としているため、解説の対象外です。
- 〔Ⅰ〕記号選択・小問集合（3問6空所）：2乗の差の不定方程式／対称式の最大／倍数条件と包除原理。どれも教科書の基本操作ですが、「偶奇をそろえる」「法で係数を簡約する」といった一手を知っているかどうかで所要時間が3倍変わります。
- 〔Ⅱ〕マーク式・絶対値の反復（4問）：、 で作る関数列と、その面積 。この年度の主役で、前半で作った道具を後半で使い切る、完成度の高い誘導が組まれています。
- 〔Ⅲ〕記述式・円に内接する等辺多角形（3問）：すべての辺が等しい多角形は正多角形とは限らず、星型多角形も条件を満たす。この見落としが (3) の失点に直結します。
- 商学部は例年「整数・場合の数」と「図形」を軸にした構成で、数学IIIは出ません。計算量よりも「条件を読み切る精度」で差がつく出題です。
〔Ⅰ〕小問集合（2乗の差・対称式の最大・倍数条件と包除原理）
分野：整数／対称式と微分／場合の数（包除原理） 難易度：標準 目標時間：20分
1. 自然数 が を満たすなら、 の値を求めよ。
2. について、 を満たす について、 が最大となるのは がいくつのときで、その最大値はいくらか。
3. 以下の自然数 の組 全体からなる集合を とする。その部分集合を次のように定める。
： で が の倍数であるもの全体 ／ ： で が の倍数であるもの全体
とするとき、 の要素の個数 と、補集合 の要素の個数 を求めよ。
1.
2. のとき最大で、最大値は
3. 、
1. 2乗の差は「和×差」に直し、偶奇をそろえてから約数を書き出す
自然数 が を満たすとき、 を求めよ。
【前提知識】①因数分解 。②自然数とは 以上の整数。③ と は必ず偶奇が一致する（差が で偶数だから）。この③が本問の急所です。
【型】2乗の差の不定方程式は「（和）×（差）＝定数」に直す型
【なぜこうするか】 という形を見たら、まず因数分解します。「積が 」という有限個の情報に変われば、約数の組を全部試すだけで終わるからです。ただし約数の組を機械的に4通り試すのは損で、先に偶奇をそろえると試す組が1つに減ります。積 は偶数なので「両方奇数」はあり得ず、偶奇が一致するのだから「両方偶数」に限られる——この一言で候補が激減します。
与式を移項して因数分解します。
は自然数なので 。したがって上式より 、すなわち です。また
は偶数なので、 と の偶奇は一致します。積が （偶数）なので両方が奇数ということはなく、偶奇が一致することから両方とも偶数です。 を偶数どうしの積に分ける方法は
の2通りだけ。さらに なので
辺々を足すと 、すなわち 。辺々を引くと 、すなわち です。
因数分解を思いつかなくても、大小評価だけで押し切れます。 より なので
したがって 、すなわち より の3通りだけを調べればよいことになります。 なら で （適）、 なら （平方数でない）、 なら （平方数でない）。よって 。右辺が と小さいうちはこちらでも十分速いのですが、右辺が のように大きくなると候補が一気に増えるので、本筋はやはり因数分解です。
【検算】 を代入すると 、 で一致します。さらに計算機で の全 通りを総当たりしたところ、 を満たすのは のただ1組だけでした。
本問はマーク式なので過程は書きませんが、手元の計算では偶奇の吟味を最初に済ませるのが得策です。これを飛ばして から試すと という分数が出て、「自然数にならない」と気づくまでに時間を取られます。記述式で出題された場合は「 と は偶奇が一致するから、ともに偶数である」の一文が必須で、これが無いと減点対象です。
において、 と の偶奇は一致するので、積 は「奇数×奇数（＝奇数）」か「偶数×偶数（＝ の倍数）」のどちらかにしかなりません。つまり の形の数は、決して2つの平方数の差では表せないのです。たとえば や には自然数解がありません。本問の は の倍数なので解が存在しました。この視点を持っておくと、（ で の倍数なので解あり）のような一般化された問題も、解の有無を即断できます。
【定石】 は 。約数を書き出す前に偶奇をそろえると、試す組が半分以下になる。
【よくあるミス】 を採用して とし、「自然数でないから不適」と気づくまでに時間を使う。偶奇の議論があれば最初から候補に入りません。逆に を採用してしまう誤りもありますが、 の確認で防げます。
2. 対称式は基本対称式に直し、 だけの3次関数にする
、 のとき、 が最大となる と、その最大値を求めよ。
【前提知識】①3乗の和の変形 。②3次関数の増減（ となる点で極値）。③開区間での最大最小は、端点の値を「取れない値」として扱う。
【型】対称式は基本対称式に直して1変数関数にする型
【なぜこうするか】 そのものを求めようとしてはいけません。 は の解で、判別式は 。 なのでこれは負、つまり は実数ですらありません。しかし は の対称式なので、和 と積 だけで書けます。すると だけの3次関数に化け、実数の世界の問題に戻ってくる——ここがこの小問の仕掛けです。
3乗の和の公式を使います。
そこで とおき、 での最大を調べます。
となるのは で、 なのでどちらも区間の内部にあります。符号は で正、 で負、 で正。したがって は増加 → 減少 → 増加の順に動きます。極値は
これが極大値です。同様に
が極小値です。
端点の値も計算しておきます（区間に含まれないので「近づく先」です）。 を使って
左半分 では は から まで増加し、右半分 では から まで増加します。右半分の値は最大でも なので、全体の最大は左半分の極大値です。
したがって のとき最大となり、最大値は です。
最大値を予想できているなら、差を作って因数分解する方が速く、しかも「最大である」ことの証明が1行で済みます。
を代入すると なので を因数にもち、実際に割ると
では 、また なので 、すなわち 。等号は のときだけです。増減表を書かずに最大値 が確定するので、マーク式ならこちらが最速です。
【検算】2通りで確かめました。(i) のとき なので は の2解、すなわち の虚数の3乗根 です。このとき となり、確かに です。(ii) 区間 を400万分割して数値的に最大を探すと、 で値 が得られ、理論値と一致しました。
増減表を書くときは、両端に と を書いたうえで「含まない」ことを明示します（値の欄を空欄にする、あるいは括弧書きにする）。本問は選択肢に （記号 V）が用意されており、これは端点の値を最大値と誤答させるための罠です。増減表さえ書けば、左端の は「そこへ近づくだけで到達しない値」であり、しかも極大値 より小さいと分かります。
は「積が 」なので、 は互いに逆数です。 のときは単位円上の共役な複素数 と書け、 となります。すると
で、これに3倍角の公式 を使うと
となり、本問の式 は3倍角の公式そのものだと分かります。最大値 は 、すなわち が の倍数のとき。 がそれで、このとき ——検算で出てきた の3乗根の正体です。ちなみに与えられた範囲 は の範囲でいえば に対応します。
【定石】。対称式は基本対称式で書けば必ず変数が減る。最大値の証明は、差が因数分解できるなら微分より速い。
【よくあるミス】①端点 での値 を最大値としてしまう（開区間なので到達しない、しかも より小さい）。② を実数だと思い込んで「判別式 」を課し、 と両立しないので手が止まる。問題文は が実数だとは言っていません。
3. 倍数条件は「法で係数を簡約」してから数え、包除原理でまとめる
以下の自然数 の組 全体を とし、 が の倍数となる組の集合を 、 が の倍数となる組の集合を とする。 と を求めよ。
【前提知識】①合同式の基本：、。②包除原理 。③補集合 。④ から を で割った余りは がちょうど2個ずつ。
【型】倍数条件は、法で係数を簡約してから数える型
【なぜこうするか】 や を36通り全部計算するのは時間の無駄です。係数をその法で簡約すると、、 となって条件が一気に軽くなります。とくに は「 が の倍数」という、さいころ2個の目の和でおなじみの形に化けます。ここまで簡約してから数えれば、暗算に近い速度で処理できます。
まず はそれぞれ の6通りなので です。
を求める。 より なので、条件は
は偶数なので、 も偶数でなければなりません。 で場合分けします。
・：、すなわち が偶数。 の3通り。
・：、すなわち が奇数。 の3通り。
・：、すなわち が奇数。3通り。
具体的には です。
を求める。 なので、条件は
を で割った余りは順に で、余り がちょうど2個ずつあります。したがって の余りを何に固定しても、 となる は必ず2通り。よって
（ を で割った余りが で均等に分かれるので 、と考えても同じです。）
を求める。 の9個について が の倍数かを1つずつ確認します。
○／ ×／ ×／ ○／ ×／ ×／ ×／ ○／ ×
以上を包除原理に入れて
求まった を見ると、すべて を満たしています。実際 なら で の条件を満たし、 で の条件も満たします。逆も成り立つかを確かめると、 より で、 の3通り——ちょうど3個です。この見方に気づけば の9個を1つずつ調べる手間が省けますが、要素数が10個そこそこなら書き出す方が確実で速いことも多く、試験場では無理に一般則を探さない方が安全です。
【検算】計算機で36通りすべてを直接判定したところ、、、（要素は で書き出しと完全一致）、、補集合が となりました。36個がちょうど半分ずつに割れるのは偶然ですが、答えの妥当性を確認する材料になります。
マーク式でも、 の9要素は必ず紙に書き出しておくことをすすめます。 を求める段階でそのまま使い回せるので、結局は最速になるからです。逆に「」とだけメモして先へ進むと、 を求める段階でもう一度9個を作り直す羽目になります。
係数の と には意味があります。 を「」に対応させるのは、 を6進法の上位桁、 を下位桁と見ることに相当します。 が から を動くとき は から までを1つずつ取り、その中の の倍数は の9個——確かに と一致します。一方 は「6進法表示の各桁の和」に相当し、 の倍数判定が桁の和で行える点は、10進法で の倍数を桁和で判定するのと同じ原理です（ と が対応します）。係数が と である必然性はここにあり、出題者が6進法を意識して作った設問だと読めます。
【定石】倍数条件は係数を法で簡約する。 では 、 では 。「 から は で割った余りが各2個ずつ」は確率でも頻出なので覚える。
【よくあるミス】① を求めるとき の場合を数え上げて、（）を落とす。余りが一様であることを使えば と一瞬です。②包除原理で を引き忘れて としてしまう。③補集合を としてしまう。
〔Ⅱ〕 が作る関数列と面積
分野：絶対値つき関数／積分（面積）／漸化式的な議論 難易度：やや難 目標時間：30分
、 とし、曲線 と 軸で囲まれた図形の面積を とする。
1. と を求めよ。
2. 以上の整数 とある数 について、 かつ とする。 とすると の値はいくつになって矛盾するか。また、そのことから を で表せ。
3. ある数 について、 かつ ならば はいくつか。また、 ならば と はいくつになるかに注意して、 となるすべての について を小さい順に並べよ。
4. を求めよ。
1. 、
2. となって矛盾する。よって
3. 。また ならば 。 となる の は小さい順に
4.
