藤原進之介です。このページでは関西大学2010年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
関西大学2010年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
〔I〕2次方程式の解が三角関数で表せる条件
x² + bx + c = 0 の2解を α, β とします。
(1) α = cosθ、β = sinθ となる θ が存在する条件
解と係数の関係より α + β = −b、αβ = c。したがって
cosθ + sinθ = −b、cosθ·sinθ = c
ここで恒等式 cos²θ + sin²θ = 1 を、和と積で書き換えます。
(cosθ + sinθ)² − 2cosθsinθ = 1 ⇔ (−b)² − 2c = 1
「和と積が分かれば2乗和が分かる」という対称式の基本変形です。三角関数の問題に見えて、実体は基本対称式の操作だけで解けます。
(2) α = 3cosθ、β = sinθ の場合の b, c の最大値
今度は 3cosθ + sinθ = −b、3cosθ·sinθ = c です。
b の最大値：合成すると 3cosθ + sinθ = √10 sin(θ + φ)（cosφ = 1/√10、sinφ = 3/√10、0 < φ < π/2）。
b = −√10 sin(θ + φ) で、0 ≦ θ < 2π のとき θ + φ は幅 2π を動くので sin は −1 から 1 まですべてとります。よって
−√10 ≦ b ≦ √10、b の最大値は √10
このとき sin(θ + φ) = −1、すなわち θ + φ = 3π/2、θ = 3π/2 − φ。
α = 3cos(3π/2 − φ) = −3sinφ = −9/√10
β = sin(3π/2 − φ) = −cosφ = −1/√10
c の最大値：c = 3cosθsinθ = (3/2)sin2θ。0 ≦ 2θ < 4π なので sin2θ は −1 から 1 までとり
−3/2 ≦ c ≦ 3/2、c の最大値は 3/2
このとき sin2θ = 1 より 2θ = π/2, 5π/2、すなわち θ = π/4, 5π/4。
2倍角 2sinθcosθ = sin2θ を使うと c は一気に1つの三角関数になります。θ の範囲を2倍すると 4π 幅になる点に注意してください。この幅なら sin2θ = 1 となる θ が2つ出ます。
〔III〕2円が外接する条件
中心 (3, 2)・半径 1 の円 O₁ と、中心 (p, q) の円 O を考えます。
(1) 円Oが x 軸に接し、円O₁ と外接するときの q と p の関係
円Oの周上のすべての点が x ≧ 0, y ≧ 0 の領域にあるとき、中心は p > 0, q > 0 を満たします。
円Oが x 軸に接するので、半径は中心の y 座標に等しく q です。
2円が外接する条件は「中心間の距離＝半径の和」なので
√{(p−3)² + (q−2)²} = q + 1
両辺2乗して整理します。左辺 = p² − 6p + 9 + q² − 4q + 4、右辺 = q² + 2q + 1 なので
p² − 6p + 12 = 6q
q² が両辺で消えるので、結果は p の2次関数になります。これは「x 軸に接し、与えられた円に外接する円の中心の軌跡」であり、放物線になっています（焦点と準線の関係から導くこともできます）。
(2) 円Oが x 軸と y 軸の両方に接する場合
第1象限で両軸に接するので、中心から両軸までの距離が等しく p = q。
(1) の結果に代入して
q = (1/6)q² − q + 2 ⇔ 6q = q² − 6q + 12 ⇔ q² − 12q + 12 = 0
解の公式より q = (12 ± √(144 − 48))/2 = 6 ± 2√6。
2√6 ≒ 4.90 なので、候補は q ≒ 1.10 と q ≒ 10.90 です。円O₁（中心 (3,2)、半径1）と外接する（内部に含まない）条件を満たすのは小さいほうで
2乗して解いたあとは、必ず元の式 √{(p−3)²+(q−2)²} = q + 1 に戻して吟味します。q = 6 + 2√6 のときは半径が大きすぎて円O₁ を内部に含んでしまい、外接ではなく内接の関係になります。
この年の学習ポイント
〔I〕は「三角関数の問題」の形をしていますが、実際に使うのは対称式の変形と合成・2倍角という2つの基本操作だけです。α + β と αβ が与えられたら、まず 2乗和を作れないか考えてください。
