上智大学 2004年度 過去問・解答

(1) sin 15° = sin(45° — 30°) = a ( -, ) である。
QA に外楼する円の直径の長きは || 7 | + =] である。
ただし > とする。
(3) 4 の面積は + aria である。
(4) 4 のある頂高から 1 つねおきに選んだ6 つの頂点からなる正六角形と
残りの6 つの頂点からなる正大角形の重なった部分よりなる図形を
ど とすると, 太 もまた正十二角形である。太 の一辺の長さは
- ォ(ElyEE-YE])
Ch), の面積は である。
ーー AK-H-03

[2] sak 7(@) = 寸やーァを考える。ただした は十数である。

(1) f(z) は z = o で極大値 SS t+ kk BLY, c = 6 CME
= +k をとる。ただしゃg= |タト2= である。

したがって z についての方程式 7/(z) = 0 がただ一つの実数の解を
もつための条件は k < S— または ょ> 王寺 である。

(2) (1) で求めた a, 2 に対し 座標平面上の 2 点P(o f(a), Q(8, 7(9)
を考える。線分 PQ の硬直二等分線の方各式を y = o(z) とすると,
9(?) = El, を である。

V i
BM [f(2)—o(e)| ket = のとき極大値 =
/
BLD, c= またはゃ= “ET のとき極小人
をとる。
ー5 一 AK-H-03

0 と 1 だけからなる 2 つの列 x = 29+, ¥ = Ye Ye AL,
(xy) を a Ay となる(7 =1,2,...,n) の個数とする。例えば
x = 11010, y = 01110 のとき d(x,y) = 2 である。

(1) x = zuzzzsz4zseg7 (各 x; は 0 または 1) とする。 0 = 0000000 に対
し, d(x。 0) =m となる x の総数を N(m) とすると, (1) = [4]:
N(2) = [= ].N@)= である。

(2) x = zizzzszazs (各 z。 は 0 または 1) とする。 0 = 00000, y = 11100,
タニ 00111 に対し, 条件 9(x。0) > 3, d(x,y) > 3, d(x,2) 23 をみ
たす x はただ一つ定まり,

である。
(3) x = zizzzszazs7ez7 (各 2 は 0 または 1) とする。0 = 0000000,
u = 1110000, v = 0000111 に対し, 条件
(+) d(x, 0) =4, d(x,u) 2 3, d(x,v) 23
をみたす x を考える。このうち zx。ニ0 となるxは 個あり,
my =1 となる x は 個ある。 したがって, 条件 (*) をみたす
x は全部で 個ある。
= 部 = AK-H-03

(1) a4 0 であるすべての a について, 6 は定点 [7] = を
通る。
(2) 放物線 = 2? と 4。との2つの交点の z 座標は [=]e および
ーー である。この2つの交点をA.B とすると
回5
1\?
a= == ([7 ]o+2)
‘
である。
a> 0 とするとき, AB はo= 一 で最小人 をとる。
(3) #49 AB の中吉は放物線= トレ]: = 上にあぁる。
ae Ges AK-H-01

[2] (a) 。 を実数とし, 0° $0 < 90° の範囲で導
79 = | cos 20 + 1 — 2a|
を考える。
(as S— ならば, /(の は9 = のとき HK
[> Jo+ をとる。
(i) == Sa ならば, (0) は9 = のとき BK
|け |+ をとる。
(2) 5 = 1 とし, 0? SOS 90° の範囲で関数
9(9) = |cos39二(3 — 46) cos 6|
を考える。
@isos ならば, g(0) はcos9 = エー ph のとき
eal
最大値 = ELS,
(i) Sb ならば, 9(0) は9 = のとき SK
回 をとる。
neil som AK-H-01

図のように, 頂点を長さ 1 の辺で結んだ道路を考える。P から出発し。
URE 度通りないようにして Q まで進む道順を経路と呼ぶことに
する。

(1) 最短の経路の長さは| ミ | で, そのような経路は [4] りある。

(2) 最短経路の次に短い長さをもつ経路の長さは| メ | であぁる。そのよ
うな経路の中で図の辺 BA を点Bから点Aに向かって通過するもの
は| = |通りぁる。

