立教大学 2004年度 過去問・解答

2004年度
.
T 数 学 問 題
注 意

1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.

2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人ばは監督に申し出てください.
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)

3. この問題同子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後,ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号はエ 一下となっています-.

4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が.あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.

5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.

6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.

7 . 計算には, この問題同子の余白部分を使ってください.

8. この問題王子は持ち帰ってください.

— T数1 一

] 次の空本イーホに当てはまる数を記入せよ. 解答は解符用紙の所定欄に記入せよ.
(i) x A log, (22 +3) -—2=log, (2-2) を満たすとき,ヶ=ニ| イ | である.
Gi) 受験者全員の平均点が60 点である試験におちいて, 合格基準点を | ロ | 点と定める
と, 受験者の 75 %が合格者で, その平均点は合格基準点より 15 点高く, 不合格者の平
均点は, ARMM ED 25 点低くなる.
(ii) 平面上の2つのペクトル で,ちが| |=3.17|=2.1デ27|ニ737 を満たすとき,
でとちの内積 で・ぢ= であり, GEV のなす角を 9 とすると,
cosの= | ニ | である.
(iv) 日本標準時の正午 (12 時) には, 東経135度の兵庫県明石市で 太陽が真南に位置
する. 東経 141 度の北海道小樽市で太陽が真南に位置するのは, 日本標準時の午前
11 時 分である. ただし, 地軸の傾きは無視する.
- — T数2 一

I ・ 中心が原点Oにあり, HELOACESASLE, ROM(i)~ (iw) KBAK. 解答は

解答用紙の所定欄に記入せよ.

(i) Cに第1 象限で接し, y WHA 5 である直線 7 の方程式を求めよ. ただし, 5>1
とする.

Gi) 7 と了軸の交点を Ai, LE x 軸の交点を A。 とする.ぁが》> 1 の範囲を動くとき,
WF ALA, の長さの最小値を求めよ. また, そのときの b の値を求めよ.

(ili) 線分 AA。の中点Pの座標を (s.7) ES. c=s', y=? とおき,
点Q(z,y) E844. b がヵ>1 の範囲を動くとき, 点Qの軌跡を表すァ,ヶの
方程式と, > の範囲を求めよ.

— T数4 一

Il ・ 内接円の半径が 6 cm で面積が 216 cm’ である直角三角形の 3 辺の長さを求めたい. 3
辺の長きを xem, yom, zem とおき,ヶミッくz とするとき, 次の問(ji)一(闘)に答
えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.

(i) 題意を満たす直角三角形と内接円の概形を図示し, >ヶ, y, 2 および半径を記入せよ.
REL, r, y, 2 は文字のままとせよ.
(ii) z を求めよ.
(ii) ox, y を求めよ.
ー T数5 一

IV ・ ある国の所得税額は,表に示す所得金額の階層ごとに, 所得金額 税率一控除額と定め
られている. 次の問( i )一(iv)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
Ci) 所得金額が 2 万円の人の所得税額 万円求める式を, A)一D)それぞれの階層につ
いて示せ.
Gi) 所得金額が900 万円の人について, 所得税額が所得金額に占める割合を百分率 (%) で
表せ. 小数第 3 位を四捨五入して, 小数第 2 位まで求めよ.
(iti) 所得税額が所得金額に占める割合が 20 %となる所得金額を求めよ.
(iv) 所得税額が所得金額に占める割合が 34 %となる所得金額求めよ.
wae
330 万円以上
B) 0.2 (20 %) 33 万円
900 万円以上
で) 03 (30%) | 123 AFI
1800 万円未満
— THE 一

コミュニティ福祉学部
2004年度
に2
H 数 学 問 題
注 意

1 . 試験開始の指示があるまでこの問題略子を開いてはいけません.

2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒銘筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)

3. この間題冊子は 8ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお、 問題番号は1一上となっています.

4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が.、あな
たの受験昧の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, MAO MSEC KEEL,

5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.

6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.

7 . 計算には, この問題同子の作自部分を使ってください.

8. この問題局子は持ち帰ってください.

