青山学院大学 2012年度 過去問・解答

青山学院大学2012年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

Ⅰ 同色の玉を区別のある箱に入れる（重複組合せ）

区別のつかない赤玉7個と白玉5個を、区別のできる3つの箱 A, B, C に入れます。

(1) 赤玉7個の入れ方

仕切り法を使います。赤玉7個と縦棒2本を一列に並べ、

「左の棒より左 → 箱A」「2本の棒の間 → 箱B」「右の棒より右 → 箱C」

と対応させると、入れ方と並べ方が1対1に対応します。

玉7個と棒2本、計9個の並べ方は「9か所のうちどこに棒2本を置くか」なので

₉C₂ = (9 × 8)/2 = 36通り

一般に n 個の同じ玉を k 個の箱に分ける（空箱可）= ₍ₙ₊ₖ₋₁₎C₍ₖ₋₁₎。ここでは n = 7、k = 3 で ₉C₂ ✓
「玉●●●│●●●●│」なら (3, 4, 0) を表します。棒が端や隣り合ってもよい（＝空箱を許す）のがこの方法の要点です。

(2) 赤玉7個と白玉5個の入れ方

白玉5個についても同様に

₇C₂ = (7 × 6)/2 = 21通り

赤玉の入れ方と白玉の入れ方は独立に決められるので、積の法則より

36 × 21 = 756通り

(3) どの箱にも1個以上の玉が入る入れ方

全体756通りから「空箱がある場合」を引きます。

[1] ちょうど1つの箱が空の場合

箱Aが空だとすると、赤玉7個を箱B, C に（空を許して）分けるのは ₈C₁ = 8通り、白玉5個は ₆C₁ = 6通り。合わせて

8 × 6 = 48通り

ただしこの48通りには「箱B だけに全部」「箱C だけに全部」という2つの箱が空の場合が2通り含まれます。これを除いて

48 − 2 = 46通り

空になる箱の選び方が3通り（A, B, C）なので

46 × 3 = 138通り

[2] 2つの箱が空の場合

1つの箱にすべての玉が入る場合で、どの箱かの3通り。

引き算する

756 − 138 − 3 = 615通り

検算：赤玉の分け方（36通り）と白玉の分け方（21通り）の全組み合わせ756通りを列挙し、3箱すべてに1個以上入るものを数えたところ 615通りでした ✓
包除原理で書けば 756 − 3×48 + 3×1 = 756 − 144 + 3 = 615 とも計算できます（「Aが空」「Bが空」「Cが空」を引き、2つ同時に空の場合を足し戻す）。上の解法と同じ結果です ✓

この年の学習ポイント

重複組合せ（仕切り法）の典型問題です。押さえるべきは次の3点。

(あ) 玉が区別できない・箱が区別できる → 仕切り法
(い) 色が違う玉は、それぞれ独立に分けて積をとる
(う) 「空箱なし」は全体から引く（包除原理）

(う) で注意すべきは二重に引かないこと。「Aが空」の48通りには「AもBも空」が含まれているので、そのまま3倍すると重複します。

解答の方法（「ちょうど1つ空」と「ちょうど2つ空」に分けて引く）と、包除原理（引いて足し戻す）のどちらでも構いませんが、どちらの方針か最初に決めて、混ぜないことが大切です。

また、玉が区別できる場合は 3⁷ × 3⁵ のように累乗になり、まったく違う答えになります。「区別する／しない」の確認を必ず最初に行ってください。

青山学院大学2012年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。