お茶の水女子大学 2004年度 過去問・解答

平成 16 年度入 学試験問題
: 注 意 BR
試験開始の合図があるまでは, この冊子を開いてはいけない。
1. この冊子の本文は 3 ページである。印刷の不鮮明な部分,.ページの脱落などが
あった場合は申し出ること。
2. SRAM, すべてに受験番号と氏名を記入すること。
記入例
受験 hey | oul ag |
器|* ilslsh (氏 名)
3. この后子の余白部分は下書きに使用してもよい。
4, この民子及び下書き用紙は持ち帰ること。
やM3(289一19)

数 学 問題
解答は。 それぞれ問題の番号に対応する答案用紙に
書くこと. この指示に従わない答案は無効とする.
。 [| 数とする。二次方式

a? —2ar+1=0 ・
の2つの解をe, BELT, 3つの複素数0. 2, 8の表す複素数平面の3点
0, A, Bを頂点とする三角形の面積を $ (@) とする. KEL, 0, A, BATH
線上にあるときは $ (6) = 0 とする.
(11 S(0). SGA, 5(1)を求めよ.
(12 5(c) = 0 となるための。の条件を求めよ.
8) <が実数全体を動くとき, S(。) の最大値が存在すればそれを求めよ.

を yx やM3(289一20)

[2] 原点を中心として半径 1 の円 ,がある. AC の円周上に正太角形 7」 の頂点

をとり, それらを反時計まわりでPi。P。, Ps Ps Ps Ps とする.

() 円 C,の周と正六角形 7」 の周で囲まれた図形の面積を求めよ. 1

(2) 正太角形 7,の頂点をひとつおきにP」とP。 P。とP。 Ps。とP。 P4とPe
PsとPi PsとP。 を結ぶと, 小正六角形 7。 が得られる. 正六角形 7。 の一辺
の長さを求めよ.

(3) 正六角形 7。 の外接円を C。 とする. (12と同様にして, 正六角形 7。 の頂点を .
ひとつおきに結んで得られる小正六角形を 7。 とする. この操作を続けて, 原
点を中心とする円 C, とその周上に頂点を持つ正六角形 7。が得られる. 円Cx
の周と正六角形 T, の周で囲まれた図形の面積を S。 とする. このとき, る Sk

| BROKE. KEL, ヵは3 以上の自然数とする.
ー2 一 M3 (289-21)

関数(のニタ +2? — ar — a EBRD. COT, 4は正の実数であるものと
する.
(1) 曲線ターア(ぶ) とその上の点 P( 1、 (1))における接線との共有点のう

ち接点P以外のものを求めよ。
OQ) /G) =0 の実数解の個数を に応じて求めよ.
8) /G)の他値求めよ.
‘ (4 曲線ッーアG) の概形を(1 (2 (3で求めたことを利用して描け。
ー3 一 やM3(289一22)

(1) AC の周と正太角形 Ti の周で囲まれた図形の面積を求めよ.

(2) 正六角形 7」 の頂点をひとつおきにPiとP。, P。 とPP。とPs Prt Ps
P。とPi P。 と Po を結ぶぷと, 小正六角形 7。が得られる. 正六角形 7。 の一辺
の長さを求めよ.

(3) 正六角形 7> の外接円を C。 とする. 212と同様にして, 正六角形 7 の頂点を -
ひとつおきに結んで得られる小正六角形を 7。 とする. この操作を続けて, 原. :
REPDETSAC, とその周上に頂点を持つ正太角形 7ぇが得られる. ACG
の周と正六角形 7。 の周で囲まれた図形の面積を S。とする. このとき, = Sk
を求めよ. ただし, ヵは 3 以上の自然数とする.

