上智大学 1997年度 過去問・解答

(1997 年度)
> mys 時
1 数 学 Fa
(この問題還子は 7 ページ, 4 問である。)
「受験についての注意」「マークによる数値解答杉についての注意」が, 次の2, 3
ページにある。 試験開始 3 分前に監督の指示があるので, それに従って読むこと。

受験についての注意 王還環間間間間間間間間

1. 監督の指示があるまで, 次のページを開いてはならない。

2. 筆記具は, HEの黒鉛筆に限る。

万年筆・ボールベン・シャープペンシルなどを使用してはいけない。 時計に
組込まれたアラーム機能, 計算機能, 辞典機能などを使用してはいけない。

3, 試験開始の合図があったら, ただちに解答用紙の右上の番号が自分の受験番
号かどうかを確認し, 氏名を記入すること。

4 次に解答用紙の右側のミシン目にそって, きれいに折り曲げてから, SRE
号と氏名とが書かれた切刻を切り離し, 机上に置くこと。

5. 次に, この問題冊子が, 表紙に記したページ数ど如おりそろっているかどうか
確かめること。

6. 解答は解答用紙の各問の選択肢の中から正解と思うものを選んで, そのマー
ク欄をHEの黒鉛筆でぬりつぶすこと。その他の部分には何も書いてはいけな
い。

7. マークをするとき, 枠からはみ出したり, 枠のなかに白い部分を茂したり、
文字や番号,、枠などに〇やをつけたりしてはならない。

8. 訂正する場合は, 消しゴムでていねいに消すこと。清しくずはきれいに取り
除くこと。

9. ARS ARE OMNIA, 破ったりしてはいけない。採点が不可能になる。

10. 写真照合のため, 自分の受験番号を呼ばれたら顔を上げること。

11. 試験時間中に退場することはできない。

12. 問題騰子, 解答用紙, 計算用紙を持ち帰ってはならない。

人 この問遇冊子の余白を計算用紙として使用してよい。

MN 7 による数値解答欄についての注意

解答構の各位の該当する数値の繝にマータせよ。その際, はじめの位の数が0
のときも, 必ずマークすること。

符号欄がもうけられている場合には, 解答が負数の場合のみーにマークせよ。
( 0 または正数の場合は, 符号繝にマークしない。)

分数は, 既約分数で表し, 分母は必ず上正とする。また., 整数を分数のかたちに
表すときは, 分母を 1 とする。

根号の内は, 正の整数であって, 2 以上の避数の平方でやりきれないものとす
る。

解谷が所定咽で表すことができない場合,. あるいは二つ以上の答が得られる場
合には, 各位の欄ともにマークせよ。(符号米がもうけられている場合, 一に
はマーク しない。)

【解答記入例 7

符号 10 の 位 1の 位
-for23456789/012345678 9*|
0 1@90000000000|0000000@000)
(解答記入例 26]
| 符号| 10 の fit 1 の tt
- |0 」 2 3 4 5 6 7 8 9 *l0O 1 2 3 』 5 6 7 8 9 *
% 00@00000000|000000W0000
[解答表示例]
)
今- 男 にあてはめる場合 ——- とする。
| |
| |
0 を、 ‘a oe oe
:
-¥B を, し fi cocensan | 81 とする。
e 4 9 pene

[1] a, DERREL, f(x)=ax tb とおく。c, 5 についての次の 2 つの条件を
それぞれp, g とする。 ・
のり :ッンー3 をみたすある実数y が存在して、ッ=ニパ0) かつ ッニ(1)となる。
g ty) > 9 をみたすある実数y」 が存在して, yi=ニ(0 ) EBD, y。> 3 をみた
すある実数y。 が存在して, y。一(1 )となる。
THAR a), (8), (7), (9@)から 1つ選んで, 以下の命題を完成させよ。
(11 4はpの|了|。
2) 6>5 であることはpの| ィ|。
8) a=0 またはぁ>8であることはpの|ゥゅ| 。
() -a+b>2 かっg+ぁ>4 であることは9の| ェ |。
選択野
(a) 必要条件ではあるが, 十分条件ではない
(8) 十分条件ではあるが, 必要条件ではない
C1) 必要十分条件である
CO) 必要条件でも十分条件でもない

