関西大学 2018年度 過去問・解答

関西大学2018年度の数学について、大問3題の解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

出題構成

〔I〕2つの放物線の位置関係と、接するときの面積

C₁ : y = −x² − 1/8、C₂ : y = x² + (a−2)x とします。

(1) 共有点をもたない a の範囲

y を消去して −x² − 1/8 = x² + (a−2)x、整理すると

2x² + (a−2)x + 1/8 = 0　…①

共有点をもたない ⇔ ①が実数解をもたない ⇔ 判別式 D < 0。

D = (a−2)² − 4·2·(1/8) = (a−2)² − 1

D < 0 ⇔ (a−2)² < 1 ⇔ −1 < a − 2 < 1

(2) a = 1 のときのグラフ

C₂ : y = x² − x = (x − 1/2)² − 1/4。①は 2x² − x + 1/8 = 0 で、これは 2(x − 1/4)² = 0 と変形できます。

重解 x = 1/4 をもつので、2つの放物線は x = 1/4 で接します（上に凸の C₁ と下に凸の C₂ が1点で接する形）。

(1) の境界値 a = 1 は D = 0 のときですから、接するのは当然といえます。判別式の値と図形的な意味（0本・1本・2本の交点）を必ず対応づけて覚えてください。

(3) 囲まれた部分の面積

0 ≦ x ≦ 1/4 で、C₂ と C₁ と y 軸で囲まれた部分を考えます。この区間では C₂ が上、C₁ が下です。

(x² − x) − (−x² − 1/8) = 2x² − x + 1/8 = 2(x − 1/4)²

差がきれいな平方の形になるのが接する場合の特徴で、積分がそのまま実行できます。

∫₀^(1/4) 2(x − 1/4)² dx = [ (2/3)(x − 1/4)³ ]₀^(1/4) = 0 − (2/3)(−1/4)³ = (2/3)·(1/64)

〔II〕2倍角と合成で1つの sin にまとめる

y = 8sin²θ − 4√3 sin2θ + 4 について、5π/6 ≦ θ ≦ 4π/3 における最大値・最小値を求めます。

①〜④ 平方の形に直す

2倍角の公式 sin2θ = 2sinθcosθ と、定数 4 を 4(sin²θ + cos²θ) と書き換えるのがポイントです。

y = 8sin²θ − 8√3 sinθcosθ + 4(sin²θ + cos²θ) = 12sin²θ − 8√3 sinθcosθ + 4cos²θ

これは完全平方です。

y = (2√3 sinθ − 2 cosθ)²

定数項を sin² + cos² に化けさせて次数をそろえる（同次化する）のは、三角関数を扱いやすくする常套手段です。全項が2次になれば平方completion や合成が使えます。

⑤ 合成する

√{(2√3)² + 2²} = √16 = 4 なので

2√3 sinθ − 2cosθ = 4{ (√3/2)sinθ − (1/2)cosθ } = 4 sin(θ + 11π/6)

したがって y = 16 sin²(θ + 11π/6) です。

⑥⑦ 最大値・最小値

5π/6 ≦ θ ≦ 4π/3 のとき

8π/3 ≦ θ + 11π/6 ≦ 19π/6、すなわち 2π + 2π/3 ≦ θ + 11π/6 ≦ 2π + 7π/6

2π を引いた [2π/3, 7π/6] で sin を見ると、左端 2π/3 で最大 √3/2、右端 7π/6 で最小 −1/2。

−1/2 ≦ sin(θ + 11π/6) ≦ √3/2　⇔　−2 ≦ 4sin(θ + 11π/6) ≦ 2√3

この範囲は0をまたぐので、2乗したときの最小値は 0 です。最大値は |−2| = 2 と 2√3 の大きいほうを2乗して (2√3)² = 12。

2乗の最大・最小は「元の範囲が0をまたぐかどうか」で決まります。−2 ≦ u ≦ 2√3 を機械的に2乗して 4 ≦ u² ≦ 12 としてしまうのが典型的な誤答です。

〔III〕対数をとって指数の漸化式を線形化する

a₁ = 16、a_n+1 = 2^(3^(n+1)) · (a_n)⁵ で定まる数列を扱います。

①② 対数をとる

b_n = log₂a_n とおくと b₁ = log₂16 = 4。

漸化式の両辺で2を底とする対数をとると

log₂a_n+1 = 3ⁿ⁺¹ + 5 log₂a_n　すなわち　b_n+1 = 5b_n + 3ⁿ⁺¹

積が和に、指数が係数に変わる — 対数の役割そのものです。指数の肩に n が乗っている漸化式を見たら、まず対数をとることを検討してください。

③④⑤ 3ⁿ で割ってもう一段変形

c_n = b_n/3ⁿ とおくと c₁ = 4/3（③）。

b_n+1 = 5b_n + 3ⁿ⁺¹ の両辺を 3ⁿ⁺¹ で割ると

c_n+1 = (5/3)c_n + 1

⑥ c_n の一般項

特性方程式 x = (5/3)x + 1 の解は x = −3/2。よって

c_n+1 + 3/2 = (5/3)(c_n + 3/2)

c₁ + 3/2 = 4/3 + 3/2 = 17/6 なので

⑦ b_n の一般項

b_n = 3ⁿ c_n = 3ⁿ{(17/6)(5/3)ⁿ⁻¹ − 3/2}

3ⁿ·(5/3)ⁿ⁻¹ = 3·5ⁿ⁻¹ なので、第1項は (17/6)·3·5ⁿ⁻¹ = (17/2)5ⁿ⁻¹。第2項は (3/2)·3ⁿ = 3ⁿ⁺¹/2。

この年の学習ポイント

〔III〕は置換を2回重ねる構成でした。対数で指数を降ろし（a → b）、3ⁿ で割って定数係数の形にし（b → c）、最後に特性方程式で解く。1回の置換で終わらない問題では、誘導の空欄が「次に何をおくか」を教えてくれるので、空欄の形をよく見ることが突破口になります。

〔I〕の「接するとき差が平方になる」、〔II〕の「同次化してから合成する」も、それぞれ独立に使える定石です。