青山学院大学 2013年度 過去問・解答

青山学院大学2013年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

Ⅰ(1) 三角関数を含む方程式の解の個数

−π/2 ≦ θ ≦ π/2 において、sin²θ(sinθ + 1) = k …① の解の個数を、k の値によって調べます。

x = sinθ と置換する（1対1対応の確認）

区間 −π/2 ≦ θ ≦ π/2 で sinθ は単調増加で、値域は −1 ≦ sinθ ≦ 1。

したがって θ と sinθ は1対1に対応します。

ここが最も重要な確認です。単調でない区間（たとえば 0 ≦ θ ≦ 2π）だと、1つの x に対して θ が複数対応するため、解の個数がずれます。「θ の解の個数 = x の解の個数」と言えるのは、この1対1対応があるからです。

x = sinθ とおくと、①の解の個数は

x²(x + 1) = k を満たす −1 ≦ x ≦ 1 の x の個数

に一致します。さらにこれは、曲線 y = x²(x+1) と直線 y = k の共有点の個数と同じです。

y = x²(x + 1) の増減を調べる

y = x³ + x² を微分して

y’ = 3x² + 2x = x(3x + 2)

y’ = 0 より x = 0, −2/3。どちらも定義域 [−1, 1] の内部です。

各点の値

f(−1) = 1 × 0 = 0
f(−2/3)（極大値）= (4/9)(1/3) = 4/27
f(0)（極小値）= 0
f(1) = 1 × 2 = 2

検算：厳密分数計算で f(−2/3) = 4/27、f(−1) = 0、f(0) = 0、f(1) = 2 ✓
左端 f(−1) と極小値 f(0) がともに 0 になるのが、この関数の特徴です（x²(x+1) は x = 0 で重根、x = −1 で単根なので当然）。

グラフから解の個数を読む

グラフは 0 から出発して 4/27 まで上がり、0 まで下がり、2 まで上がる形。水平線 y = k を下から上へ動かすと

境目になるのは k = 0（左端の値かつ極小値）と k = 4/27（極大値）、そして k = 2（右端の値）の3つ。増減表で求めた4つの値が、そのまま場合分けの境界になります。

この年の学習ポイント

三角関数を含む方程式の解の個数を問う問題の手順は次のとおりです。

(あ) x = sinθ（または cosθ）と置換し、x の範囲を確認する
(い) θ と x が1対1対応かを確認する（1対2なら解の個数が倍になる）
(う) 定数 k を分離し、y = f(x) と y = k の共有点の個数に帰着
(え) f の増減表を作り、端点と極値をすべて求める
(お) 水平線を動かして境目を読む

(い) の確認が本問の核心です。もし区間が 0 ≦ θ ≦ π なら、sinθ = x を満たす θ は（x < 1 のとき）2個あるため、解の個数が2倍になります。区間の指定を必ず確認してください。

青山学院大学2013年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。