1. と置いて折れ線に直し、区間ごとに積分する
、。曲線 と 軸で囲まれた図形の面積を とするとき、 と を求めよ。
【前提知識】①絶対値は中身の符号で場合分けして外す。②放物線と直線で囲む面積の公式（ 公式）。③偶関数の定積分は片側の2倍。④。
【型】ネストした絶対値は「中身が になる点で区間を割る」型
【なぜこうするか】 を のまま睨んでも手が出ません。ここで効くのが と置くという一手です。 は の式としては「 を引いて絶対値」を繰り返すだけなので、 上の折れ線になります。折れ線なら区間ごとに1次式ですから、 を戻せば各区間で放物線の一部。この「 で考えてから に戻す」段取りが、この大問4問すべてを貫く方針です。
を求める。 で、 の符号は と の大小で決まります。
・ のとき なので
・ のとき なので
軸と囲まれた図形になるのは、曲線が 軸から離れて再び戻ってくる部分、すなわち の山です（ では曲線は上に発散するだけで閉じません）。
なので 公式が使えて
（直接計算しても で同じです。）
を求める。。 とおいて整理します。
・（）： なので 、よって
・（）： なので 、よって
・（）： なので
したがって となるのは の3か所で、囲まれるのは の部分です。 は偶関数なので右半分の2倍を計算します。
で置換して の世界で積分することもできますが、 より となって根号が分母に居座り、かえって面倒になります。「区間の切れ目を で決めて、積分自体は のまま行う」のが最も軽い段取りです。もう1つ、 を「2つの山の面積の和」と見る手もありますが、各山は と で式が切り替わるため、結局は2つに割ることになります。
【検算】800万分割の数値積分で確かめました。（理論値 、差 ）、（理論値 、差 ）。また は記号積分でも が返りました。 となるのは、 が でいったん まで落ちて面積を削るためで、グラフの形とも整合します。
マーク式なので過程は不要ですが、グラフの概形は必ず描いてください。 は「 で 軸に接し、 で頂点 をとる2つの山」という形で、これを描かずに積分区間を決めると から までを1本の式で積分してしまいます。描くべきは正確な曲線ではなく、「どこで になるか」「どこで式が切り替わるか」の目印だけで十分です。
を となる関数とすると、 は「数直線を ずつ折り返す」操作です。これは力学系でいうテント写像の親戚で、 を増やすほど山の数が増えていきます。実際 の零点は 、 の零点は と、 おきに1つずつ増えます。この構造が 3. と 4. の伏線になっており、1. で の折れ線を作った時点で、実は残り3問の準備が終わっているという設計です。
【定石】ネストした絶対値は内側から順に、中身の符号で区間を割る。 が絡むなら と置いて折れ線にすると見通しが立つ。
【よくあるミス】 の零点を と勘違いする（それは の零点）。 は 、すなわち 、すなわち または です。
2. 絶対値方程式の2つの候補を、符号条件と整数条件で1つに絞る
以上の整数 とある数 について かつ とする。 と仮定するとどうなって矛盾するか。またそこから を で表せ。
【前提知識】①絶対値方程式 または 。②（ なら絶対値、 なら なので、いずれも 以上）。③背理法の書き方。
【型】漸化式を逆向きにたどるための「一意性」を用意する型
【なぜこうするか】この小問は単独では意味が見えにくいのですが、3. で「 から を逆算する」ための道具作りです。定義 から逆にたどると の2通りが出てしまうので、これを1つに絞らないと逆算ができません。絞る道具が「 は 以上の整数」と「」の2つ。問題文の但し書きが、そのまま定理の仮定になっているわけです。
定義より なので、絶対値をはずして
のいずれかが成り立ちます。
すなわち
のどちらかです。
ここで と仮定します。 なので、このとき成り立つのは の方だけです。一方 は絶対値（または ）なので
したがって 、すなわち 。 は 以上の整数なので に限られ、このとき
となります。ところがこれは条件 に反するので矛盾です。
よって です。このもとで候補を見直すと、 が成り立つのは 、すなわち のとき。 は 以上なので で、そのときは となって と一致します。結局どの場合も
背理法を使わず、 で直接分ける書き方もあります。 のときは なので候補が1つに定まり 。 のときは ですが、 かつ より なので は不適、よって 。この書き方をすると「 という条件は の場合にだけ効いている」ことがはっきり見えます（ なら なので を使わなくても排除できる）。問題文の但し書きが何のためにあるかを理解するには、この見方が役に立ちます。
【検算】 で確かめます。、、、、。ここで主張どおりになっているかを見ると、 なら ○、 なら ○、 なら ○、 なら ○。すべて になっています。
記述で書くなら「」を必ず明記してください。絶対値なのだから当たり前に見えますが、この一言がないと の場合を排除する根拠が示せません。また背理法は「仮定する → 矛盾を導く → よって仮定の否定が成り立つ」の3段を省かずに書きます。
この小問が主張しているのは、「 が 以上の整数なら、1つ前の値もまた整数で、しかもちょうど だけ大きい」ということです。したがって から逆にたどると値は と1ずつ増える階段になり、最後に が整数として一意に確定します。順方向には情報が失われる（絶対値で符号が消える）のに、整数という条件を課すと逆方向に一意に復元できる——この非対称性が本問の面白いところで、3. で実際に使われます。
【定石】絶対値方程式 の2つの候補は、符号条件と整数条件で片方を潰す。問題文の「」という但し書きは、たいてい境界の1ケースを排除するために置かれている。
【よくあるミス】 を「 なら負だから不適」で済ませ、 のときの値が （負ではない）であることを見落とす。問題文がわざわざ と断っているのは、まさにこの穴を塞ぐためです。
3. 4回さかのぼって を決め、「零点は2つおきに復活する」で全解を拾う
かつ のとき を求めよ。また ならば はいくつかに注意して、 となるすべての の を小さい順に並べよ。
【前提知識】①2. の結果 （ただし のとき）。②。③1. で作った の区分表。
【型】終点の情報から漸化式を逆算して初項を決める型
【なぜこうするか】前半は 2. をそのまま4回使うだけです。ここで大事なのは、2. が使えるのは のときだけという点。問題文が で と断っているのは、4回の逆算すべてで定理の仮定が満たされることを保証するためです。後半は逆に「 でない場合」、つまり途中で を経由する解を拾う作業になります。この2つを合わせて初めて「すべての 」が求まります。
前半。2. を の順に使います。
で だから、2.（）より 。
で だから、2.（）より 。
で だから、2.（）より 。
で だから、2.（）より 。
なので 、すなわち
後半。まず のとき、定義から順に計算すると
つまりいったん になった点は、2つおきにずっと に戻ってきます。これを使って となる を「初めて になるのが何番目か」で分類します。
・ となる ： より 。このとき 、 となり条件を満たす。。
・ だが となる ： は 、すなわち 、すなわち より または 。 の方を取って 。このとき 。。
・ だが となる ：前半で求めた 。。
（ や から始まる場合は、 が2つおきに復活するので が になり、 は になってしまうので該当しません。）以上より となる は で
と並びます（ で条件を満たします）。
1. で作った （）は 上で「（）、（）、（）」でした。ここから 、 と2回進めると
となり、零点が 、すなわち とひと目で読めます。しかも 4. で面積を出すにはどのみち の式が必要なので、実戦ではこちらを先に作ってしまう方が効率的です。逆に言えば、2. と 3. 前半の議論は「なぜ が特別なのか」を理解させるための誘導だと読めます。
【検算】、、 を直接計算で確認しました（それぞれ ）。また では が順に でいずれも でないので、条件 を確かに満たしています。さらに を300万分割して となる点を数値的に探したところ、見つかったのは と （および分割の刻みの都合で拾えなかった ）で、上の3つ以外に解が無いことも確認できました。
「 は2つおきに復活する」を先に述べてから場合分けすると、漏れなく数えられます。いきなり を解こうとすると4重の絶対値と格闘することになり、時間内には終わりません。誘導文の「 ならば……に注意すれば」は、この分類をせよという指示です。
同じ議論を続けると、 の零点は という等差数列になり、 の解は
の 個になります。一方 が奇数のときは零点が となり、 とまったく別の系列が現れます（実際 の零点は 、 の零点は ）。偶数番目と奇数番目で零点が交互に入れ替わるのは、「」という2周期の構造が全体を支配しているためです。
【定石】漸化式で定義された関数の零点は、「零点が次の零点をどう生むか」を先に調べる。ここでは「」の2周期がすべてを決めていた。
【よくあるミス】 だけを答えて、 と を落とす。問題文の「」は を特定するための限定条件であって、後半の「 となるすべての 」にはこの限定がかかっていません。設問文のどこまでが仮定なのかを読み分ける必要があります。
4. 折れ線を に戻し、4つの区間に分けて積分する
曲線 と 軸で囲まれた図形の面積 を求めよ。
【前提知識】①3. の別解で作った の区分表。②。③、。④偶関数の積分は片側の2倍。
【型】折れ線を で引き戻し、区間ごとに放物線を積分する型
【なぜこうするか】 は の折れ線なので、 を代入すると各区間で「放物線の一部」になります。区間の切れ目は 、すなわち 。4つの区間に割って素直に積分するだけで、特別な工夫は要りません。ここで現れる4つの区間が、そのままグラフの「2つの山」（右半分）に対応します。
