関西学院大学 2022年度 過去問・解答

関西学院大学2022年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔1〕(1) 絶対値つき2次関数と、3実解の条件

f(x) = x(|x| − 4) + a について考えます。

(i) 場合分けして平方完成する

x ≦ 0 のとき：|x| = −x なので f(x) = x(−x − 4) + a = −x² − 4x + a = −(x + 2)² + a + 4

上に凸なので x = −2 のとき最大値 a + 4。

x > 0 のとき：f(x) = x(x − 4) + a = x² − 4x + a = (x − 2)² + a − 4

下に凸なので x = 2 のとき最小値 a − 4。

グラフは x ≦ 0 で上に凸の放物線、x > 0 で下に凸の放物線をつないだ形です。x = 0 で f(0) = a と値が一致するので、なめらかにつながっています。

(ii) f(x) = 0 が異なる3実解をもつ a の範囲

グラフは「山（極大 a+4）→ 谷（極小 a−4）→ 上昇」という形なので、x 軸と3回交わる条件は

極小値 < 0 < 極大値、すなわち a − 4 < 0 < a + 4

(iii) α + β + γ < 0 となる条件、および α + β + γ = −1/2 のときの a

3実解を α < β < γ とします。β, γ は x > 0 側の解なので x² − 4x + a = 0 の2解で、解と係数の関係より β + γ = 4。

α は x ≦ 0 側の解で、−x² − 4x + a = 0 すなわち x² + 4x − a = 0 の負の側の解ですから α = −2 − √(4 + a)。

α + β + γ = 2 − √(4 + a) なので、これが負になるのは √(4 + a) > 2、つまり a > 0 のときです。

次に α + β + γ = −1/2 のとき、β + γ = 4 より α = −1/2 − 4 = −9/2。

α は x ≦ 0 側の式を満たすので f(−9/2) = 0、すなわち

−(−9/2)² − 4(−9/2) + a = 0 ⇔ −81/4 + 18 + a = 0

3つの解を全部求めようとしないこと。β + γ = 4 は解と係数の関係で一瞬で出ます。残った α だけを扱えばよい、と気づけるかが分かれ目です。

〔1〕(2) 条件つき確率

袋Aと袋Bを等確率 1/2 で選び、選んだ袋から2枚を同時に取り出します（袋Aは6枚中4枚が赤、袋Bは5枚中3枚が赤）。

(i) 袋Aを選び、かつ2枚とも赤である確率

(1/2) × (₄C₂ / ₆C₂) = (1/2) × (6/15) = (1/2) × (2/5) = 1/5

(ii) 2枚とも赤である確率

袋Aから引く場合と袋Bから引く場合を足します。

1/5 + (1/2) × (₃C₂ / ₅C₂) = 1/5 + (1/2)(3/10) = 1/5 + 3/20 = 4/20 + 3/20 = 7/20

(iii) 2枚とも赤だったとき、それが袋Aである条件つき確率

P(A ∩ 赤赤) / P(赤赤) = (1/5) ÷ (7/20) = (1/5) × (20/7)

条件つき確率は「分子は同時確率、分母は全体の確率」。(i) と (ii) が誘導としてその2つを用意してくれているので、割るだけで終わります。

〔2〕(1) 3次方程式と、虚数解の条件

3次方程式 x³ + (−2a − 1)x² + (−3a + 3)x − a + 5 = 0 …① を考えます（左辺を f(x) とします）。

(i) つねに解となる x

a の値によらず成り立つ解を探します。f(−1) を計算すると a の項が消えて 0 になるので

(ii) 異なる3つの負の解をもつ a の範囲

①は (x + 1){x² + (−2a − 2)x − a + 5} = 0 と因数分解できます。したがって条件は、2次方程式

g(x) = x² − (2a + 2)x − a + 5 = 0 …②　が −1 以外の異なる2つの負の解をもつこと。

g(x) = {x − (a + 1)}² − a² − 3a + 4 と平方完成して、次の4条件をすべて課します。

すべての共通部分をとると a < −4 かつ a ≠ −8。

「2解がともに負」を判定する3点セットは 判別式 ＞ 0・軸 < 0・g(0) > 0 です。この3つで必要十分になります。さらに本問では「−1 と一致しない」という条件が追加されている点に注意してください。

