立命館大学 2025年度 過去問・解答

※ 問題文は立命館大学が公表した2025年度入学試験問題を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した一般的な解答例そのものではありません。作成にあたっては大学公表の解答と全41空所を突き合わせて一致を確認し、さらに は数列を第110項まで生成＋ を 900 組走査して「最後の 0 でない項＝最大公約数」を確認、 は数式処理による記号積分、 は五角形を実際の座標で構成し、辺長・内角・面積・交点をすべて実測、 は3 通りの で P、Q が曲線上かつ菱形上にあることを残差 で確認して独立に検算しています。

差の絶対値でつくる数列——正体はユークリッドの互除法

分野：数列・整数（最大公約数）　難易度：やや難　目標時間：20分

〔1〕　［ア］［イ］［ウ］ の場合

【型】まず数項を書き出す。 が出たら「」の周期 3 で循環する

【なぜこうするか】
この手の漸化式はとにかく書き出すのが第一手。ただし まで書くのは面倒なので、いつから循環するかを見抜きたい。
ここで大事な観察があります。ある項が になったら、その後は必ず周期 3 で循環する： のとき

つまり と、 の 3 つ組が繰り返されます。この事実を最初に押さえておけば、 だろうと余りの計算だけで済みます。

順に計算すると

よって［ア］、［イ］。

以降は の繰り返しになる。実際 であり、 では

を で割った余り	（）

（ で、 はいずれも で割った余りが 。） だから

［ウ］。

検算。第 20 項まで実際に生成すると となり、、、 ✓

【定石】 が現れたら「」の周期 3 で循環（ は直前の 0 でない値）。あとは添字を 3 で割った余りで決まります。循環の開始位置を正確に押さえるのが唯一の注意点。

【よくあるミス】循環の開始位置を 1 つずらすこと。「 が出た項の添字」を基準に余りを考えると安全です（本問なら なので で ）。

〔1〕　［エ］［オ］［カ］ の場合

【型】同じく書き出して循環に入る位置を特定 → 添字を 3 で割った余りで判定

【なぜこうするか】
今回は と最初から公約数 3 をもつので、循環に入るのが早いはずです。実際

と、たった 3 手で に到達。以降は の周期 3 です。
のような大きな添字は、必ず余りで処理します。 なので、 になるのは のとき。 の余りは なので ではなく です。

順に計算すると

よって［エ］。以降 と が繰り返される。 となるのは 、すなわち を で割った余りが のとき。

	の余り

したがって［オ］、［カ］。

検算。第 110 項まで生成して確認すると 、、 ✓（、 でともに余り ）。

【定石】大きな添字は必ず「周期で割った余り」で処理。周期に入る最初の項の添字を基準にすると余りの対応がずれません。

【よくあるミス】 を で割った余りを と勘違いすること（ なので余りは ）。地味ですが、ここを外すと ではなく と答えてしまいます。

〔2〕　［キ］［ク］［ケ］［コ］ と

【型】書き出せば出るが、正体は「引き算だけのユークリッドの互除法」——

【なぜこうするか】
書き出すだけでも答えは出ますが、この数列の正体を知っておくと〔3〕が一瞬で終わります。
鍵は「 が保たれる」こと。 とすると、 がともに の倍数なので も の倍数。以下帰納的にすべての項が の倍数です。
一方、 でない項はどんどん小さくなり、最後は「」で止まります。その が より大きいことはありえない（ の倍数で、しかも の共通の約数になる）ので、最後に残る 0 でない値はちょうど 。
これは「引き算だけで最大公約数を求める互除法」そのもの。、 と、答えが即座に予想できます。

のとき。

で だから 、。［キ］、［ク］。

のとき。

よって 、。［ケ］、［コ］。

正体（〔3〕への布石）。 とおく。 が の倍数なら も の倍数であり、以下帰納的にすべての は の倍数。逆に、この操作は引き算による互除法そのものなので、最後に残る でない値は の最大公約数に一致する。すなわち