[2] a, 5を楽数する。
() f(xd=x2@-2ax+b とおく。ッーザ(z) のグラフの頂点が, 放物線
yHx?-2x 上にあるための必要十分条件は
8=|ォer |ヵls+ |キ| ー・3
である。g、ちが条件1をみたすような 2 次関数 タニ(x) のグラフ上に, 点
(ce, @)があるための必要十分条件は
Bee
5 a a
fl =
である。 ・

(2) *についての2 MARR x2+ax+b=0 は実数の解をもち, 解はすべて ・
ー 2 ミェミ 3 をみたす整数とする。このような 2 次方程式を与える実数の組
(a, 5 )は條部で | ス | 個ある。それらのうちで, ちの最大値は | セ | 最小値
は | ソ | であり, 20+ ちの最大値は| タ |最小値は| チ| であぁる。

[3] (1) AABC は半径 2 の円に内接し, 辺 AB, 辺 AC の長きはそれぞれ1.

V0 である。このとき sinC == であり, 辺 BC の長さは

—

A wm mer
aS [a] でぁる。 ただし ‘er [z] ょ
ial
tS, id BC の長さが Te] のとき, AABC の面積は

= J [>] でぁs。

(2) 0"ミ9る<180"とする。
10 cos? 6 — 24 sin@cos?-—5 =0 ーー

as

DER, tan 9 = [gl または tan9 = = ただいし
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) *, が共に無理数であることは, xy が無理数でもるための | 7 | 。
12) x, y の少なくとも一方が無理数であることは, xy が無理数であるための
|
選択肝
(a) 必要条件ではあるが, 十分条件ではない
(8) 十分条件ではあるが, 必要条件ではない
(7) 必要十分条件である
(3) 必要条件でも 1分条件でもない
不等式
Peet 2x2
をみたす実数の組(x。y)の全体の集合を A とする。このとき選択肢(T), (F)
より 1 つ還んで以下の命題を完成させよ。
(1) 『任意の*に対して, (x, yA の要素となる が存在する』は Ea の
、 命題である。
(2) HERO y KHLT. (x, >)が 4 の要素となるが存在する』は [=] D
MUCH Be
TEE
(1) 真 で) 偽

[3] (1) すべての定数 。 に対して, 2つの放物線ッーィ5一gx十2g 一ち一13,
ッーx?ー2gr十ゎー7が共にェx軸と共有点を持つための必要十分条件は
である。

(12 3辺の長さが10, 12, 14 である三角形 ABC と, 8 辺の長さが11, 12,
13 である三角形 DEF とを考える。このとき選A, ZB, ZC, ZD,
2E, ZF のなかで最小の角度をcg, 最大の角度を束とするとき,

回
cos a ーー cosg=ー-

である。
(3 等式
Bat+5b? +50? + | サ|eb+ [¥] bc + [x] ea
=(a+ | )b+e)*+(a+)*+(a4 [7 Jor?
Ta]. [e]. fy] ews.

[4] 座標平面上の 2 PCa, b), Qe, 9)に対して, a(P, OF
a(P, Q=la-cl+lb-dl
と定める。このとき, 次の1)、(2)を完成させよ。ただし0は原点を表す。
(11 KAQ, 6)に対して、 ABU, | タ | )はg(O, B=aB, A)をみた
す。
一般にg(0, P)=g(P, A)をみたす点 P(X, WE
aS のとき y= [>]
回 Sx DEE yH [ss]
と表される点である。
(2) dーcz + 2 をみたす点 QCc, の)に対して, g(0. R)ニg(R。Q)をみたす
AR 全体の集合を上 。 とする。『あるc =0に対して(x, WAL. CHTSI
ための必要十分条件は
Xi) SxS OLE 92S + SS xt [=]
ーー のとき 32
[4]
" である。

