藤原進之介です。このページでは上智大学2003年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
曲線 と直線 で囲まれた部分の面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
未掲載の解答は順次公開中です。急ぎで解説が必要な問題はLINEでリクエストしてください。 解説をリクエスト
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。
1. なぜその一手を選ぶのか
囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (2x + 8) − x2 。これは x2 − 2x − 8 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。
この形の積分は (β − α)3 / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。
2. 解答
- 交点：x2 = 2x + 8 すなわち x2 − 2x − 8 = 0 。解を α, β とすると α + β = 2 、αβ = -8 。
- (β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = 4 + 32 = 36 。よって β − α = 6 。
- 面積 S = 16 (β − α)3 = 16 × 36√36 。
答え： S = 36
3. 検算（大きさの見当をつける）
交点は x = (2 ± 6) / 2 、幅は 6 ≒ 6.00 。面積の概算は 幅3/6 ≒ 36.00 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。
この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)3 / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。
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上智大学 2003年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 整数
- 空間図形
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2003年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、整数、空間図形に関する語句や設問を確認できました。上智大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、整数は24年度、関数・グラフは24年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、関数・グラフ、空間図形
(1) サイコロを3回投げたとき、P の座標が 10 である確率は SS で
ある。
Q) サイコロを4回投げたとき, P の座標が 15 である確率は 回 で
ある。
(3) サイコロを何回か投げたときの P の座標を c とする。さらにサイ
コロを1回投げたときの P の座標の期待値は 一-二gz + ーーデー
である。
() サイコロを2 回投げたときの P の座標の期待値は ーーー であり,
サイコロを3回投げたときのP の座標の期待値は ーー である。
—6— AK-H-01
ある。
Q) サイコロを4回投げたとき, P の座標が 15 である確率は 回 で
ある。
(3) サイコロを何回か投げたときの P の座標を c とする。さらにサイ
コロを1回投げたときの P の座標の期待値は 一-二gz + ーーデー
である。
() サイコロを2 回投げたときの P の座標の期待値は ーーー であり,
サイコロを3回投げたときのP の座標の期待値は ーー である。
—6— AK-H-01
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、指数・対数、確率・場合の数
(1) 0° く9 < 360 とする。
sin 8 +2|cos6| = 1 はcos9= - であるための
また, cos9ニ0はsin9エ2|cos9| = 1 であるための
(2) 。 を実数とする。<> Like OF a — a2? + £2 = 082M
の正の解と 1 個の負の解を持つための
また、2 < < Bike OWA — ax? + 2 os 2moED
解と 1 個の負の解を持つための
(3) (logy )? — (logy ) ~6 S 01 G2? — 492 +8 く 0 であるための
また, (1083 2)” ー (logy 2) — 6S 014 6x? — 25 +450 であるた
ve
(4) AABO において, sin A = 2sin BoosC 1k ZB = GOであるための
また, cos A =2sin BsinC tt ZB = ZC + 90° であるための
選択肢:
@) 必要十分条件である。
(b) 必要条件であるが, 十分条件でない。
(0) 十分条件であるが, 必要条件でない。
(G) 必要条件でも十分条件でもない。
ーォ4ォー AK-H-02
[2] 。を実数とする。関数 7(z) の等式
(*) fle) =an+ ri (at — 1) f(t)at
を考える。
jes のときは, (*) をみたす f(a) は存在しない。
Q)a= のときは, (*) をみたす 7(<) は定数関数である。
UF ad [7]. EL, f(a) は (*) をみたすものとする。
(8)a= == のとき, 7(0) = 0 である。
(4) 9タナげ() のグラフがりーz? のグラフに接するならば,
a= または === ths. KEL > ers.
a= DEX, y= f(a) Ly =P のグラフの接点の座標は
である。
—5— AK-H-02
[3] 右のような図形の線上を矢印の向きに県A から点 Bに行く経路を考
える。
(1) 4からB に行く経路は 通りある。
(2) HPs を通らないでAからBに行く経路は 通りある。 また, 線
分PaP。 の中点を通らずにAからBに行く経路は 通りある。
(3) A Py を通って, かつ線分 PsPri の中点を通らずにAから Bに行く
経路は 通りある。
(4) Piから Pu の MOMS LOAM, その点を通らずにAから
Bへ行く経路の教を考える。 LORD, 選ばれる確率が等しいなら
ば, 経路の数の期待値は 一 である。
ー 66 = AK-H-02
VAAN
sin 8 +2|cos6| = 1 はcos9= - であるための
また, cos9ニ0はsin9エ2|cos9| = 1 であるための
(2) 。 を実数とする。<> Like OF a — a2? + £2 = 082M
の正の解と 1 個の負の解を持つための
また、2 < < Bike OWA — ax? + 2 os 2moED
解と 1 個の負の解を持つための
(3) (logy )? — (logy ) ~6 S 01 G2? — 492 +8 く 0 であるための
また, (1083 2)” ー (logy 2) — 6S 014 6x? — 25 +450 であるた
ve
(4) AABO において, sin A = 2sin BoosC 1k ZB = GOであるための
また, cos A =2sin BsinC tt ZB = ZC + 90° であるための
選択肢:
@) 必要十分条件である。
(b) 必要条件であるが, 十分条件でない。
(0) 十分条件であるが, 必要条件でない。
(G) 必要条件でも十分条件でもない。
ーォ4ォー AK-H-02
[2] 。を実数とする。関数 7(z) の等式
(*) fle) =an+ ri (at — 1) f(t)at
を考える。
jes のときは, (*) をみたす f(a) は存在しない。
Q)a= のときは, (*) をみたす 7(<) は定数関数である。
UF ad [7]. EL, f(a) は (*) をみたすものとする。
(8)a= == のとき, 7(0) = 0 である。
(4) 9タナげ() のグラフがりーz? のグラフに接するならば,
a= または === ths. KEL > ers.