3. の別解で作った に を代入すると、 の範囲で
軸と囲まれるのは の部分だけです（ では上に発散して閉じません）。 は偶関数なので右半分の2倍を求めます。
1つずつ計算します。
これらを、有理数の部分・ の部分・ の部分に分けて足します。
有理数の部分：
の係数：
の係数：
右半分にある2つの山を、それぞれ独立に計算する手もあります。
・山1（、頂点 ）：
・山2（、頂点 ）：
和は で本解と一致します。山ごとに区切ると、山1の面積 がちょうど と同じ値であることに気づけます（ の内側の山は の山とまったく同じ形だからです）。この観察は検算にも使えます。
【検算】3通りで確かめました。(i) 800万分割の数値積分で 、理論値 で差は 。(ii) 記号積分でも が返りました。(iii) 別解で述べたとおり、内側の山の面積 は と一致します。値の大きさも と、山が増えるにつれてなだらかに増えており不自然さはありません。
計算に入る前に 、 を紙の端に書き出しておくと、代入ミスが激減します。また4つの積分結果を「有理数」「」「」の3列に縦に並べて足すと、符号の取り違えを防げます。マーク式では答えの形が と指定されているので、 の係数が負であることも検算材料になります。
の世界で見ると、 は「底辺 ・高さ の三角形が2つ」並んだだけの単純な図形で、その面積は と整数です。ところが の世界に戻すと によって横方向が で縮むため、区間の境目が と無理数になり、面積にも と が現れます。 が汚い値になる理由は、問題の本質ではなく座標の取り方にあるわけです。同じ計算を まで進めれば、区間の境目に と が加わり、答えにも新しい根号が1つずつ増えていきます。
【定石】折れ線を で引き戻すと、区間の境目が の形で並ぶ。積分の端に根号が来たら、先に を整理してから代入する。
【よくあるミス】① の部分（）まで積分してしまう。囲まれた図形は曲線が 軸に戻ってくる範囲だけです。②偶関数の2倍を忘れて を答えてしまう。③ を や のまま扱って計算が崩れる。
〔Ⅲ〕円に内接し、すべての辺が等しい多角形
分野：図形と計量／円周角・中心角（記述式） 難易度：やや難 目標時間：25分
平面上で、原点を とし、円 を とする。 以上の自然数 について、 上の異なる 個の点 を考える。但し、 とする。 を正の実数とし
を満たし、 の 座標は正とする。
1. の場合それぞれについて、 と を求めよ。
2. と置くとき、 について、 はすべて同じである事を示せ。
3. のとき、 をすべて求めよ。
1. のとき 、。 のとき 、
2. とおくと、 となり に依らない（証明は本文）
3. （）または （）
1. 等しい弦は等しい中心角に対応する。余弦定理で から中心角を出す
半径 の円 上の 点で、隣り合う点の距離がすべて 、、 の 座標は正。 それぞれについて と を求めよ。
【前提知識】①余弦定理。②半径 の円で中心角 に対する弦の長さは 。③円周上を等角で回って戻る条件。
【型】等しい弦を等しい中心角に翻訳する型
【なぜこうするか】弦の長さがすべて等しいので、対応する中心角もすべて等しくなります。つまり点は円周上を一定角ずつ回って進む。したがって決めるべきは「1回に何度回るか（）」だけで、 は から余弦定理で直接出ます。あとは「 回進んでちょうど に戻る」という条件で が決まる、という2段構えです。
まず、弦 の長さがすべて で等しいので、対応する中心角 もすべて等しくなります。これを とおきます。
は （半径）、底辺 の二等辺三角形なので、余弦定理より
のとき。
の 座標が正なので、点は から反時計回りに ずつ進みます。
異なる点は4個なので （正方形）。。
のとき。
よって （正三角形）。。
半径 の円で中心角 に対する弦の長さは です。ここでは なので 。
（ より なので は一意に定まります。）余弦定理より1行短いので、この公式を覚えているならこちらが速い。ただし記述式では公式を書くだけでなく「半径 の円で」と断りを入れておくと安全です。
【検算】 を数値計算すると、 で 、1周を割った 。 で 、。ちょうど になります。図形的にも、半径 の円に内接する正方形の1辺は （対角線が直径 だから）、正三角形の1辺は で、与えられた と一致します。
記述式なので、次の2点を必ず書いてください。①「弦がすべて等しいから中心角もすべて等しい」（これが無いと を1つの文字で置く根拠がない）。②「 の 座標が正だから反時計回り」（これが無いと時計回りの場合や の場合を排除した理由が示せない）。そのうえで実際の点の座標を並べて「異なる点は4個」と結論づけると、 を求めた根拠がはっきりします。
一般に 個の点が等間隔に並ぶとき （ は と互いに素な自然数）で、弦の長さは です。 なら正 角形、 なら星型多角形になります。半径 の円では が正六角形、 が正方形、 が正三角形、 が正十角形（黄金比！）に対応します。弦の長さを1つ与えれば多角形が決まる——この対応関係が本問の骨格で、3. では逆に「 を与えると が複数あり得る」という裏返しが問われます。
【定石】半径 の円の弦は 。弦から中心角を出すなら 、中心角から弦を出すならそのまま。
【よくあるミス】① に対して と の両方を答える。 の 座標が正という条件で に限られます。②（ ずつ8回進んで2周）を答える。それだと点が重複するので「異なる 個の点」に反します。
2. 中心 を使って内角を2つの底角に分ける
とするとき、 について がすべて同じであることを示せ。
【前提知識】①二等辺三角形の底角は等しい。②三角形の内角の和は 。③（別解では）円周角の定理＝円周角は中心角の半分。
【型】等しい中心角から等しい内角を導く型
【なぜこうするか】 は頂点 にできる角です。この角を中心 を使って2つに分けると、どちらも半径どうしが作る二等辺三角形の底角になり、中心角 だけで表せます。中心角がすべて等しいことは1. で確認済みなので、内角もすべて等しくなる——という筋です。「回転で写るから」という対称性の議論でも示せますが、記述式では計算で押した方が減点されません。
1. と同様に、弦がすべて等しいので中心角もすべて等しく、これを とおきます。
は の二等辺三角形なので、2つの底角は等しく、内角の和が であることから
同様に についても
半直線 は を2つに分けるので
右辺は を含まないので、 は のすべてで等しくなります。（証明終）
は弦 に対する円周角です。円周角はその点を含まない側の弧に対する中心角の半分なので、弧 と弧 の中心角がともに であることから、 を含まない側の弧の中心角は 。したがって
本解と同じ結論が1行で出ます。ただし「 を含まない側の弧はどちらか」を図で確認する必要があるので、丁寧さでは本解（二等辺三角形の底角に分ける方法）に分があります。試験場では、図を描いたうえで書きやすい方を選べば十分です。
【検算】 で実際に座標から角度を測りました。（正五角形）のとき各頂角は で、 と一致。（星型）のとき各頂角は で、 と一致します。5つの角がすべて同じ値になることも数値で確認済みです。
証明問題なので、次の3つを順に書きます。①「弦が等しいので中心角も等しい」という出発点。②二等辺三角形の底角を計算して を導く過程。③「右辺が に依らないので、すべて等しい」という締め。とくに③を書かずに を出しただけで終える答案が多いのですが、示すべきことは「すべて同じ」なので、最後の一文が結論そのものです。
導かれた という式は、正 角形の内角の公式と一致します。実際 を代入すると
で、これは「正 角形の1つの内角」そのものです。星型の場合も同じ式がそのまま使え、 を入れると内角は 。 が大きいほど鋭く尖った星になり、内角が小さくなります。正多角形と星型多角形を同じ1本の式が統一的に記述しているのがこの結果の面白さで、3. ではこの一般性がそのまま効いてきます。
【定石】円に内接する多角形の内角は （対応する中心角）。中心角がすべて等しければ内角もすべて等しい。
【よくあるミス】「正 角形だから内角は等しい」と書いてしまう。この段階では正 角形とは限りません（星型もあり得る）ので、「弦が等しい → 中心角が等しい → 内角が等しい」の順に示す必要があります。結論を先取りした答案は、たとえ答えが合っていても証明としては不成立です。
3. 閉じる条件 から の候補を漏れなく拾う
のとき、 をすべて求めよ。
【前提知識】①2. の結果「各内角は 」。②1周する条件 （ は自然数）。③ の 座標が正 。
【型】閉じる条件から角を絞り、和を計算する型
【なぜこうするか】2. より5つの角はすべて等しいので、和は 。あとは を求めるだけです。 は「5回進んでちょうど に戻る」ことから が の整数倍——という条件で決まります。ここで整数倍の「倍率」が1通りとは限らないのがこの問題の核心で、設問が「すべて求めよ」となっているのはそのためです。
とおきます。 の 座標が正なので点は反時計回りに ずつ進み
5回進んでちょうど に戻るので、これらの中心角の和は円を何周かした角度に等しく、自然数 を用いて
に代入して の範囲を絞ります。
は自然数なので の2通りです。2. より5つの角はすべて に等しいので、求める和は
（）のとき：
（）のとき：
よって求める和は または です。
は正五角形なので、内角は 、和は 。 は星型五角形（五芒星）で、「五芒星の5つの先端の角の和は 」は有名事実なので、五芒星だと気づけば計算せずに と答えられます。ただしこの別解には落とし穴があって、「そもそも五芒星も条件を満たす」ことに気づくには、結局 の候補を数え上げる必要があるのです。したがって答案としては本解の手順（ の範囲を絞る）が必須で、別解は検算に使うのが正しい位置づけです。
