関西学院大学 2023年度 過去問・解答

※ 問題文は関西学院大学が公表した2023年度入学試験問題（全学部日程 A・文系）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したもので、大学が公表した公式解答ではありません。

〔1〕　2次関数の最大最小・さいころの和と積

分野：2次関数／確率　難易度：標準　形式：空所補充（ア〜キ）　目標時間：20分

(1)(i)　区間 に頂点が入る

【型】区間つき2次関数：まず平方完成、次に「頂点が区間に入るか」

【なぜこうするか】2次関数の最大最小は頂点の位置と区間の位置関係だけで決まります。上に凸なら「頂点が区間内なら最大は頂点、最小は区間の端で頂点から遠いほう」。これを機械的に当てはめます。

とおく。グラフは上に凸で、頂点は 、 である。

のとき区間は 。頂点 はこの区間に含まれるので 。

最小値は区間の端点のうち頂点から遠いほうでとる。 で等距離なので 。よって 。

【定石】上に凸の2次関数では最大＝頂点（区間内なら）、最小＝軸から遠いほうの端点。軸からの距離を比べるだけで端点の比較が終わる。

(1)(ii)　 になるのはどんなときかを考える

【型】余事象で攻める（「」より「」のほうが条件が単純）

【なぜこうするか】 を場合分けで直接調べると3通りに分かれて面倒です。しかし となる は だけ。だから「区間が に完全にはみ出したときだけ 」という一言で終わります。

より、。

なので区間 は の側にある。この区間の中に となる点が1つでもあれば である。

区間の左端が だから、 であれば となり 。逆に なら区間全体が にあり、そこでは なので 。

【定石】「最大値が 」は「区間内に となる点が存在する」と読み替える。存在条件は端点1つで判定できることが多い。

(1)(iii)　 は大きすぎるので、頂点は区間の外

【型】値の大きさから場合分けを1つに絞り込む型

【なぜこうするか】愚直に3通り場合分けしてもよいのですが、「 が12にもなるのはどんなときか」を先に考えると一気に絞れます。区間が に収まっていると の値は から の間しか動かないので 。12には届きません。

絞り込み。（すなわち ）のとき、区間は に含まれるので 、したがって 。よって となるのは 、すなわち のときに限る。

のとき。区間 は軸 の右側にあるので は減少。したがって で

より

をみたすのは （）のみ。

【よくあるミス】 を落とさずに書いてしまう答案。負の数なので の条件で除外されます。2次方程式を解いたら必ず定義域で吟味する。

【定石】場合分けの前に「その値は取りうるのか」を評価で確かめる。上限・下限を押さえると場合分けが1つに減ることが多い。

(2)(i)　 は「5と偶数」、 は余事象

【型】「一の位が 」＝「10の倍数」＝「 の倍数かつ の倍数」型

【なぜこうするか】一の位を扱う問題は、「一の位が 」を「 で割り切れる」に翻訳するのが第一歩。さらに と分解すると、さいころの目で の倍数を作れるのは だけ、という強い制約が出ます。 のほうは、該当する和が多いので余事象で数えます。

について。積の一の位が とは、積が の倍数、すなわち の倍数かつ の倍数ということ。さいころの目 で の倍数は だけだから、少なくとも一方が でなければならない。さらに偶数も必要なので、他方は のいずれか。（両方 だと積 で一の位は 。）

目の組合せは の 通り。

について。和 は 。一の位 は、 なら 、 なら 。したがって

または

となる（ はいずれも なので該当しない）。目の組合せは

： の5通り　／　： の4通り

合わせて9通りだから

【よくあるミス】 を「和が 以下」と読み違える誤り。 は一の位なので、和が のときも は となり条件をみたします。ここが本問最大のワナです。

【定石】一の位は 。「一の位が 」＝「 でも でも割り切れる」と素因数に分けて考える。

(2)(ii)　 は「和が または 」

【型】条件付き確率 （同様に確からしいので個数の比）型

【なぜこうするか】3個の和は なので、一の位が になるのは と の2通りだけ。まず組合せ（数の集合）を書き出し、次に並べ方を掛けるのが数え漏れを防ぐ手順です。条件付き確率は分母も分子も同じ土俵（ 通り）なので、場合の数の比で計算できます。

