早稲田大学 2019年度 過去問・解答

(1) #=tanの (-$<e<4) とおくとき, tan, sin29 をそれぞれ}#の式で表せ。
(2) <1のとき, y=9- 57-15-5757 のとりうる値の範囲を求めよ。
(3) 閉列mgをあややややや すす や セー と定めるとき, go を求めよ。
問2 。zy平面上の放物線 リーc? を〇とする。点P(-2, 5) を通り, 放物線 のに接する 2 つの直線を Lb
とする。 直線 ね, ら の傾きをそれぞれ mi, ma (mr く mg) とし, 放物線のと2直線, で囲まれた
部分の面積を 9 とする。このとき, 次の各問に答えよ。答のみ解答欄に記入せよ。
(1) Ba, らの方程式を求めよ。
(2) 放物線のと直線 A, の接点をそれぞれ Alaa’), B(ぁ, の) とするとき, a, 5の値を求めよ。
(3) 面積9を求めよ。

ーー 3 一一

問3 図のような円形の環状道路における店舗の立地を考える。 環状道路沿いに 2 店舗 (P とA) が存在し,
店舗P からみて店舗 A は時計回り に中心角 ge の位置にある (KEL, 。は1 以上 180 KHOR). =
た, 3600 人の顧客が環状道路沿いに 0.1" の間隔で分布し, 自分の位置から環状道路上を移動して最も近
い店舗で各人 1000 円の買い物をする。ただし, 店舗のある位置には顧客はいないものとし, 同一地点に
複数の店舗は立地できないものとする。 また, 最も近い店舗が 2 つある場合には, 顧客はそれぞれの店
fC 500 円ずつ買い物をするものとし, EMP の位置は変わらちないものとする。このとき, 次の各問に
答えよ。答のみ解答欄に記入せよ。

(1 ) 2店舗 (P とA) のみが存在するとき, 店舗P および店舗 A が得る売上をそれぞれ求めよ。

( 2 ) ここで, 店舗 B が, 店舗P からみて時計回 り に中心角 が の位置に立地するとする (ただし, 5
は 1 以上 360 未満の整数) 。このとき, 店舗 A および店舗 B が得る売上をそれぞれ求めよ。また,
店舗 B の売上が最大になる立地条件, すなわち, ちについての条件を求めよ。

(3) 店舗B の開設緒用を 100 万円とする。 店舗B の利益 (売上から開設費用を引いた差) がつねに
負になる店舗 A の立地人条件, すなわち, g についての条件を求めよ。

(4) 店舗A と店舗 B の売上の合計が最大になる店舗 A と店舗 B の立地条件, すなわち, gcとぁにつ
いての条件を求めよ。

店舗P
(の
— # 計寺

pony Ge ome

M4 頂点が点O 底面が正方形ABCD CH), すべての辺の長きが1 OMPMICOVT, OR =a, 0で=で,
OD = ガ とする。辺 OA 上の点 P について IOP| = g とし, Ek, 辺 CD 上の点 Q について1CQ| =y
とする。このとき, 次の各問に答えよ。答のみ解答欄に記入せよ。
(1) 内積 e・c, @-d, c・すの値を求めよ。
(2) POを6,c,すで表せ。
(3) POP es, りの式で表せ。式はの降べきの順に整理して記せ。
(4 ) [EQ| の最小値を求めよ。また, そのときのz, の値を求めよ。
問5 大中小3個のさいころを同時に投げ, 出た目をそれぞれa, b, cとし, 2次方程式cg2+ gc=0の
Ea, PETS. COLE, 次の各問に答えよ。
(1 ) a, 8が異なる実数で。 く 0 となる確率を求めよ。
(2) a, が異なる実数で, og > 0 となる確率を求めよ。
(3) a, が虚数となる確率を求めよ。
WF 余 a
とne he