実際 （＝［ク］）、（＝［コ］）と合っている。

検算（900 組の総当たり）。 の全 組について数列を が出るまで生成し、最後の でない項と を比べたところ、900 組すべてで一致 ✓

【定石】 の正体は「引き算だけのユークリッドの互除法」。最後に残る でない項は 。この一文を知っているかどうかで、〔3〕の所要時間が 10 分変わります。

【よくあるミス】 の定義を「 が出る項の添字」と取り違えること。 は となる 、つまり が出る 1 つ手前です（本問なら なので ）。

〔3〕　［サ］ で となる の個数

【型】 だから、条件は「 が と互いに素」——オイラー関数

【なぜこうするか】
〔2〕で見たとおり 。したがって

　すなわち が と互いに素

条件 と が自然数から、範囲は 。
なので、 の倍数でも の倍数でもないものを数えます。包除原理で

（全体）−（3 の倍数）−（5 の倍数）＋（15 の倍数）

（ から までで数え、 は なので元から除外されるため、そのまま 個。）これはオイラー関数 と一致します。

〔2〕より だから、 となる条件は が と互いに素であること。 は の自然数で、 だから の倍数でも の倍数でもないものを数える。

除くもの	〜 での個数
の倍数（）
の倍数（）
両方（ の倍数）

よって 個。該当する は

［サ］。

検算。 のそれぞれについて実際に数列を生成し、最後の でない項が になるものを数えると の 8 個 ✓　オイラー関数 とも一致します ✓

【定石】「互いに素な数の個数」はオイラー関数 。習っていなくても包除原理で同じ答えが出ます。（相異なる素数）なら ——本問は ✓

【よくあるミス】 の条件を落として まで数えること。また「互いに素」を「素数」と混同すること（ は素数ではありませんが と互いに素です）。

〔4〕　［シ］［ス］ のときの

【型】数項書き出して「「、（奇数）、（偶数）」」の 3 つ組が繰り返す構造を見抜く

【なぜこうするか】
実際に書き出してみます。

でまた に戻るのがポイント。以降も同じパターンで

つまり 以降は という 3 つ組の繰り返しで、引く数が 2 ずつ増えていく。
どこで が出るかは の偶奇で変わります。引かれる数は と全部現れるので、 となる位置を数えればよい。 が偶数なら「「（偶数）」」の位置（3 つ組の 3 番目）で、奇数なら「「（奇数）」」の位置（3 つ組の 2 番目）で になります。これが偶奇で式が変わる理由です。

数列の構造。 から順に

添字
値

一般に、 として

が偶数のとき。 となる で 。このとき

だから 、すなわち

［シ］。

が奇数のとき。 となる で 。このとき

よって 、すなわち

［ス］。

検算（ から まで）。実際に数列を生成して を求めた値と、公式の値を比べると

	1	2	3	4	5	6	7	8
実測	2	3	5	6	8	9	11	12
公式	2	3	5	6	8	9	11	12

から まですべて一致 ✓（偶数なら 、奇数なら ）

【定石】周期的に同じ形が現れる数列は「3 つ組の一般形」を添字の式で書く（本問は ）。 になる位置を で解いてから添字に戻すと、偶奇の場合分けが自然に出ます。

【よくあるミス】 と「 が出る添字」を混同して ずれること。必ず など小さい値で検算しましょう（： なので ✓）。

たたみこみ型の積分で定まる関数

分野：定積分・偶奇性・三角関数　難易度：やや難　目標時間：22分

〔1〕　［ア］［イ］指数関数の場合

【型】指数関数は積が和になる—— のように が消えるか、 のように が消えるかを見る

【なぜこうするか】
この積分の要は、被積分関数が と のどちらに依存するかです。指数関数なら積は指数の和になるので、その様子が一目でわかります。

• ：—— が完全に消える。積分は素直な の積分。
• ： なので、積は ——今度は が完全に消える。積分は「定数 × 区間の長さ」だけ。

後者で区間の長さが であることに注意すれば 。「積分の中に が残らないなら、長さを掛けるだけ」という当たり前のことが、ここでは大きな時短になります。

［ア］ のとき。 だから

［イ］ のとき。 だから

これは を含まない定数だから

検算。数式処理で を計算すると ✓、 ✓

【定石】 の形は、まず積を書き下して「 だけの式か、 だけの式か、混ざるか」を判定。指数関数は で一気に整理できます。被積分関数が を含まなければ、積分は区間の長さ倍。