(1) LOKO y 座標の最大針は |*| であり, 座標の最小値は
(2| しの面積は三角形0AB の面積の | ヒ | 倍である。
(3) 点(x、y) がしの中を動くとき, *ー 2yの最大値は
2+| <] /|*| cas.
(20 247, 8がしの中を動くとき, (TS! の最大値は | < | | CH
る。
a, b, cを定数とする。 3次関数 /(x)=ニ3 + ax? + bx + elk, 次の3つ
の条件 (C1).(C2 ),(C 3 ) をみたすとする。
(C1) がx)はx*ニ1で極値をとる。
(C2) f(x) の導関数 yニ(xx) のグラフとァ軸で囲まれる図形の面積
は 32 である。
(C3) 3次方程式 /()ニ0 は, ちょうど2つの異なる実数解をもつ。
d) 条件〈C1).(C2) より, LUT f(x) = 0は2 つの実数解 , 8(ただ
し々< 8をもち、g= | 4ム | 4= | メ | であるかまたはg=|モ| .
8- | ヤ| である。 ここで| 4 | < | モ| とすs。
2) さらに条件(C8)を考えれば, このような次関数は全部で | ユ | 個ある。
それらのうちで、 <c の値が最大になるものについては,
である。

(1) P, Qの座標をそれぞれo, 5 とするとき ROME
ーー である。 :
[=] [a]
2) LPRQ= 9° をみたしながら P, Q が放物線 y ニーオー x? 上を動くと
き, R は直線 | キ | ネッー| ク | 上を動く。
[2] ょを定数とする。 半径 r の球に内接する 4 角雛 PABCD をKKで表す。ただ
し, 底面の 4 辺形 ABCD は正方形とし, かつ頂点F からでるKKの 4 つの辺の長
さはたがいに等しいとする。 KKの高さを。 正方形 ABCD の 1 辺の長さを2y
とする。
このとき
[>] 2b [=] =2rx
ChE. KOU V は次で表される。
ーー (|ぇle: — x?)
[y]
回
kot, ャニー のときYは最大になる。

[3] 関数 y=x?—8x2+ 8ax について以下の問に答えよ。
(1) >が極値をもつような定数 の値の範胃は <|タ| でぁぁ。
(2) Ha AM) の範囲で変化するとき, 極小値を与える点 x。 が存在する範囲
は zo>|チ|でぁぁ。
(3) *>0の範囲に極大値をとる点, 頂小値をとる点が共に存在するような定数
の値の範囲は <a< である。
(4) ぁを任意の定数とする。 x>k の範囲に極小値をとる点が存在するよう
な定数g の値の範囲は
ks のとき a<
neh] ove ox [e|m+ [Ra
である。
[4] なぁを1 以上の整数とする。
1) x+ySn, x20, p20 をみたす整数の組(x。y)は, 全部で
() xtyt+z2Sn, x20, y20, 220 をみたすず整数の組(x、y, 2)
は, 全部で EEECESKSE3E3D 個ある。

(1) 長方形の周の長さが最大になるのは, a= == のときであり, そのとき
の周の長きは| ソ | でぁる。
(2) この長方形をェ軸のまわりにだ回転してできる円柱の体積が最大になるのは,
回
)
のときであり, ZOLEOMHOMME
である。

番号を書いた天つかの玉を下の図のようにひもで一つながりにする。ただし,
このとき輪ができないようにし, 枝分かれがあってもよいものとする。また, ど
の玉とどの玉とがつながれているかのみで区別するものとする。

上のような全てのつなぎかたを考えるとき,
(a) 1から3までの玉をつなぐ方法を 2?3?57 通りとすれば,
EE a-[=]. ァー| ぇ| tas
bb) 1から5までの玉をつなぐ方法を 273?57 通りとすれば,
(2) 偶数どうし, 麻数どうしが直接つながらないことにするとき,
(a) 1からまでの玉をつなぐ方法を 29395" 通りとすれば,
bb) 1から16までの玉をつなぐ方法を 2?375' 通りとすれば,
注意1 下の二つのつなぎかたは同じものとみなす。
1 Q)
(5)
23 (2)
5 (420 ひ
©) (3)
注意2 下のようなつなぎかたは考えない。 _