(iii) x = ω + k を解にもつときの k, a（ω は 1 の虚立方根、k は正の実数）

x³ = 1 より (x − 1)(x² + x + 1) = 0 なので、ω と その共役 ω̄ は x² + x + 1 = 0 の2解。解と係数の関係より

ω + ω̄ = −1、ω·ω̄ = 1

①の係数は実数なので、ω + k が解ならその共役 ω̄ + k も解です。この2つが②の解なので、解と係数の関係より

(ω + k) + (ω̄ + k) = 2a + 2　⇒　−1 + 2k = 2a + 2　…(A)

(ω + k)(ω̄ + k) = −a + 5　⇒　1 + k(ω + ω̄) + k² = −a + 5　⇒　1 − k + k² = −a + 5　…(B)

(A) + (B)×2 で a を消去します。(A) は 2k − 2a = 3、(B)×2 は 2 − 2k + 2k² + 2a = 10。足すと

1 + 2k² = 12　⇔　k² = 11/2、k > 0 より k = √(11/2) = √22/2

(A) より a = k − 3/2。

実数係数の方程式では虚数解は必ず共役とペアで現れる — この事実を使えば、2つの解が同時に手に入り、解と係数の関係が使えます。

〔2〕(2) 等差数列・等比数列の総合

等差数列 {a_n} の一般項

初項 a、公差 d とすると、条件（初項から第2項までの和が7、第1・第3・第5項の和が24）より

2a + d = 7、3a + 6d = 24（後者は a + 2d = 8）

d = 7 − 2a を代入して a + 14 − 4a = 8、−3a = −6、a = 2、d = 3。

分母の和を有理化して和を求める

Σ_k=1ⁿ 1/(√a_k+1 + √a_k) を考えます。a_k = 3k − 1、a_k+1 = 3k + 2 なので

1/(√(3k+2) + √(3k−1)) × (√(3k+2) − √(3k−1))/(√(3k+2) − √(3k−1)) = (√(3k+2) − √(3k−1))/3

分母が (3k+2) − (3k−1) = 3 と定数になるのがポイントです。あとは望遠鏡的に打ち消し合います。

等比数列 {b_n} と、Σa_kb_k

初項 b、公比 r とすると、初項から第3項までの和が7、第6項までの和が63。

第6項までの和 = (b + br + br²) + r³(b + br + br²) = 7 + 7r³ = 63 より r³ = 8、r は実数なので r = 2。

b(1 + 2 + 4) = 7 より b = 1、したがって b_n = 2ⁿ⁻¹。

S = Σ_k=1ⁿ (3k − 1)·2^k−1 は「（等差）×（等比）」型なので、S − 2S を計算するのが定石です。

S = 2·2⁰ + 5·2¹ + 8·2² + … + (3n−1)·2ⁿ⁻¹

2S = 　　　2·2¹ + 5·2² + … + (3n−4)·2ⁿ⁻¹ + (3n−1)·2ⁿ

辺々引くと、差の項がすべて 3·2^k にそろいます。

−S = 2 + 3(2¹ + 2² + … + 2ⁿ⁻¹) − (3n−1)·2ⁿ = 2 + 6(2ⁿ⁻¹ − 1) − (3n−1)·2ⁿ = −(3n−4)·2ⁿ − 4

検算：n = 1 なら a₁b₁ = 2·1 = 2。公式は (3−4)·2 + 4 = 2 で一致。n = 2 なら 2 + 5·2 = 12、公式は (6−4)·4 + 4 = 12 で一致します。n = 1, 2 で必ず検算する習慣をつけてください。

この年の学習ポイント

〔2〕(2) の3つのテーマ — 分母の有理化による望遠鏡和、（等差）×（等比）の和は公比倍して引く、等比数列の和は3項ずつくくる — はいずれも独立に頻出です。手順を覚えるだけでなく、「なぜその操作をすると簡単になるのか」（打ち消し合う形が作れるから）を意識してください。

関西学院大学2022年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。