(3) Pから 0Qに向かう経路の中ですべての頂点を通る経路の長さは
である。これらの経路は辺 CD を必ず通る。このように, これらの
経路が必ず通る辺は辺 CD を含めて| | 個ある。 すべての項点を
通るPから 0Qへの経路は| ョ|通りぁる。

| | | |
| | | fl
P
oes Bl = AK-H-01

(1) 2 Fl Sy, Sp の交点は,
NEWIE記(EEIEdl
である。 。 。
(2) 三角形 PAQ において, ZAPQ = ,ZAQP = である。
(3) 点 B における円 S, の接線を 《 とすると,? の方程式は
=相思
である。
(4) 直線 AP と との交点を C とすると, C の座標は
(回IPMgl
である。
(5) 三角形 PBC の面積は 4 である。
aed x AK-H-02

2 つの放物線 C」 :ッ=ァ2, のO。 :ッニーz2十2z十4 を考える。

(1) 放物線 の を点 | 一 一 |] を中心として 180 回転すると
放物線 Co。 となる。

(2) GEO onenoasiats ( | タ | 回4EF [=]) であ
Be RIEL < とする。

(3) の と の によって囲まれる図形 が の面積は である。

(4) 直線ター (セー 3) によって, 図形 が は画積の等しい 2 つの部
分に分けられる。

(5) == sss tds. BY に含まれ, 1 つの辺が直線
coo 上にある三角形の面積の最大値は

回はEEE

である。

(6) 図形 に含まれ, 1 つの辺が ヵ 軸と平行な三角形の面積の最大値は
である。

= AK-H-02

HOLS CHEN A から G の 7 か所に, 同じ大きさの赤 1 te,
青 2 枚 14 枚の板ガラスを1 枚ずつ入れて模様を作る。
回回回

(1) 全部で| ヒ | 通りの入れ方がある。

(2) 以下では, 板ガラスを入れた棒を, 180° 回転, 上下の裏返し, 左右の
裏返しのいずれかで動かして互いに同じこなる入れ方をまとめて 1
種類の模様と数えることにする。例えば下の 4 通りの入れ方は同じ
BERT, まとめて 1 種類と数える。

a § AK-H-02

LOLS, 何種類の模様があるか考える。 赤いガラスを入れる場所

は A, C, D のどれかであるとして数えてよい。

(1) A に赤いガラスを入れる場合は, 回転や裏返しで互いに同じにな
る入れ方がないので, この場合は | フ |種類の模様がある。

(i) C に赤いガラスを入れる場合は, 自分自身が上下対称な模様が
種類あり, その他の模様は対称性を持たない。したがって,
この場合は | ok | 種類の模様がある。

(iii) D に赤いガラスを入れる場合は, 上下対称な模様や左右対称な模
様や点対称な模様がある。したがって, この場合は | マ |種類の
模様がある。

以上により, 全部で 種類の模様があることがわかる。
ー 7 - AK-H-02

(1) BUF ABE 2:1 に内分する点を D とすると
se ll LO le 。
OD = ==0A+ ==oB, |oD| =
THE.
(2) AC & OC = OA+ OB によって定め, 直線 OD と直線 BC との
交点を E とすると
OB = === 0A + |2 em
である。
(3) 直線 OA に関して点 D と対称な点を DI とすると
_ FH. fw.
OD’ = == 6A+ Els
である。
\
(4) cos(Z AOD) = エーー でぁぁ。
(5) 三角形 OED' の面積は である。
an oe AK-H-05

/ /
[2] 1辺の長さが1の正四面体の高きはエーー で 体積は エニーー で
回
V
ある。この正四面体に内接する球の半径は イーーー であり、外接す
る球の半径は vel である。
= AK-H-05

