信州大学 2010年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。

1. なぜその一手を選ぶのか

囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (12x + 8) − x² 。これは x² − 12x − 8 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。

この形の積分は (β − α)³ / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。

2. 解答

1. 交点：x² = 12x + 8 すなわち x² − 12x − 8 = 0 。解を α, β とすると α + β = 12 、αβ = -8 。
2. (β − α)² = (α + β)² − 4αβ = 144 + 32 = 176 。よって β − α = 4√11 。
3. 面積 S = 16 (β − α)³ = 16 × 176√176 。

答え： S = 352√113

3. 検算（大きさの見当をつける）

交点は x = (12 ± 4√11) / 2 、幅は 4√11 ≒ 13.27 。面積の概算は 幅³/6 ≒ 389.15 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。

この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)³ / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。