【検算】実際に5点の座標を作って角度を測りました。 では各頂角 、和 。 では各頂角 、和 。どちらも理論値と一致しました。また五芒星の1辺の長さは 、正五角形の1辺は で、確かに同じ でも が異なる2つの図形が存在します。
「すべて求めよ」という設問なので、候補を漏れなく挙げたことを示すのが得点の中心です。具体的には「」と「」の2つから を導き、「 は自然数だから 」と書きます。この絞り込みの過程が無いと、たとえ答えの が両方書けていても「たまたま2つ挙げただけ」と見なされかねません。逆に片方だけ書いた答案は、配点の半分以上を失います。
一般の では （、かつ点が 個すべて異なるためには と が互いに素）で、角の和は
となります。 なら で 。 なら で 。和はつねに奇数 になり、 が1増えるごとに ずつ減るという美しい規則が現れます。なお「 と が互いに素」という条件が必要なのは、たとえば だと となって点が3個しか現れず、「異なる6点」という条件に反するためです。本問は が素数なので、 が自動的に互いに素の条件を満たしており、そこを議論する必要がありませんでした。
【定石】円周上を等角で回って閉じる条件は 。向きの条件（ここでは 座標が正）で の範囲を絞ってから、 を数え上げる。
【よくあるミス】正五角形だけを考えて （）と答える。問題文の「異なる5点」「 の 座標が正」という条件は五芒星を排除していませんので、 と の両方が答えです。「辺の長さがすべて等しい多角形＝正多角形」という思い込みが、この失点の正体です。
- 整数問題は「積の形」に直し、偶奇をそろえてから約数を書き出す。〔Ⅰ〕1. は にした後、偶奇の一致を使えば候補が1組に絞れます。さらに一般化すると「 で割って 余る数は平方数の差では表せない」という命題が得られます。
- 対称式は基本対称式で書けば必ず変数が減る。〔Ⅰ〕2. は が実数ですらないのに、 と だけの関数に化けます。最大値の証明は という因数分解で1行。
- ネストした絶対値は で折れ線に直す。〔Ⅱ〕は1. で の折れ線を作った時点で、実は4問すべての準備が終わっています。誘導の意図を読めば、2.・3. は「逆算の一意性」を保証するための道具立てだと分かります。
- 零点は「次の零点をどう生むか」で分類する。〔Ⅱ〕3. の「」という2周期の構造が、 の解を3種類に分ける根拠でした。
- 「辺がすべて等しい」は「正多角形」を意味しない。〔Ⅲ〕3. の失点はほぼこの1点に集約されます。閉じる条件 を立てて を数え上げる、という手順を身体に入れておけば、星型を落とすことはありません。
この解説を書いている講師に、直接習うことができます。
明治大学 数学 過去問｜他の年度を見る
明治大学の数学の過去問は32年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
明治大学 2024年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 整数
- 指数・対数
- 微分・積分
- 空間図形
- 数列
- 関数・グラフ
この年度の出題範囲と傾向
2024年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、整数、指数・対数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。明治大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、整数は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
重点的に準備したい分野
- 図形・三角関数条件を図へ書き込み、相似・円・三角比・座標化のうち短く処理できる方針を選ぶ練習が有効です。
- 確率・場合の数重複や数え漏れを防ぐため、標本空間と場合分けの基準を先に書いてから計算します。
- 整数約数・余り・偶奇の条件を整理し、具体例から規則を予想した後に一般の場合を証明します。
- 指数・対数定義域と底の条件を最初に確認し、指数形・対数形を適切に切り替えます。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、空間図形、指数・対数、図形・三角関数、微分・積分
tig である。 Eh, BH (k= 5,6,7,---) の値は| 7] C
ある。
(2) cms を求めたい。上記の規則2によればぱ、1 <i S 2 を満たす?に対してgiに1
を加えた数と第| エ | 項が等しいと定めている。 実際に、2! < 518 S24 ie
ree eee aL オ | であることに注意すれば、grs =| カ | である。
LOMER
© #+i-1 OD *+i @ *+i+1 O W420i
@ #4241 © wet ーーュ1 6 ot 5
@ + 541 8 2a 1 @ kta
—n—
(3) 点Pa (k= 12,306) を次のように定める。
BA {an} の初項から第 2* 項に着目し、g。 を 4 で割った余りにしたがって、
ベクトル8。 を
(1,0) g』が4の倍数のとき
。 0.1) 。 g。を4で割った余りが1のとき
d=
(-1,0) c。を4で割った余りが2のとき
(0,-1) g。を4で割った余りが3のとき
によって定め、点Pi の位置ペタトルをOPi = ete CL. KPa (k= 23,400) |
の位置クトルを OP =e tert eete tee とする。たとえば、 |
OP? = (1,0) + (0,1) + (-1,0) + (0,1) = (0,2) |
ChSo {an} を定める規則に注目すると、|OPxi| は Ioの[ キー]秩でぁり、 |
2PzOoPn =| 2 |でぁる。 |
=のことから Ope (TF ].[S_]) <a. |
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i
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i
i
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{
|
|
ー12一 i
{
キの解答群
1 1 1 v2
On; OG 5 oF @1
@ v2 人6 2 @ 22 4 Os
7 ORS
10 15° ® 30° @ 45° ® 60° @ 75°
® 90° 61055 120° 135 9150"
ケ、コの解答群
© -2 © 28 の-29 @-28 @0
@1 © 28 の 2 @ 2 Oo”
ー fg oe
(このページは計算や下書きに利用してもよい。)
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ー14 一 |
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問2画像OCR
検出分野: 指数・対数、図形・三角関数、確率・場合の数、整数、方程式・不等式
【全学部統一】
解答時間 60分
配点 100点
よ
Bla, BAI 問題
はじめに、これを読みなさい。
1. 解答を始めるよう合図があるまで、問題革子は開かないこと。
2. この間題冊子には、「数学皿」と「国語」の問題がおさめられている。「数学
Tl) は表面から 10 ページ、「国語」は裏面から 20 ページである。 必要な科
目を選択して解答すること。なお、表紙の次の白紙 2 ページはメモ用紙と
して使用してもよい。
3. 解答用紙に印刷されている座席番号が正しいかどうか、受験票と星合する
こと。
4. 監督者の指示にしたがい、解答用紙の氏名欄に氏名を記入すること。
5. 解答用紙の「解答科目マーク欄]にマークレし、「解答科目名記入欄」に解答す
る科目名を記入すること。マークされていない場合、または複数の科目
にマークされている場合は、この時限の科目は採点対象外となる。
6. 解答は、すべて解答用紙の所定欄にマークすること。
7. 1 つの解答欄に 2 つ以上マークしないこと。
8. 解答は、必ず鉛筆またはシャープペンシル(いずれもHB・黒)で記入する
に
9. 訂正する場合は、消しゴムできれいに消し、消しくずを残さないこと。
10. 解答用紙は、絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
11. 解答用紙はすべて回収するので、持ち帰らず、必ず提出すること。
12. 問題生子は、必ず持ち帰ること。
13, 試験時間は、60 分である。
14. (BEI) 分数形で解答する場合は、既約分数で答えること。
15. BEM) 根号を含む形で解答する場合は、根号の中に現れる自然数が最
小となる形で答えること。
16. マーク記入例
良い例 悪 い Bl
REM 問題
C1) の空抽| ア | に当てはまるものを指定された解人群の中から泥び、解用紙の所定の捕の番号
をマークせよ。宇欄| イ | には、当てはまる0 から 9 までの数字を解答用導の所定の億にマークせよ。
REL, log は自然対数である。
(a) fog (2+ Vie) [テコ]
(2) / Yg=[ イィ]
PORE
a setae lat 7イタ
いた ® Voor ®@ Vilee @ r+V1+2
a ee a sae a
@ evi te Savive 8 apr 0 ae
v1+a? x
® log c+V1l+22 @ lee e+V1+a?
