関西大学 2016年度 過去問・解答

関西大学2016年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔I〕三角柱の切断と、正三角形になる条件

AB = AC = 1、cos∠BAC = 1/3 の三角形ABCを底面とし、高さ h（AD = BE = CF = h、底面に垂直）の三角柱 ABC-DEF を考えます。

(1) BC と 三角形ABC の面積

余弦定理より BC² = 1² + 1² − 2·1·1·(1/3) = 4/3。BC > 0 より

BC = 2/√3 = 2√3/3

0 < ∠BAC < π なので sin∠BAC > 0 で、sin∠BAC = √(1 − 1/9) = √(8/9) = 2√2/3。

三角形ABCの面積 = (1/2)·1·1·(2√2/3) = √2/3

(2) cos∠BDC を h で表す

AD は底面に垂直なので、三角形ABDは∠A が直角。三平方の定理より

BD = √(AB² + AD²) = √(1 + h²)、同様に CD = √(AC² + AD²) = √(1 + h²)

三角形DBCで余弦定理を使います。BD = CD なので

cos∠BDC = (BD² + CD² − BC²)/(2·BD·CD) = {2(1 + h²) − 4/3} / {2(1 + h²)}

分子・分母を3倍して整理すると

h → ∞ でこの値は 1/1 ではなく 1 に近づき、∠BDC → 0 となります。細長い柱では上端から見た角が小さくなる、という直感と一致するかを確かめる癖をつけると検算になります。

(3) 三角形DBCが正三角形になる h と、tanθ

CD = BD はつねに成り立つので、正三角形になる条件は BD = BC だけです。

√(1 + h²) = 2√3/3 ⇔ 1 + h² = 4/3 ⇔ h² = 1/3、h > 0 より h = √3/3

次に、辺EFの中点を G とします。三角形AEF と 三角形DEF はともに二等辺三角形なので ∠AGF = ∠DGF = π/2、したがって面ADと面EFのなす角 θ は ∠AGD に等しくなります。

三角形ABC と 三角形DEF は合同なので DE = AB = 1、EF = BC = 2√3/3。DG ⊥ EF より

DG = √(DE² − (EF/2)²) = √(1 − 1/3) = √(2/3) = √6/3

AD ⊥ DG なので

tanθ = AD/DG = (√3/3) ÷ (√6/3) = √3/√6 = 1/√2

〔II〕解と係数の関係＋整数条件で絞り込む

2次方程式 x² + lx + m = 0 …Ⓐ が異なる2つの実数解 α, β をもつとします（l は自然数、m は整数）。

(1) 基本対称式で表す

解と係数の関係より α + β = −l、αβ = m。

α² + β² = (α + β)² − 2αβ = l² − 2m

α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = −l³ − 3m(−l) = −l³ + 3lm

(2) α² + β² = 5 のときの (l, m)

l² − 2m = 5、すなわち l² = 2m + 5 …Ⓑ

Ⓐが異なる2実数解をもつ条件は判別式 D > 0。Ⓑを使うと

D = l² − 4m = (2m + 5) − 4m = 5 − 2m > 0 ⇔ m < 5/2

またⒷの左辺 l² ≧ 0 より 2m + 5 ≧ 0、すなわち m ≧ −5/2。

−5/2 ≦ m < 5/2 で m は整数なので m = −2, −1, 0, 1, 2。それぞれ l² = 2m + 5 = 1, 3, 5, 7, 9 で、l が自然数になるのは m = −2（l = 1）と m = 2（l = 3）だけです。

(3) α³ + β³ = −4 のときの (l, m)

−l³ + 3lm = −4、すなわち l(3m − l²) = −4 …Ⓒ

l は自然数、3m − l² は整数なので、l は −4 の正の約数、つまり l = 1, 2, 4 に限られます。

l	Ⓒから m	D = l² − 4m	判定
1	3m − 1 = −4 → m = −1	1 + 4 = 5 > 0	適する
2	2(3m − 4) = −4 → m = 2/3	—	m が整数でないので不適
4	4(3m − 16) = −4 → m = 5	16 − 20 = −4 < 0	実数解をもたないので不適

整数問題の定石「積の形にして約数を絞る」がそのまま使えます。さらに、絞り込んだ候補を必ず判別式に戻して検算する — この最後の確認を省くと l = 4 の偽解を拾ってしまいます。

〔III〕(1) 1の虚立方根の扱い

0 でない複素数 a, b が a/b + b/a + 1 = 0 を満たすとき、b = ka となる複素数 k を考えます。

a ≠ 0、b ≠ 0 なので k = b/a ≠ 0 で、与式は

1/k + k + 1 = 0　⇔　k² + k + 1 = 0　…①

(i) ①をそのまま移項して k² + k = −1

(ii) 因数分解の公式 k³ − 1 = (k − 1)(k² + k + 1) を使うと

k³ = (k − 1)(k² + k + 1) + 1 = (k − 1)·0 + 1 = 1

k² + k + 1 = 0 の解は1の虚立方根 ω です。ω³ = 1 と ω² + ω + 1 = 0 の2本を覚えておけば、ωの高次式はすべて次数下げで処理できます。

この年の学習ポイント

〔II〕(3) が最も差がついたはずです。l(3m − l²) = −4 と積の形に持ち込むところまでは多くの受験生が到達しますが、得られた候補を判別式に戻して吟味する工程を落とすと誤答になります。整数問題は「絞る」と「確かめる」が必ずセットです。

〔I〕は立体を扱っていますが、実際に使うのは余弦定理・三平方の定理・二等辺三角形の性質だけです。どの平面で切って考えるかを決めれば、あとは平面図形の問題に帰着します。