a= DEX, y= f(a) Ly =P のグラフの接点の座標は
である。
—5— AK-H-02
[3] 右のような図形の線上を矢印の向きに県A から点 Bに行く経路を考
える。
(1) 4からB に行く経路は 通りある。
(2) HPs を通らないでAからBに行く経路は 通りある。 また, 線
分PaP。 の中点を通らずにAからBに行く経路は 通りある。
(3) A Py を通って, かつ線分 PsPri の中点を通らずにAから Bに行く
経路は 通りある。
(4) Piから Pu の MOMS LOAM, その点を通らずにAから
Bへ行く経路の教を考える。 LORD, 選ばれる確率が等しいなら
ば, 経路の数の期待値は 一 である。
ー 66 = AK-H-02
VAAN
問3画像OCR
検出分野: 空間図形、図形・三角関数、関数・グラフ、整数
(1) 積Pのはzの 次式である。
(2) a, b は関係式
のがだ二 回 [7 ]o+ =0
をみたす。
(3) a, ISM CHSOC, 5 の組 (g,9) は全部で 通りある。
(4) りがので割り切れるとき,
P= EAI [* e+
Q= EE 回国
である。
ー4 一 AK-H-03
a, 5 cdは正の実数とする。zy 平面上の4 点
1 1 1 1
A («.2) ,B (- i) ,O (<*-9 .D (4-4)
EBAD. OAR MWB ChB LIL, すべての内角が 180? LY 7h
さいことをいう。
(98もcーあ9=2のとき,長ん B, CD が1つの西四角形の頂点
となるための必要十分条件は
ーー <a <マー または <a
である。
(17c=1 4=うのとき, どのような正の実数に対しても, AA, B,
D が1つの本四角形の頂点となるための必要十分条件は
である。
(8)6= +, c=a,d=2 OL &, TAT ABCD OME S
(。 +a )
である。ただし, > とする。。ニ DLE, 8は
最小値 をとる。
5 AK-H-03
[3] 用平面上の4束(11), (-1,1), (-1,-1), (1,-1) を頂点とする正方形
の各辺が鏡でできているとする。このとき原点 O にある光源から点
(m,n) に向かって光を放つ。ただし, m, は正の整数とする。光は正
方形の各辺では正しく反射されるが, 4 つの頂点では反射されずに吸
収されてしま う。
例えば点 2,1) に向かって光を放つと, 右図のように3回反射されたの
ちに原点に戻ってく る。しかし点 (1.3) に向かって光を放つと, ALO
ESCA (1。1) で表収される。
(1) 点 (3,2) に向かって光を放つ。光が初めて原点に戻ってくるまでに。,
ヶ軸に平行な辺で 回, 9軸に平行な辺で 回反射される。
(2) K (5,3) に向かって光を放つ。光が京 (elk [7]) で吸収され
るまでに,ヶ 軸に平行な辺で 回, 9 軸に平行な辺で 回
反射される。
(3) 光が7回反射されて初めて原点に戻ってくるとき, のとり得る値
は全部で 通りある。
(4) 刀,みを互いに素な奇数とする。 A(m,n) に向かって光を放つと, 光は
ーー7x + ——n +
回反射されたのち, ある頂点で吸収される。
—6— AK-H-03
43)
(に1も1 ' (1,1) (2,1)
V - |
| | \ |
(-1,-1) (1,-1)
—F— AK-H-03
(2) a, b は関係式
のがだ二 回 [7 ]o+ =0
をみたす。
(3) a, ISM CHSOC, 5 の組 (g,9) は全部で 通りある。
(4) りがので割り切れるとき,
P= EAI [* e+
Q= EE 回国
である。
ー4 一 AK-H-03
a, 5 cdは正の実数とする。zy 平面上の4 点
1 1 1 1
A («.2) ,B (- i) ,O (<*-9 .D (4-4)
EBAD. OAR MWB ChB LIL, すべての内角が 180? LY 7h
さいことをいう。
(98もcーあ9=2のとき,長ん B, CD が1つの西四角形の頂点
となるための必要十分条件は
ーー <a <マー または <a
である。
(17c=1 4=うのとき, どのような正の実数に対しても, AA, B,
D が1つの本四角形の頂点となるための必要十分条件は
である。
(8)6= +, c=a,d=2 OL &, TAT ABCD OME S
(。 +a )
である。ただし, > とする。。ニ DLE, 8は
最小値 をとる。
5 AK-H-03
[3] 用平面上の4束(11), (-1,1), (-1,-1), (1,-1) を頂点とする正方形
の各辺が鏡でできているとする。このとき原点 O にある光源から点
(m,n) に向かって光を放つ。ただし, m, は正の整数とする。光は正
方形の各辺では正しく反射されるが, 4 つの頂点では反射されずに吸
収されてしま う。