ーー. 7 一一

(1) 解答用紙の所定材 (2 カ所) に, 氏名および受験番号を正確に丁寧に記入すること。
(2) 所定棚以外に受験番号・氏名を記入した解答用紙は採点の対象外となる場合がある。
(3) 受験番号の記入にあたっては, 次の数字見本にしたがい, 読みやすいように, 正確に丁寧に記入する
こと。
[倒和上本 lolilzlslslslsl7ls19|
(4) 受験番号は右詰めで記入し, 余白が生じる場合でも受験番号の前に「0」 を記入しないこと。
[万|千証に|
(wm) 382番っゅ| 1318|215|
5. 解答はすべて所定の解答欄に記入すること。所定欄以外に何かを記入した解答用紙は採点の対象外とな
る場合がある。
6. 試験終了の指示が出たら, すぐに解答をやめ、 筆記用具を世き解答用紙を委返しにすること。
7. いかなる場合でも 解答用紙は必ず提出すること。
8. 試験終了後, 問題冊子は持ち帰ること。

ーー 2 一一

ences ニー

次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ。
(1) 放物線 9 = z? LOK (go?) における接線と曲線 = 09 - gg PHBE SD 3
点で交わるとき, のとりうる値の範囲を求めよ。
(2 ) 曲線 y=sine— 2 (0 くく で ) とヶ邊で囲まれた者分をヶ剛のまわり
に1回転して得られる立体の体積を求めよ。
(3) a, =a,.=1, grs王9のa填gaht (N= 1,2,3,------) とする。

? を虚数単位とする。》 2" の値を求めよ。
n=1
(4) 以下の| | に当てはまる数を答えよ。
4 を正の実数とする。 ト- 4 ー テレー | BHATT CORN 2 > が
KS y ay = a
lrg(1 | SP となるための必要十分条件は c S | | となることでぁ
る。ここで arg(1 - ) は1一ヶの偏角である。ただし1 ヶ の偏角は, -rよ
り大きく以下の範囲で考える。
正三角形ABOがあり, コインが頂点の上に表向きにおかれている。 サイコロを
投げ,
s 1.2 の目が出たときは, 表豪を変えたずにコインを時計回りに隣の頂点に移動さ
せる,
© 3.4 の目が出たときは, 表衰を変たずにコインを反時計回りに隣の頂点に移動
させる,
© 5,6 の目が出たときは, コインの位置を変えたずにコインの表裏を入れ替える,
という操作を繰り返す。ただし, 頂点 AB,Cはこの順に時計回りに並んでいると
する。以下の問に答えよ。
(1) ヵ回サイコロを投げた後にコインが表を向いている確率を求めよ。
(2) ヵ回サイコロを投げた後に, コインが頂点 A の上に表向きにおかれている確
1 683 、
BE an とする。 a= T+ grag であることを用いて an を求めよ。

[3]G) ヵを自然数とし, ゃ2とする。このとき
mtn-1 1 n n
log(t + =) < シと ye <a t+ Oo) + aay
m+n—1 1 1 1 1
を証明せよ。ただし 2 oS a ee である。
(2 ) 2 以上の自然数ヵ に対して
こ dL
のー2しTn Io
b, = 282
n
とおく。
li on
nae By
を求めよ。
四角形P の対角線の長きの最大値を d(P) CRT. Pe 1 辺の長きが1の正方形と
する。 Py, Ps, Ps, Ps, Ps, Pr, Ps, Po; Pro は平行四辺形で, n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9
のそれぞれについて, Py の頂点のうちちょうど3 つは Pry の頂点でもあるとす
; るとき, 以下の間に答えよ。
(1) g(戸。) のとりうる値の最小値 。 を求めよ。
(2) d(Po) のとりうる値の最大値 47 を求めよ。
以下余 A]
ーーョーー

ーー 6 一一

ーー FS とーー

(1) 記述解答用紙の所定箇 (2カ所) に、氏名および受験番号を正確に丁寧に記入すること。
(2) 所定欄以外に受験番号・氏名を記入した解答用紙は採点の対象外となる場合がある。
(3) 受験番号の記入にあたっては、次の数字見本にしたがい、読みやすいように、 正確に丁寧に記入する
こと。
wena olilzlslelslel?|sl5|
(4) 受験番号は右詰めで記入し、余白が生じる場合でも受験番号の前に「0」 を記入しないこと。
(al ]e[+[—]
co) ssa5%—>[ [3] 8 [215 |
(5) 記述解答用紙の裏面に解答を記入しないこと。但し、衰面は計算のために使用してよいが、採点の対
象とならない。
(6) 記述解答用交を折って使用する場合は、記述解答用紙にある指示に従うこと。
5. 試験終了の指示が出たら、すぐに解答をやめ、筆記用具を置き記述解答用紙を裏返しにすること。
6. いかなる場合でも、記述解答用紙は必ず提出すること。
ーーユーー

