お茶の水女子大学 2008年度 過去問・解答

平成 20 年度入 学試験 問題
ーー
数 学
(文教育学部, 生活科学部用)
注意 事項
試験開始の合図があるまでは, この司子を開いてはいけない。
1. この冊子の本文は 3 ページである。印刷の不鮮明な部分,ページの脱落などが
あった場合は申し出ること。
2. 答案用紙には, すべてに受験番号と氏名を記入すること。
記入例
3. この冊子の余白部分は下書きに使用してもよい。
4, この申子及び下書き用紙は持ち帰ること。
M3 (663—21)

数 学 問 題
解答は, それぞれ問題の番号に対応する答案用紙に
書くとと.
a,b, 6, dREORRELL< LETS, KOMVICBAL
) $< ZFS くが成り立つことを示せ.
2) x, ヶを正の整数とし, ad — be =1 THO ~<A EGS.
このとき ar — by および dy — とが正の整数であることを示し
bt+dSx, atesy
が成り立つことを示せ.
= M3 (663-22)

次の問いに答えよ.
() (0 yaet bese, e+, f+ eeneny の多項式として
表せ.
(i) ge上ge一9g%一1099一9g7?Tg十1王0をみたすすべての複素数e
を求めよ.
Q ヵを自然数としgi, cz..., 。 を正の実数とする. このとき次の不等式が成
り立つことを示せ.
(ay + ag t+ + an) (P+ beet a) zn?
— 2 M3 (663—23)

をそれぞれ方程式yー*。 y= ble — a)? 3gで表される曲線とし
2は C の接線でその傾きが 2 であるとする. REL, a, は実数で90とす
る. このとき次の問いに答えよ.
(1) /を表す方程式を求めよ.
(2) 2がのC。に接しているとき, 5をogの式で表せ.
8) がのに接し. ヶー 3 のとき, /, C, COMME, それらで囲まれる
図形の面積を求めよ.
= 2 M3 (663-24)

平成 20 年度入 学試験問題
に |
数学共通
(数学科 物理学科 生物学科 情報科学科用)
試験開始の合図があるまでは, この冊子を開いてはいけない。
1. この冊子の本文は 3 ページである。印刷の不鮮明な部分, ページの脱落などが
あった場合は申し出ること。
2. 答案用紙には, すべてに受験番号と氏名を記入すること。
記入例
3. この冊子の余白部分は下書きに使用してもよい。
4, この冊子及び下書き用紙は持ち帰ること。
M4 (663—25)

MSIL, それぞれ問題の番号に対応する答案用紙に
書くこと.
2。 b, <。 d@EOBREL SH < SETS. 次の問いに答えよ.
、 ¢ pate a eee
() 2 <St2 <4 が成り立つことを示せ.
2) x, ヶを正の整数とし, ad — be =1 THD <A <- EGS.
COLE ax — by BLU dy — egが正の整数であることを示レ
b+dSx, atesy
が成り立つことを示せ.
でミー M4 (663-26)

次の問いに答えよ.
(0 (0 ッニャオー とおき。 O44, t+ をそれぞれヵ の多項式として
(i) @二のー9gの一10gー9ge?十々g二1王0をみたすすべての複素数
を求めよ.
(2) ヵを自然数とし g。....,g』 を正の実数とする. このとき次の不等式が成
り立つことを示せ.
(m+キーキト (L412 4-44) きる
1 og :
—2- M4 (663-27)

座標補間の点 P(1, 0, 1)を考える. 点Qが平面上の円"? エー3)?ニ1
の上を動くとき, LAP, Qを通る直線と 平面との交点 R の描く図形の方程
式を求めよ. またその図形の概形を 平面上に描け-

2 M4 (663-28)

平成 20 年度 入学試験 問題
数学共通
(化学科用)
試験開始の合図があるまでは, この冊子を開いてはいけない。
1. この冊子の本文は 3 ページである。印刷の不鮮明な部分.ページの脱落などが
あった場合は申し出ること。
2. SRAM, すべてに受験番号と氏名を記入すること。
記入例
受 ) 1 1 1
3. この司子の余白部分は下書きに使用してもよい。
4. この司子及び下書き用紙は持ち帰ること。
M5 (663—29)

