東京理科大学 2018年度 過去問・解答

東京理科大学 2018年度 数学 全問解説【数強塾オリジナル】

① 判別式と「実数 t が存在する」条件

(1) 放物線が x 軸と交わらない条件

y = x² + 2(t−3)x + 1 は下に凸なので、x 軸と共有点を持たない条件は判別式 < 0。

D₁/4 = (t−3)² − 1 < 0　→　2 < t < 4　……①′

(2) 正の整数 (a, b) の組

条件②も同様に判別式で言い換えます。

D₂/4 = (t−a)² − (4−b²) < 0　→　(t−a)² < 4−b²　……②′

ここからが本問の核心です。「①′かつ②′を満たす実数 t が存在する」を、区間の言葉に翻訳します。

まず②′に実数解が存在するには右辺が正、すなわち 4−b² > 0 より −2 < b < 2。b は正の整数なので b = 1 に限られます。

b = 1 のとき②′は (t−a)² < 3、つまり a−√3 < t < a+√3。

これと 2 < t < 4 が共通部分を持つ条件は

a−√3 < 4　かつ　2 < a+√3　→　2−√3 < a < 4+√3

1 < √3 < 2 より、正の整数 a は 1〜5。

「実数 t が存在する」→「2つの区間が共通部分を持つ」への言い換えが要。2区間が交わる条件は「一方の左端 < 他方の右端」を両向きに書くだけで済みます。

② 放物線・法線と面積比

C : y = x² − 1/2 上の点 P(p, p²−1/2) における法線 ℓ が C と再び交わる点を Q とします。

(1) △OPQ の面積 S₁

y′ = 2x より P での接線の傾きは 2p、法線の傾きは −1/(2p)。

解と係数の関係を使うのが効率的です。C と ℓ の交点の x 座標 p, q は

x² + x/(2p) − p² − 1/2 = 0 の2解なので　p+q = −1/(2p)、pq = −p²−1/2

したがって q = −p − 1/(2p)。三角形の面積公式に代入して整理すると

(2) S₂ = 12S₁ となる p

線分 PQ と C で囲まれた面積は6分の1公式が使えます。

S₂ = (1/6)(q−p)³ = (1/6)(−2p − 1/(2p))³

S₂ = 12S₁ を整理すると、共通因数 (−2p − 1/(2p)) が現れ（これは p < 0 より正）

(−8p)(4p − 1/(2p)) = 0　→　4p = 1/(2p)　→　p² = 1/8

(3) S₃ = 4S₁ となる p

△PQR を平行移動して考えると、同様に S₃ = −(p/4)(−2p−1/(2p))²。S₃ = 4S₁ から

6p = 1/(2p)　→　p² = 1/12

(2)(3) とも、共通因数を括り出してから「その因数は正だから消せる」と論証するのが定石。いきなり展開すると6次式になり手が止まります。

③ 基本対称式による置き換え

x² + xy + y² = 9 を満たす実数 x, y について考えます。

(1) x+y のとりうる範囲

u = x+y、v = xy とおくと、条件は u² − v = 9。

ここで見落としやすいのが「実数 x, y が存在する条件」です。x, y は t² − ut + v = 0 の2解なので、判別式 u² − 4v ≧ 0 が必要。

v = u²−9 を代入すると

u² − 4(u²−9) ≧ 0　→　u² ≦ 12

(2) 与式のとりうる値の範囲

x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y を対称式で書き直すと

= xy(x+y) − (x+y)² + (x+y) = uv − u² + u

v = u²−9 を代入して1変数に落とすと

f(u) = u³ − u² − 8u　（−2√3 ≦ u ≦ 2√3）

f′(u) = 3u² − 2u − 8 = (3u+4)(u−2) なので増減表は次のとおり。

u	−2√3	…	−4/3	…	2	…	2√3
f′		＋	0	−	0	＋
f	−12−8√3	↗	176/27	↘	−12	↗	−12+8√3

4つの値を比較します。1 < √3 < 2 に注意すると、最小は端点の −12−8√3、最大は極大値の 176/27（−12+8√3 ≒ 1.86 より大きい）。

極値と端点の4つすべてを計算して比較すること。極大値が最大とは限らず、端点が上回る場合もあります。ここでは √3 の概算（≒1.73）で大小を判定します。

この年度の総評と対策

3題を貫くのは「存在条件を、扱える不等式に翻訳する」という主題です。

• ① 「実数 t が存在」→ 2区間の共通部分の条件へ
• ② 「面積が○倍」→ 共通因数を括り、符号を論証して消去
• ③ 「実数 x, y が存在」→ 判別式 u²−4v ≧ 0 を忘れない

とくに③は、対称式に置き換えた瞬間に「u, v が勝手に動ける」と錯覚しがちです。置き換えたら、元の変数が実数である条件を必ず付ける——東京理科大学が繰り返し問う論点で、ここを落とすと範囲が広くなりすぎて誤答します。

※本記事の解答・解説は数強塾が独自に作成したものです。問題文の引用は解法の説明に必要な最小限にとどめています。掲載内容について権利者の方からご連絡がある場合は、お問い合わせより速やかに対応いたします。