となる確率。和 は なので、 となるのは または 。目の組合せ（順序を考えない）を書き出すと

：　／　：

それぞれの並べ方は、 が 通り、 が 通りずつ、 が 通りずつ。合計は

通り

条件付き確率。上の22通りのうち 、すなわち積が の倍数になるのは、(i) と同様に「 を含み、かつ偶数を含む」ものである。

： なし ✗　／　： なし ✗　／　： と偶数あり ✓　／　： なし ✗　／　：偶数なし ✗　／　： と偶数あり ✓

該当する並べ方は が 通り、 が 通りで合計 通り。よって

【定石】条件付き確率は「条件のほうを新しい全体集合と思って数え直す」。全事象が同様に確からしいなら、確率でなく場合の数の比で計算するのが速い。

〔2〕　円と直線・領域／等差数列と余りの数列

分野：図形と方程式／数列　難易度：標準〜やや難　形式：空所補充（ア〜キ）　目標時間：20分

(1)(i)　半径から 、弦の長さから

【型】弦の長さは「半径・中心と直線の距離・弦の半分」の直角三角形型

【なぜこうするか】円の弦の問題は、中心から弦に下ろした垂線が弦を二等分することを使い、「（半径）²＝（中心と直線の距離）²＋（弦の半分）²」という三平方の関係に持ち込むのが唯一の道です。半径には が入っていないので、先に が決まります。

を求める。平方完成して

半径が だから 、すなわち 。 より 。このとき中心は 。

を求める。弦の長さが なので、その半分は 。中心と直線の距離を とすると三平方の定理より

一方 だから、点と直線の距離の公式より

よって から 、すなわち 。 より

【定石】弦の長さ 、半径 、中心と直線の距離 の関係は 。この1本で弦の問題はすべて処理できる。

(1)(ii)　定点 を通る直線を回転させて考える

【型】「定点を通る直線と領域が交わる条件」＝端点・接点で決まる型

【なぜこうするか】 は によらず定点 を通る直線です。この点を軸に直線を回転させ、領域から離れる直前の位置を探せばよい。候補は「円に接するとき」か「領域の角（円と直線 の交点）を通るとき」の2つで、図をかけばどちらかがすぐ分かります。

領域の形をつかむ。不等式は「中心 、半径 の円の内部および周」と「直線 の下側」の共通部分。中心 は の下側にある（ のとき 上の点の 座標は ）ので、領域は円のうち大きいほうの弓形である。

境界の交点を求める。 より 。これを円の式 に代入すると

よって すなわち交点は 、。（このとき で、(i) の条件と整合します。）

最大の を決める。直線は定点 を通る。傾きを大きくしていくと直線は上へ回転していき、領域の右上の角である を通るときが最後になる。

なお、この定点から円に引いた接線の傾きは より 、すなわち だが、 の接点は で の上側にあり、領域に含まれない。したがって最大値を与えるのは接線ではなく を通る場合である。

【よくあるミス】円だけを見て接線の傾き を答えてしまう誤り。領域は直線 で切られているので、接点が切り落とされていないかを必ず確認すること。

【定石】定点を通る直線と領域の共有条件は「図をかいて、回転の限界を与える点（接点か角）を特定する」。候補が複数あるときは、その点が本当に領域内かを検算する。

(2)(i)　条件2つから公差と初項を決める

【型】等差数列は「初項 と公差 の2文字」型

【なぜこうするか】等差数列は初項と公差の2文字だけで決まります。条件が2つ与えられているので連立方程式です。 は初項が消えて公差だけの式になるので、先に が出ます。