【よくあるミス】 のときに としてしまうこと。 の引数全体に が付くので です。ここを誤ると答えが のようになってしまいます。

〔2〕　［ウ］ のとき

【型】 と和と差の積に。 は積分では定数扱い

【なぜこうするか】
、 なので、積は和と差の積：

積分変数は なので、 は定数として扱います。 は偶関数、 は定数——どちらも で素直に積分できます。
（偶関数の性質を使えば と半分の手間で済みます。）

だから

［ウ］。

検算。数式処理で ✓　 で ✓

【定石】積分変数以外の文字は定数。 のような和と差の積は展開せずに と書けます。対称区間なら偶関数・奇関数の性質で計算量が半分に。

【よくあるミス】 を積分変数と混同して としてしまうこと。 です。

〔2〕　［エ］ となる

【型】 とおいて を計算し、 と係数比較

【なぜこうするか】
「1 次式である」と教えてくれているので、 とおくのが素直。あとは を の式で求めて、 と比べるだけです。
計算を軽くするコツは積分の線形性で分けること：

第 1 項は［ウ］で計算済みの 。第 2 項は 。
つまり前問の結果を再利用できて、。あとは係数比較。

（ は実数）とおく。積分の線形性より

第 1 項の積分は［ウ］より 。第 2 項は

よって

これがすべての実数 で に等しいから、係数を比較して

したがって［エ］。

検算。数式処理で として を計算し と係数比較させると ✓　念のため を代入して積分すると、確かに になります ✓

【定石】「◯次式である」と与えられたら、文字係数でおいて係数比較。積分の線形性で前問の結果を再利用できないか常に探すこと——空所補充形式では、前の答えを使い回せる設計になっていることが多いです。

【よくあるミス】 を「奇関数だから 」としてしまうこと。 は について奇関数ではありません（ の分だけずれている）。奇関数なのは の部分だけで、 は定数として長さ を掛けた が残ります。

〔3〕　［オ］［カ］ と偶関数のときの対称性

【型】［オ］は積分区間が 1 点に潰れる。［カ］は の置換で を に戻す

【なぜこうするか】
［オ］は簡単。 なら積分区間が になるので、被積分関数が何であれ 。
［カ］が本題です。定義に を代入すると

（ の引数 、 の引数 、区間も に変わる点に注意。）
これを の形に近づけるには と置換します。すると 、 となり、ここで が偶関数だから

と、ちょうど の被積分関数に戻ります。区間の向きから符号が 出て、結果は 。
つまり「 が偶関数なら は奇関数」。［オ］の とも整合します（奇関数は原点で ）。

［オ］。 のとき積分区間は となるから

［カ］。定義に を代入すると

ここで と置換すると 、 のとき だから

が偶関数だから 、。よって

［カ］。つまり は奇関数である。

検算。（偶関数）、（偶関数）として数式処理で計算すると 。実際 となり奇関数であることが確認できました ✓　また ✓

【定石】 を調べるときは、定義に代入してから置換で の形に戻す。「偶関数 偶関数のたたみこみは奇関数」という結論は覚えるより、置換で導けるようにしておくほうが応用が利きます。