〔III〕の「中心間の距離＝半径の和（外接）／差（内接）」は、2円の位置関係を数式にする唯一の入口です。接する側の円が軸に接するなら半径＝座標という置き換えもセットで覚えておきましょう。
📑 この年度の大問インデックス（全3問）
解説が長いので、解きたい大問へ直接移動できるようにしています。解けなかった問題は、解説を読んだあとに同じ型の問題で当て直すと定着が速くなります。
🧭 関西大学 2010年度｜大問ごとに「使う型」を対応させた表
解けなかった大問がどの型に属するのかを一覧にしました。解説を読んだあと、型のページで同じ判断を使う問題を数問当てると定着が速くなります。この年度は難易度と目標時間を掲載していないため、それらは載せていません。
型の全体像は解法パターン事典、他の年度・他大学は過去問解説の総索引から。関西大学の年度一覧は各ページ末尾のナビでも確認できます。
関西大学 2010年度 数学（数L問）の全問解説です。全3題9小問（問題冊子に「大問3問」と明記されています）。
掲載しているすべての数値は、当塾で解いたうえで Pythonによる検算（ を2万分割して の最大値を数値で追跡・絶対値つき関数の積分を を変えて厳密計算・円の中心が動く範囲を20万分割で走査し「円が第1象限に収まる」条件を1点ずつ確認） を行いました。
| 問 | 分野 | 答え | 照合 |
|---|---|---|---|
| 【Ⅰ】 | 解と係数の関係と三角関数の最大 | ／、、／、、 | 解答例と一致 |
| 【Ⅱ】 | 絶対値3つの関数と面積 | （グラフ）／／ のとき | Python検算のみ |
| 【Ⅲ】 | 2円の外接と存在範囲 | ／／／ | 解答例と一致 |
この年度の傾向（3行）
- 試験時間60分で大問3問。空所補充（【Ⅰ】）と記述（【Ⅱ】【Ⅲ】）の混在です。【Ⅰ】は空欄7個を埋める形式なので、途中でつまずくとまとめて失点する構成。逆に (1) の が出れば、その考え方が (2) にもそのまま効きます。
- 【Ⅲ】は「円が第1象限に完全に含まれる」を式にできるかが勝負です。円 O は 軸に接するので半径がそのまま 。すると「すべての点が 」は中心から 軸までの距離が半径以上、つまり という1本の不等式に化けます。
- 【Ⅱ】は絶対値が3つあるので折れ目も3つ（）ですが、面積の計算では と の間だけ見ればよいので、実際に使う区間は2つだけ。しかも2つの積分を足すと の1次の項が消えて というきれいな式になります。
【Ⅰ】解と係数の関係と三角関数の最大
を実数とし、2次方程式 の解を とする。次の空欄をうめよ。
(1) 、 となる が存在すれば、 と は等式 ① を満たす。
(2) 、 となる が存在するという条件のもとで、 のとりうる最大の値は ② であり、このとき ③、 ④ である。また、同じ条件のもとで のとりうる最大の値は ⑤ であり、このとき ⑥、⑦ である。ただし ⑥ ⑦ とする。
(1) と が満たす等式（①）
【型】解と係数の関係で を で書き、 で を消す。
【なぜこうするか】 解と係数の関係より
なので 、。ここから を消すのが目標です。
使える道具は ただ1つ。「和」と「積」が分かっているときは、和を2乗すると積が出てくる——これが定石です。
左辺は 、右辺の は なので、これで が消えます。
解と係数の関係より 、 だから 第1式の両辺を2乗すると と を代入して したがって ① は
(2) と の最大値（②〜⑦）
【型】 は合成して 。積は2倍角で1つの にする。
【なぜこうするか】 こんどは なので
について で、これは三角関数の合成の形。 なので
の最小値 のとき が最大 。
について と2倍角の公式で1つの にまとめると、最大値は と即座に分かります。
を求めるところが要注意で、 なら 。だから の解は の2つあります。
解と係数の関係より 三角関数の合成より ここで は 、、 をみたす角。 のとき だから は から までのすべての値をとり よって ② の最大値は 。このとき だから したがって すなわち ③ 、④ 。
（検算： となり と一致する。）
2倍角の公式より より だから は から までのすべての値をとり よって ⑤ の最大値は 。このとき だから だから ⑥ 、⑦ 。
検証： を から まで2万分割して と の最大値を数値で求めたところ、（このとき 、 で に一致）、（）となりました。
【Ⅱ】絶対値3つの関数と面積
を を満たす定数とし、 の関数 を次のように定める。 以下の問いに答えよ。
(1) として、 のグラフの概形をかけ。
(2) 軸、、 と とで囲まれてできる図形の面積を とする。 を を用いて表せ。
(3) を最小にする の値と、そのときの の値を求めよ。
(1) のときのグラフ
【型】絶対値の中身が0になる点で区間を切る。各区間では1次式になる。