|アト| に当てはまる数または式を記述解和用紙の所定欄に記入
せよ.
(1) a, 8 を実数とする.
2cosesinぢ十3sinosin/ + 4cosh
の最小値は| 7 | である.
(2) 。を実数とする. 関数(z) = z?+gに対し, 方程式
f(f@) =2
の実数解の個数が, ちょうど2つとなる定数っの取り得る値の
範囲||イ| であぁる.
(3) ?の整式で表きれた関数 P(ヶ) は, 次の条件を満たしている.
G) P(1) = 1
c ‘z+1
(ii) すべての実数z に対し, ef P(t)dt = e-9/ P(t)dt
1 1
このとき P(e) =|ウ| である.
(4) 次の条件を満たす整数ヵ を 100 で割った余りは |エ| CHS.
nS (5+2V5 )?9 < ntl

診標平面上において,
放物線ゅ=ァ”上の点をP, 円 ?ー3)?十(9ー1)?=1上の点をQ,
直線 ッーッー4上の点をとする.
次の設問に答えよ.
(1) QR の最小値を求めよ.
(2) PR + QR の最小値を求めよ.
SHAW H SETI {on} が, 次の条件を満たしている.
(i) O<a,<Gny. (n=1,2,3, ...・ )
(すべての正の整数ヵ に対し, g。一2は5の倍数
(iii) gaore = 6056
次の設問に答えよ.
(1) a, を5で割った余りを求めよ.
(2) a, = 2021 となる正の整数ヵ を求めよ.
(以下余 A)
ーーョーー

(1) 試験開始後, 記述解答用紙の所定棚 (2 カ所) に, 氏名および受験番号を正確に丁寧に記入する
こと。
(2) 所定欄以外に受験番号・氏名を記入した解答用紙は採点の対象外となる場合がある。
(3) 受験番号の記入にあたっては, 次の数字見本にしたがい, 読みやすいように. 正確に丁寧に記入
すること。
xen* |olilzlslelslel7lsle|
(4) 受駿番号は右詰めで記入し。 余白が生じる場合で受験番号の前に「0」 を記入しないこと。
lla
co» soe | [3 [81215
(5) 計算の途中経過を記述すること。 記述されていない解答は採点の対象外となる場合がある。
(6) 定規. コンパスを使用してもよい。
5. 解答はすべて所定の解答欄に記入すること。所定の解答欄以外に何かを記入した解答用紙は採点の
対象外となる場合がある。なお, 所定の解答欄は記述解答用紙に指示されている部分とする。
6. 試験終了の指示が出たら, すぐに解答をやめ, 筆記用具を細き解答用紙を裏返しにすること。
7. いかなる場合でも, 解答用紙は必ず提出すること。
8. 試験終了後, 問題苗子は持ち帰ること。
ーーョーー

この真は下審きに使用してよい
ュー 9 ーー

この頁は下宜きに使用してよい
ーー 3 一一

をを実数とする。 座標平面において方程式
ety +ot(Qk+lytkh+1=0
の表す図形C を考える。次の問に答えよ。
(1) のが円であるようなたの値の範囲求めよょ。ただし, 点も円とみなすものとする。
(2) ょが変化するとき, 〇が通る点 (z,9) の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3) (2 )で求めた領域の境界線と( 1 )で求めた円が共有点をもたないような, んの値の範
囲を求めよ。

BAR f(x) = 4a? 一4zcos9上3sin29 について次の問に答えよ。ただし, 9は0Sミ9<2r
である。
(1) 放物線=リナ(z) の頂点のg座標。のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) eno = / f(a) dz のとり得る値の範囲を求めよ。
o
(3) 2 次方程式 7(z) = 0 が虚数解をもつとき, その 2 つの解の積cのとり得る値の範囲を
求めよ。
ーーォーー