例えば点 2,1) に向かって光を放つと, 右図のように3回反射されたの
ちに原点に戻ってく る。しかし点 (1.3) に向かって光を放つと, ALO
ESCA (1。1) で表収される。
(1) 点 (3,2) に向かって光を放つ。光が初めて原点に戻ってくるまでに。,
ヶ軸に平行な辺で 回, 9軸に平行な辺で 回反射される。
(2) K (5,3) に向かって光を放つ。光が京 (elk [7]) で吸収され
るまでに,ヶ 軸に平行な辺で 回, 9 軸に平行な辺で 回
反射される。
(3) 光が7回反射されて初めて原点に戻ってくるとき, のとり得る値
は全部で 通りある。
(4) 刀,みを互いに素な奇数とする。 A(m,n) に向かって光を放つと, 光は
ーー7x + ——n +
回反射されたのち, ある頂点で吸収される。
—6— AK-H-03
43)
(に1も1 ' (1,1) (2,1)
V - |
| | \ |
(-1,-1) (1,-1)
—F— AK-H-03
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、整数、確率・場合の数
(1) 15 で割り切れる の要素全体の集合は である。
(22) 15 でも 21 でも割り切れる の要素全体の集合は である。
(3) 15 または 7 で割り切れる N の要素全体の集合は である。
(3) 15 または 21 で割り切れる N の要素全体の集合は である。
BARAK :
(a) AUB (b) BUC (c) CUA
(d) ANB (@) BNC (DCn4
(g) ANBNC (hb) AUBUC_ (i) (ANB)UC
(j) (AUB)NC (kK) (ANC)UB (I) (AUC)NB
(m) AU(BNC) (a) AN(BUC)
ー5一 AK-H-04
|3]1q) s 。 < 90> とする。 tan(2a— 45°) = 3 であるとき,
tan 2o = ——-_., tana = ——,, tan 30 = ——
である。
(2) -15° S$ 0S 90° DEX, x= cos9 + sind の最大値は VL=]:
V
最小値は ユエーーュー CHS.
ッーcos?9二sin?9 を z の式で表すと、
9モテてマー 35 0
WM還
である。 したがって, y の最大値 は であり, 最小値は ーー
である。
ー6 一 AK-H-04
(22) 15 でも 21 でも割り切れる の要素全体の集合は である。
(3) 15 または 7 で割り切れる N の要素全体の集合は である。
(3) 15 または 21 で割り切れる N の要素全体の集合は である。
BARAK :
(a) AUB (b) BUC (c) CUA
(d) ANB (@) BNC (DCn4
(g) ANBNC (hb) AUBUC_ (i) (ANB)UC
(j) (AUB)NC (kK) (ANC)UB (I) (AUC)NB
(m) AU(BNC) (a) AN(BUC)
ー5一 AK-H-04
|3]1q) s 。 < 90> とする。 tan(2a— 45°) = 3 であるとき,
tan 2o = ——-_., tana = ——,, tan 30 = ——
である。
(2) -15° S$ 0S 90° DEX, x= cos9 + sind の最大値は VL=]:
V
最小値は ユエーーュー CHS.
ッーcos?9二sin?9 を z の式で表すと、
9モテてマー 35 0
WM還
である。 したがって, y の最大値 は であり, 最小値は ーー
である。
ー6 一 AK-H-04
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式、整数
(1) Bに色 [A | が座られる場合は、 2 つの領域| お | (解答棚に2?つマー
ク) を除いて塗る色が決まってしまう。その 2 つの領域の塗り方を
BABE, coRaoRD HIE ク |通りである。
2) B に色| か | が徐られる場合は、 C に塗る色が 2 通りある。それ
ぞれを個別に考えることにより, この場合の塗り方は| + |通りで
ある。
以上により AD.Fに塗られる色を固定した場合に (| + [|)
通りの塗り方がある。A、D、E の塗り方は | |通りであるから。 8 (fl
の領城の塗り方は全部で [> |通りでぁる。
ー 5一 AK-H-05
ゃ9りが0ミヶく1.0くりく2を満たすとき、
(Qe —y +2)? 4 (¢-—y-1)
の最大値と最小値を求めよう。
8 = 2z一9十2
t = *ーター1
EBS, oy を st を用いて表すと、
2 = st [> ]e+
となる。このとき. 不等式 0く<zく1.0くりく2 より,(s. の動く範
囲は, 不等式
st St Sst
s+ きす 5 Ss+
で表される領域になる。したがって (Qe — y + 2)? + (x — y- 1)?