2S fh oe
(このページは計算用紙として使用してよい。)
ーッー
CL) koi CRE SO から 9 までの数字を解符用紙の所定の欄にマークせよ。
: は護才単位とし、oー SL とする。
投げたと き表と事の出る確率がそれぞれ T の硬貨を用意する。zo = 0 とおき、この硬貨を4 回投げて、
複素数 a1, zo, 25, 24 を次の規則により定める。 n=1, 2 3, 4に対して、ヵ 回日に投げたとき、表が出た
ならば tn = Win EL, MAUNA IE my = i+ LEG So 例えば、4 回投げた結果、順に「裏、表、
BR) と出た場合、
“4 =z+1=1, 2 = Wz) =u, za 三ze十1 =の十1, %4 = W273 = Ww tw
となる。
上の規則により 21, 22, 2a, る4 を定めたとき、P を z4 =0 となる確率、O を za = 1 となる確率、 を
絡ニの1 となる確率とすると、
である。また、9を|zal = 1となる確率、77 を| zal =2 となる確率とすると、
225-[ ェ | 27=| 4 |
である。
we og)
(このページは計算用紙として使用してよい。)
ney ーー
CW) xoxo 7} 4) (9) =エ | | オ | に当てはまる$のを指定きれた
解容群の中から選び、人解答用紙の所室の欄の番号をマークせよ。 解答群から同じものを2回以上選んでも
kv. Bi A |] は2桁の数を表すものとし、当てはまる 0 から 9 までの数字を解答用紙の所定の欄
にマークせよ。
@> 0 とする。 座標平面上で、原点 〇 を中心とする半径 。 の補円を の」 とし、のと外接する半径 の円
を の。 とする。円 の。 が定円 の, と外接しながらすべることなく転がるとき、の。 上の定点P が描く曲線を考
えたい。
始めに Cy の中心が (2a, 0) にあり、P が (a, 0) にあるとする。の5 の中心が点 (2g、 0) から原点O を中
心に反時計回りに 9 だけ回転した位置にきたとき、のと の。 の接点を通る のi と Cy の共通の接線を ly と
する。 7ぁ の方程式は、
=([ァjm(Lィコッ
である。このとき、P は直線 /。 に関して点 (a, 0) と対称な点であるので、P の座標を (s, 9) とすると、P
OPE 6 を旋介変数として、
<=2e(| ウ |)es+e y=2e(| ヶ |)me
と表される。*y とりをそれぞれ6で微分すると、
る(主演-s(しテ
となるので、9が0から 2r まで動くとき、Pが描く曲線の長きは | カキ |zである。
ア、イ、ウ、エ、オの解答用
10 sind @ 1-sinの @ 1+sing 8 sin2¥—sind @ cos26+cosd
® cos9 © 1 cos9 @ 1+cos9 ® sin2¥+sin@ @ 一cos29二cos9
ー 5一
(このページは計算用紙として使用してよい。)
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上
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_— |
(IV) 次の識欄に当てはまるものをそれぞれ指定された解答群の中から選び、解答用紙の所定の欄の番号
をマークせよ。なお、 解答群から同じものを2回以上選んでもよい。
> 1 とする。 を底とする対数関数サー log, x で定まる曲線をびとし、ッ= $F で定まる直線を/ とす
る。このとき、Cとの共有点の z 座標は次の方程式の解である。
logz logt
oc 2
ここで log は自然対数であり、e はその底とする。
>0に対して7りー SF eed, nite =[_7_fowxt[ イィ ]をと7の=ヒット
ッッ1のとき7げ7) >| ウ |である。 また、 lim, fle) =し ェ | lim 7(く) = 0である。したがって、
のと(が2つの共有点を持つための必要十分条件は、
エーーー] logt 5
wy |< a 4 yee (L)
Eh Bs LOEB, ZOOKHAO 2 EMIS, NEVA pOFSE, WHR <p<[_T_ |が成
り立つ。
(1) を満たす守数# と 0 <a <ゎぁを満たす wに対して、次で定まる数列 fo。} を考える。
asa, mn=(V)) emL23...)
このとき、
log, ター
as Pa] (n=1, 2, 3, +++)
が成り立つ。これより、すべての自然数ヵに対して、不等式 。 < ヵが成り立つこともわかる。
曲線のが上に凸で、 *ー Leng amMonmsity= (セー 1) であるから、 RK
D 1 Ont _ we
PT 2] a) fe bBo
が成り立つ。よって、
zzl * |
0 <p any, S ーー (ゆーgx) (n= 1, 2, 3, ...)
A |
がわかる。ゆえに、 lim an =ニ| ク | である。
2,
we po
以上より、
な=V2。 nr = (V2) (n=1, 2,3, ...)
CHE SBE {。} としたとき、 im =| ヶ |でぁる。 |
PAW LALA, TORBE
@ 0 @ 1 @ 2 @ 3 @ 4
© v2 @ < ot @« ® -c0 |
|
4, TOMER |
Ot @ logt ® lox > ® loge @ log, ニ |
@ vt Op @ > @ gp @ bon. 5 |
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i
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i
|
i
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—: few |
(このページは計算用紙として使用してよい。)
= Gf =
(このページは計算用紙として使用してよい。 )
yo
問3画像OCR
検出分野: 微分・積分、指数・対数、関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数
条件を満たすとする。
e kL 有抽は0以上の整数である。
・ cS BHR f(a) =0 は -ユ を解にもつ。
・ 7で) を微分して得られる整式を(*) とするとき, f(x) を+2 で
割ったときの余りは 41 である。
このとき. ょ=| ア | 7=| イ | m=[_9 | であり. west
fle) =0の + 以外の解は - と である。
ーきキー
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| (このページは計算や下書きに利用してよい。)
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oe
(2) たを正の実数とし HAEMAIM 4 .0(0, 0, 0), ACh, 2,1), B(-k, 1, 2),
O(, 1, 1) を考える。 2つのペクトル O4 と OB は垂直であるとする。ま
た, 340, A, Bを通る平面をwとし, 点Cから平面々へ下ろした三線
と平面 との交点をH とする。
このとき, =| キネ |] でぁり. AOABの面積 である。
また,
ーー しシル|
CH), 四面体OABC の体積は FR ene,
age
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| (このページは計算や下書きに利用してよい。)
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ーォー
(3) ERR LOM ye をCとする。
(a) 曲線のとヶ軸および2直線々=0.ァ=log2 CHENKMBTE, cH
のまわりに1回転してできる立体の体積は 1ゴ
(b) 曲線のとり軸および直線サーe で囲まれた部分を、り 軸のまわりに
1回枝してできる立体の体積は ([ ツ |@-| テ |)でぁる。
KEL, logan ita の自然対数を表し, e は自然対数の底とする。
_sー
| (このページは計算や下書きに利用してよい。)
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= @ =
(4) 5人の中学生 A, B, ©, D, Eと3人の高校生F, G, HOMES AD
AGED, 2つの部屋 XX. Y に分かれて入る。ただし, どの生徒も必ずどち
らかの部屋に入るものとする。
(a) どちらの部屋にも 1 人以上の生徒が入るような入り方は 通
りである。
(b) どちらの部屋にも 1 人以上の中学生が入るような入り方は
通りである。
(C) どちらの部屋にも. 1人以上の中学生と 1 人以上の高校生が入るよう
な入り方は 通りである。
(@) どちらの部屋も中学生の人数が高校生の人数より多くなるような入り
方は 通りである。 ただし, どちらの部屋にも 1 人以上の高校
生が入るものとする。
ーッー
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
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ー 8一
CI) xo[| ぁ |と[| い |にぁてはまる式と[| ラ |みか5[ < de
あてはまる数を求めよ。 解答は解符用紙の所定の欄に記入せよ。途中経骨を
記入する必要はない。
flo) = gimp V8cos27 とし 座標平面上の曲線ター f(a) を〇とする。
半数 f(a) DMMB f'(x) とする。
(1) KO, 7(0)) における 曲線のの接線の方程式はリッー| あ |である。
(2) #についての整式 9() で, /(z) = 9(sin z) cosa が成り立つものを求め
at, 920=| い |でぁぁ。
(3) g>0の範囲で.(z) 0となるの値を小さい順に gz, ea.