ー2 一 でM4(289一25)

平面の 2 つの曲線 ‘
Ciy=x22 +4
Ciデニタ十@
を考える.
(1) 曲線 C」の接線としてゞエァーー6と表されるものがあることを示し, Dea
で表せ. また, 接点の座標を求めよ.
. (2) (1)で求めた曲線 C, の接線は C。 にも接していること, すなわち, 2曲線 Cr
。 EC, との共通の接線であることを示せ.
(8) 2曲線C」とC。の共通の接線として(1)で求めたもの以外に何本あるかをo
に応じて求めよ.
4) 曲線」と曲線 C。がちょうど2つの共有点をもつための。の条件を求め
ー 3一 のM4(259一26)

(1) BRS (x) = a のグラフが直線ゞニテを接線にもつとすれば. の値はいく
らか. KE, このときの接点の座標を求めよ.
(2) (11)の場合,yーの〆 とッーァそしてyヵ軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.
(3) g>1のときッーの とッーァとは2 点で交わるか, 接するか, または共有
点をもたないかのいずれかであることを示し, 2 点で交わる場合のzの値の
- 範囲を求めよ.
[3] 半径1の円周上に2点4, Bをとり固定する. 弧ABに対する円周角を
(0 9 今) とし, 同じ円周上に点Pを動かすとき, 以下の問に答えよ.
(1) PAX PBが最大になるのはPがどのような場合か. また, 最大値をのを用
いて表せ.
(2) PA + PBが最大になるのはPがどのような場合か.
8) Fee ORAS 0 CATHY, ¥
—2- M6 (289—33)

[4] cree amok sminD, mers 2 点問は歩いてちょうど1分かかる
ものとする. :
S$ A
B G 、
AS を出発し。途中休みなく歩いて 1 分毎に点を通過し, UD TAG IB
達した時点で止まるものとする. REL, 点を通過するとき次のように進むもの
とする.
点S を出発するときは2 本の道があって, どちらの道に進む確率 づ- とす
る. また, 点A および点Bを通過するときも, いずれや前方に 2 本の道があっ
て, どちらの道に進む確率も -#- とする。 なお, 右前方または左前方のどちらか
一方にしか道がない点を通過するときは確率 1 でその道に進むこととする.
ヵを自然数として, S を出発してヵ分後にABを通過する確率をそれぞれ
A(n), BEL, ちょうどヵ分後にでに到達する確率を G(ヵ)とする. この
とき, 以下の問に答えよ.
(1) S A, B Gの順に通り。 ちょうど3分後にGに到達する確率を求めよ.
2 A(1), A(2), ACB), AC4), ACB), ACB), A(7)を求めよ
(8) An) を求めよ. -
@ B(1), B(2), B(3), B(4), BCS), B(6), B(7)を求めよ.
©) Bln) BRD. .
©) GODをA(みー2)とB(ヵー1)を用いて表せ. REL NZIETS.
(の Gln) を求めよ.
ー3 一 M6 (289—34)

(1) ッニダー をッーー に図して上に折り返すことにより得られる関数を
ッー9(*)としたとき., [oxyde =0 を病たす正の数を求めよ、
(2) ッニィ*ー8をッーcに関して上に折り返した関数をッーヵム(*)としたとき,
[node = 0 を満たす容数を求めよ
ー34 一 M6 (289一85)

[2] smaico, 0), mr 0), al$2)
a(Z@, year, amos
うに原点 Ai を中心とし, 半径1で
DAZ ORG ABs を考え
る. 点A。から線分 AiBi に下ろし Ay
' た垂線の足を B。とする. BBA ヘー
BiAzからムAAiBzA。を除いた部分 Ai(00) Be B. (1,0)
- をDiとする. 点Azを中心とし
点 B。 を通る円と線分 AiAz の交点を A とする.
DUR FZ 3 に対し順次、点A,から線分AiB,-」 に下ろした垂線の足を B, と
し, 扇形A,-」By-iA,からAA/- BA を除いた部分を D,-」 とする. 点A,を中
心として点 B, を通る円と線分 AA の交点を Ar とする. この操作を無限に
繰り返す.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 点 B。 点Asの座標を求めよ.
(2) RAIA.) の極限点の座標を求めよ.
8) Di Dぁ........の面積の総和を求めよ.
ー5一 やM6 (289一36)