1h, (9) = (ほ」 [=]) のとき最大値 をとり, (au) =
(7) = のとき最小値 ーー をとる。
ー6 一 AK-H-05
ク) を除いて塗る色が決まってしまう。その 2 つの領域の塗り方を
BABE, coRaoRD HIE ク |通りである。
2) B に色| か | が徐られる場合は、 C に塗る色が 2 通りある。それ
ぞれを個別に考えることにより, この場合の塗り方は| + |通りで
ある。
以上により AD.Fに塗られる色を固定した場合に (| + [|)
通りの塗り方がある。A、D、E の塗り方は | |通りであるから。 8 (fl
の領城の塗り方は全部で [> |通りでぁる。
ー 5一 AK-H-05
ゃ9りが0ミヶく1.0くりく2を満たすとき、
(Qe —y +2)? 4 (¢-—y-1)
の最大値と最小値を求めよう。
8 = 2z一9十2
t = *ーター1
EBS, oy を st を用いて表すと、
2 = st [> ]e+
となる。このとき. 不等式 0く<zく1.0くりく2 より,(s. の動く範
囲は, 不等式
st St Sst
s+ きす 5 Ss+
で表される領域になる。したがって (Qe — y + 2)? + (x — y- 1)?
1h, (9) = (ほ」 [=]) のとき最大値 をとり, (au) =
(7) = のとき最小値 ーー をとる。
ー6 一 AK-H-05
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式、整数
(1) 三角形 AOB において ZAOB = である。
(2) 点 A における円 5 の接線と点 B における円 5 の接線との交点を
C とする。 C の ヶ 座標は [4] +[7] =] である。
(3) 三角形 ABC 内に, 点 D を三角形 ABD が正三角形となるようにと
Be. DO 座標は +リ|ヵ| cas.
(4) A, B を通る直線の方程式は 7 — [#|z+ +/[7] で
ある。
(5) 不等式
vs[*]e+[2]+y
ety S4
で表される領域の面積は ーーィ+ である。
eu 3 = AK-H-06
放物線 O : = ダー2 と 軸上の点 Po(go.0) が与えられている。
go =2 とする。 直線ヶ= go と 〇との交点を Q。 とする。Q。 におけ
る の接線を 7 とする。 が z 軸と交わる点を Py(a,,0) とする。 直
RMar=a とでCとの交点を Q ETS. Qi を通り / に平行な直線が
ァ 軸と交わる点を Po(ay,0) とする。 以下次々にこれを繰り返す。 すな
D5, 点 Py(ax,0) が定まったとき直線 c =a, EC との交点を Q。 と
レ, Q。 を通り に平行な直線が z MED SRE P。 (ok。i。0) とす
る。このとき 6?《 の方程式は
y= [A ]=+ であり, ag =
である。また
Oy — O44) = a +$ ——
であり,
PkQk十 QuP eo = (A =) (a+ [+])
となる。したがって, n を自然数とするとき
SE (PQ + MPa) = (7 +1 ([E] - anit)
k=0
である。
ー 5一 AK-H-06
> 0.cを定数とし
79=3/ で-の dt+c
とする。
(1) 0 ミァ1の範囲で つねに f(x) > 0 となる条件は
O<as のとき cz [A]
[7] <« のとき ce | * |〆+ 4
である。
(2) 0 251 の範囲で /(y) > 0 となる >が存在する条件は
0<g<ユーー のとき cz [a ]o+ [=|
ャーー <。 のとき cs
である。
— 6 — AK-H-06
(2) 点 A における円 5 の接線と点 B における円 5 の接線との交点を
C とする。 C の ヶ 座標は [4] +[7] =] である。
(3) 三角形 ABC 内に, 点 D を三角形 ABD が正三角形となるようにと
Be. DO 座標は +リ|ヵ| cas.