(4) 0 ミz ミィの範囲での sa) の最大値は| か |最小値は| き |
である。
(5) (3) で定めた p」 と zs に対して, 2K (ar f(r). (ea, fles)) を通る
直線を7 とする。このとき, 2 S z S zs DMR BY CHM と曲線 の
で困まれた部分の面積は| く | である。
と gy os
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| (このページは計算や下書きに利用してよい。)
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23 1955
CII) xo jose | にあてはまるもの (数や式など) を求めよ。
解答は解答用紙の所定の欄に記入せよ。途中経通を記入する必要はない。
上平面上の曲線リーヴ をの. 直線9ー 2-5 を7とする。 s ERM
EL, 直線=sをm とする。 MMC LOA PE) に対し, P から直線】
に下ろした垂線と との交点を Q1 とする。 また, Pから直線 に下ろした垂
株ととの交点を とする。
(1) 点Pと点Qの四見PQ をの式で表すと, PQ=[_ け | である。
Q) 点Pと点愉の距離PR をゥと#の式で表すと, PR=| こ |である。
(3) PQは#=[ さ | のとき, 最小値| し |をとる。
(4) = Zoe き、PQ = PR となる点P をすべて求め、その?座標を小
きい順に並べると| す |となる。
(5) 実数ぁを固定したとき, PQ=PREGSLIGAP の個数を W。とす
る。 がW。 =4となる sommes, せ |である。
=i
(このページは計算や下書きに利用してよい。)
問4画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、数列、図形・三角関数、微分・積分、空間図形
11. 解答用紙はすべて回収する。 持ち帰らず, 必ず提出すること。ただし,
COMME IL, 必ず持ち帰ること。
12. 試験時間は 60 分である。
13. マーク記入例 -
6 | 080
C1) ()-(5) において, @. @. @の値の大小関係を調べ 最大のものと最小のものを, そ
れぞれ所定の解答欄 (表面) にマークせよ。
(1) @ DBR f(x) = a3 + da? — de 十4に対して, f(c) DBR g(a), g(x) の導
関数を h(a), h(x) の導関数を p(w) とするとき,
@ oft) ® 111 @ z111
(2) 変量到 のデータが1 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 15, 15
の 20 個の値からなるとき, この変量 OF—F OWT,
6 mit © rset © 平均人
-、 のーー12 a b e
(3) a, 5 cを定数とする。 等式 @ ery eoT1 e+32「記っュ がzに
ついての恒等式であるとき,
@a @b Oc
(2) 座標平面上の 2 つの円 Oi, 0。 の共通接線の本数
@ Oi: 2+のニー9」 Og: a? +(y-4)? =4
人 0 : a? +y?=4, Og: a? +(y+1P?=1
© Or: a? +y?=1, Oo: (w@+4)?+y?=9
(5) 4 つの命題があり, TOI SNCHAMPMILIVC, HCH SMHMIL1 つである。 |
EK, この4つの命題のうち, 逆が真である命題は 1 つで, 逆が偽である命題は3 つ |
である。この4つの命題について,
0 EMAC, 裏が真である命題の数 1
対偶が真である命題の数
QO RANCH 3 MOR
ーー
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
=
CI) 所売の解和 Gem) i, BBE 7 rk.
masa [_o_], [2] exumasiryomcbacee,
は解符が2ケタの数であることを| ケコサシ | MBI 77 OM CHSCLERL
ている。
ay ee get のもきま, 8+のの値は| アァィ |/| 9 |
Y7+V5 「 Vi-v5
である。
(2) loge % Hogg 3y=1 02 8, キテ oftite=[_=_]). v=] ce
小となり, 最小人は| カ | である。
(3) 5を実数とする。初項q (g > 0) , SOOSRMTIE, MH, Alta OF
比数列があり, 等差数列の第 2 項が等数列の第 3 項と等しく, ABO HE 4 項が |
等比数列の第 5 項と等しいとき, o- Ve]. 68=V[ 2 |でぁz。
(4) 7で割ると4余り, 11 で割ると 7 余る自然数のうち、2024 を超えない最大のもの |
|
ag =
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
ーー Apacs
CD), GV), CV) のうち2問を測択して解符せよ。(なお3問すべてに解答した場合は 高
得点の2問を合計得点に含める。)
CL) seo mM (表面) に, (1) については符のみを, (2) と (3) については証電を, (4)
については解答経過と答をともに記せ。
座標平面上に 2 つの放物線 の : リー 2の:リーーのー3o填2 がある。 CLEC
は異なる 2 点で交わり, そのうちゃ座標が小さい方を点 A, もう一方を点 B とする。
ER, Ch, Co の頂点をそれぞれ点 0 G とする。このとき, 次の開に符えよ。
(1) AA, B, COMMER L.
(2) 放物線 の」 と Cy で囲まれた図形の面積が, 直線 AB によって二等分きれることを
(3) BF AB の中点と線分 OC の中点が一致することを示せ。
(4) 四角形AOBO の面積を求めよ。
|
|
a Be |
|
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
x Bo
CHD, CV), CV) のうち2問を選択して解答せよ。(なお3問すべてに角窟した場合は 高
得点の2 問を合計得点に含める。)
CV) 所売の解和欄 GER) Ic, (1)ご(3) のすべてについて解答経過と答をともに記せ。
半径 1 の円 O の円周上に異なる 3 点A, B, Cがあり, 直線 AO と三角形 ABC の
DBC MR HSAEP とする。304 + 40B + 5OC = 0 が成り立つとき, 次の問に
Bake
(1) BP:PC および AO:OP を求めよ。
(2) 内積 OX.0C を求めよ。
(3) 三角形 ABC の面積を求めよ。
ーー
(このページは計算用紙として使用してもよい。問題は次ページに続く。)
oe 8
GD, CV), (V) のうち2問を選択して解答せよ。(なお3問すべてに解答した場合は, 高
得点の2 問を合計得点に含める。)
CV) 所定の解答欄 (裏面) に. (1) については符のみを, (2)~() については解稚経過と
答をともに記せ。なお, 答の分数は, それ以上約分できない形にすること。
座標平面上の直線および放物線の係数を, サイコロを投げて出た目で決めるものとす
る。このとき, 次の問に答えよ。
(1) 1 個のサイコロを 2 回投げたときに用た目を大番に ge 5 とするとき. yorta
と9ニーg十もの共有点がり軸上にある確率を求めよ。
(2) 1 個のサイコロを3 回投げたときに出た目を順番に a,b, c とするとき,
りーーgみ十りとりーッーcの共有点が直線リッー 0 上にある確率を求めよ。
(3) 1個のサイコロを 2B E SIMA B EM a DET SER, y=a2+an4d
が直線 リー 0 と共有点をもつ確率を求めよ。
(4) 1 個のサイコロを 4 BRL ACMA EME a, 6 c 9すとするとき,
りリータ"十2gg十りとり=2cp十すの共有点の個数が 0 個または 2 個となる確率を求
めよ。
(以上間題終)
a ff
|
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、指数・対数、図形・三角関数、微分・積分、整数
以下の問に符えなさい。 空欄内の各文字に当てはまる数字を所完の解答欄にマー
クしなさい。
(1) 6枚を選んで一列に並べるとき, 偶数と奇数が交互になる場合は全部で[ アイウェ |
通りある。
(2) 人数のカード 2 枚以上を含む5 枚を選んで一列に並べるとき, BLD LAE
り合わせにならない場合は全部で| オカキク | 通りある。
(3) 偶数のカード 2 枚, GROW KF 2 枚を選んで一列に並べるとき, 1000 以上の
偶数となる場合は全部で| ケコサシ | 通りある。
(4) 4枚を順に選んでその数字を gdとするとき, ob ieの+ dg=1とな
るgoすの組合せは全部で| スセ |通りある。
(3) 3枚を順に選んでその数字を 0, 5 とするとき, / (82? — 20x — b)dn = 0 Le
・ るちの組合せは全部で| ソタ |通りある。
(6) 3枚を順に選んでその数字を e, c とするとき.
logs 3°° «log, 4 = log, 2-log, 27° となる ocの直合せは全部で| チッ |通り
ある。
es
|
(このページは計算用紙として使用しなさい。)
ーッー
[TL] 座林平面上の放物線リーァー3z二6に点P(1.0) から 2 本の接線を引き, それら
の接点のうち, 座標が正の接点を A, <座標が負の接点を B とする。 また, LOK
物線の頂点を Q とし, 直線 PQ と線分 AB の交点を REDS.