(1) 4ーeP+8Oが成り立つとき, a, 8 x」y の値はそれぞれ
である。また, 次が成り立つ。
Z9=@の=|ヶ| P+Q-[a]z
(2)
1 -_ ar
ーーニーゴー
2 \a-b" atom
ょすると, g=|サ|. 5=|シ|でぁs。
(3)
1 (Ree me
E+ A+ A’ teed 4*ーコーーニー
S \in-ute"TM tn+u-—v"
とすると,
ne [sip tae). ae [Ep a= [Be
である。

| 2 | x= で" - 36 x で表される曲線は x 軸に関して対称で | チ | = x <
own, ena, | テ | =ェの男囲に存在する。 | チ| <x [>| mmo
曲線で囲まれる図形を 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を 2? 3¢ x
とすれば= | ト | =|ナ| である。
この曲線の点(- 2, 8 ono =e, この接線が再び曲線
ヌ
と交わる点の座標は
人
である。

[3] nミ1に対し. (e+ 1)" x2?-2 e+ 2CHokKRVEa, x +b, と置く。

1) 関係式

s+ gg
bya = [7 ]ax + [A |b.
が成り立つ。

2) ay を5で割った余りは | ホ | であり. ay を5で割った余りは [=] であ
る。また, by を5で割った余りは | ミ | THD, by SH TH OAR
である。(ただし, 余りは0から 4 までの整数とする。)

(3) cy =n + hb, と置く。 c。 Mens, 4(ほは定数)の形の尊化式を満たせ
ば,

EE
eT
CHO, そのとき
*ー|ュ| | ョ|: Gest
ENB. KHL, ローー 1 である。

[4] (di 2が0から2 rece Leone
(4cos@ + 3sin@)cosé@ ーー
[|
の最大値は —= であり, 最小値は == THS,
し|
(2) xy平面上の関数がx, ye
本下水
Ka, ニーィイイro2 + yt ーーysT2
と置く。点(xy)が原点を中心とした半径4 の円周上を動くときの
f(x, y)の最大値を Ma) ERS E
at+|7
M(a)= fell 2]

(3) Cx, y)がxy 平面上のすべての点を動くときのげ7(x,y)の最大値は
| ぁ | である。 f(x, ッ)が最大となる点(x」 y)は全部で | い| Mad, そ
のうちの*座和標が最大となる点の座打は

Jia) J]
である。

(1) 原点(0, 0)における曲線 Cの接線をャーー myx とする。 傾き m, を求め
gs
(2) 原点を通る直線ッー max が原点以外の点で曲線 Cに接するとき, その接点
の座標および直線の傾き m, を求めよ。
(3) 原点を通る直線! : y = mx と曲線 Cとが相異なる 3 点で交わるための m
の条件を求めよ。
(| 直線:ッニーmxがテャッ>0の部分で曲線 Cと2 点で交わるとき, LECTH
まれる二つの図形の面積が等しくなるときの上直線 7 の胡き mot, TOW
形の面積を求めよ。
[2] 長き 4の株分が第1旬限内にあり, その山端はそれぞれェ軸と HICSS
ものとする。この線分を含む直線を回転軸として, 原点に中心を持つ半径 1 の円
を回転させた立体の休策を " とする。V を最大にするような線分の位置とその
ときの の値を求めよ。

[3] 1 辺の長さが 1 の正四面体 ABCD を Vで表す。 頂点 A の平面 BCD に関し
て対称な点を A" とする。 同様に B の ACD に関して対称な点をB, CのABD
に関して対称な点をCDの ABC に関して対称な点を D' とする。 正四面体
A’BCD, AB’'CD, ABC’D, ABCD’22nZnHV,, Vi, Va, Vi とする。
DC の中点を M とする。

(1) AMの長さを求めよ。

(2) cos(- ZAMB), cos(-}~ A'MBう
を求めよ。

(3) へAIB"の面積を求めよ。

(4) 四面体 A CBや の体積を求めよ。

8) 多面価がその任意の面を含む平面の片働にあるとき, 西多面体という。\,
Vie Ver Var Vy を含む最小の凸多面体の体積を求めよ。