【よくあるミス】 を作るときに積分区間の を入れ替え忘れること。定義は なので、 では になります。ここを忘れると符号が合いません。

〔4〕　［キ］ のときの

【型】 の積和の公式で「 だけの項」と「 だけの項」に分離する

【なぜこうするか】
被積分関数は 。三角関数の積は積和の公式で和に直すのが定石です。

に を当てると 、 となり

だけの項と だけの項にきれいに分かれました。しかも は奇関数なので対称区間 での積分は 。残るのは定数 を長さ 倍したものだけ——実質、暗算で終わります。

積和の公式より

よって

は の奇関数だから 。また は について定数だから

［キ］。

検算。数式処理で ✓

【定石】三角関数の積は積和の公式で和に。 の組み合わせなら、和が 、差が ときれいに分離します。対称区間では奇関数の項が消えるので、実質は定数項だけ。

【よくあるミス】積和の公式で の割り当てを逆にして などとすること。 の形に合わせる（ の側が ）ことを確認しましょう。

〔4〕　［ク］［ケ］ の最小解と定積分

【型】 だから 。積分は部分積分（ 三角関数の定番）

【なぜこうするか】
で なら なので 。よって 、最小は すなわち 。
積分 は「多項式 × 三角関数」＝部分積分の典型。多項式を微分する側にとるのが鉄則です（ を微分すれば になって消える）。

［ク］。 より だから 。 で だから が最小、すなわち

［ケ］。 を使って部分積分すると

第 1 項は 。第 2 項は

よって

［ケ］。

検算。数式処理で ✓（数値では ）

【定石】「多項式 × 三角関数」は部分積分、多項式を微分する側に。 の係数 を忘れないこと。

【よくあるミス】 の解に を含めてしまうこと（ の範囲と指定されています）。また部分積分で の符号を落として としてしまうこと。

〔4〕　［コ］ のときの

【型】 を で割って の式にする（割る前に を確認）

【なぜこうするか】
積の微分で

これを とおいて の式に直したいので、 で割りたい。ただし割ってよいかの確認が必要です。
もし なら なので 。つまり のときは必ず 。また だから 。
これで安心して で割れます：

「割る前にゼロでないことを確認する」——空所補充でも、この確認をした人としない人で正答率が変わります。

積の微分法より

ここで、もし だとすると となり 。よって のときは である。また より 。したがって両辺を で割ることができて

［コ］。

検算（数値解を 3 つ求めて代入）。 の正の解を数値的に求め、 を計算すると

の解

3 つの解すべてでちょうど ✓

【定石】 と の 1 次結合が → で割って にする。割る前に「その値が でない」ことを確認するのが正しい手順で、本問では「 なら 」という背理法的な確認がそれにあたります。

【よくあるミス】 の確認を飛ばすこと。答えは変わりませんが、記述式なら減点対象です。また の で合成関数の 倍を落とすこと。

五角形とベクトル——座標を置いて押し切る

分野：平面ベクトル・図形と計量　難易度：やや難　目標時間：22分

　［ア］座標を置いて を求める

【型】 を利用して と座標を置き、進む向きを角度で追う

【なぜこうするか】
角と辺だけで与えられた多角形は、座標を置くのが最速です。とくに かつ なので、A を原点、B を 軸上、E を 軸上に置けば 、 と最も扱いやすくなります。
C、D は「進む向き」を角度で追うと楽です。 の向きは 。頂点 B での内角が なので、外角は 。したがって の向きは 。同様に C での外角は で、 の向きは 。
「内角 の頂点では進行方向が だけ左に回る」——多角形の座標計算の万能手順です。
最後の二重根号 は分母を 2 にして と直すと が見えます。

座標設定。、、 と置いてよい（このとき ）。進行方向を追うと

辺	向き	長さ	終点の座標

（、。）

の計算。 だから

二重根号をはずすため、分母分子に を掛けて

［ア］。

▲ 、、、、。E と C の 座標がともに なので直線 EC は 軸に平行——この一点に気づくと、交点 F が一瞬で出ます。

検算。この座標で 5 辺の長さを測ると 、内角は 、、 ですべて条件どおり ✓　また と一致 ✓

【定石】角と辺で与えられた多角形は座標を置く。内角 の頂点では進行方向が だけ回ると覚えると、C、D、… が機械的に求まります。二重根号 は と直して を探す。

【よくあるミス】進行方向を「内角そのもの」回してしまうこと（正しくは外角 ）。また二重根号をはずさずに のまま答えること——問題文が「二重根号を使わずに」と明示しています。