以下の問に答えなさい。 空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答欄にマー
クレなさい。ただし, 分数はすべて既約分数にしなさい。根号を伴う空棚は, 根号
の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
0 = CECE), = STEER) ws。
:
(2) cos ZAPB = ーー であり. 三角形APB の面積は| へホ |]で
ある。
(rk
である。
(4) 三角形BPR の面積は = である。
i gS
(このページは言
計算用紙として使用しなさい。)
ーィー
(I) 光の条件によって定められる数列 {g。) を考える。
a, =1, gyニー2. gar2 ニー2g。 (n=1,2,3,---)
COB {an} を用いて, 座標平面上に点 P(, a2), Pa(a2, os) Pa(an, ans);
以下の問に符えなさい。 設問 (1) は空欄内の各文字に当てはまる数字を所定の解答
欄にマークしなさい。 設問 2) (8), (4) は裏面の所定の欄に解答のみ書きなさい。
(1) 数列 {mx} の第 20 項は THY, 初項から第 20 項までの和は
[Ez Jess.
(2) ぁを用いて. AP, の座標を表しなさい。ただし, が奇数の場合と偶数の場合
に分けて書きなさい。
(3) 3点 Pen Pos, Parsi (ただし. ま は自然数) を頂点とする三角形の面積を S。
とする。k を用いて 8S。 を表しなさい。
(4) (3) MS, について, 100 < と Si < 10000 をみたす自然数ヵ をすべて書きな
rast
きい。
ae es
(このページは計算用紙として使用しなさい。)
ー。ー
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式、空間図形、関数・グラフ
マークせよ。根号を含む形で解答する場合、根号の中に現れる自然数が最小となる形
で符えよ。分数形で解答する場合、それ以上約分できない形で符えよ。
1) 2次方程式
2a? Tr +9 =0 -
ORE a, PETS.
1d
る
© o-4.2-4を解とし、z? の係数が 2 であるような 2 次方程式を
2a? + sx+t=0
RELA, hs の値はそれぞれ
である。
ニーュー
このページは計算用紙として使用しなさい。
ーー が を=
0) 座標平面において、単位円上の点 (2,y) = (cosのsimの を考える。ただし、
円周率をr とし、0 ミのミミ とする。
1 zyは、 9 = に のとき最大となる。
2 z+V3y は、9 = Se * のとき最大となる。
[キルを1
3 の+zy二29? は、9 = 7 OL, RK ーーーテニーーーー
をとる。
ss gress
このページは計算用紙として使用しなさい。
a
(3) 座標平面上の 3 点 A(-1,1), B(0,2)。 C(1, 3) を考える。
© 株分ABを3:2に外分する京の央探は (| ア |, である。
9 点Pe,9) が条件
GB. (2AB - 3BP) =0
を満たすとき
2 2
にゴゴ * (-) ED
が成り立つ。
このページは計算用紙として使用しなさい。
(4) 一般項が
Gn = 2"(—n? + 44n — 51)
である数列 {an} を考える。ただし、ゎ を自然数とする。
© ぁ=| ティッ |でぁぁ。
2 emm ーm =2" (—n? +[ エォ |+| ぁキ ]) でぁる。
4 は、れ=| タテ |] のとき最大たなる。この最大値は| コサ |桁である。
ただし、1logn 2 = 0.30, logyy 3 = 0.48 とする。
=
このページは計算用紙として使用しなさい。
oa Boece
(5) 実数んは0<g<1 を満たす。以下の不等式
9をの7。 ySz, ys?
を満たす座標平面上の点 (z,y) 全体からなる領域を 有ア とする。また、以下の不等式
go gz。 9その
を満たす座標平面上の点 (2,y) 全体からなる領域を 9 とする。
© 。=よのとき、3の面積は ーーニー である。
°
OQ BRR OWE
LZ LAE
である。
@ 領域及と領域@の面積が等しくなるようなoの値は
C2125
ニレーー パリレーーー
である。
ーー
このページは計算用紙として使用しなさい。
= 10=。
[TI 座標平面上の曲線の:り="ーg? を考える。
(1) #を実数とする。 曲線ど上の点 (ゼー) における 〇の接線の方程式を
y=prt+q
としたとき、p, 9をそれぞれ#の式で表せ。
(2) (1) で求めたを4の関数とみなし、g= ft) と表すとき、関数げ(6) の増減表を
書け。
(3) c を実数とする。点 (0,g) から曲線のに接線を引くとき、少なくとも 1 本の接
線に対して接点の a 座標が正となるような実数 。 の範囲を求めよ。
Saree
このページは計算用紙として使用しなさい。
—~p—
問7画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、微分・積分、空間図形、指数・対数
(2) 千の位が奇数となる場合は 通りある。
(3) 5の倍数となる場合は| 6 | 通りある。
(4 Om AEE)
A 504 B 720 C 3024 D 4536 E 5040 F 6561
G 7200 H 8100 I 9000 J 10000 K その他
(5 ORE)
A 120 B 504 C 720 D 2016 E 2268 F 2520
G 2880 H 3024 1 3600 J 432 K その他
(6 ARE)
A 448 B 504 C 672 D 896 E 952 F 1008
G 1024 H 1296 1 1458 J 2000 K その他
ーー
数学 問題は次のページに続いています。
ー6 一
CV) 次の設問の DAO TERE RABE RO BMT BRUSH —
クしなさい。
半径1 の円が正十二角形の各辺の中点を通るとき、この正十二角形の面積ほ
(7 OBRSEE)
A 3 B 12(2-/3) C 12(273 - 3)
D 6 E 6(3-/3) F 6(4-/3)
G 6(3+/3) H 6(4+3) I 12(2+/3)
J 12(3+/3) K その他
ーァター
数学 問題は次のページに続いています。
ーgー
CV] 深の設問の から DEAD ERE ETE D SRO. BAT
DEMIS — 7 LE SV.
BEAST ORY = — 22 + ye Cy HY = — 22 + gkxを、 直線
ye ret dl dL. ERG EGOLESEEBLTVSLTS. REL
5 0, RIBLTH Da, ぐ の BREF EFS.
w a=[| 8 |、。=[ 9 |でぁz。
(2) GEL の接点のr座標は GEL の接点のァ座標は
である。
8 とと? で囲まれる部分の面積は である。
(8 OMB)
A -6 B -5 C -4 D -3 E -2 F -1
e 1 Hz 13 J 4 K その他
(9 OFFER)
A -5 B-4 C -3 D-2 E-1 Fl
G2 H 3 I 4 J 5 K るその他
(10 Of eB)
A -3 B-2 c -2 p-3 g-1 F-+
2 2 2
ot Hi 12 jy 2 K eof
7 2 2
(11 ORF E)
A-2 Bp-2 c-1 p-+ ¢+t Fi
2 2 2
3 3
GS oH 2 1S J 3 kK その他
ー 9一
(12 の解答群)
37 13 10 i ol
A 3 BD cy Da ES Eoo5
16 19 3h
64 H 6 13 ty K その他
sumone
CVI) 次の設問の と DEMOEME REED OBO BATS
MAMIE HY しなさい。また、 については、各自で得た答えを解答
WILE SV.