【なぜこうするか】 絶対値の中身が0になるのは の3か所。この3点で区間を4つに分け、それぞれで絶対値を外します。
外し方は「中身が正ならそのまま、負なら符号を変える」だけ。たとえば では3つとも中身が負なので全部符号が変わり
傾きに注目すると分かりやすいです。折れ目を1つ越えるたびに、その項の符号が から に変わるので、傾きが2ずつ増えていきます（）。だからグラフは下に凸の折れ線になり、傾きが負から正に変わる で最小になります。
のとき、絶対値の中身が0になるのは 。それぞれの区間で絶対値を外すと 主な点の値は であり、グラフは下に凸の折れ線で、 で最小値2をとる。
(2) 面積 を で表す
【型】 なので面積はそのまま定積分。折れ目 で積分を2つに分ける。
【なぜこうするか】 は絶対値の和なのでつねに0以上。しかもこの範囲では0にならないので、面積は そのもの。
なので、区間 の中にある折れ目は だけ（ は端点）。だから と の2つに分けて積分します。
（一般の でも、絶対値の外し方は のときと同じ形です。）
計算すると、2つの積分にはそれぞれ という1次の項が出ますが、足すと打ち消し合って となります。
だから、求める面積は より、区間 の内部にある折れ目は のみ。この区間では よって 第1の積分は 第2の積分は したがって
(3) を最小にする と
【型】 が の2次関数なら平方完成。定義域の端に注意する。
【なぜこうするか】 は下に凸で頂点が 。そして定義域は なので、頂点 がちょうど左端で定義域に含まれます。
もし定義域が だったら最小値は存在しません（ で近づくだけ）。 と等号がついていることが効いています。
(2) より 。これは の2次関数で下に凸、頂点は 。
定義域 に が含まれるから、 は で最小となり したがって のとき最小値 。
検証： について、絶対値を含んだまま をsympyで厳密に計算したところ となり、 の値と完全に一致しました。 での 、、 も確認しています。
【Ⅲ】2円の外接と存在範囲
座標平面上に を中心とし、半径1の円 がある。円 に外接し、かつ 軸に接する円 O の円周上のすべての点が 、 を満たす領域にあるとする。また、円 O の中心の座標を とする。次の問いに答えよ。
(1) を で表せ。
(2) 軸、 軸に接し、円 に外接する円の半径を求めよ。
(3) のとりうる値の範囲を求めよ。
(4) のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) を で表す
【型】 軸に接する円は「半径＝中心の 座標」。外接は「中心間距離＝半径の和」。
【なぜこうするか】 円 O は 軸に接し、円周上のすべての点が にあるので、中心は 軸の上側にあり、半径はちょうど （）。ここが出発点です。
次に「円 に外接する」は中心間距離＝半径の和：
両辺を2乗すると が消えて の1次式になり、 が の2次式で書けます。根号を外すために2乗するのに、結果として次数が下がるのがこの問題の気持ちよいところ。
円 O の円周上のすべての点が 、 にあるから、中心 は 、 をみたす。円 O は 軸に接するから、その半径は である。
円 O と円 が外接するから、中心間の距離は半径の和に等しく 両辺を2乗して したがって
(2) 軸、 軸に接し円 に外接する円の半径
【型】両軸に接する円（第1象限）は中心 、半径 。
【なぜこうするか】 軸にも 軸にも接するなら、中心から両軸までの距離が等しく半径に一致するので 。
だから (1) の関係式に を代入すれば、 の2次方程式になります。(1) をそのまま使えるように問題が並んでいるので、独立に立式し直す必要はありません。
この (2) は単独の問題に見えますが、実は (3) の境界を先に求めさせているのがねらいです。
円 O が 軸と 軸の両方に接するとき、中心 から両軸までの距離が半径 に等しいから これを (1) の結果に代入すると 解の公式より 、 でどちらも をみたす。円 O の半径は だから、求める半径は
(3) のとりうる値の範囲
【型】「円が半平面に含まれる」＝「中心から境界線までの距離 半径」。
【なぜこうするか】 「円周上のすべての点が 」を式にします。円が直線 （ 軸）の右側に完全に含まれる条件は、中心から 軸までの距離が半径以上。中心から 軸までの距離は 、半径は なので
（ のほうは、 軸に接していて中心が上側なので自動的にみたされます。）
ここに (1) の を代入すれば の2次不等式。その境界がちょうど (2) で求めた になります。
円 O の半径は であり、中心 から 軸までの距離は である。円周上のすべての点が をみたす条件は （ 軸に接し中心が上側にあるから、 は自動的にみたされる。）