1 個のさいころを投げ, 奇数の目が出たときはその目の数を とし, 偶数の目が出たとき
はもう 1 回さいころを投げ, 出た目の数を X LTS. SSK, 1 枚の硬貨を 回投げ, 表
が出た回数を Y とする。 次の間に答えよ。

( 1) メニ5のとき, 1 回目のさいころの目が奇数であった確率を求めよ。

(2) =4となる確率を求めよ。
(3) ヤニ4のとき, メー6であった確率を求めよ。

以下 余 操

との真は下番きに使用してよい
a とェー

この長は下書きに使用してよい
ee 着

人間科学部
AN ズ い
数学 (文系方式)
: (間 題 |
2019年度 |
|
(131133619)
注 BSR
1. 試験開始の指示があるまで、問題民子および解答用婚には手を触れないこと。
2. 問題は4一 8 ページに記載されている。 試験中に問題恒子の印刷不鮮明、ページの落丁・乱丁及び解答
用紙の汚損等に気付いた場合は、手を挙げて監督員に知らせること。
3. 解答はすべて、HBの黒氏筆またはHBのシャープベンシルで記入すること。
4 マーク解答用紙記入上の注意
1) 印刷されている受験番号が、自分の受験番号と一致していることを確認したうえで、氏名租に氏名を
記入すること。
(2) 所定の棚以外に受験番号・氏名を記入した解答用紙は採点の対象外となる場合がある。
(3) マーク欄にははっきりとマークすること。また、町正する場合は、消しゴムで丁寧に、消し残しがな
いようによく消すこと。
マークする時| W良いつ悪い 悪い
マークを消す時| ORV 〈つ悪い 悪い
(4) 分数形で解答する場合の分母、および根号の中の数値はできるだけ小さな自禁数で答えること。
(3) 問1から問5までの| | , | 。...にはそれぞれ、-59. 58. ...。-2. -1, 0.1.
2 ..., BB, 59のいずれかが当てはまる。 次の例にならって、マーク解答用紙のア, イ。 ウ, ...で示され
た柚にマークして答えること。
Bl アに3、イにー5、ウに30、エに24、オに0と答えたいとき。
| epee ee ee eee
7 jefe etetertetete ere co 181818 SS
[+ l@elfolSoltololtel[sisciolololelololele}
fe lololole[ololel[solSolololol[slololo}
jz letctefotetelelo oc ome ee eet
Lz 1S1616161616]@W1616161S61S1らSG161ら6 「ら」
5. 解答はすべて所定の解党楓に記入すること。 所定拉以外に何かを記入した解和用紙は採点の対象外とな
る場合がある。
6. 誠験終了の指示が出たら、すぐに解答をやめ、筆記用具を置き解答用紙を豪返しにすること。
7. いかなる場合でも、解答用紙は必ず提出すること。
a

ーー 2 (余白) —

ーー 3 @A) 一

(Fi 1]
赤玉 4 個, 白玉 11 個が入っている袋がある. この袋から玉を 1 個取り出しても
とに戻すことをヵ回繰り返すとき, ちょうど3 回赤玉を取り出す確率を p。 とす
る. このとき, ヵ=4 において,
Pr _ [7 Jn
であり, py を最大にするヵの値は| エ | である.
ーー 4ォーー

(#2)
f@)% x x
79 = (toes =) (toe, +) (7272 L, ab =8, a> b> 0)
とする. fe) の最小値が-1 であるとき, の の値は| オ | である.
ーーター

[Fi 3

半径 1 の球に外接する正四面体の高さは| カ | である.

次に, 半径 1 の4つの球について考える. それら4つの球は互いに接しており,
SROPLO, P,Q, R を頂点とする立体 OPQOR が正四面体となるとき, COE
四面体 OPQOR の高きは CHS. Ek, この状態にある4 つの球を

IEANE '
収めることができる最小の正四面体の高さは ーーーニーテーーー である.