(4) A, B を通る直線の方程式は 7 — [#|z+ +/[7] で
ある。
(5) 不等式
vs[*]e+[2]+y
ety S4
で表される領域の面積は ーーィ+ である。
eu 3 = AK-H-06
放物線 O : = ダー2 と 軸上の点 Po(go.0) が与えられている。
go =2 とする。 直線ヶ= go と 〇との交点を Q。 とする。Q。 におけ
る の接線を 7 とする。 が z 軸と交わる点を Py(a,,0) とする。 直
RMar=a とでCとの交点を Q ETS. Qi を通り / に平行な直線が
ァ 軸と交わる点を Po(ay,0) とする。 以下次々にこれを繰り返す。 すな
D5, 点 Py(ax,0) が定まったとき直線 c =a, EC との交点を Q。 と
レ, Q。 を通り に平行な直線が z MED SRE P。 (ok。i。0) とす
る。このとき 6?《 の方程式は
y= [A ]=+ であり, ag =
である。また
Oy — O44) = a +$ ——
であり,
PkQk十 QuP eo = (A =) (a+ [+])
となる。したがって, n を自然数とするとき
SE (PQ + MPa) = (7 +1 ([E] - anit)
k=0
である。
ー 5一 AK-H-06
> 0.cを定数とし
79=3/ で-の dt+c
とする。
(1) 0 ミァ1の範囲で つねに f(x) > 0 となる条件は
O<as のとき cz [A]
[7] <« のとき ce | * |〆+ 4
である。
(2) 0 251 の範囲で /(y) > 0 となる >が存在する条件は
0<g<ユーー のとき cz [a ]o+ [=|
ャーー <。 のとき cs
である。
— 6 — AK-H-06
問7画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、空間図形、微分・積分、整数
(1) 行列
B= ab
“\ed
に対して
Axy+Agxy=Axy(すle+|シ5+[スlk+Eゆ
である.
(2) AxJay Aaxy = 0 であり, 行列 4xy が遂行列をもるつものとする. こ
のとき
CHS. さらに 太 の成分はすべて整数であって
レ| = 1 0 ss3. & £0
であるとする. このような行列 おは|チ| 通りある.
選択肢:
(1). 0, (2). 1, (3). -1, (4). be +a?, (5). —be —a?, (6). be —a?,
(7). —be +a?
—5— AK-H-07
ik, 青, ROEVENEN2 個ずつ入った中の見えない袋がある. 2 人の人
がそれぞれこのような袋を持ち 1 回に 1 個ずつ玉を取り出す. ただし取り出
した玉はもとに戻さないものとする.
(1) 一方の人が 6 個の玉を全部取り出す取り出し方は, ツ |通りぁる. だだし
同じ色の玉は区別しない.
(2) 2 人の 1回日に取り出した玉の色が同じであったとき, 2 人の2回目に取
り出す玉の色がまた同じである確率は である.
(3) 2 人の 1 回目に取り出した玉の色が異なっていたとき, 2人の2回目に取
り出す玉の色が同じである確率は である.
(4) 1回目$ 2 回目$ 2 人の取り出した玉の色が同じであったとき, 3回目も
また同じである確率は CHA.
a
ー6 一 AK-H-07
ある光源が zy 平面の原点に置かれている 平面上の点 (cosouysino)
(r > 0,Jo] Sm) には, ol <i ならば光があたっていてその明るさきは
casita
THY, lal > ; ならば光はあたっていない.
この平面の, 点 A(-1,0) を中心とする半径 o(q > 1) の円周上を, 点P が
一定の速さで反時計回りに動いていて, 単位時間あたり a だけ進んでいる.
WPM t= to のときに点 P に光があたり始め, t=0 のとき (a~1,0) の位
置にあり, tat のときに光があたらなくなったとする.
(1) ty は次の式をみたす.
|
sin( == — to) = =a
ic
ただし0 <にとまとする、
(2) 時刻#のとき, 原点と点 P を結ぶ直線が z 軸となす角を aA とすると
asin(|へle ーお= smn(ホle +[マ9
である.
(3) 上 St) OLA, 時刻#における点 P の位置の明るさは次の式で与えら
れる.
(+a? = 2acost)?! ミ |a’cos?t +| 4s |acost +| X a? +] € Ja +] ¥ |)
es 請 AK-H-07
B= ab
“\ed
に対して
Axy+Agxy=Axy(すle+|シ5+[スlk+Eゆ
である.
(2) AxJay Aaxy = 0 であり, 行列 4xy が遂行列をもるつものとする. こ
のとき
CHS. さらに 太 の成分はすべて整数であって
レ| = 1 0 ss3. & £0
であるとする. このような行列 おは|チ| 通りある.
選択肢:
(1). 0, (2). 1, (3). -1, (4). be +a?, (5). —be —a?, (6). be —a?,
(7). —be +a?
—5— AK-H-07
ik, 青, ROEVENEN2 個ずつ入った中の見えない袋がある. 2 人の人
がそれぞれこのような袋を持ち 1 回に 1 個ずつ玉を取り出す. ただし取り出
した玉はもとに戻さないものとする.
(1) 一方の人が 6 個の玉を全部取り出す取り出し方は, ツ |通りぁる. だだし
同じ色の玉は区別しない.
(2) 2 人の 1回日に取り出した玉の色が同じであったとき, 2 人の2回目に取
り出す玉の色がまた同じである確率は である.
(3) 2 人の 1 回目に取り出した玉の色が異なっていたとき, 2人の2回目に取
り出す玉の色が同じである確率は である.