ーーH数1 一

1 次の空欄イートに当てはまる数または式を記入せよ。解知は解答用紙の所定棚に記入せ
es
(i) (9S)? x (347? x か を3 の累乗の形に表すと であぁる.
(i) がloga(z一3) + logs (2 +5) =2 を満たすとき,ヶ=| ロ | である.
(ii) BO {a,} a8,
a, =11, @=17, tue = Zao (n=1, 2 の)
を満たすとき, go = | ハ | CHS.
(iv) < を定数とするとき, 3次式 Aニgz十2 を整式Bで割ったところ, 商が
2-2, 余りがヶ+4 bok. a BLS], Bは| ホ ] であぁる.
(v) 0"ミ9る180' DEX,
2cos @ — cos 2の
の値が最大となるのは 0 = のときで, 最大値は である.
ー H数2 一

Tl. xom(s), (ii)に答えよ。 解答は解知用紙の所定欄に記入せよ.
Gi) 連立不等式
4 AGS Qual
ば キダ ミ3.........の
DRT WARD を図示せよ。
(i) aCe, y) がDを動くとき、と上 omkie, mes x.
— HRA 一

II este a, bt 0<b<1 <a を満たすとする 政直線上を座標1 の点から測発しで動
く点Pがある. サイコロを振って, 出た日が作数のとき、点Pを現在の座標の z 倍の点に,
奇数のとき, 点Pを現在の座標の p 倍の点に移動させる. ここで使用したサイコロにおい
TH, 偶数の目が出る確率が ¢ (0<q <1) であるものとする. このとき, 以下の問
(i)一(iv)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.

(i) サイコロを1回振って移動した後の点Pの肉標の期待値 EE, 2, 7 ONT
He.

Gi) サイコロを2回振って移動した後の点Pの座標の期待値 選 を, a,b, q ORT
表せ.

(ii) サイコロを ヵ 回振って移動した後の点Pの座標の期待値 , を, a,b, q ORT
表せ.

(iv) (A) CRI 万 がお1であるとき。 (ROLE に対して, B= 1 であることを証
明せよ.

ーー数5一

TV eee z cate
ーー
リーキュ1ー8 4

により を定める. ここで i は虚数単位とし, zキー1二7 とする. COLE, 次の問
(i)ー(iv)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) zeatiy (2, y は実数) とするとき, w の実部を ヶ, y を用いて表せ.
(i) z=atiy (x, y は実数) とするとき, z Ew の実部がともに0 以上になるた

めに, x, y が満たすべき必要十分条件を求めよ.
(ji) 複素数 z. w の実部がともに 0 以上になるような z に対応する複素数平面上の点

全体の集合を考える. この集合を複素数平面上に図示せよ.
(iv ) (語)で図示した図形の面積を求めよ.

一H数6 一

立教大学経営学科
現代文化学科
2004年度
E 数 学 問題
注 意

1 . 試験開始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてH B の黒鉛筆またはH Bの黒のシャープベンシルで記入すること

になっています. HBの黒銀筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください.

(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確

認してください. なお, 問題番号は1 となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので. 出席票の受験番号が. あな

たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して

ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ

ERA,
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この問題樹子の余白部分を使ってください.
8. この問題出子は持ち帰ってください、

— EX1 一

上 次の空欄イーニに当てはまる数または式を記入せよ。 解答は解答用紙の所定橋に記入せ

よ。

(4) (3z二1)” の展開式における xf の係数は である.

(i) 50人の生徒に対して, BCE, 英語, 国語のテストを行った. 60 点以上を合格とした
ところ, 数学の合格者は30 A, 英語の合格者は27 A, 国語の合格者は33 人であり, 数
学と英語の両方に合格した者は 10 A, 英語と国語の両方に合格した者は 18 A, 国語と
数学の両方に合格した者は 15 人であった. COLE, 数学には合格したが, 英語と国
語は不合格であった者は | ロ | 人である. KEL, 三科目とも不合格であった者は
いないものとする.

(ii) (1 = logy x®) (3 一 logy) <0 を満たす z の範囲は である.

(iv) 複素数 z は等式 % = 1 を満たしている. このとき |1 - 2!| の最大値は| ニ |
である.