[3] 傘の中に赤玉が1個、自玉が1個和っている。以下, 次の試行を繰り
返し行う。袋から玉を1 個取り出し, それが赤玉ならば, その赤玉と
もう1つ自玉を袋に入れる。 白玉ならば赤玉に取り替えて袋に入れる。
(1) ヵ 回の試行の後。袋の中の玉の個数がヵ個になる確率を g。+ とすれ

ば である。
(2) ヵ回の試行の後。 袋の中の玉の個数がた 個になった。
#のとりうる範囲は、ヵが偶数のとき
s=n+([8] Sksja n+[X |
[= 本
であり,ヵが庁数のとき
回
nt ES [A ]n+
である。
また, 袋の中の白玉は [> |n+ [0 e+ 個あり、赤は
[vy |n+ [5 jas 個ある。
ー6 一 AK-H-05

(1) 半径4の円板 わ で 4 に含まれるものが存在するための条件は
ag回
0<ag ——
である。
(1) の条件のもとで円板 MA 内を動くとき、 / の通り得る範囲を9
EL, り が三角形の少なくとも 1 辺に接しながら 4 内を動くとき, D
DEN ASMMET とする。
(2) o=5 DEX, 7 の面積は
‘AVE FA
eee + SE
テ
である。
(3) SET が一数するような a の最小値は
+y
oe
である。
=っ EE es AK-H-06

[3] 平面上の3 & O(0.0)、 A(2,0), BL, V3) について, 直線 0A, AB,
OB EENENG 6,04 ETS. i,j,k は 1.2.3 を並べかえたものと
し, 平面上の点 P を直線 。 に関して対称に移した点をP,。 AP, を直
線ひに関して対称に移した点をP。、 点 P。 を直線 4 に関して対称に
BLAME Pi とする。たとえば, A は(2,0) だから, Ar = (2,0),
As = (2,0), Ajss = (-1, V3) である。

(1) 点 Oss は ーー

(EWE)
点Ba は

(a)
である。

2) RQ が三角形OAB の周および内部を動くとき, 点 Quos と原点0 と
の距離の最小値は | ヒ |最大値は である。

(3) 点R が三角形OAB の周および内部を動くとき, 点 Rx と原点0と
の距離の最小値をヵx とする。1,2.3 のすべての並べかえ。ヵをの
うち jk が最小になるのは

A] Y
または
re- (ZB)
のときである。 このとき,gx の値は/| ヤ | である。
ー6 一 AK-H-06

(1) 上のような四角形 ABCD の直角の頂点を B とし, ZB をはさむ2辺
を AB, BC, 頂点 B と向き合う頂点をD とする。ンB をはさお2辺
の長さが5 と4の場合 対角線 AC の長さは Gal で, cosD =
eval
== であり, 三角形 ACD の面積は である。こ
の場合, 四角形は 通りある。

(2) 求める四角形は全部で 通りあり, そのうち 2 つの内角が直
角なものは 通りで, また凸であるものは 通りである。
これら| ス | 通りの四角形の中で最小の面積は である。

= Fle AK-H-04

1つのサイコロを振って, 出た目の合計を考える。
(1) サイコロを 3 回振ったとき, 出た目の合計が 5 になる確率は SS
である。
(2) サイコロを振る回数が 3 回までの間に, 出た目の合計が 5 になる
確率は —— である。
(3) サイコロを振る回数が ヵ 回までの問に, 出た目の合計がちょうど
ヵ になる確率を P(ヵ) とする。
(a) 1回もサイコロを振らないことを, 0 回サイコロを振ったと考え
て, P(0) =1 とおく。
(b) 出た目の合計が 1 になるのは, サイコロを 1 回振って 1 がでる
場合しかないから PL) =5 である。
(c) 出た目の合計が 2 になるのは, 1 回目で 2 が出る場合と 2 回続
けて 1 が出る場合であるから、 P2) = である。
(G) “遇た目の合計が ヵ になったときのサイコロの目" に注目すれば,
P(n) に関する次の尊化式が得られる。
2 くゎく6 DEX, P(n) = ==—P(n-1),
なと7のとき, P(n) = =—P(n- 1) + =—P(n-7)
= AK-H-04