　［イ］［ウ］三角形 CDE と五角形の面積

【型】、 から 。五角形は「三角形＋台形」に分割

【なぜこうするか】
座標があるので靴ひも公式でも出ますが、図形的に見たほうが速い場面です。
E と C はどちらも 上にあるので直線 EC は 軸に平行。よって 。
また の向きが で EC が水平だから、錯角より 。 なので 。
これで が使えます。
五角形のほうはEC で 2 つに切るのが自然：上が 、下が台形 ABCE（AE … ではなく、 と が平行）。台形の上底 、下底 、高さ 。

［イ］三角形 CDE。E と C の 座標はともに だから直線 EC は 軸に平行で

また の向きが 、EC が水平だから錯角より 。 より

よって

［ウ］五角形 ABCDE。線分 EC で分割すると、五角形は と台形 ABCE の和。台形は （ともに水平）、上底 、下底 、高さ だから

したがって

検算（座標から靴ひも公式で実測）。、 ✓　五角形 、 ✓

【定石】座標があっても、平行な辺が見えたら図形的に処理するほうが速い。 座標が等しい 2 点を結ぶ線分は水平——分割の補助線として最有力。台形の面積は （上底＋下底）×（高さ）。

【よくあるミス】 を のまま使うこと。 から を引く必要があります。錯角の関係を図で確認しましょう。

　［エ］［オ］ と

【型】 なので、座標の成分がそのまま係数になる

【なぜこうするか】
この設問がやさしいのは、座標の置き方がうまいからです。 と置いたので

これは標準基底そのもの。したがって任意の点 について と、座標の成分をそのまま係数に書き写すだけで終わります。
「 で表せ」という指示に身構える必要はなく、座標を求めた時点で答えが出ているわけです。

、 だから、点 について 。よって 、 より

【定石】「与えられた 2 ベクトルで表せ」と言われたら、その 2 本が標準基底になるように座標を置く。本問のように直交して長さが等しいなら、 と に取るのが最善です。

【よくあるミス】 を と取り違えて符号を逆にすること。図で向きを確認しましょう。

　［カ］［キ］交点 F と

【型】EC は水平線 。 とおいて 成分を にする を求める

【なぜこうするか】
ふつう 2 直線の交点は連立方程式ですが、ここでは EC が水平（）なので圧倒的に楽です。
F は AD 上にあるので と書けます。 の 成分は なので、 の 成分は 。これが に等しいので

連立方程式を解かずに が出ました。「片方の直線が座標軸に平行」という状況は、必ず活用してください。
も、F と C がともに 上にあるので 座標の差だけで求まります。

［カ］。F は AD 上にあるから、実数 を用いて とおける。F は EC 上、すなわち 座標が だから

よって

すなわち 。

［キ］。F と C はともに 上にあるから

検算。数値で 。これは と一致し、 座標も ✓　、 ✓

【定石】交点を求めるとき、片方の直線が （定数）なら、もう片方を助変数表示して 成分を合わせるだけ。連立方程式より圧倒的に速い。同じ水平線上の 2 点の距離は 座標の差。

【よくあるミス】 の を の係数にだけ掛けて の係数を のままにすること。両方の成分に掛けるので の係数は です。

　［ク］四角形 ABCF の面積

【型】（ともに水平）なので台形。上底 、下底 、高さ

【なぜこうするか】
四角形 ABCF の 4 頂点は 、、、。
A、B は 上、C、F は 上——つまり で、これは台形です。高さは 2 本の水平線の間隔で 。
上底 （［キ］で求め済み）、下底 。台形の公式に入れるだけです。
（靴ひも公式でも同じ答えになりますが、前問の結果をそのまま使える台形公式のほうが速い。）