平成 16 年度 入学試験問題
数学・物理・化学・生物
注 意 事項
・ 試験開始の合図があるまで, この冊子を開いてはいけない。
1. 数学科を志望する者は, 数学専門QDの問題及び出願時に選択した他の1科目
(物理, 化学, 生物) のの問題をそれぞれの答案用紙に解答せよ。
物理学科を志望する者は, HHO, の問題及び数学8の問題をそれぞれの答案
用紙に解答せよ。
化学科を志望する者は, 化学〇の問題及び出願時に選択した他の 1 科目(物
理または生物) の13の問題をそれぞれの答案用紙に解答せよ。
生物学科を志望する者は, £0, の問題及び出願時に選択した他の1科目
(物理または化学) の8の問題をそれぞれの答案用紙に解答せよ。
情報科学科を志望する者は, 数学専門Q12の問題及び出願時に選択した 2 科目
BE, 物理, 化学, 生物) のの問題をそれぞれの答案用紙に解答せよ。
食物栄養学科, 人間・環境科学科を志望する者は, 出願時に選択した1科目(物
. 理, 化学, 生物) の13の問題をそれぞれの答案用紙に解答せよ。
2. LOMFORMIS 37 ページまである。印刷の不鮮明な部分, ページの脱落など
- があった場合は申し出ること。
3. BRAM, すべてに受験番号と氏名を記入すること。
記入例
4. この冊子の余白部分は下書きに使用してもよい。
5. この問題冊子及び下書き用紙は持ち帰ること。
やM6(289一31)

数 学 ®
解答は. それぞれ問題の番号に対応する答案用紙に
書くこと. この指示に従わない答案は無効とする.
[1] onbowsicnicwec :
ee Got Ol
のe+ 1c
EBS. KEL, Co=1 である. 次の各問に答えよ.
11 100), 7(1), 7(2), 7(3)の値をそれぞれ求めよ(答えのみでよい).
27 (1 一)* を二項定理を用いて展開することにより

= ーッ9)*
7の=たローの"の
であることを示せ.
3) ッー simァと置換することとにより
1 z
/ (1 — y?)"dy =/ (cos x)?**!dx
であることを示せ.
4 ヵ全1のとき.
= {(cos x)**sinx} =(2n + 1) (cosx)’**! — 2n(cosx)**~*
であることを示せ.
6) ぁヵ科1に対して7(ヵ)ぐ7(ター 1)であること, および 。

Hm. Tin — Ty =} -
であることを示せ.
ー6一 ぐM6(289一37)

- [2] a を正の実数とするとき, 以下の問に答えよ.
(1) 関数/(*)ニの のグラフが直線ッニィを接線にもつとすれば, 。の値はいく
らか. EK, このとき接点の座標を求めよ.
(2 (1)の場合,ー 〆 とッーァそしてヵ軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.
8B) g>1のときッーの とッゅニーィとは 2 点で交わるか, 接するか, または共有
点をもたないかのいずれかであることを示し, 2点で交わる場合のgの値の
; 範囲を求めよ.
ー7ー M6 (289-38)

(1) 円 の周と正大角形 7 の周で囲まれた図形の面横を求めよ.

Q 正和角形7, の頂点をひとつおぎに PiとP。 PaとPe PsとPs PaとPe
PiとPu PEP を結ぶと 正六角形 7。が得られる 正大角形 7,の一辺
の長さを求めよ.

@ 正大角形7 の外接円を C。 とする (2と同様にして, 正大角形 7% OME
ひとつおきに結んで得られる小正大角形を Ty EFS. この操作を続けて, 原
MEPDETSA C とその周上に頂点を持つ正大角形 7が得られる. 円
の周と正大角形 7 の周で田まれた図形の面積を 9。 とする。 このとき, DS
を求めよ、ただし. ぁは3以上の自然数とする.

ー2 一 やM5(289一29)

実数の区間[0, で定義された関数/(*)ニ"sm g(x) =e * cosa IZ
ついて以下の問に答えよ.
(1) (e), g (x) を計算せよ.
(2) 了(*) をが| (x), g (x) CRU. また, gO eS (x), g (x) CH.
3) Hy =f(x), y= glx) とァ 軸で囲まれる部分の面積を計算せよ.
M5 (289-30)