(1)

(1) KOMMLKE BETRA {a,} を考える.

t= ania + (5) (n = 1,2,3,...)
ここで lim a, =0 であるとする. このとき, 次の式が成り立つ.
—_

(2) 座標平面上を運動する点Pがある. 点Pは原点(0.0) を出発し, 曲線リー
3rV (2 20) 上を毎秒1 の連ぶさで動いているとする. 原点を出発してから6
秒後の点P の座標を (z(0,y()) とすると, 次の関係式

v2) +2) 8 =F]

at) +[4]- =
が成り立つ. 点Pのz座標が3 になるのは, 原点を出発してから 。。秒後である

2, 2
とする- Se OBE = to THE FE eHY, SAD OM = での
値は == である. でっ WALES to OES ORP OMEROKS Sito
CHS,
cos es AK-H-08

座標空間において, 原点 0(0,0.0), AP(1,0,1), 点 Q(2,1,0) を頂点とする三角
形OPQ を考える. 0 ミ < 1 DES, M(O,t,0) を通り 7平面に平行な平面7 と
辺 PO が交わる点の雇栖は (| |+ 42[7]+[F]t) であり、平面万と辺00が
交わる点の座標は ([ ツ|。0) である. 三角形OPQ をり軸のまわりに回転したと
SOMO ft. CHS. COLON, 2H. LOA (0,0,5)
に最も近い点の座標は | 0, = | cas.

[=]
= Boe AK-H-08

各チームに攻撃度 ヵ (ただしヵ= 1,2,3) が決まっている競技を考える. 攻撃

度 。 のチーム A と攻撃度 6 のチーム 刀 が試合をしたとき。,

<4 はo回攻撃し,おは? 回攻撃するとし、

・4 のそれぞれの攻撃が成功する確率は ユ であり,

・太 のそれぞれの攻撃が成功する確率は である
とする. 攻撃の成功回数を得点とし, 得点の多いチームが勝ち, 同点の場合は引
き分けとする.

(1) 攻撃度が3 のチームと 2 のチームが対戦したとき, 引き分けになる確率は
== である.

(2) 攻撃度が3 のチームと 1 のチームが対戦したとき, 攻撃度3 のナームが勝
つ確率は = である.

(3) 攻撃度が3.2,1の3チームで総当たり戦を行うとき, 攻撃度3 のチームが2
勝する確率は| 度?のチナームが?勝する確率は 回 evs, ま
た, 2勝する確率が最も高いのは, 攻撃度| ム| のナームであり, その確率は
である.

a Be AK-H-08

座標空間において, 原点0 を中心とする, 半径が 1 および2の球面をそれぞれ
Si, SETS. APHS OLE, AQM 3 OLE [PO = V2 という条件を
保って動くとする. このとき以下の問に答えよ.

(1) 与えられた点 P = (2,y,2) に対して, 上の条件を満たす点 Q の全体は半径
r= T= の円びをなす. この円びとその内部を底面とし点P を頂点とする円
雛の側面 (底面は入れない) の面積は Le CHS,

2) HCOMDEREL, nd = (uv,w) EFS. P = (0.0.1) のとき。
w=[J]CHS. FLAP, 点Qに対して関数 /(P,Q) を

f(P,Q) =z+vu4 (zv—- yw)

と定義する. P = (0,0,1) の条件の下では f(P,Q) の最大値は | ル| 最小値は
CHS. .