は直線 上、 は直線 上にあるから、四角形 ABCF は の台形で、高さは 。よって

検算。靴ひも公式で座標から直接計算すると 、 ✓

【定石】2 本の水平線に挟まれた四角形は台形。前の設問で求めた長さをそのまま上底・下底に使う——空所補充では、こうした「前問の再利用」が想定解であることがほとんどです。

【よくあるミス】頂点の順序を A→B→C→F ではなく A→B→F→C として、自己交差する四角形の面積を計算してしまうこと。図で頂点の巡り方を確認しましょう。

　［ケ］

【型】O は 5 頂点の重心。＝（重心）−（F） を成分で計算する

【なぜこうするか】
式の意味を読み解きます。 を「P の位置 − F の位置」と書き直すと

つまりO は五角形の 5 頂点の重心。 は「重心 F」という、ごく素直な量です。
座標がすべて分かっているので、あとは成分を足して 5 で割り、F を引くだけ。分数と が混ざるので通分だけ丁寧に。

重心の座標。5 頂点の座標を足すと

成分の和：

成分の和：

よって重心は 。

。 だから

成分は分母を に通分して

成分は 。したがって

［ケ］。

検算。座標から直接計算すると 、。一方 で小数第 12 位まで一致 ✓

【定石】 は「重心 F」。定義式を見たら、まず何を表す点かを言語化すること。 は頻出なので即答できるように。

【よくあるミス】 の 成分の通分で を や と間違えること。また を求めるのに （平方根）まで計算してしまうこと——聞かれているのは 2 乗なので根号は不要です。

双曲線と菱形領域

分野：2次曲線・絶対値のグラフ・極限　難易度：難　目標時間：24分

〔1〕　［ア］接する条件

【型】連立して を消去し、2 次方程式の判別式

【なぜこうするか】
曲線と直線が接する＝連立してできる方程式が重解をもつ。これは 2 次曲線でも放物線でも同じです。
を に代入すると

の係数が なのでこれは 2 次方程式（もし係数が 0 なら「漸近線と平行」で 1 点しか交わらない場合になりますが、本問では起こりません）。
判別式は の係数が偶数なので を使うと計算が軽い：。

を に代入して

接する条件はこれが重解をもつこと、すなわち

より

検算。数式処理で の判別式を計算すると （）で、 の解は ✓

【定石】接する ⟺ 連立した方程式が重解 ⟺ 判別式 。 の係数が偶数なら を使うと計算量が半分になります。後で が繰り返し出てくるので、この式を覚えておくと〔2〕が速い。

【よくあるミス】 の展開で の分配を誤ること。また の条件を使わず と答えること。

〔1〕　［イ］2 交点の 座標がともに正となる範囲

【型】2 解の を で表し、小さいほうが正である条件を書く

【なぜこうするか】
2 交点の 座標は の解で

だから

2 つとも正になる条件は「小さいほうが正」、すなわち 。
両辺とも なので 2 乗して 、つまり 、。
（2 解の和 と積 から導いても同じです。）
これに「相異なる 2 点で交わる」条件 、すなわち を合わせて答えになります。

2 交点の 座標は だから、 より

2 つの がともに正となる条件は、小さいほう（ の側）が正であること：

両辺は正だから 2 乗して

相異なる 2 点で交わる条件 （）と合わせて

［イ］。

検算（境界の前後で判定）。各 について実際に 2 交点の 座標を計算すると

	2 交点の 座標	ともに正
	虚数（交わらない）	—
		〇
		〇
		×（一方が ）
		×

でちょうど境界になっており、 で条件が満たされることが確認できます ✓

【定石】2 解がともに正 ⟺ （和 ）かつ（積 ）、または小さいほうが正。本問は根号の形が扱いやすいので後者が速い。（式）の変形では、両辺が正であることを確認してから 2 乗。

