関西大学 2015年度 過去問・解答

関西大学2015年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔I〕合成した式の値域から、θ の範囲を逆算する

0 ≦ θ < 2π に対し x = √3 cosθ − sinθ とします。

(1) x のとりうる範囲

√{(√3)² + (−1)²} = 2 なので

x = 2{(√3/2)cosθ − (1/2)sinθ} = 2cos(θ + π/6)

0 ≦ θ < 2π ⇔ π/6 ≦ θ + π/6 < 13π/6。この区間は幅が 2π なので、cos は −1 から 1 までのすべての値をとります。

cos の合成では 2cos(θ + π/6) の形にまとめます。sin に合わせる書き方（2sin(θ + 2π/3)）でも同じですが、cos の係数が先頭にある式は cos に合わせるほうが符号を間違えにくくなります。

(2) x² − 4x + 3 > 0 となる θ の範囲

x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) > 0 ⇔ x < 1 または 3 < x。

(1) より x ≦ 2 なので、3 < x は起こりえません。したがって条件は

−2 ≦ x < 1

x = 2cos(θ + π/6) を代入すると

−1 ≦ cos(θ + π/6) < 1/2

π/6 ≦ θ + π/6 < 13π/6 の範囲でこれを満たすのは

π/3 < θ + π/6 < 5π/3

「x ≦ 2 だから 3 < x は捨てる」という一言を書けるかどうかが、この問題の実質的な採点ポイントです。(1) の結果を使い切る意識をもってください。

〔III〕単位円上の3点と、三角形の面積公式

原点Oを中心とする半径1の円Cがあり、C上の点P, Q について OP = p、OQ = q、PQ = √3 とします。

①② p と q のなす角、および内積

|p| = |q| = 1、|PQ| = √3。三角形OPQで余弦定理を使うと

cosθ = (OP² + OQ² − PQ²)/(2·OP·OQ) = (1 + 1 − 3)/(2·1·1) = −1/2

0° ≦ θ ≦ 180° より θ = 120°。したがって p・q = 1·1·(−1/2) = −1/2。

③ C上の点Rの条件から a を決める

OR = a p − (2/√3) q が C 上にあるので |OR| = 1、すなわち |OR|² = 1。

|OR|² = a²|p|² − (4/√3)a(p・q) + (4/3)|q|² = a² − (4/√3)a·(−1/2) + 4/3 = a² + (2/√3)a + 4/3

これが 1 に等しいので a² + (2/√3)a + 1/3 = 0、すなわち

(a + 1/√3)² = 0　⇔　a = −1/√3

重解になるのは、直線 OR の方向が円と接する特別な配置に対応します。判別式が 0 になったら「解が1つに定まる」＝図形的に特別な状況、と読み替える習慣をつけましょう。

④⑤ 三角形PQRの面積

OR = −(1/√3)p − (2/√3)q なので

PR = OR − OP = −(1 + 1/√3)p − (2/√3)q

|PR|² = (1 + 1/√3)²·1 + (4/3)(1 + 1/√3)(p・q) + (4/3)·1

= (4/3 + 2/√3) − (2/√3 + 2/3) + 4/3 = 2　→　|PR| = √2

同様に QR = −(1/√3)p − (2/√3 + 1)q から |QR|² = 2 + √3。二重根号をはずすと

|QR| = √(2 + √3) = √{(4 + 2√3)/2} = √{(√3 + 1)²/2} = (√6 + √2)/2

次に内積 PQ・PR を計算します。PQ = q − p なので

PQ・PR = (1/√3 + 1)|p|² + {2/√3 − (1/√3 + 1)}(p・q) − (2/√3)|q|² = (3 − √3)/2

三角形の面積公式 S = (1/2)√(|PQ|²|PR|² − (PQ・PR)²) を使います。|PQ|²|PR|² = 3 × 2 = 6 なので

S = (1/2)√{6 − (3 − √3)²/4} = (1/2)√{6 − (6 − 3√3)/2} = (1/2)√(3 + 3√3/2) = (1/4)√(12 + 6√3)

12 + 6√3 = (3 + √3)² なので

ベクトルの面積公式 S = (1/2)√(|a|²|b|² − (a・b)²) は、成分が分からなくても長さと内積さえ出れば使えます。二重根号 √(2 + √3) は「分母を2にそろえて (√3+1)² を作る」のが定石です。

この年の学習ポイント

〔I〕は「合成 → 値域 → 逆に角の範囲へ」という往復が問われました。x の範囲から θ の範囲に戻すとき、合成後の角 θ + π/6 の動く区間を先に書き出すことが必須です。

〔III〕は計算量が多く見えますが、必要なのは |p| = |q| = 1 と p・q = −1/2 の3つだけです。この3つを何度も代入するだけで、すべての長さと内積が出ます。基本量を先に確定させてから展開するという手順を守れば、途中で迷いません。

関西大学2015年度は複数日程が実施されており、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。