(3) 関数 /(P, Q) の最大値を求めたい. まず不等式

le-wel $2]
が成り立つことに注意する. ただし, 上の [ロ cid, 不等式を成り立たせる最
小の整数を入れる. 次に, この不等式と (2) における考察を考慮すると, 求める
ナ(P,Q) の最大値は|ワ| であることが分かる.
we Hae AK-H-08

(1)cosr (2)sin (3)cos2 (4)sin2 (5)tant (6)tan2
ー4 一 AK-H-07

zz 空間内の 4点 0(0,0,0), A(V3,0,0), B(0,1,1), O(0,0,1) を考える
(1) 3 点 A,B,C を通る平面に垂直な単位ベタトル豆は
=-目(回銘
と表きれる. ただし, |シ| > 0 とする.
(2) 線分 OC 上の点 P(0,0, z) から 3 点 A, B,C を通る平面に下ろした垂線の
足を H とする. このとき。, 線分 PH の長きは
PH = 4 (]-2)
と表される. 」
(3) また, (2) で定めた点 P から 3 点 O, A, B を通る平面に下ろした垂線の足
を RY とする. このとき,9=PH' + PH とおくと,
-7@
S=7 Fett hlet+ #)
と表きれる. 点Pが線分OO上を動くとき, somAan TCHS,
ーー fe AK-H-07

複素数平面上の点 >=ァ9 に対し
る
4e・) are] ezg
1 (z =0)
とおく. REL, i は虚数単位を表す.
(1) 7(2) <3 である z の範囲は中心[ネ [ノ]。 HED] の円の内部である.
(2) |zl <7(z) である z の範囲は <2 である.
(8) Slel < fle) である 2 の範囲は中心 ーー + PR]: 半径 の円の内部で
ある.
ー6一 AK-H-07

、 次のように定積分で表された関数
1 4
が) =古 / le(t — 22) at
を考える.
(1) F(a) は
る|ム|のとき ほjz+ |
szsEjpcs 5 ()*+5]+f),
| zのとき a+
回
となる.
(2) 0 Sg S3 における Fa) は=|7ワ| のとき 最大値をとり,z= | |の
とき 最小値をとる.
ー7ー AK-H-07

(1) 2 OMGHHIE 2] 0, p を使って表せ.

(2) 0, p がそれぞれ OS OS 1, 0 y Sr OWMEH (LX, >が動く領域を
複素数平面上に図示せよ.

(3) ir (r は実数) が(2) の領域内にあるとき, > = ir を満たす cos@, cosy の値
をrを使って表せ.

(4) 同様に(cose十?sinc) (ただしr>0) が(2) の領域内にあるとき,ァ=
r(cosa+isina) を満たすcos9 の値をrとo を使って表せ.

- ex off ex AK-H-09

座標平面上を運動する点Pがある.点Pは原点(0.0) SHEL, Hy = 2zソ<
( 0) 上を毎秒1 の速さで動いているとする. KAEMEL THD LBROM
P の座標を (9.9(9) とすると、 次の関係式
v2) +7) -折
a(t) +|7 ae 4
が成り立つ. 点Pのz 座標が3 になるのは. 原点を出発してから lp BETHS

とする. の時刻#= to での値は == THY, ful) の時刻#= tp CO
の dt?
値は CHS. Lot, 時刻#一のときの点Pの加速度の大きさは
である.
一 — 一 AK-H-09

座標空間において, AH O(0, 0,0), 点P(1.0.1)、点Q(2.1.0) を頂点とする三角
形OPQ を考える. 0 <? S 1 のとき,点(0.6.0) を通り zz平面に平行な平面万と
PQ が交わる点の座林は ([ケ|+ 64コト[であり平面と辺00が
交わる点の座標は (| シ|。。0) である. 三角形OPQ を9 執のまわりに回転したと

ス
きの回転体の体積は TCHS. この回転体上の点で, ヶ 軸上の点 (0 0, 3)

に最も近い点の座標は (0 ical By である.
= fe AK-H-09

各チームに攻撃度ヵ(ただし=1.2.3) が決まっている競技を考える. 攻撃

度 。 のチーム 4 と攻撃度あのチーム 万 が試合をしたとき、

*4 はo回攻撃し,おは) 回攻撃するとし,
（続きは問題PDFで確認できます）