(4) 1回目$ 2 回目$ 2 人の取り出した玉の色が同じであったとき, 3回目も
また同じである確率は CHA.
a
ー6 一 AK-H-07
ある光源が zy 平面の原点に置かれている 平面上の点 (cosouysino)
(r > 0,Jo] Sm) には, ol <i ならば光があたっていてその明るさきは
casita
THY, lal > ; ならば光はあたっていない.
この平面の, 点 A(-1,0) を中心とする半径 o(q > 1) の円周上を, 点P が
一定の速さで反時計回りに動いていて, 単位時間あたり a だけ進んでいる.
WPM t= to のときに点 P に光があたり始め, t=0 のとき (a~1,0) の位
置にあり, tat のときに光があたらなくなったとする.
(1) ty は次の式をみたす.
|
sin( == — to) = =a
ic
ただし0 <にとまとする、
(2) 時刻#のとき, 原点と点 P を結ぶ直線が z 軸となす角を aA とすると
asin(|へle ーお= smn(ホle +[マ9
である.
(3) 上 St) OLA, 時刻#における点 P の位置の明るさは次の式で与えら
れる.
(+a? = 2acost)?! ミ |a’cos?t +| 4s |acost +| X a? +] € Ja +] ¥ |)
es 請 AK-H-07
問8画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、確率・場合の数、ベクトル、数列
(1)
(+E)
an = (Fee + CnQn—1 (n= 1,2, +++)
である.
(2) m=2 のときに a, を最小にするヵは|セ|であり, カー20 のときにco。
を最小にするヵは|ソ| である.
(3) 個から € 個選ぶ組合せの数を ,C。 CHT. ヵ=7,m=ニ2のとき
z
G+ v1
トー ーェCe・97
とするとょぁ=|タ| =|チ| CHS. KEL, SEAL とする.
ー 5一 AK-H-08
[3] cy 平面上を 軸上の点 (1.0) POMEL, 第1 象限。 第2象限。... CB
続した軌跡を描きながら反時計回りに動く点がある. 出発するときの時刻
を 0 とし, 各銀限での運動の速度ベクトル (Z 学) はそれぞれ
第1象限で (-2g24 23
第2象限で (26, - 2g29
第3象限で ( 2c?t, — 2d"t)
第4象限で ( dt, 2c2の
とする
出発前に, 硬貨を4回投げて 。,あcdを決定する. その際, 各試行に対し,
表が出たら1, 裏が出たら 2と定める. 一度定めた 。。あcdの値はそのま
ま固定する.
(1) 運動する点が同じ軌道を回り続ける確率は であり, 原点に収束す
る確率は CHS.
Qa=1b=lec=2d=1OYStEBAS, 第1象限を通過し, 最初に
ヶ軸に達するときの時刻は である. 続いて第2象限を通過し, cif
に達するときの時刻は 」/| ス] である. 続いて第3象限を通過し,g二に
達するときの時刻は CHS. 続いて第4象限を通過し, z軸に達
するときの叶刻は CHA,
ee 16) es AK-H-08
ays 空間において, ある物体が zz 平面上の点 P(1, 0, 1) PS, 各成分が負
の方向ベタトルょ= (-g, 一5 一co) の方向に直進した. その物体は yz 平
面上の点 Q で方向を変え,
7=(-ecos9の5sinの一asin9一5cos9, 一o)
の方向に直進し, cy 平面上の点 R を通過し, zz 平面上の点 8 で止まった.
4} 7
(l)a=4,6=2,c=3,0= ay のとき, 点R の座標は 2
点8 の座標は Ee である.
(2) 6 = 1,c=3.9=ィのときを考える. 点Qのz座標が正, ARO ye
標が負である条件は | ミ| <。 <|^| である. この範囲を o が動くとき,
ARO ce, y BPRS
リー
り ne 2+[¥]
をみたす.
oe 沈 ー AK-H-08
(+E)
an = (Fee + CnQn—1 (n= 1,2, +++)
である.
(2) m=2 のときに a, を最小にするヵは|セ|であり, カー20 のときにco。
を最小にするヵは|ソ| である.
(3) 個から € 個選ぶ組合せの数を ,C。 CHT. ヵ=7,m=ニ2のとき
z
G+ v1
トー ーェCe・97
とするとょぁ=|タ| =|チ| CHS. KEL, SEAL とする.
ー 5一 AK-H-08
[3] cy 平面上を 軸上の点 (1.0) POMEL, 第1 象限。 第2象限。... CB
続した軌跡を描きながら反時計回りに動く点がある. 出発するときの時刻
を 0 とし, 各銀限での運動の速度ベクトル (Z 学) はそれぞれ
第1象限で (-2g24 23
第2象限で (26, - 2g29
第3象限で ( 2c?t, — 2d"t)
第4象限で ( dt, 2c2の
とする
出発前に, 硬貨を4回投げて 。,あcdを決定する. その際, 各試行に対し,
表が出たら1, 裏が出たら 2と定める. 一度定めた 。。あcdの値はそのま
ま固定する.
(1) 運動する点が同じ軌道を回り続ける確率は であり, 原点に収束す
る確率は CHS.