数 学 共 通(化学科用)
MEI, それぞれ問題の番号に対応する答案用紙に
書くこと.
4, b, ¢, d@EOWMEL 2 < LETS, 次の問いに答えよ.
。 Fa are a en sap
1 -< tte <4 が成り立つととを示せ.
(2 x, y SIEOMMLEL, ad ーー1であり一マーーマとする.
このときw一およびみーwが正の整数であることを示し
b+dSx, atcSy
が成り立つことを示せ.
ーュ1ュー M5 (663—30)

炊の問いに答えよ.
() (0 ッーャオー とおき, o+3, t+ をそれぞれyの多項式として
表せ
ge@二ge一9g%一10g%一9g?二gg十1三0をみたすすべての複素数
を求めよ.
2) ヵを自然数としgg。........g。 を正の実数とする. このとき次の不等式が成
り立つことを示せ-.
。 1 1 1
(ay + ay tet an) (e+ a, nt +) an?
— 半 ッッ M5 (663-31)

次の等式をみたす実数*をすべて求めよ
fsm —tdt=x?
ー3ー OMS 668一32)

(1) 4 で表される移動によって第1 象限の点は第 1 RRICBD, かつ第 2 象限の
点は第 2 象限に移るための必要十分条件を求めよ. ただし, 第1象限とは
ァグ 0 かつッッ 0 で定められる領域であり, 第2象限とは*ぐ0かつッ0で
定められる領域である.

(2) (1) の条件をみたす 4 で表される移動によって点(r, ゅ)が点(%。 のに移った
とき和常にxy 三2*%y が成り立ち, 点P(1.1)がQに移ったときにへOPQ OM
積が4 になる. このとき4 を求めよ. ただし0 は原点とする.

ー2 一 M6 663一35)

内接円の半径が 1 であるようなへABC について次の問いに答えよ.
ーー tan ニッ とお<.このときヶを<と9の
式で表せ.
Q) ,を正の定数とする. ran -ろビー,となるようなAABC の面積の最小舘を
を用いて表せ
(3) 内接円の半径が 1 である三角形の面積最小値を求めよ.
i 3 M6 (663一36)

下図のように二つの部屋XX と Y の間に通路A, BC, D, EF G, HAS
る. HBA, B,C, D.E,Fは確率ので開き, 通路Gは確率 CONE, RE H
は確率で開く. 各遂路の開閉は互いに独立である. このとき次の問いに答え
よ.
(1) =0.ァ0のときXとYが開かれた通路でつながっている准率を求め
ょよ.
) 4ニ1.ァ0のときXとYが開かれた通路でつながっている確率を求め
ょ.
8) 7ニ1. アー1のときXとYが開かれた通路でつながっている確率を求め
お
WD 0<。く1. 0くテく1のときXとYが開かれた通路でつながっている確
率を求めよ.
A B 6 ]
x e H Y
D E F
i 一 M6 (663—37)

(1) 集合オー(1.2.4,8.16....}は2ののべき乗全体より成るものとする.
(i) 37 を4 の相上異なるいくつかの要素の和として表せ.
(i) すべての自然数は, 4 の相異なるいくつかの要素の和として表せること
を示せ.
(2) 集合を 2 のべき乗と 3 のべき乗の積として表せる自然数全体より成る
ものとし, 次の問題を考える.
問題 P : 与えられた自然数々を, どの要素も他の要素の約数にならないよ
うなちぢのいくつかの要素の和として表せ.
たとえば n=19 DES, 19 一4十6十9 は問題Pの一つの解である.
(i) 自然数 23. 46, 127 のそれぞれについて, 問題Pの解を一つずつ与え
よ. ここで, 46王23 X2, 127三37二283X2 であることを用いてよ
い.
fi) すべての自然数ヶについて問題Pの解があることを, 自然数なヵについ
ての数学的帰納法を用いて示せ. KIEL, ヵ が偶数の場合と奇数の場合に
DIT, それぞれ異なる方法でゥヵ より小さな場合に帰着させよ.
== Be M6 (663-39)

(1) 4で表される移動によって第 1 象限の点は第 1 象限に移り。 かつ第 2 SRO
点は第 2 旬限に移るための必要十分条件を求めよ. ただし, 第1象限とは
ァン0 かっァツ 0 で定められる領域であり, 第2殺限とは*ぐ0かつァ>0で
定められる領域である.

(2 0) の条件をみたす A で表される移動によって点(z。 >)が点(%。 のに移った
ERA wv = Lay が成り立ち, 点P(1.1)がQに移ったときに人OPQ OTH
積が4になる. このとき4 を求めよ. ただし 0 は原点とする.

ー8 一 M6 (663-4)