【よくあるミス】「相異なる 2 点で交わる」条件（）を忘れて と答えること。問題文が「［ア］［イ］」という形を与えてくれているので、下限は［ア］だと分かります。

〔2〕　［ウ］〜［カ］2 点 P、Q の座標

【型】 は中心 の「菱形」。 側の 2 辺は と

【なぜこうするか】
まず の正体を掴みます。これは中心 、頂点が の菱形（正方形を 傾けた形）。
の部分は上側の 2 辺で、それぞれ

• 左側（）：　←〔1〕の直線 そのもの！
• 右側（）：

左側の辺が〔1〕で扱った直線と同じ——だから〔1〕の計算がそのまま使えます。これが誘導の意図です。
のときは〔1〕の結果から「2 交点の のうち小さいほうは負」なので、この辺との交点で となるのは の側だけ。これが P です。
右側の辺 についても同様に連立して、 となる解を選べば Q。

菱形の 2 辺。 のとき だから

範囲	方程式

P（左側の辺との交点）。〔1〕より の解は 、。 では なので となるのは の側のみ。よって

［ウ］、［エ］。

Q（右側の辺との交点）。 を に代入して

解は 。 で、 となるのは が の側（ が の側）。よって

［オ］、［カ］。

（ 座標を比べると P のほうが小さいので、順序も問題文どおり。）

検算（3 通りの で残差を測定）。P、Q が「曲線 上」かつ「菱形上」にあるかを確認すると

	点
	P
	Q
	P
	Q
	P
	Q

どの でも両方の条件が丸め誤差の範囲で満たされ、かつ P の 座標 Q の 座標 ✓

【定石】 は中心 、対角線の長さ の菱形。絶対値は場合分けして直線に直す。前問の結果（同じ直線）を再利用できないか必ず確認すること。

【よくあるミス】 の条件を確認せずに 4 つの解をすべて答えること。また Q の 座標で の代入時に符号を誤ること（ が の側なら は の側）。

〔3〕　［キ］［ク］［ケ］面積比 とその極限

【型】R は菱形の頂点 。（辺の傾きが と ）なので面積は

【なぜこうするか】
まず R。菱形 の中で が最大なのは上の頂点 。
ここで決定的な観察：P は辺 上、Q は辺 上、そしてR はこの 2 辺の交点（ から ）。つまりR は の頂点で、RP と RQ はそれぞれ菱形の辺に沿っている。
2 辺の傾きは と なので直交！ したがって

と、底辺と高さを探す必要がありません。しかも傾き の直線上の長さは「 座標の差 」なので、 がきれいに約分されます。
領域 の面積は、対角線がともに の菱形なので 。
極限は のように根号の中を で割るのが定石です。

R と の面積。 は中心 、頂点 の菱形だから

の面積。R は 2 直線 と の交点であり、P は前者の上、Q は後者の上にある。2 直線の傾きは と で直交するから、。よって

傾き の直線上の距離は 座標の差の 倍だから

（、 よりどちらも正。）したがって

。

よって［キ］、［ク］。

［ケ］極限。根号の中を で割ると

したがって

▲ のときの図。橙が菱形領域 、青が双曲線 。P、Q は の上側 2 辺と の交点で、R は菱形の上の頂点 。（2 辺の傾きが と ）なので の面積は で出せる。

検算（3 通りの で面積を実測）。座標から の面積を直接計算し、 で割った値と公式を比べると

	（実測）	の面積	（実測）	公式の値
	0.072122575	4.5	0.016027239	0.016027239
	0.091687605	8.0	0.011460951	0.011460951
	0.379665479	50.0	0.007593310	0.007593310

すべて小数第 9 位まで一致 ✓　また で 、 と極限値も一致 ✓

【定石】菱形（）の隣り合う 2 辺は直交（傾き ）——頂点での角が なので面積は 2 辺の積の半分。菱形の面積は対角線の積の半分。 と根号の中に押し込んでから極限を取る。

【よくあるミス】 を「底辺 PQ、高さ」で計算しようとして煩雑になること。直角の頂点 R に注目すれば 2 辺の積で済みます。また の確認を飛ばして絶対値を外すこと。