東京理科大学 2019年度 過去問・解答

東京理科大学 2019年度 数学 全問解説【数強塾オリジナル】

① 放物線に接する2つの円

y = x² 上の点 P(p, p²) で放物線に接し、それぞれ x 軸・y 軸に接する円 C₁, C₂ を考えます。

(1) 円 C₁ の半径

法線ベクトルを使うのが最短です。y′ = 2x より P での接線方向は (1, 2p)、したがって法線方向は (2p, −1)。

中心 A は P から法線方向に半径 r だけ進んだ点なので

A = (p, p²) + (r/√(4p²+1))·(2p, −1)

C₁ が x 軸に接するので A の y 座標が r に等しい。y 成分だけ取り出すと

r = p² − r/√(4p²+1)　→　r(1 + 1/√(4p²+1)) = p²

(2) 円 C₂ の中心の y 座標

今度は y 軸に接するので、法線の向きは逆側 (−2p, 1)。中心 B(R, b) について x 成分・y 成分の2式を立て、R を消去します。

(3) 半径が等しくなる p

r = R を整理すると p(√(4p²+1) + 2p) = √(4p²+1) + 1、すなわち

(p−1)√(4p²+1) = 1 − 2p　……①

ここで両辺を安易に2乗してはいけません。符号を先に調べます。p ≧ 1 では左辺 ≧ 0、右辺 < 0 で不成立。0 < p < 1 では左辺 < 0 なので右辺も負、つまり 1−2p < 0 が必要で p > 1/2。さらに ① が成り立つ範囲は 1/√2 < p < 1 と絞られます。

この範囲で2乗すると p(8p²−9p+2) = 0、p ≠ 0 より 8p²−9p+2 = 0。

p = (9±√17)/16 のうち、1/√2 < p < 1 を満たすのは

無理方程式は2乗する前に両辺の符号を確認する。これを飛ばすと (9−√17)/16 も答えに混ざり、失点します。

② 数学的帰納法と数列の評価

a_n+1 = 4a_n²/(3a_n²+1)、0 < a₁ < 1/3 で定まる数列です。

(1) 0 < a_n < 1/3 の証明

帰納法で示します。鍵は漸化式を単調増加な形に変形することです。

a_k+1 = (4/3)(1 − 1/(3a_k²+1))

この形なら a_k² が増えるほど値が増えると一目で分かります。0 < a_k < 1/3 を代入して両端を評価すると

0 = (4/3)(1 − 1/1) < a_k+1 < (4/3)(1 − 1/(3·(1/3)²+1)) = 1/3

よって n = k+1 でも成立します。

(2) 単調減少の証明

差を取って通分し、因数分解まで持ち込みます。

4a_n−1/(3a_n−1²+1) − 4a_n/(3a_n²+1) = 4(a_n−1−a_n)(1−3a_na_n−1) / {(3a_n−1²+1)(3a_n²+1)}

符号を2つの因子で判定します。a_n−1 − a_n は同様の変形で正、また (1) より a_na_n−1 < 1/9 なので

1 − 3a_na_n−1 > 1 − 3·(1/9) = 2/3 > 0

よって全体が正で、単調減少が示されます。

(3) 等比数列による評価

b_k = 4a_k/(3a_k²+1) とおくと a_k+1 = b_ka_k。(2) より {b_k} は単調減少なので b_k < b₁。したがって

a_k+1 < b₁a_k　（k = 1, 2, …）

これを k = 1 から n まで辺々かけると、途中が約分されて

a_n+1 < {4a₁/(3a₁²+1)}ⁿ a₁

「漸化式を a_k+1 = b_ka_k の形にして辺々かける」は数列の評価の定番手法です。単調性が効くのはこの掛け算の場面です。

③ 空間ベクトル

a→ + 3b→ − c→ = 0→、|c→| = 1、|a→+b→| = 3|b→|、a→+3b→ ⊥ a→−3b→ が条件です。

(1) 大きさと内積

垂直条件から (a→+3b→)·(a→−3b→) = |a→|² − 9|b→|² = 0、すなわち |a→| = 3|b→|。

次に c→ = a→+3b→ と |c→| = 1 から |a→|² + 6a→·b→ + 9|b→|² = 1。

もう1つの条件 |a→+b→| = 3|b→| から |a→|² + 2a→·b→ − 8|b→|² = 0。

|a→| = 3|b→| を代入して2式を連立すると

6a→·b→ + 18|b→|² = 1　かつ　2a→·b→ + |b→|² = 0

これを解いて |b→|² = 1/15、a→·b→ = −1/30。

(2) |ta→ + (1−t)b→| の最小値

2乗して展開し、t の2次関数に整理します。

|ta→+(1−t)b→|² = (3/5)t² − (1/15)t(1−t) + (1/15)(1−t)² = (1/15)(11t² − 3t + 1)

平方完成すると (1/15){11(t − 3/22)² + 35/44}。t = 3/22 で最小値 7/132。

√(7/132) を有理化すると √231/66 になります。2乗の最小＝元の最小（非負なので）という当たり前の橋渡しを飛ばさないこと。

この年度の総評と対策

3題に共通するのは「文字のまま最後まで押し切る」という要求です。

• ① 半径を p の式のまま2つ求め、等号で結んで無理方程式へ。符号の吟味が必須
• ② 漸化式を (4/3)(1 − 1/(3a²+1)) と変形して単調性を見える化
• ③ 3つの条件式を連立し、|b→|² と a→·b→ を2元連立で決定

東京理科大学の数学は、方針が立っても計算を完遂できるかで差がつくのが特徴です。途中で数値代入に逃げず、分数・根号を含んだまま整理し切る訓練が直結します。とくに①(3)の「2乗する前に符号を確認」は、理科大で繰り返し問われる論点です。

※本記事の解答・解説は数強塾が独自に作成したものです。問題文の引用は解法の説明に必要な最小限にとどめています。掲載内容について権利者の方からご連絡がある場合は、お問い合わせより速やかに対応いたします。