(1) より だから (2) と同じ2次方程式の解 が境界だから
(4) のとりうる値の範囲
【型】 は の2次関数。定義域が (3) で決まったので、その範囲での値域を求める。
【なぜこうするか】 (1) の は下に凸の放物線で頂点は 。(3) で定義域 が決まったので、あとは2次関数の値域の問題です。
頂点 が定義域に含まれるかを確かめます。 なので含まれる。だから最小値は頂点の値 。
最大は頂点から遠いほうの端。 からの距離は と で、前者のほうが遠い。よって で最大です。この端では (2) で見たとおり なので、 とすぐ分かります。
(1) より これは下に凸の放物線で、頂点は 。(3) より の範囲は であり だから頂点 はこの範囲に含まれる。よって最小値は また、頂点 から遠いほうの端は （距離 ）だから、そこで最大となる。(2) よりこの端では だから したがって
もう1つは (3) で の条件を式にしようとして混乱すること。 軸に接している時点で は自動的に成立しています。
検証：(1) の を外接条件の式に戻すと厳密に0になることを確認しました。(3) の範囲内を20万分割して走査し、すべての点で「 かつ 」（＝円が第1象限に収まる）が成り立つこと、範囲の外側（両端から ずらした点）では となって条件を破ることを確認しています。(4) は同じ走査で最小 、最大 を得ており、 と に一致します。
この年度で使った「型」の一覧
| 型 | 使った問題 |
|---|---|
| 解と係数の関係で をパラメータの式にし、恒等式で消去する | 【Ⅰ】(1) |
| 「和」と「積」が分かっているときは、和を2乗すると積が出る | 【Ⅰ】(1) |
| は合成して | 【Ⅰ】(2) |
| は2倍角で にまとめる | 【Ⅰ】(2) |
| の範囲が1周なら の範囲は2周。解の個数が倍になる | 【Ⅰ】(2) |
| 絶対値は中身が0になる点で区間を切る。折れ目ごとに傾きが変わる | 【Ⅱ】(1) |
| 絶対値の和は0以上。面積はそのまま定積分でよい | 【Ⅱ】(2) |
| 定義域の端が閉じているか開いているかで、最小値の存在が変わる | 【Ⅱ】(3) |
| 軸に接する円は「半径＝中心の 座標」 | 【Ⅲ】(1) |
| 2円が外接 ⟺ 中心間距離＝半径の和 | 【Ⅲ】(1) |
| 両軸に接する円（第1象限）は中心 、半径 | 【Ⅲ】(2) |
| 「円が半平面に含まれる」＝「中心から境界線までの距離 半径」 | 【Ⅲ】(3) |
| 下に凸の2次関数の最大は、頂点から遠いほうの端でとる | 【Ⅲ】(4) |
検証について
本ページの数値は、次の手順で確認しています。
- 当塾で解く 問題文から自力で解答を作成しました。
- Pythonによる独立検算 【Ⅰ】は を2万分割して の最大値と、そのときの を数値で求めて式と照合、【Ⅱ】は絶対値を含んだまま の定積分をsympyで厳密計算、【Ⅲ】は円の中心が動く範囲を20万分割で走査して条件の成否を1点ずつ確認しました。
- 別解との突き合わせ 別の道筋でも解き直して突き合わせました。なお当初の配布物に収録されていたのは【Ⅰ】と【Ⅲ】のみで、この6小問はすべて一致しています。【Ⅱ】の3小問については解答例が手元にないため、上のPythonによる検算のみが根拠です。面積の一般式 は3通りの で厳密積分と一致しており、当塾としては十分な確度と判断していますが、この違いを明記しておきます。
問題文・解答例の著作権は関西大学に帰属します。本ページは学習目的の解説であり、問題の全文転載ではありません。数値に誤りを見つけられた場合は、お手数ですがお問い合わせフォームよりご連絡ください。
関西大学 数学 過去問｜他の年度を見る
関西大学の数学の過去問は30年度ぶんを公開しています。そのうち3年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
- 2025年度
- 2024年度
- 2023年度
- 2022年度
- 2021年度
- 2020年度
- 2019年度
- 2018年度
- 2017年度
- 2016年度
- 2015年度
- 2014年度
- 2013年度
- 2012年度
- 2011年度
- 2010年度
- 2009年度
- 2008年度
- 2007年度
- 2006年度
- 2005年度
- 2004年度
- 2003年度
- 2002年度
- 2001年度
- 1999年度
- 1998年度
- 1997年度
- 1996年度
- 1995年度
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