ー 数2 一

rS0 DEX f(x) =0
O<2S1 のとき f(x) =x
zr>1 のとき f(x) =1
で与えられている. このとき実数 > に対して, 関数 9(>) を
re
の=に のみ
as
CEDS, KOM i)~ (ii) HAL, MERREM MOM EMAL E,
(i) g(x) =0 を満たす > の範囲を求めよ.
(i) g(x) =1 を満たす 2 の範囲を求めよ。
(ii) 二分 g(z) gz の値を求めよ.
— E数4 一

sul 。 BAR y =! sin 20 + 2sind + 2cos#| (0°SO< 360°) を考える. このとき, 次の問
Ci )一(闘)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) t=sin@+cos@ EBOT, y Et ORTH.
(ii) t の値のとりうる範囲求めよ.
(ii) y の最大値, BME, BLO, そのときのそれぞれの の値を求めよ.
ーE数5一

IV. 下図の縦 24 cm, 横 12 cm の長方形の紙ABCD から, 斜線部分を切り取った残りは
直円柱の展開図である. その底面の円の直径を com EFS. KEL, 下図でEFGHは
長方形で, 点Fと点Gは辺BC上にあり, 2つの円はそれぞれ辺AB , 辺CDに点I , AI
で接している. この展開図から直円柱を作るとき, 次の問( ij ), (ji)に答えよ. 解答は解
答用紙の所定欄に記入せよ.

(i) 直円柱の体積を /(z) cm? とするとき, f(x) を求めよ.
Gi) 直円柱の体積が最大となるような直径 x の値と. そのときの体積を求めよ.
D
bb b
— EX6 一

(1) @=4, @=0, 0, =2 のとき, Bas" "= である. また, この数
を0以上4 以下の競数 ち。 d,s Oy, by を用いて BOS! と表現したとき。
=しLロ] ぁ=[ハ=し 4=しまぁ=[しへ ] でぁる.

Gi) FL-S8 41-0

3* 3
を x に関して解くと、*ー[| ト | である.

(ii) ある空間ベクトル @=(2, y, 1) が, 2つの空間ベクトルぢ=(1. 2, 3),
C=(-1, 4, 3) にそれぞれ直交しているとき, r= y= CH
る. また, に平行で, 点(1 , 2, 2) を通る直線と, yz 平面との交点の座標は
(Ee), [ル].[ラ|) tas.

(iv) R大学の学生 30 人に通学手段をたずねたところ, 電車を利用する学生が13 人, パス
を利用する学生が 16 A, 電車もバスも利用する学生が ADK, COLE, 電車もバ
スも利用しない学生は | ワ | 人である.

(v) 2 を et - 2-2 で割った余りは| カ | である.

— R数2 一 ・

I ・ 初項が 50 で公差が6 の等差数列 z。を考える. この数列を下記のように
1 個、 3 個、3" 個、... の項からなる群に区切った.
1 gu azagay| gsgegzgsgsgiogngegis | gugis ...
m を2 以上の整数とするとき, 次の問( i ) 一(語)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記
入せよ.
(i) m 番目の群の最初の項を g。 とするとき.ぁを の式で表せ.
Gi) 上問(i)の a の値を の式で表せ.
(ii) om 番目の群に入る項の和を m の式で表せ.
一R数4一

ll. 下記の間( i ) , (ii)に答えよ. ただし, i は虚数単位とする. 解答は解答用紙の所定欄
に記入せよ、
Ci) lol=lalt+ 1 を満たす 2 つの 0 でない複素数 々 =a, + ia, b= d, + ib, を考え
る. REL, a, , の,ちあ は実数とする. 複素数平面上で, MAL a,b ERE
れぞれ結ぶ 2 つの線分が原点で直交するとき, a, a をそれぞれ b,, め の式で表せ.
Gi) 4=143i,2=24+i,4=3-7 に対し,
w,=4t*i (n=1, 2,3)
とするとき, w, wy, w, の表す複素数平面上の 3 点がつくる三角形の面積求めよ.
— RES 一

VV. 年利率が 10 %の 1 年ごとの複利法による預金を考える. ここで, 1 年ごとの複利法と
は, 利息を次年度の元金に加えていく利息計算方法である. KOW(i)~ (ii) CAA K.
解答は解答用紙の所定欄に記入せよ. .

(i) 500 万円を上の複利法により 3 年間預金したとき, 3年後の元利合計はいくらにな
BY.