Qa=1b=lec=2d=1OYStEBAS, 第1象限を通過し, 最初に
ヶ軸に達するときの時刻は である. 続いて第2象限を通過し, cif
に達するときの時刻は 」/| ス] である. 続いて第3象限を通過し,g二に
達するときの時刻は CHS. 続いて第4象限を通過し, z軸に達
するときの叶刻は CHA,
ee 16) es AK-H-08
ays 空間において, ある物体が zz 平面上の点 P(1, 0, 1) PS, 各成分が負
の方向ベタトルょ= (-g, 一5 一co) の方向に直進した. その物体は yz 平
面上の点 Q で方向を変え,
7=(-ecos9の5sinの一asin9一5cos9, 一o)
の方向に直進し, cy 平面上の点 R を通過し, zz 平面上の点 8 で止まった.
4} 7
(l)a=4,6=2,c=3,0= ay のとき, 点R の座標は 2
点8 の座標は Ee である.
(2) 6 = 1,c=3.9=ィのときを考える. 点Qのz座標が正, ARO ye
標が負である条件は | ミ| <。 <|^| である. この範囲を o が動くとき,
ARO ce, y BPRS
リー
り ne 2+[¥]
をみたす.
oe 沈 ー AK-H-08
問9画像OCR
検出分野: 空間図形、微分・積分、確率・場合の数、図形・三角関数、整数
問題 1] の解答は解答用紙A (マーク用解答用紙の上に添付された白紙の解答
FA) に記せ. 解答用紙Aでは, 式だけではなく, 解答の流れを文章を含めて敵
切に説明すること.
問題[2] ~ Gl の解答は, [7] から [F] に当てはまる数値を. マーク用解答用紙
にマークせよ. ただし|ソ| と| タ | には間題に指定された通りに番号で答えよ.
| 1 | MMH LO SM a,,as と, 0 <ちく<1 をみたす実数 を考える. と
zo をユーに内分する点を z。 tl, z』 と zs をを: 1をに内分する点を
る CHF.
(1) a =0,2=1l2=i のとき, が0<7<1 の範囲を動くときの包の軌
跡を求め 榎素数平面上に図示せよ.
(2) o, EMHBMETS. KEL AAO とする. 複素数平面上の点 z に対し,
f(z) =az4+8
とおく. w= fla) (= 1,23) EL, 222,23 から 名 を定めたのと同
様にして wi,ws,ws から W, を定める. このとき, f(Z,) の軌跡と WO
軌跡が一致することを示せ.
(3) =ァ+ 9 と表したとき, TOBA
y= 30 (-1<z<1)
となるような zu,zs,zs を求めよ.
«af AK-H-09
vy = 1テッ 0 で決まる cy 平面上の曲線を O, cy =1, 2 <0 TRES
曲線を わ とし,。> 1とする. の上の点 Po *) に最も近い の 上の点を
9上 3) Q に最も近い C 上の点を Re とする.
回
fy]
G) 8 = |7 1て| でぁる.
(2) 線分 PR と曲線 C で囲まれる部分の面積を 9 とすると
回
= (02 ー@ Ea} —togal*]
(3) Ro。 = R とおく. 曲線上の点 Ri を, その点での C の接線の傾きが線分
PR。 の傾きに等しくなるように定める. 以下帰納的に曲線 LOA R。
を, その点での C の接線の傾きが, 線分 PR。」 の傾きに等しくなるよう
に定める. R。 のrr座標xy。をRのz座標<を用いて ac と表すと
slヶl
である.
ー 5 一 AK-H-09
[3 |レ| [| には下記の選択肢の中から適当なものを選んで, COHECER
列ペクトル
Y2 92
に対して,
Axy = ( “1 遇 ) » Axy = 2iye— yite
Y2 92
(1) 行列
ab
に対して
Ax.py +Anxy =Axv(Fla+[>]o+[4]Je+[*]a)
(2) Ax ay + Apxy =0 であり, 行列 4x が逆行列をもつものとする. こ
のとき
である.
選択肢:
(1).0, (2).1 (3). -1, (4). be +a, (5). -0c一@の, (6). bc 一の,
(7). -e十g?
ーg 一 AK-H-09
赤, 青, ROEPTAEH 2 個ずつ入った中の見えない袋がある. 2 人の人
がそれぞれこのような袋を持ち 1 回に 1 個ずつ玉を取り出す. ただし取り出
した玉はもとに戻きをないものとする.
(1) 一方の人が6 個の玉を金部取り出す取り出し方は, |チ| 通りある. ただし
同じ色の玉は区別しない.
(2) 2 人の1 回目に取り出した玉の色が同じであったとき, 2人の2回目に取
り出す玉の色がまた同じである確率は =e である.
デテ
(3) 1回目も 2 回目も 2 人の取り出した玉の色が同じであったとき, 3回目も
また同じである確率は である.