1 辺の長きが1の正三角形ABCを底面とする中面体O0ABCを考える。
OA=OB=OC=2、頂点O から三角形ABC に下ろした垂線を OH とする。
REL HRSA ABC と同一平面上にあるとする。
(1) AH = である。
(2) OH= である。
(3) 四面体OABCの4つの項吉を通る球の半径 ROSE. r= で
ある。
(13 の解和葬) A
v3 a. ce 1 B Pen
A 6 B 3 C 2 D 3 E 2
/き ns
F 1 ce 438 4 1 2 J 278
K その他
(14 OFF HE)
A fe B 9 C 1 D 4 E /3
2v6 183. Y5 135 MC
or re 0 nS 1 5
K その他
=p =
数学 問題は次のページに続いています。
cf
[WI〕 光の設問の から の空欄の正解を解答攻から選び、該当す
る解答億にマークしなさい。また、 については、各自で得た符えを解
答欄に書きなさい。
正の整数を下のように並べることとする。
2 3
6 5 4
7 8 9 10
15 14 13 12 11
1647, “で = * ®
(1) nBEDGROLS, bdo nRAO-BEOBRE n を用いて表すと、
(2) 上から eBid Sema | 103 | である。
(3) 2000は上から| 16 | 段晶、友から| 17 | 番日にある。
(15 Om eR)
A ta(n-1) Bo (e=1) c tnt
D $(t+1) E yan +1) F n(n-1)
G aba] H n® I w+)
Jo n(n +1) K その他
(16 の解答群)
A 53 B 54 C 55 D 63 E 64 F 65
G 73 H 74 1 7 J 76 K その他
G7 OMAR)
A 16 B 17 C 18 D 20 E 22 F 32
G 42 H 43 1 45 J 46 K その他
is
以下の余白は計算用紙として使用できます。
ーー
以下の余白は計算用紙として使用できます。
ー js一
以下の余白は計算用紙として使用できます。
ー je一
問8画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分
| 【商 学 部】
i 解答時間 60分
1 配点 100点 き
|
|
はじめに、これを読むこと。
| 1. 解答を始めるよう合図があるまで、問題虹子は開かないこと。
2. この問題冊子は 7 ページまである。ただし、ページ番号のない白紙はペー
ジ数に含まない。
3. 問題は、1 ページから3ページに書かれている。それ以外のページは、計
算用紙として使用してよい。
4. 解答用紙に印刷されている座席番号が正しいかどうか、受験票と照合する
こと。
5. 監督者の指示にしたがい、解答用紙の氏名欄に氏名を記入すること。
6. 解答は全て解答用紙の所定滑にマークするか、または記入すること。 所定
棚以外のところには何も記入しない。
7. 分数形で解答する場合は、それ以上約分できない形で答えなさい。また、
根号を含む形で解答する場合は、根号の中に現れる自然数が最小となる形
で答えなきい。
8. 問題に指定された数より多くマークしないこと。
9 解答は、必ず外筆またはシャープペンシル(いずれも HB ・黒)で記入のこ
と。
10. 訂正する場合は、消しゴムできれいに消し、消しくずを残きないこと。
11. 解答用紙は、絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
12. 解答用紙は持ち帰らず、必ず提出すること。
13. 問題志子は、必ず持ち帰ること。
14. マーク記入例
19|990
CI) の各間の[| ] に入る数値を下の表から避んでアルファベットをマーク
せよ。同じアルファベットを選んでもかまわない。
1. 自然数 mw が、m2 =P +8 を満たすなら
である。
2. -V2 <g<V2 について、ヶキリりーq,。 cy=1 を満たす ay について、z9十の
が、 最大となるのは、 =| (3) | のときで、 その最大値は| @) | である。
3. 集合 @ニ{(@,の|g6 は、6 以下の自然数 } の部分集合を、
A= {(G91(@9 で9 で、6g+5 が、4の倍数
B= {(a,b) | (a,b)€S C7ath が、3の倍数+
とするとき、4いの要素の個数は、 x4uの=| 5 | で、補集合 4Uおの
要素の個数は、 n(AUB) =| (@) |である。
A. -2 B =! C. 0 D. 1
E, 2 F. 3 G. 4 H. 5
1 6 J. 8 K. 10 L. 11
M. 12 N. 13 O. 15 P. 16
Q. 18 R. 20 S. 21 T. 23
U. 25 V. v2 Ww. V3 X. vB
v2 1
= ts =
|
|
| [ ] 炎のアーテに当てはまる 0~9 の数字を解答便にマークせよ。
| fo(x) = 2, f(a) = |fn—1() 一1 (n= 1,2,3,---) とし、 曲線ター fale) とg軸で
囲まれた図形の面積を、5。とする。
コロコン
L 5 ーーーー ーーーリーーーーー
である。
)
2. 0以上の整数 ESM aT. fala) = かっ fy-a(a) 40 とする。
Fa-x(@) <1 とすると、 な-i() | キ | E%9 FH
従って、太(9) =カキ| 7 | となる。
3. ある数 e について、刻(<) = 0 かつ fx(a) £0 (を=0.1.2,3) ならば、
a=4[ ヶ |でぁぁ。
Sule) =0 BBX frsile)=[_ コ |なrsの ー| す | に注意すれば、
fiz) =0 となる全ての > について、[z| を大きさ順に並べると、
Cea ae
4 4 レッ + 2- Ls eee.
a
(HL) sy PREC. MRE O とし、円2 + のー1をのとする。 3 以上の自然数 p に
ついて、の上の異なる ヵ 個の点 Pi。Ps。... 、P。を考える。但し、Pi(1.0) とする。
ァ を正の実数とし、
1 = PiPs = PsPa = = Pp1Pp = PaP
を満たし、P。 の座標は、正とする。
1. r= Y2、Y3 の場合それぞれについて、x と ン/P。OP。』を求めよ。
2. Pasi ー Pi,P。r> = Po EBC LA. 1 SiS NKOWT, LPP Pie は、
すべて同じである事を示せ。
3. n=5 DER,
ZP1P2P3 + ZP2P3P4 + ZP3P4Ps + ZP4PsPi + ZP5PiP2
をすべて求めよ。
4. 都合により設問を削除
(計算用紙)
a Bm
(計算用紙)
ーー
(計算用紙)
=t=
(計算用紙)
ay が
問9画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、整数、関数・グラフ、図形・三角関数、数列
[| ア | またヵの最小供は である。
ニーュー
(このページは計算用紙として使用してよい)
ese 2
@) o@)=b とするとき. mat
7@) =の (@>0)
は々ー| 9 | で最大伯をとる。
5 OBE
O1 De @+ @=
6 P
oz oe ot Ove
1 e
oz Oe
_3—
(このページは計算用紙として使用してよい)
a ーー
(3) WHR 2 2 |x] 一1 を潜たすとき, |ターz+2| の最大値は | エ | ws
値は| ォ | でぁぇ。
エ, tORSE
01 の3 @4 a
2vii via vi
ee oe oy or
YS6 © YS6
3 4
se
(このページは計算用紙として使用してよい)
(3) 座標平面上に 28 AQ, 12), B(12. 2) と 円 O: z2二の ニ9 がある。点P は
円 どの上にある とする。 座標平面の原点を O とし, z 軸の正の部分を始線とし
たときの動径 OP が表す角を9とする (0 <9<27)。
ここで, 線分 PA を 1 : 2 に内分する点を Q, 線分 PB を1:1に内分する点
を R とする。Q の座標は
である。
BF QR を 4 : 1 に内分する点を 8 とする。P が円 〇 の上を動くとき, SO
軌跡は, eo 7 = ) 半径 ーー寺 の円である。
y
C
ae
/ 3 の
P 5
a ee
(このページは計算用紙として使用してよい)
ーー ee
(H) xo [Te] ee に当てはまるもの (致・式など) を解答用紙の
所定の欄に記入せよ。
ay, 2, my を解にもつ3 次方程式を 29 oz?なーc= 0 とする。このとき,
a, b, CREMEN a, a2, za で表すと
=Lぁ[SL
である。また, ょー本3エ23 を 6 cで表すと, たニー| え | である。
oi, of, 23 を解にもつ3 次方程式を 3 Av? + Pェーのニー0 とする。4, BE
ccで表すと, 4=| おぉ | g=| > |でぁz。
しりー
(このページは計算用紙として使用してよい)
ss Theos
[IT ヵを自然数とする。 1からんまでの番号をつけたヵ枚のカードが袋に入っている。
袋は中が見えないとする。さきらに 1 枚のコインがある。
コインを投げて表が出たら袋からカードを1 枚とり出して手元におき, 袋の中に
は戻さない。コインの誤が出たらカードはとり 出さない。
この操作を ヵ 回まで繰り 返すとき, 以下の問いに答えよ。 結果のみでなく, 途中
経過も書くこと。
(1) 2回目の操作が終わったとき, 番号1 のカードが手元にある確率を求めよ。
(2) ih, 1く:くヵを満たす自然数とする。 ヵ 回目の操作が終わったとき。 手元に
?枚のカードがあったとする。このとき。, 稚号1のカードが手元にある確率を求
めよ。
(3) 回目の操作が終わったとき, 番号1のカードが手元にある確率を求めよ。
(4) i. 7 は. 1S FSi Sn EMLTARMLTS. nM ROMANE,
手元に? 枚のカードがあったとする。このとき, SF LPSHH I ETOA-F
すべてが手元にある確率を求めよ。ただし, た個からァ 個取る組合せの総数を表
FRE (Cr) を用いてもよい。
(5) 7は, 1く7Sヵを凌たす自然数とする。 回目の操作が終わったとき, 番号
1 から番号 7 までのカードすべてが手元にある確率を求めよ。
=
(このページは計算用紙として使用してよい)
ーー (Fs
CW] ヵを自然数とする。 数列 (z。)。 Cun} Cn} を
za =2n?+2n, ya =2n+1, 277二2p十1
で定める。座標平面の原点を O とする。また. 座標が (ru. yn) である点を Pr と
LC, HE OP, が z 軸の正の向きとなす角を 9。 (0 <@。 <今) とする。このと
き, 以下の問いに答えよ。結果のみでなく, 途中経過も書くこと。
(1) a2 +y2- 22 の値を求めよ。
(2) sind, =n CHE.
i gus
(3) |r を求めよ。
(4) 数列 fg。} を
On re
on= f Zimtpjoae
とおくとき. a En CHL, 極限 hm (nan) を求めよ。
(このページは計算用紙として使用してよい)
ー14一