Gi) 3 PRM Lk & 3年後の元利合計が 500 万円以上となるためには, 初めに最低
いくらの預金をすればよいか. ただし, 初めに預金する際は 1 万円を単位とする.
(ii) 手持ちの現金が 500 万円ある人が, 即金で支払うと (即時に支払うと) 200 FAO
乗用車を購入することになった. 買い手は, 下表の3種類の支払方法 。 b, cの中
の1 つを選択することができる. WEI, 3 年後に解約して現金にするものとする. 3
年後の (b . cの場合は支払い完了後の) 手持ち現金を計算し 手持ち現金が多い順

FRID, a, b, cを並べよ.
(表) 支払い方法
a : 200 万円を即金で売り手に支払い, 支払いを完了し, 300 万円を3 年間預金する.
b : 500 万円全額を 3 年間和預金し、 3 年後に 260 万円を売り手に支払い, 支払いを完
耳する.
c : 100 万円を頭金として即金で売り手に支払い, 残りの 400 万円を3 年間頂金した
後, 130 万円を売り手に支払い, 支払いを完了する.
— R数6 一

第 1 年度の中期に生まれたオス 1 匹とメス 1 匹を一緒に隔離し, 以後の個体数について考
える. 図のように第 7 年度の中期に生まれたメスは第 7 1 年度の中期に. オスを NEE
メスを 区生む. 第 7 年度の中期に生まれた個体は第 7 + 2 年度の中期に死ぬ、このとき
第 ヵ 年度の初期が始まったときの個体数を og,。 として次の問( i )一(品)に答えよ. ただし
了, N は正の整数. を は2 以上の整数とする. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.

生まれる 生む 死ぬ
初期 中期 後期 初期 中期 後期 初期 中期 後期
第 年度 第7+1 年度 第7+2年度
(i) WV=1 のとき w, a, a, を求めよ.
(i) 任意の正の整数 に対して, 第』# 年度に生まれる個体数を % とするとき,
を Nk を用いて表せ.
(ii) R24 とする. a, を N, を を用いて表し, 任意の ぁ に対して i, > gg となるような の
範囲を求めよ。
— 1数6 一

(1) ァ=logi。9 DER, 27 を簡単にすると CHS.
(2) TER n at bi (a, 2 は実数 は上単位) であるとき,
のーー| ロ | である.
(3) 定積分 [|so(2-4) [ee の値は[ 人ハ ] でぁる.
h
2 1 の な
(4) 行列4= ) とする. 自然数 eat, at=( ) と表すとき,
0 -1 Ce de
3 lady - yey) の値は[ニー] である. ただし,ヵ は自然数とする。
(5) A, B,C, D, E, F, G, H, 1の9人を3人ずつ3つの組に分ける方法は
ネー] was.
ー ti数2 一

Tl. cttowmess. 座標平面上において, mK
y2zlxl, 0ミッミル
ORT BRE ECR ETS. ECR に属し, かつ 座標と y座標がともに整数である
K(x, y) の個数を WV(ぉ) とする.
(i) y 20 の範囲で, 曲線 =|zl OMIT.
Gi) N(k) をぁの式で表せ.
(iii) N(k) 2 1300 となる最小の整数 を を求めよ.
— ti数4 一

TL. cetomess. 座打平面上において, 曲線 で(の) : ッニーt+gfz (20) と>幸と
で囲まれる図形をり(o) とする. KEL, D(a) は境界を含むものとする.
(4) D(a) をs 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
()(イ) 点(Z,0) におけるC() の接線の傾きが 一1 になるときの。の値を求めよ.
(2) は正の数すべてをとるものとする. 点(z,ヶ) がの(2) を動くとき, オッ
の最大値を Z を用いて表せ.
ー 1&6 一

(1) x = logy9 DER, 27 を簡単にすると である.
(2) yan a + bi (a, 2 は実数。f MERON) CBE,
@-y=(_u | である.
(3) sent ae -+) ド の値は であぁる.
/
2 1 a by
(4) wa a= ) とする. am nto, at=( ) expe,
0 -1 Ca
Zad— be) の値は TS] である. RAL, 2 は自然数とする。
(5) A, B,C, D, E, F, G, H, Iの9人を3人ずつ3つの組に分ける方法は
[しネ ] 通りぁる.
ー 数2 一

I. 4 を正の朝数とする. 座本平面上において, MORE
yZlel, OSySk
の表す領域を友() とする. ECR に属し, かつ 座標と MRE SICBB CHS
点(z,ヶ ) の個数を WV(め とする.
(i) y20 ORC, 曲線 =|z| OBIE EH.
(ii) N(k) &kOKRTH.
(ii) N(K) = 1300 となる最小の整数 を求めよ。
— 1。数4 一

TL. 。を諾の数とする. meer cic, 曲線 C(o) : ーーriトofz (x20) と ェ朝と
（続きは問題PDFで確認できます）