ー7ー AK-H-09
FA) に記せ. 解答用紙Aでは, 式だけではなく, 解答の流れを文章を含めて敵
切に説明すること.
問題[2] ~ Gl の解答は, [7] から [F] に当てはまる数値を. マーク用解答用紙
にマークせよ. ただし|ソ| と| タ | には間題に指定された通りに番号で答えよ.
| 1 | MMH LO SM a,,as と, 0 <ちく<1 をみたす実数 を考える. と
zo をユーに内分する点を z。 tl, z』 と zs をを: 1をに内分する点を
る CHF.
(1) a =0,2=1l2=i のとき, が0<7<1 の範囲を動くときの包の軌
跡を求め 榎素数平面上に図示せよ.
(2) o, EMHBMETS. KEL AAO とする. 複素数平面上の点 z に対し,
f(z) =az4+8
とおく. w= fla) (= 1,23) EL, 222,23 から 名 を定めたのと同
様にして wi,ws,ws から W, を定める. このとき, f(Z,) の軌跡と WO
軌跡が一致することを示せ.
(3) =ァ+ 9 と表したとき, TOBA
y= 30 (-1<z<1)
となるような zu,zs,zs を求めよ.
«af AK-H-09
vy = 1テッ 0 で決まる cy 平面上の曲線を O, cy =1, 2 <0 TRES
曲線を わ とし,。> 1とする. の上の点 Po *) に最も近い の 上の点を
9上 3) Q に最も近い C 上の点を Re とする.
回
fy]
G) 8 = |7 1て| でぁる.
(2) 線分 PR と曲線 C で囲まれる部分の面積を 9 とすると
回
= (02 ー@ Ea} —togal*]
(3) Ro。 = R とおく. 曲線上の点 Ri を, その点での C の接線の傾きが線分
PR。 の傾きに等しくなるように定める. 以下帰納的に曲線 LOA R。
を, その点での C の接線の傾きが, 線分 PR。」 の傾きに等しくなるよう
に定める. R。 のrr座標xy。をRのz座標<を用いて ac と表すと
slヶl
である.
ー 5 一 AK-H-09
[3 |レ| [| には下記の選択肢の中から適当なものを選んで, COHECER
列ペクトル
Y2 92
に対して,
Axy = ( “1 遇 ) » Axy = 2iye— yite
Y2 92
(1) 行列
ab
に対して
Ax.py +Anxy =Axv(Fla+[>]o+[4]Je+[*]a)
(2) Ax ay + Apxy =0 であり, 行列 4x が逆行列をもつものとする. こ
のとき
である.
選択肢:
(1).0, (2).1 (3). -1, (4). be +a, (5). -0c一@の, (6). bc 一の,
(7). -e十g?
ーg 一 AK-H-09
赤, 青, ROEPTAEH 2 個ずつ入った中の見えない袋がある. 2 人の人
がそれぞれこのような袋を持ち 1 回に 1 個ずつ玉を取り出す. ただし取り出
した玉はもとに戻きをないものとする.
(1) 一方の人が6 個の玉を金部取り出す取り出し方は, |チ| 通りある. ただし
同じ色の玉は区別しない.
(2) 2 人の1 回目に取り出した玉の色が同じであったとき, 2人の2回目に取
り出す玉の色がまた同じである確率は =e である.
デテ
(3) 1回目も 2 回目も 2 人の取り出した玉の色が同じであったとき, 3回目も
また同じである確率は である.
ー7ー AK-H-09
問10画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数
(1) RO AP の垂直二等分線が直線 =k と交わる点をQ としその z 座標を
とするときんをっo5んたを用いて表せ.
(2) AAPQ が正三角形であるとき, たをog.ヵの1 次式で表せ.
ー5一 AK-H-10
yy 平面上の 2 点 Plery.),Qea.yo) に対して
| 一zo| (jt. — to) 2 tn — wo] DE)
d(P,Q) =
(P,Q) { ly — ye} (lyr — yal > far — v2] のとき)
とおく. 25 0(0,0),A(0,2) を考える.
(1) g(O,P) = 3 であるような点 P の集合を図示せよ.
(2) d(A,P) = 3 であるような点 P の集合を図示せよ.
(3) d(O,P) = 9(A,P) であるような点 P の集合を図示せよ.
a= § =< AK-H-10
とするときんをっo5んたを用いて表せ.
(2) AAPQ が正三角形であるとき, たをog.ヵの1 次式で表せ.
ー5一 AK-H-10
yy 平面上の 2 点 Plery.),Qea.yo) に対して
| 一zo| (jt. — to) 2 tn — wo] DE)
d(P,Q) =
(P,Q) { ly — ye} (lyr — yal > far — v2] のとき)
とおく. 25 0(0,0),A(0,2) を考える.
(1) g(O,P) = 3 であるような点 P の集合を図示せよ.
(2) d(A,P) = 3 であるような点 P の集合を図示せよ.
(3) d(O,P) = 9(A,P) であるような点 P の集合を図示せよ.
a= § =< AK-H-10