初項を 、公差を とすると 。

また より 。したがって

【検算】 なので ✓。 なので ✓。

【定石】。2項の差は初項が消えて公差だけになるので、まずここから を出す。

(2)(ii)　 は部分分数分解で telescoping

【型】部分分数分解＋途中が消える和（telescoping sum）型

【なぜこうするか】分母が の形なので、 と分けると、 つずらして引き算するので前2項と後ろ2項だけが残ります。差が なので「消え残りが2個ずつ」になる点に注意。

したがって

共通部分 が消えて

【検算】 を直接足すと 。 で一致します。

【定石】。ずれ幅 だけ、前後に 項ずつ残る。

(2)(iii)　 を で割った余りは の繰り返し

【型】周期数列は「1周期分をまとめて 」型

【なぜこうするか】 は を で割った余りだけで決まるので周期 の数列。しかも値は か しかないので、この和は「 の倍数でない についての の和」にすぎません。上端が とちょうど周期の整数倍なので、 個ずつのかたまりに区切って で足すのが最短です。

を求める。 なら で余りは 。 なら で余りは 。 なら で余りは 。よって

が の倍数でないとき 、 が の倍数のとき 。

和を計算する。 個ずつまとめると、各かたまりから と だけが残る。 より

したがって

【検算】 のとき、 で 。 なので和は 。公式は ✓。 のとき が加わり なので和は 。公式は ✓。

【定石】 しかとらない数列が掛かっている和は「残る項だけの和」に読み替える。周期 なら 個ずつまとめて の式にする。

〔3〕　3次関数の決定と面積が等しい条件（記述式）

分野：微分積分（3次関数・面積）　難易度：やや難　形式：記述式　目標時間：25分

(1)　3条件を の連立1次方程式に落とす

【型】未知係数は「条件の個数だけ方程式を作る」型

【なぜこうするか】未知数が の3つ、条件も3つ。すべて の1次式になるので、機械的に連立するだけです。積分条件も、先に積分してしまえば1次式になります。

より

で より

また

これが だから

①より 。③に代入して

これと② の差をとると 、すなわち 。よって 、。

【定石】係数決定は条件の個数＝未知数の個数を確認してから連立。積分条件は先に積分して1次式に直す。

(2)　共有点の個数は「差の関数の実数解の個数」

【型】共有点は「引き算した方程式の実数解」型。因数分解できるなら即分解

【なぜこうするか】共有点の 座標は の解。引き算した3次式が でくくれるので、残りの2次方程式が「 と異なる相異なる2実解」をもてばよい、と条件が簡単になります。3次関数の増減を調べる必要はありません。

共有点の 座標は次の方程式の実数解である。

はつねに解。よって異なる3個の共有点をもつ が 以外の異なる2つの実数解をもつ。

なので、 の解は自動的に と異なる。したがって条件は判別式が正であること。

　すなわち　 または

と合わせて

【定石】3次と2次の共有点は差をとって因数分解。共通因子 が出たら「残りの2次方程式が重解や にならない条件」に翻訳する。

(3)(i)　「2つの面積が等しい」＝「差の積分が全体で 」

【型】面積が等しい 差の関数の定積分が （符号つき面積の相殺）型

【なぜこうするか】2つの部分では上下が入れ替わるので、差 の符号も入れ替わります。面積が等しいことは、符号つきで足したら になることと同値。だから絶対値を外して2つに分けず、端から端まで1回で積分して とおけます。これが計算量を劇的に減らします。

の2解を とすると、解と係数の関係より

よって 。共有点の 座標は である。

2つの部分の面積が等しいことは、 について

と同値である。計算すると

なので で割り、さらに12倍して

ここで は の解だから 、すなわち 。これを代入すると

より 。したがって から

【検算】 なので (2) の条件をみたします。

【よくあるミス】 の値を求めるために4次方程式を解こうとして詰まる答案。 が をみたすことを使って次数を下げるのが定石です。

【定石】「2つの部分の面積が等しい」は「左端から右端まで（上の式－下の式）を1回で積分して 」。絶対値で場合分けせず、符号つきで1回積分する。

(3)(ii)　解と係数の関係でもう一方の解を出す

【型】積 が既知なら、片方から他方が出る型

【なぜこうするか】2次方程式を解き直す必要はありません。解と係数の関係 から と一発で出ます。忘れがちですが も共有点です。

(3)(i) より 。解と係数の関係 から

共有点の 座標は だったから

【検算】 となり、(3)(i) で求めた と一致します。

【定石】2次方程式の2解のうち一方が分かったら、解の積（または和）でもう一方を出す。解の公式に戻らない。