(fi 4]
gは正の定数とする. 関数
f(x) = cos xsin x + a(sinx + cosx) +1 (OS x<2n)
のグラフとx軸との交点の個数がちょうど4 となるような, ha の値の範囲は
|
である.
ーー ーー

[Fis]

3 点 AQ,1,7), B(2,5,5), C5,3,5) を含む平面ヶ上を動く点Pがある. COR
Plt, 原点 O(0.0,0) との距離 OP s 7V2 を満たすように動く. COLA, 平面
a 上でP が動きうる領域の面積は| ツ |x CHS. Ek, 点 Q16,10.6) と点Pの
HiME PQ の最小億は| テ | ト | である.

[以下 ® Al

— 9 (余白) 一

ーー 貞和全角 —

人人間科学部
ep マズ い
BCE (理系方式)
(問 題)
2019年度
(H31134019)
注 意 事項
1. 試験開始の指示があるまで、問題虹子および解答用紙には手を触れないこと。
2. 問題は4一8ページに記載されている。 試験中に問題冊子の印刷不鮮明、ページの落丁・乱丁及び解答
用紙の汚損等に気付いた場合は、手を挙げて監督員に知らせること。
3. 解答はすべて、HBの黒鉛筆まきたはHBのシャープペンシルで記入すること。
邊マーク解答用紙記入上の注意
G) 印刷されている受験番号が、自分の受験番号と一致していることを確認したうえで、氏名欄に氏名を
記入すること。
(2) 所定の欄以外に受験番号・氏名を記入した解答用紙は採点の対象外となる場合がある。
(3) マーク欄にははっきりとマークすること。また、訂正する場合は、消しゴムで丁寧に、消し残しがな
いようによく消すこと。
マークする時| w良い 〈つ悪い 悪い
マークを消す時| <つ良い OR OR
(4) 分数形で解答する場合の分母、および根号の中の数値はできるだけ小さな自然数で答えること。
(16) 問1から問5までの | ァ| , ' 。...にはそれぞれ、-59. 58. ...。-2. -1 0. 1
2, ...。 58, 59のいずれかが当てはまる。 次の例にならって、マーク解答用紙のア。イ, ウ, ...で示され
た欄にマークして答えること。
例 アアに3、イにー5、ウに30、エに24、オに0と答えたいとき。
議
Li 11sl4ls5lolilslsl4lslsl?7lslesl
Lァ1ら61616161616161S616[@ 16161ら6 161ら1ら6」]
|ィT@W 1らら1616161616161616G]@W 616「S1ら]
Lゥ 16]1ら6「[らTLWw ITら1ら1W 1らら1ら6ら「ら161ら16 16 1らら6」
ETwIoら[wloら|ら1ら6161ら1ら6 1Sら1 1ら61ら161ら1ら6]
41616161616161W |ら1ら1S6161616161616]
5. 解答はすべて所定の解答欄に記入すること。 所定欄以外に何かを記入した解答用紙は採点の対象外とな
る場合がある。
6. 試験終了の指示が出たら、すぐに解答をやめ、筆記用具を置き解答用紙を吾返しにすること。
7. いかなる場合でも、解答用紙は必ず提出すること。
a

ェーーの @A)i=

ー 3 @A) —

【問 1
赤玉4個, 白玉 11 個が入っている袋がある. この袋から玉を1 個取り出しても
とに戻すことをヵ回繰り返すとき, ちょうど3 回赤玉を取り出す確率を pヵ。とす
る. このとき, ヵ>4 において,
pe _ |Zh
であり, py を最大にするヵの値は| エ | である.

(Fi 2】
fx) を x x
FQ) = (toe, =) (toe, +) (ただし, ab = 8, a> b> 0)
とする. fl) の最小値が-1であるとき, @ の値は| オ |である.
ーーターー

【問3】

半径1 の球に外接する正四面体の高きは| カ | である.

次に, 半径1の4つの球について考えをる. それら 4つの球は互いに接しており,
各球の中心0, P, Q, R を頂点とする立体OPQR が正四面体となるとき, COE
四面体 OPOR の高きは CHS. また, この状態にある4つの球を

Ga)
収めることができる最小の正四面体の高きは ーーー ーーブイーーー CHS.
meg ーー
（続きは問題PDFで確認できます）